圆与相似三角形的性质、圆与锐角三角函数综合问题 复习讲义-2026年中考数学一轮复习

圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 考点目录 圆与相似三角形的性质综合问题 圆与锐角三角函数综合问题 知识点解析 一、圆与相似三角形的性质综合问题解题核心原理 以圆的性质推导等角，满足相似三角形的判定定理，通过相似三角形的边成比例性质，实现圆中未知线段、边长的计算，核心逻辑： 圆的性质→找等角→证相似→得比例式→求解未知量 1. 核心相似判定定理（几何综合高频用） - 两角分别相等的两个三角形相似（AA判定，最核心，圆中优先用此判定）； - 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定，需结合圆中边长关系）。 2. 相似三角形核心性质（解题关键） 相似三角形的对应边成比例、对应高/中线/角平分线的比等于相似比，即若，则（为相似比）。 二、圆与相似三角形的性质综合问题标准解题思路（四步走） 步骤1：标已知，找圆中“等角/直角” 根据题目已知条件（如切线、直径、弧相等、圆内接四边形等），结合圆的核心性质，在图形中标出相等的圆周角、弦切角、直角，标注已知线段的长度，明确待求量。 步骤2：定目标三角形，证相似 结合标注的等角，锁定含已知量和待求量的两个三角形，用AA判定（优先）或SAS判定，证明两三角形相似； ✅ 高频证相似场景： - 切线+弦→弦切角=圆周角→结合公共角，证两三角形相似； - 直径→直角圆周角→两个直角三角形含公共角/等角，证相似； - 圆内接四边形→外角=内对角→结合其他等角，证相似。 步骤3：列比例式，代已知量 根据相似三角形的对应边成比例，列出比例等式，注意对应边必须匹配（可通过角的对应关系确定边的对应关系，避免列错），将已知线段长度代入比例式。 步骤4：解比例式，验结果 求解比例式得到未知线段长度，结合图形几何意义验证结果（如线段长度为正、边长符合三角形三边关系），若有多个未知量，可通过多组相似三角形列多个比例式联立求解。 三、圆与相似三角形的性质综合问题高频题型解题技巧 1. 遇切线，必连切点与圆心（得垂直），再结合弦切角定理找等角，为证相似铺垫； 1. 遇直径，必找直径所对的直角圆周角，构造直角三角形，利用直角相等+公共角证相似； 1. 图形中有多条相交弦/割线，优先用“同弧所对圆周角相等”找等角，锁定相似三角形； 1. 若待求量为乘积式（如），先将乘积式转化为比例式（），再反向推导需证明的相似三角形。 四、圆与锐角三角函数综合问题解题核心原理 以圆的性质构造直角三角形（核心），将圆中的未知角转化为直角三角形的锐角，利用锐角三角函数的定义式（正切、正弦、余弦），实现边、角的互求，核心逻辑： 圆的性质→构造直角三角形→确定锐角的对边/邻边/斜边→用三角函数定义列等式→求解 1. 锐角三角函数核心定义（直角△ABC中，∠C=90°） - - - #2. 圆中构造直角三角形的核心依据（必考） - 直径所对的圆周角为直角（最常用，遇直径直接构造直角三角形）； - 切线垂直于过切点的半径（切线+半径，构造直角三角形）； - 过圆心作弦的垂线，平分弦且平分所对的弧（垂径定理，构造直角三角形，结合半径、弦长一半、弦心距构成直角三角形）。 五、圆与锐角三角函数综合问题标准解题思路（五步走） 步骤1：分析已知，锁定“目标锐角” 明确题目中已知的三角函数值（如）、已知角/线段，确定需要计算三角函数值或利用三角函数求解的目标锐角（通常为圆中的圆周角、弦切角、圆心角）。 步骤2：结合圆的性质，构造含目标锐角的直角三角形 根据目标锐角的位置，利用圆的核心性质构造直角三角形，核心构造方法： - 若目标锐角是圆周角，且有直径过其一边的端点→连接直径两端点，构造直径所对的直角三角形； - 若有切线→连接切点与圆心，构造切线与半径垂直的直角三角形； - 若涉及弦长/弦心距/半径→用垂径定理，作弦的垂线，构造直角三角形； - 若目标锐角无直接直角三角形→通过等角转化（同弧所对圆周角相等、弦切角定理），将目标锐角转化为其他可构造直角三角形的锐角。 步骤3：确定直角三角形中，目标锐角的“对边、邻边、斜边” 在构造的直角三角形中，明确目标锐角的对边、邻边、斜边，标注已知边的长度，设未知边为（若有多组关联直角三角形，可设相同参数，实现边的转化）。 步骤4：根据三角函数定义，列等式求解 将已知三角函数值、边的长度（含参数）代入三角函数定义式，列出方程/比例式，求解未知边的长度；若需要求三角函数值，则先通过圆的性质/勾股定理求出直角三角形的三边，再代入定义式计算。 步骤5：多三角形联动，综合求解（压轴题高频） 若题目涉及多个直角三角形，利用圆的等角性质实现角的传递，或利用公共边、相等边实现边的联动，联立多个三角函数等式/勾股定理求解，最后验证结果的几何合理性。 六、圆与锐角三角函数综合问题高频题型解题技巧 1. 遇弦长/半径/弦心距，必用垂径定理：作垂线构造直角三角形，三边满足“半径²=弦长一半²+弦心距²”，结合三角函数求解； 1. 三角函数值转化为边的比例：如已知，可设直角三角形中的对边为，邻边为（），用参数表示所有边，简化计算； 1. 等角代换巧求三角函数：若目标锐角无法直接构造直角三角形，用“同弧所对圆周角相等”将其转化为已构造好的直角三角形中的锐角，直接借用其三角函数值； 1. 切线与三角函数结合：连切点和圆心得直角后，若直角三角形中含圆周角，结合弦切角定理找等角，将三角函数值传递到其他三角形中。 考点一 圆与相似三角形的性质综合问题 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆内接三角形，且是圆的直径，的角平分线交于点D，交于点E，过点E作交，于点F，点G． (1)求证：． (2)若的面积为15，，求． (3)求证：． 例2．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 例3．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知四边形内接于，为的直径，E是延长线上一点，连接，． (1)如图①，若交于点F，，，，求的度数； (2)如图②，若与相切于点C，延长交于点P，，，，求的长度． 【变式训练】 变式1．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的度数． 变式2．（24-25九年级下·甘肃白银·期中）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，连接．若，求的长度． 变式3．（25-26九年级下·四川雅安·月考）如图，在中，是的直径，点是直径上的一个动点，过点的弦，交于点，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，交于点． (1)如图，连接，过点的直线交的延长线于点．当点与圆心重合时，若，求证：是的切线； (2)在点运动的过程中，（为常数），求的值； (3)如图，连接，当是等腰三角形时，求的正切值． 考点二 圆与锐角三角函数综合问题 【例题分析】 例1．（2026·西藏·一模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求． 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，内接于，为的直径，点在下方的上，连接、、，与交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例3．（25-26九年级下·安徽合肥·月考）如图，在四边形中，，，是的外接圆，已知．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径，求的值． 【变式训练】 变式1．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． (1)若，，求的长． (2)求证：是的切线． (3)若，，直接写出的值． 变式2．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，点为边上一点，以为圆心，为半径作交于点，与相切于点，连接平分． (1)求证：； (2)若，求的半径． 变式3．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，为的直径，连接并延长至点，使得．连接并延长交于点，连接． (1)求证：； (2)如图，连接，交于点． ①记的面积分别为、、，若，求； ②记，，求关于的函数关系式（不需要考虑的取值范围）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 考点目录 圆与相似三角形的性质综合问题 圆与锐角三角函数综合问题 知识点解析 一、圆与相似三角形的性质综合问题解题核心原理 以圆的性质推导等角，满足相似三角形的判定定理，通过相似三角形的边成比例性质，实现圆中未知线段、 边长的计算，核心逻辑： 圆的性质→找等角→证相似→得比例式→求解未知量 1.核心相似判定定理（几何综合高频用) -两角分别相等的两个三角形相似(AA判定，最核心，圆中优先用此判定)； -两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(SAS判定，需结合圆中边长关系)。 2.相似三角形核心性质（解题关键) 相似三角形的对应边成比例、对应高/中线/角平分线的比等于相似比，即若△ABC~△(，则 AB_BC=AC=k(k为相似比)。 DE EF DF 二、圆与相似三角形的性质综合问题标准解题思路（四步走） 步骤1：标已知，找圆中“等角/直角” 根据题目已知条件（如切线、直径、弧相等、圆内接四边形等），结合圆的核心性质，在图形中标出相等的 圆周角、弦切角、直角，标注已知线段的长度，明确待求量。 步骤2：定目标三角形，证相似 结合标注的等角，锁定含已知量和待求量的两个三角形，用AA判定（优先）或SAS判定，证明两三角形相似： ☑高频证相似场景： -切线+弦→弦切角=圆周角→结合公共角，证两三角形相似； -直径一→直角圆周角→两个直角三角形含公共角/等角，证相似： -圆内接四边形→外角=内对角→结合其他等角，证相似。 步骤3：列比例式，代已知量 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 根据相似三角形的对应边成比例，列出比例等式，注意对应边必须匹配（可通过角的对应关系确定边的对应关系， 避免列错)，将已知线段长度代入比例式。 步骤4：解比例式，验结果 求解比例式得到未知线段长度，结合图形几何意义验证结果（如线段长度为正、边长符合三角形三边关系），若 有多个未知量，可通过多组相似三角形列多个比例式联立求解。 三、圆与相似三角形的性质综合问题高频题型解题技巧 1.遇切线，必连切点与圆心（得垂直），再结合弦切角定理找等角，为证相似铺垫； 2.遇直径，必找直径所对的直角圆周角，构造直角三角形，利用直角相等+公共角证相似： 3.图形中有多条相交弦/割线，优先用“同弧所对圆周角相等”找等角，锁定相似三角形： 4若待求量为柔积式（如AB:CD=EF·GH),先将乘积式转化为比例式(2-C ),再反向推导需证 明的相似三角形。 四、圆与锐角三角函数综合问题解题核心原理 以圆的性质构造直角三角形（核心），将圆中的未知角转化为直角三角形的锐角，利用锐角三角函数的定义 式（正切、正弦、余弦)，实现边、角的互求，核心逻辑： 圆的性质→构造直角三角形→确定锐角的对边/邻边/斜边+用三角函数定义列等式+求解 1.锐角三角函数核心定义（直角△ABC中，∠C-90°） ·sinA=∠A的对边BC 斜边 AB -cosA= ∠A的邻边_AC 斜边 AB tan A=- ∠A的对边_BC A的邻边AC #2.圆中构造直角三角形的核心依据（必考） -直径所对的圆周角为直角（最常用，遇直径直接构造直角三角形）； -切线垂直于过切点的半径（切线+半径，构造直角三角形）； -过圆心作弦的垂线，平分弦且平分所对的弧（垂径定理，构造直角三角形，结合半径、弦长一半、弦心距构成直 角三角形)。 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 五、圆与锐角三角函数综合问题标准解题思路（五步走） 步骤1：分析已知，锁定“目标锐角” 明确题目中己知的三角函数值（如itan A=)、己知角/线段，确定需要计算三角函数值或利用三角函数求 解的目标锐角（通常为圆中的圆周角、弦切角、圆心角）。 步骤2：结合圆的性质，构造含目标锐角的直角三角形 根据目标锐角的位置，利用圆的核心性质构造直角三角形，核心构造方法： -若目标锐角是圆周角，且有直径过其一边的端点→连接直径两端点，构造直径所对的直角三角形： -若有切线→连接切点与圆心，构造切线与半径垂直的直角三角形： -若涉及弦长/弦心距/半径一用垂径定理，作弦的垂线，构造直角三角形： ~若目标锐角无直接直角三角形→通过等角转化（同弧所对圆周角相等、弦切角定理），将目标锐角转化为其他可 构造直角三角形的锐角。 步骤3：确定直角三角形中，目标锐角的“对边、邻边、斜边” 在构造的直角三角形中，明确目标锐角的对边、邻边、斜边，标注已知边的长度，设未知边为X(若有多组关联直 角三角形，可设相同参数，实现边的转化)。 步骤4：根据三角函数定义，列等式求解 将己知三角函数值、边的长度（含参数）代入三角函数定义式，列出方程/比例式，求解未知边的长度；若需要求 三角函数值，则先通过圆的性质/勾股定理求出直角三角形的三边，再代入定义式计算。 步骤5：多三角形联动，综合求解（压轴题高频） 若题目涉及多个直角三角形，利用圆的等角性质实现角的传递，或利用公共边、相等边实现边的联动，联立多个 三角函数等式/勾股定理求解，最后验证结果的几何合理性。 六、圆与锐角三角函数综合问题高频题型解题技巧 1.遇弦长/半径/弦心距，必用垂径定理：作垂线构造直角三角形，三边满足“半径2-弦长一半2+弦心距2”， 结合三角函数求解： 2.三角菌数值转化为边的比l:如已知a0=子可设直角三角形中0的对边为3k,邻边为4kk>0),用 参数k表示所有边，简化计算； 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 3.等角代换巧求三角函数：若目标锐角无法直接构造直角三角形，用“同弧所对圆周角相等”将其转化为已 构造好的直角三角形中的锐角，直接借用其三角函数值： 4.切线与三角函数结合：连切点和圆心得直角后，若直角三角形中含圆周角，结合弦切角定理找等角，将三 角函数值传递到其他三角形中。 考点一 圆与相似三角形的性质综合问题 【例题分析】 例1.(25-26九年级上·浙江杭州期末)如图，△ABC是圆内接三角形，且AB是圆的直径，∠ACB的角平分线交 ⊙0 于点D,交MB于点E,过点E作PG1OE交4C,BD 点F,点G D (I)求证：△AEF∽△ACB (2)若△AED的面积为15，CF=4,求AF. (3)求证：EF=EG. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)证明见解析 【详解】(1)证明：·4B是O0。 是的直径， ∴.∠ACB=90°， .FG⊥OE, ∴.∠AEF=90°， ∠AEF=∠ACB, ∠FAE=∠BAC, .△AEF∽△ACB: (2)解：如图1，连接OD, 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 0/ D 图1 ,∠ACB=90°，CD平分∠ACB, 2DCB=∠ACB=49 .∠BAD=∠DCB=45°， AO=OD ∴.∠AD0=∠DA0=45°， ∴.∠A0D=90°， ,△AED的面积为15， 67AE0D=15 .'AEOD=30, 6-30, ∴.AEAB=60, .△EFAACB, AF AE …ABAC .AF.AC=ABAE=60, CF=4, .AFAF+4=60 “.AF=6(负值舍去)： (3)证明：如图2，连接AG, 心 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 D 图2 :△AEF∽AACB, .∠AFG=∠ABC, .∠ABC=∠ADC, ∴.∠AFG=ADC, :4B是o0 直径， ∴.∠ADG=∠AEG=90°， 点A,E,G,D四点共圆， .∠ADC=∠AGF, ∴.∠AFG=∠AGF, ∴.AF=AG, ∴.△AFG是等腰三角形. :FG⊥AB, ∴.EF=EG 例2.(2026·湖南长沙·一模)如图1，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，∠ADC的平分线DB交⊙O于点B, 交AC于M,连接AB、CB. D D B B B 图1 图2 图3 AD2 CD2 AD CD DMDM (（I)填空：AB2+ CB2 BDBD AD CD (直接将结果写在相应 的横线上) 6 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 2)如图2，过点D作DN上4C,垂足为N,若MD=2W5CN, 求an∠ABD】 的值； (3)如图3，记DC=m,DA=n, ①试用含m,n的式子表示DM·MB; IM ②若点I是。4CD的内心，试用含m,n的式子表示D· 【答案】022,5 (2)2 mmlm2+n2）】 (3)① (m+n2 ；②Vm2+n2 m+n 【详解】(1)证明：AC是⊙O的直径， ∴.∠ADC=∠ABC=90°， :BD为∠ADC的平分线， ∠BDC=∠BDA)∠ADC=45, ∴∠BAC=∠BDC=45°，∠BCA=∠BDA=45°， ∴.∠BAC=∠BCA=45°， :.AB=BC: ∠ADC=90°，∠ABC=90, .AD2+CD2 AC2,AC2=AB2+BC2 =2AB2, 、AD2,CD2AD2+CD2AC2 AB2+ CB2 AB 4B=2: '∠ADM=∠BDC,∠DAM=∠DBC, :.△ADMn△BDC, AD AM DM BD BC CD' :∠MDC=∠ADB,∠ABD=∠DCM, .△CDM∽△BDA, CD CM DM BD AB DA 4D+CD-4+CY-4C-5,DM+D%-cy+4M-4C=5】 DB BD BC ABAB AD CD AB BC AB 1 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 故答案为： 2,N2,√2 (2)解：DN⊥AC,AD⊥DC, ∠ADC=∠DNA=90°， :∠DAC=∠NAD, ∴.△ADC∽△AND, AD AC AN AD' .AD2=AN·AC ·AD=25CN 设CN=1,4N=x,则4D=25 :25=xx+1, 整理得：x2+x-20=0, 解得：x=4或5（负数舍去）， 在R△HDN中，DN=VAD2-AN=V25°-4=2， 在RACDN中，an∠ACD=0X-2=2. 即tan∠ABD=tan∠NCD=2: AD,CD (3)解：①设点M到 的距离为， C边上的高为人， h AC 在△ADC中，BD平分∠ADC, S△4DM= 1 AD.h 1 AM.k … 2 SACDM -CD.h CMk’ 2 AD AM DC-CM' AM n CM m ①， ∠ADC=90°， 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 在RtADC中，AC=VAD+DC=m+P=AM+CM@. 联立@②解得M-m+月 CM=mlmi+n m+n, m+1n, 又：∠BAM=∠MDC,∠AMB=∠DMC, ∴.△AMB△DMC, DM CM AM BM' 即DMMB=AM.CM=iNm+元.mm+Fmnm2+n) m+n m+n（m+n2: ②连接机 C 点I是 的内心， △ACD .∠DAI=∠IAC,∠BAC=∠BDC=∠ADB, .∠DAI+∠ADB=∠LAC+∠BAC, 即∠AIB=∠IAB, ∴BA=BI AD CD=, DA=n'DC=m'BD'BD -+m=2, BDBD .BD=m+n . 在RtADC中，AC=VAD+DC2=Vm2+n2 在R△ABC中，AB=C-m+ √22， 9 圆与相似三角形的性质综合问题、圆与锐角三角函数综合问题复习讲义 BI=4B=m+n 2 ∠ABM=∠DBA,∠BAM=∠BDA ∴.△ABMDBA, AB BM DBBA .BM=AB2 BP2 BD BD BI-BI BI 1-BI BIx BD-BI √m2+n2 IM BI-BM BD BD BD BI =2 Vm2+n2 ID BD-BI BD-BI BD-BI BD-BI BD m+n m+n 例3.(25-26九年级下·浙江杭州月考)已知四边形ABCD内接于⊙0，AB为⊙0的直径，E是AB延长线上一点， 连接AC,CE D A B E 图① 图② I)如图O,若CE交O0于点F,CD=F,∠D=125°，∠DMC=15°，求∠E的度数： 2)如图②，若CE与o0相切于点C,延长4D交EC于点P,CD=CB,AB=10,PC=4,求BE的长度. 【答案】(1)40° 10 2)3 【详解】(1)解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D=180°， .∠D=125°， ∴.∠ABC=180°-∠D=55°， .∠ABC=∠AFC=55°， 10