已知线线角、线面角、面面角、空间距离求其他量讲义-2026届高三数学二轮复习

立体几何：已知线线角、线面角、面面角、空间距离求其他量复习讲义 立体几何：已知线线角、线面角、面面角、空间距离求其他量复习讲义 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 已知空间距离求其他量 知识点解析 一、已知线线角求其他量解题原理 线线角特指异面直线所成角 （），核心等价关系： 异面直线的方向向量所成角的锐角/直角 = 异面直线所成角 即：若 为异面直线，方向向量分别为 ，则 （ 为线线角）。 二、已知线线角求其他量标准解题步骤（坐标法） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知量（如点 、线段长度 ）为参数； 1. 求方向向量：分别求出两条异面直线的方向向量 （含未知参数）； 1. 代角列方程：将已知线线角 代入公式 ，得到关于未知参数的方程； 1. 解方程验根：求解方程，结合空间几何实际意义舍去不合理根（如长度为负、点的位置超出范围）； 1. 求目标量：根据解得的参数，计算题目要求的线段长度、点的坐标、参数值等。 三、已知线面角求其他量解题原理 线面角 （）是直线与平面中所有直线所成角的最小角，核心等价关系： 直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的锐角/直角 = 线面角 即：若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 （ 为线面角，核心公式，必考）。 【推导】线面角 与 互余或其补角互余，故 。 四、已知线面角求其他量标准解题步骤（坐标法） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知参数； 1. 求两个向量： ① 直线的方向向量 （含未知参数）； ② 平面的法向量 （在平面内找两个不共线向量 ，由 且 ，列方程组 求解）； 1. 代角列方程：将已知线面角 代入核心公式 ，得到未知参数的方程； 1. 解方程验根：舍去无几何意义的根； 1. 求目标量：根据参数计算题目要求的量。 五、已知面面角求其他量解题原理 面面角（二面角）（），取法向量法为核心（无需找二面角的棱上垂足，最通用），核心等价关系： 两个平面的法向量所成角或其补角 = 二面角的平面角 即：若平面 的法向量分别为 ，则 （ 为面面角），符号由二面角的“锐/钝”判定： · 二面角为锐角/直角：取正，； · 二面角为钝角：取负，。 六、已知面面角求其他量标准解题步骤（坐标法，法向量法） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知参数； 1. 求两个法向量：分别求出两个平面的法向量 （含未知参数，法向量求解方法同考点二）； 1. 判断二面角锐钝：根据题目图形或文字描述（如“锐二面角”“钝二面角”），确定面面角 的范围； 1. 代角列方程：将已知面面角 代入公式，结合锐钝取符号，得到未知参数的方程； 1. 解方程验根：舍去无几何意义的根； 1. 求目标量：根据参数计算题目要求的量。 七、已知空间距离求其他量解题原理 空间距离核心考查4 类垂距（均为非负数），均通过向量法转化为坐标运算，无通用公式，分类型记核心原理： 距离类型 核心解题原理（ 为目标距离） 点到平面的距离 设点 ，平面 内任一点 ，平面 法向量 ，则 （必考核心） 线到平面的距离 直线 平面 ，取 上一点 ，转化为点 到平面 的距离 面面间的距离 平面 平面 ，取 上一点 ，转化为点 到平面 的距离 异面直线间的距离 取两异面直线 的方向向量 ，公垂向量 ，再取 上 、 上 ，则 八、已知空间距离求其他量标准解题步骤（坐标法，以点到平面的距离为基础，其他距离转化后同步骤） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知参数； 1. 求关键向量： ① 若为点面距：求平面法向量 + 点到平面的连线向量 ； ② 若为其他距离：先转化为点面距/异面直线距，再求对应向量（含未知参数）； 1. 代距离列方程：将已知距离 代入对应距离公式，得到关于未知参数的方程； 1. 解方程验根：舍去无几何意义的根（如距离为负、点/线/面位置矛盾）； 1. 求目标量：根据解得的参数，计算题目要求的线段长度、点的坐标、参数值等。 考点一 已知线线角求其他量 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，，设，连接 因为四边形为正方形，则是中点，点是棱的中点， 则，因为平面，平面， 所以平面； （2）连接，正四棱锥中，平面，， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，（负值舍去），故，，，， 所以，， 由题意知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 例2．（24-25高二下·江西宜春·月考）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知，， 且，所以，则， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，且平面， 平面平面； （2）因为平面平面，且平面平面， 且，平面， 所以平面，且， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，   ，，，， ，， ，解得：， 设，， ，，, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， ， 所以二面角的余弦值为. 【变式训练】 变式1．（22-23高三上·浙江绍兴·月考）如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．    (1)求证：侧面PAC⊥平面PBC； (2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【详解】（1） 由PB⊥平面ABC，面，所以PB⊥AC， 因为∠BCA＝90°，即AC⊥BC； 又PB∩BC＝B，面， 所以AC⊥平面PBC，又平面PAC， 所以面PAC⊥面PBC. （2） 以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC＝m＞0， 则， 所以， 由得：，由， ∴，解得m，则， 设面ABE的一个法向量为，则，取x＝1，则． 取面ABC的一个法向量，故， 所以，结合面面角的范围易知：平面ABC与平面ABE所成角的大小为60°．    变式2．（2020高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）证明：因为底面，， 如图，以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、、， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 又因为，则，所以，， 又因为平面，所以，平面. （2）解：依题意，设，则， 所以，，， 由已知，得， 整理可得，解得或， 所以，线段的长为或. 考点二 已知线面角求其他量 【例题分析】 例1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. (3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在， 【详解】（1）因为，，所以，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为四边形是矩形，所以. 因为平面，平面，且，所以平面； （2）由（1）可知，，两两垂直，则以A为坐标原点， ，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）假设存在满足条件的点D，且（）， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 由（2）可知，，， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以. 解得，所以，即， 则存在满足条件的点D，此时. 例2．（2026·宁夏银川·一模）如图1，四边形是边长为5的正方形，扇形中，，弧上的点满足，中，，.现将沿进行翻折，正方形沿进行翻折，使得点与点重合为点，点到达点的位置，得到如图2所示的几何体，且点满足（）. (1)当时，证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为翻折前，，四边形是正方形，，， 所以翻折后，，， 所以两两垂直， 以为原点，分别以、、的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 过点作轴于点， 因为正方形边长为5，所以， 所以，，， ，， 在直角三角形中，因为 ， ， 所以，， 又因为， 所以， 因为，为锐角， 所以， 所以， 所以即， 当时，， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， 因为，，平面， 平面，， 所以平面， 所以是平面的一个法向量， 因为， 又因为平面， 所以平面. （2）同（1）建立空间直角坐标系，过点作轴于点， 所以，，，， ，， ，， 由（1）知， ， 所以，， 因为， ， ， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取， 则， ， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， ， 则有：， 计算分子：， 因为，所以， 计算分母：， ， ， 所以有：， 即：， 即：， ， 两边平方得：， 即，即， 即，解得或， 因为， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ,设， , 因为，所以. （2）设，因为为棱的中点，所以. ，则,, 设平面的一个法向量为，则, 令，得，即， 设与平面所成夹角为，则, 令，解得或（舍）， 所以棱上存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，此时. 变式2．（25-26高三上·福建三明·月考）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形.    (1)证明：； (2)在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，位置见解析 【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示： 是正三角形，，则， ， 平面，平面， 平面. （2）由（1）知平面， 平面平面平面， 以为原点，方向为轴，方向为轴， 过作垂直于平面的线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以 不妨设， ，解得， ， 设， 则， 易知，平面的一个法向量为， 与平面成角， 解得，故当时，与平面成角.    考点三 已知面面角求其他量 【例题分析】 例1．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在四边形中，易知，因为，所以， 又，故， 所以，故， 因为，平面， 所以平面， 又平面, 所以平面平面. （2）由（1）知三条直线两两垂直. 以为坐标原点、所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设（）， 则：，，，，， 设平面的一个法向量为， ，即，令，得，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，， 所以， ， 解得或（舍）. 所以. 例2．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，平面平面，． (1)若E，F分别为棱PD，BC的中点，求证：平面； (2)若四棱锥的体积为16，点M在棱（不含端点）上运动，当为何值时，平面与平面所成二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）取AD的中点为G，连接EG，GF， 因为E，F分别为棱PD，BC的中点，则，． 因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面， 因为，平面，，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）取AB的中点为O，连接PO，CO， 因为，所以，又因为平面，平面平面， 平面平面， 所以平面ABCD， 即为四棱锥的高，得四棱锥体积为 ，得． 又因为，O为AB中点，所以， 又因为，所以四边形为矩形，所以． 故以O为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 又因为M在棱PD上运动，所以存在，使，所以， 又因为，所以，所以，又因为， 设平面的法向量，则，则， 取，则，得，所以． 因为， 设平面的法向量，则，得， 所以，取，则，所以． 设平面CMB与平面PAD所成角为，则， 故，所以或， 又因为，所以或均符合题意，即或． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，． (1)证明：； (2)若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)存在点满足条件， 【详解】（1）取的中点，连接，如图： 因为，是的中点，所以， 在中，，，所以是等边三角形， 因为是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. （2）因为，易得，且有，则， 即，则两两垂直， 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 易得， 在线段上取点，设，即， 则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则有，不妨设，则， 由题意得，解得或（舍）， 故存在点满足条件，且. 变式2．（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）如图，在四棱锥中，平面，四边形ABCD为等腰梯形， (1)求证：平面 (2)若二面角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）过作，由题意可得是平行四边形，所以， 又因为，所以， 又因为四边形ABCD为等腰梯形，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由勾股定理逆定理得， 平面，平面，， 平面，平面， 平面 （2）以A为坐标原点，过A作AE垂直于AD，以AE，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立坐标系， 则，，， 设，则， ，，， 设面PBC的一个法向量为 令，则，，于是 设平面PCD的一个法向量为，则 令，则，，所以平面PCD的一个法向量为， 于是，解得. 所以，, 所以. 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. 考点四 已知空间距离求其他量 【例题分析】 例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）根据棱柱的性质可知，， 由于平面，平面， 所以平面，又平面， 平面平面，所以． （2）由于⊥平面，平面， 所以，，由于，D是AC的中点， 所以⊥， 以D为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    设（），已知， 则，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以点C与平面的距离， 解得或（舍）， 即，． 例2．（25-26高三上·河北衡水·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. （3）以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， ，则， 假设线段上存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . （2）设，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 变式2．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知，分别为，的中点，平面与棱交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何：已知线线角、线面角、面面角、空间距离求其他量复习讲义 立体几何：已知线线角、线面角、面面角、空间距离求其他量复习讲义 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 已知空间距离求其他量 知识点解析 一、已知线线角求其他量解题原理 线线角特指异面直线所成角 （），核心等价关系： 异面直线的方向向量所成角的锐角/直角 = 异面直线所成角 即：若 为异面直线，方向向量分别为 ，则 （ 为线线角）。 二、已知线线角求其他量标准解题步骤（坐标法） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知量（如点 、线段长度 ）为参数； 1. 求方向向量：分别求出两条异面直线的方向向量 （含未知参数）； 1. 代角列方程：将已知线线角 代入公式 ，得到关于未知参数的方程； 1. 解方程验根：求解方程，结合空间几何实际意义舍去不合理根（如长度为负、点的位置超出范围）； 1. 求目标量：根据解得的参数，计算题目要求的线段长度、点的坐标、参数值等。 三、已知线面角求其他量解题原理 线面角 （）是直线与平面中所有直线所成角的最小角，核心等价关系： 直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的锐角/直角 = 线面角 即：若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 （ 为线面角，核心公式，必考）。 【推导】线面角 与 互余或其补角互余，故 。 四、已知线面角求其他量标准解题步骤（坐标法） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知参数； 1. 求两个向量： ① 直线的方向向量 （含未知参数）； ② 平面的法向量 （在平面内找两个不共线向量 ，由 且 ，列方程组 求解）； 1. 代角列方程：将已知线面角 代入核心公式 ，得到未知参数的方程； 1. 解方程验根：舍去无几何意义的根； 1. 求目标量：根据参数计算题目要求的量。 五、已知面面角求其他量解题原理 面面角（二面角）（），取法向量法为核心（无需找二面角的棱上垂足，最通用），核心等价关系： 两个平面的法向量所成角或其补角 = 二面角的平面角 即：若平面 的法向量分别为 ，则 （ 为面面角），符号由二面角的“锐/钝”判定： · 二面角为锐角/直角：取正，； · 二面角为钝角：取负，。 六、已知面面角求其他量标准解题步骤（坐标法，法向量法） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知参数； 1. 求两个法向量：分别求出两个平面的法向量 （含未知参数，法向量求解方法同考点二）； 1. 判断二面角锐钝：根据题目图形或文字描述（如“锐二面角”“钝二面角”），确定面面角 的范围； 1. 代角列方程：将已知面面角 代入公式，结合锐钝取符号，得到未知参数的方程； 1. 解方程验根：舍去无几何意义的根； 1. 求目标量：根据参数计算题目要求的量。 七、已知空间距离求其他量解题原理 空间距离核心考查4 类垂距（均为非负数），均通过向量法转化为坐标运算，无通用公式，分类型记核心原理： 距离类型 核心解题原理（ 为目标距离） 点到平面的距离 设点 ，平面 内任一点 ，平面 法向量 ，则 （必考核心） 线到平面的距离 直线 平面 ，取 上一点 ，转化为点 到平面 的距离 面面间的距离 平面 平面 ，取 上一点 ，转化为点 到平面 的距离 异面直线间的距离 取两异面直线 的方向向量 ，公垂向量 ，再取 上 、 上 ，则 八、已知空间距离求其他量标准解题步骤（坐标法，以点到平面的距离为基础，其他距离转化后同步骤） 1. 建系设点：建立空间直角坐标系，标注已知点坐标，设未知参数； 1. 求关键向量： ① 若为点面距：求平面法向量 + 点到平面的连线向量 ； ② 若为其他距离：先转化为点面距/异面直线距，再求对应向量（含未知参数）； 1. 代距离列方程：将已知距离 代入对应距离公式，得到关于未知参数的方程； 1. 解方程验根：舍去无几何意义的根（如距离为负、点/线/面位置矛盾）； 1. 求目标量：根据解得的参数，计算题目要求的线段长度、点的坐标、参数值等。 考点一 已知线线角求其他量 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 例2．（24-25高二下·江西宜春·月考）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【变式训练】 变式1．（22-23高三上·浙江绍兴·月考）如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．    (1)求证：侧面PAC⊥平面PBC； (2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小． 变式2．（2020高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 考点二 已知线面角求其他量 【例题分析】 例1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. (3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2．（2026·宁夏银川·一模）如图1，四边形是边长为5的正方形，扇形中，，弧上的点满足，中，，.现将沿进行翻折，正方形沿进行翻折，使得点与点重合为点，点到达点的位置，得到如图2所示的几何体，且点满足（）. (1)当时，证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 变式2．（25-26高三上·福建三明·月考）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形.    (1)证明：； (2)在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 考点三 已知面面角求其他量 【例题分析】 例1．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 例2．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，平面平面，． (1)若E，F分别为棱PD，BC的中点，求证：平面； (2)若四棱锥的体积为16，点M在棱（不含端点）上运动，当为何值时，平面与平面所成二面角的余弦值为？ 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，． (1)证明：； (2)若，，在线段上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）如图，在四棱锥中，平面，四边形ABCD为等腰梯形， (1)求证：平面 (2)若二面角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 考点四 已知空间距离求其他量 【例题分析】 例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 例2．（25-26高三上·河北衡水·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知E，F分别为，的中点，平面与棱交于点G． (1)求证：平面； (2)求； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 变式2．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，．已知，分别为，的中点，平面与棱交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $