第13题 计数原理和排列组合分类训练-2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第13题分类训练 计数原理和排列组合 考点 3年考题 考情分析 计数原理和排列组合 2025年新高考Ⅰ卷第14题 2024年新高考Ⅰ卷第14题 2024年新高考Ⅱ卷第14题 2023年新高考Ⅰ卷第13题 2023年新高考Ⅱ卷第3题 排列组合、二项式定理均以小题形式考查，整体难度偏易但和概率或分布列结合起来较难。纵观近三年新高考，分类加法计数原理、分步乘法计数原理，排列数与组合数的运算及应用，二项式定理、二项展开式的系数求解等均为核心复习内容。结合命题规律可预测，2026 年新高考对该模块的命题，仍将在排列组合与二项式定理二者中择一考查。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． . 4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 5.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 3.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.组合数公式 ===(∈N*，，且). 5.排列数与组合数的关系 . 6.组合数的性质： （1）； （2）； （3）规定 7.排列的常见类型与处理方法 ① 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素． ② 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置． ③ 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。 ④ 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。 8.纯组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）指标问题用“隔板法”： 隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题． 9.先分组再分配 分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，分配问题涉及被分配的元素和接受元素的对象；分组问题则仅有被分组的元素，没有接受元素的对象，各组之间无须考虑顺序. 解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配. 解决分组与分配问题的步骤： 第一，要弄清分配问题与分组问题的不同.把n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分成k组，称为分组问题； 第二，解决分配问题，应先分组再分配； 第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案 10.定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 11.求二项式系数和： （1）令，则 （2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 12.求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为，偶数项系数之和为 排列、组合基础问题 1.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个. 2.（陕西西安市西北工业大学附属中学2026届高三下学期十模）某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为______. 3.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 4.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 5.（浙江省金华市十校2026届高三上学期1月期末）有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（   ） A．42 B．50 C．54 D．60 6.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 7.（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测）已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（   ） A．450 B．480 C．504 D．618 8.（安徽省合肥市2026届高三教学检测）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 9.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 10.（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 先分组再分配（排列、组合综合） 1.（河北唐山市2026届高三第一次模拟）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 2.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 3.(四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性)甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ． 4.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 二项式定理 1.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 2.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）二项式的展开式中，第四项的系数为（   ） A． B． C．30 D． 3.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研考试）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 4.（2026届T8联考）已知 的展开式中,第 6 项系数与第 7 项系数之比为 3:1,则 的值为_____. 5.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）)已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为 . 6.（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）的展开式中项的系数是 . 7.（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟）的展开式中的系数是____________． 8.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））．在的展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 9.（江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试）若，则__________. 10.（江苏南京市中华中学2026届高三模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 11.(江西省2026届高中毕业班二月诊断性)若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 12.(江苏省镇江市2026届高三第一学期零模)若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 排列组合相关的概率、分布列问题 1.（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 2.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 3.（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 4.（Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第二次联考）有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球。记(i=1,2,3,4,5)为标有数字i的球被取出的次数， ，则 。 5.（安徽江南十校2026届高三3月联考）有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1，2，3，白球分别标有数字1，2，3，4，5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为___________. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第13题分类训练 计数原理和排列组合 考点 3年考题 考情分析 计数原理和排列组合 2025年新高考Ⅰ卷第14题 2024年新高考Ⅰ卷第14题 2024年新高考Ⅱ卷第14题 2023年新高考Ⅰ卷第13题 2023年新高考Ⅱ卷第3题 排列组合、二项式定理均以小题形式考查，整体难度偏易但和概率或分布列结合起来较难。纵观近三年新高考，分类加法计数原理、分步乘法计数原理，排列数与组合数的运算及应用，二项式定理、二项展开式的系数求解等均为核心复习内容。结合命题规律可预测，2026 年新高考对该模块的命题，仍将在排列组合与二项式定理二者中择一考查。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 【答案】/ 【分析】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得 【解析】依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【答案】/0.5 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． . 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 5.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 3.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.组合数公式 ===(∈N*，，且). 5.排列数与组合数的关系 . 6.组合数的性质： （1）； （2）； （3）规定 7.排列的常见类型与处理方法 ① 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素． ② 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置． ③ 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。 ④ 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。 8.纯组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）指标问题用“隔板法”： 隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题． 9.先分组再分配 分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，分配问题涉及被分配的元素和接受元素的对象；分组问题则仅有被分组的元素，没有接受元素的对象，各组之间无须考虑顺序. 解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配. 解决分组与分配问题的步骤： 第一，要弄清分配问题与分组问题的不同.把n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分成k组，称为分组问题； 第二，解决分配问题，应先分组再分配； 第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案 10.定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 11.求二项式系数和： （1）令，则 （2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 12.求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为，偶数项系数之和为 排列、组合基础问题 1.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个. 【答案】167 【解析】当百位数小于3时，共有个； 当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个； 当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 故答案为：167 2.（陕西西安市西北工业大学附属中学2026届高三下学期十模）某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为______. 【答案】112 【解析】当取到的3个产品编号是相邻整数时，不符合要求， 即，这8种情况不符合要求， 所以抽取方法种数为. 3.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【解析】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种； 第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种， 故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）. 4.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 【答案】D 【解析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 5.（浙江省金华市十校2026届高三上学期1月期末）有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（   ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【解析】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论： 当是第1名时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1名且不是第5名时，先排第1名，从中选一人为第1名，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 故选：D. 6.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【解析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 7.（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测）已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（   ） A．450 B．480 C．504 D．618 【答案】C 【解析】由题意，若甲不是最后一名，有种不同的方法； 若甲不是第一名也不是最后一名，则， 所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法. 故选：C. 8.（安徽省合肥市2026届高三教学检测）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 【答案】B 【解析】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 9.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【解析】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种； 第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种， 故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）. 10.（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【解析】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 先分组再分配（排列、组合综合） 1.（河北唐山市2026届高三第一次模拟）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 【答案】C 【解析】4名同学按分配到两个社区，有种方法；按分配到两个社区，有种方法，所以不同的分配方案有（种）. 2.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】B 【解析】符合要求的选派方法可分为两步完成， 第一步，将名同学分成人数分别为的四组，该步有种完成方法， 第二步，将组同学分派到4个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为 3.(四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性)甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ． 【答案】120 【解析】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种，3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种， 故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种. 故答案为：120. 4.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 【答案】 【解析】按分步计数原理，依次涂色： 涂中心主挂件：共4种颜色可选，因此有种涂色方法； 涂第一层分挂件（共3个）： 要求：每个第一层都与中心相邻，故不能与中心同色； 且同一层分挂件颜色不同.中心已经用掉1种颜色，剩余3种颜色，给3个不同的第一层分挂件涂色， 是全排列问题，方法数为 ； 涂第二层分挂件（共3个）： 要求：每个第二层只和同方向第一层相邻，故不能等于对应第一层的颜色； 且同一层分挂件颜色不同.此时已有4种不同颜色：中心颜色，三个第一层颜色（互不相同，且都不等于）， 需要选3个不同颜色分配给3个第二层，满足位置不选，用容斥原理计算： 总排列数， 减去至少一个位置选自身对应颜色的情况，得总方法数： ； 总方法数：根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为： . 二项式定理 1.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】， 令，得， 故展开式中的常数项为． 2.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）二项式的展开式中，第四项的系数为（   ） A． B． C．30 D． 【答案】A 【解析】二项式的展开式中，第四项为， 所以所求系数为. 故选：A 3.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研考试）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 4.（2026届T8联考）已知 的展开式中,第 6 项系数与第 7 项系数之比为 3:1,则 的值为_____. 【答案】6 【解析】 第 6 项系数为 , 又 第 7 项系数为 . 由题可知 . 5.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）)已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为 . 【答案】 【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 6.（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）的展开式中项的系数是 . 【答案】60 【解析】由的展开式的通项公式可得， 令，； 因为，所以项的系数是. 故答案为：60 7.（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟）的展开式中的系数是____________． 【答案】 【解析】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 8.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））．在的展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 二项式展开式的通项为， 因此的展开式中含的项为， 所以所求系数为. 故选：A 9.（江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试）若，则__________. 【答案】 【解析】由， 因此等于中的系数与中的系数和. 根据二项式定理，的通项公式为： 令，得，则的系数为； 令，得，则的系数为， 所以. 10.（江苏南京市中华中学2026届高三模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】D 【解析】的通项公式为， 且， 当时，； 当时，， 故的系数为． 故选：D 11.(江西省2026届高中毕业班二月诊断性)若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 【答案】C 【解析】由二项式定理得，的展开式通项为， ，令， 当时，，故A错误；当时，，故B错误； 当时，，故C正确；当时，，故D错误. 故选：C. 12.(江苏省镇江市2026届高三第一学期零模)若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 排列组合相关的概率、分布列问题 1.（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 【答案】/0.75 【解析】因为为取得白球的次数，所以的可能的值为,且随机变量服从超几何分布. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以. 故答案：. 2.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 2 3 5 0分 4 6 10 2分 4 10 6 1分 6 4 10 2分 6 10 4 2分 10 4 6 1分 10 6 4 则， 则. 3.（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 【答案】 【解析】根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占， 在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 则小张决定采购该企业产品的概率； 故答案为：． 4.（Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第二次联考）有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球。记(i=1,2,3,4,5)为标有数字i的球被取出的次数， ，则 。 【答案】 【解析】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， ，，， 所以, 故答案为： 5.（安徽江南十校2026届高三3月联考）有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1，2，3，白球分别标有数字1，2，3，4，5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为___________. 【答案】 【解析】方法一：摸球总的方法数是种，把符合条件的摸球情况分四类： 第一类：全红有种； 第二类：2红1白， 若红球摸1+2号，白球只能是3号（1种）； 若红球摸1+3号，白球可以是2或5号（2种）； 若红球摸2+3号，白球可以是1或4号（2种），故第二类共1+2+2=5种； 第三类：1红2白， 若红球摸1号，白球可以是1+4号、2+3号、3+5号（3种）， 若红球摸2号，白球可以是1+3号、2+5号、3+4号（3种）， 若红球摸3号，白球可以是1+2号、1+5号、2+4号、4+5号（4种），故第三类共种； 第四类：全白有种； 故所求概率为. 方法二：按照容斥原理计算 （1）三个球同色的方法数：， （2）“三个球数字之和为3的倍数的方法数，分三种情况： 第一种：和为6的：型有型有1种， 第二种：和为9的：型有种； 型有种； 型有种； 第三种：和为12的：型有种， 所以三个球数字之和为3的倍数的方法数共20种， 三个球同色且数字之和为3的倍数， 其中3个红球的情况有1种（和为6）； 3个白球的情况有共4种， 所以交集共种， 故共有种， 故所求概率为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $