6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法及物理中的应用（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法及物理中的应用 知识点一 平面向量解决几何问题 1、利用平面向量解决几何问题可以用的方法： （1）基底法，选择合适的基底表示待求或待证明的向量 （2）坐标法，如果适合建系的话，可以用向量的坐标来计算。 2、向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段垂直： （2）夹角：已知两个非零向量，，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （3）求线段长的问题，可以用向量的模 3、用向量方法解决平面几何问题三部曲： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 （3）把运算结果翻译成几何关系。 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，，分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】方法一，利用基底，，表示向量和，再根据向量数量积运算公式证明；方法二，建立平面直角坐标系，利用坐标法，证明. 【详解】（方法一）设，，则，， 又，， 所以 故，即． （方法二）建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则，，，，，． 因为，所以，即． 知识点二 向量在物理中的应用 向量在物理中的应用主要在力的合成与分解、运动（渡河问题、位移、速度、加速度都是向量）的合成与分解等。 向量在物理中的应用，核心就是 “先分解，后合成”。把看不见的方向感，变成看得见的正负号和三角函数，这是解决所有矢量问题的通用方法。 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，由平面向量的数量积运算法则，结合题意可得，解三角形即可求得，的大小； （2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据锐角三角函数，即可求得与的余弦值． 【详解】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡， 所以，所以， 又，，所以与的夹角为，所以， ， 因为，所以． 如图．易得， 所以， ． （2）因为，且质点处于平衡状态， 所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示， 则，， 所以， ． 题型01 用向量证明线段垂直 证明线段垂直： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，利用求出，求证即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 设，则，. 因为是的中点，所以. 又，即，即， 解得，即， ，， ， ，即. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【分析】先得出平分，进而得出，再计算即可. 【详解】证明：由题意知，所以平分， 因为，所以存在实数使得， 因为，所以，所以，所以四边形的两条对角线互相垂直． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 【答案】(1)证明见解析，定值为6； (2)，. 【分析】（1）结合图形，由平面向量的线性运算及共线向量定理的推论推理得证. （2）利用向量数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解. 【详解】（1）由，得， 由是线段的中点，得，显然， 由，，得，， 因此，而M，E，N三点共线，则，即 所以为定值，此定值为6. （2）由，，得， 由（1）知，，， 因此， 又，则，，由（1）知，解得，， 所以，. 题型02 用向量解决夹角问题 用向量解决夹角问题可以有 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先利用中点性质将表示为，再利用向量点积公式，分别求出和的余弦值，因为，计算即可求得两个角的余弦值相等，进而可得出结果. 【详解】设，． 因为，． 所以． 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以，即． 因为，所以设， 再设，，，与的夹角为， 则与的夹角为，与的夹角为． 因为，即，所以． 所以． 同理可得．所以． 又，，所以，即． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，半圆的直径，C是半圆上的一点，D，E分别是，上的点，且，，． (1)求证：； (2)求； (3)求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)． 【分析】（1）先通过勾股定理逆定理证明为直角三角形，再结合直径所对圆周角为直角，证明，从而得到向量与平行； （2）由证明，再利用相似三角形对应边成比例求出的长度，即； （3）将向量与夹角转化为，再在直角三角形中直接求出该角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为，，所以，又，， 所以，所以是直角三角形，． 因为为直径，所以． 所以，故． （2）因为，所以， 所以，即， 解得，即． （3）向量与向量的夹角即向量与向量的夹角，而， 所以向量与向量夹角的余弦值为． 2．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 【答案】 【分析】由点在线段上，设，再计算出的坐标，由数量积的坐标运算求出的最大值时的的值，即可求出的坐标，再根据向量的夹角公式可求出的值 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 题型03 用向量解决线段的长度问题 求线段长的问题，可以用向量的模 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【答案】 【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可. 【详解】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 【答案】D 【分析】方法一：设，，利用平面向量的数乘运算与基本定理得到 ，然后计算得解； 方法二：设λ，得到λλ，利用三点共线性质计算即可 【详解】方法一　设， 则， ， 因为点A，P，M和点B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ，使，， 所以， 又， 所以解得 所以， 所以AP. 方法二　设λ，λ∈R， 因为M是BC的中点，AN＝2NC， 则， λλλ， 又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1， 解得λ，所以APAM＝4.4. 2．（25-26高一上·海南·开学考试）如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一，以点为坐标原点建系，设，根据，点在圆上，利用向量列出关于的方程求解即可；方法二，过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，，根据列出关于的方程求解即可. 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 题型04 向量与几何最值 在几何问题中，常见的求最值问题有求模长的范围、夹角的范围、向量数量积的范围。在这三个问题中都离不开求向量的数量积最值来解决。 1、利用基底法来求数量积的最值 2、利用极化恒等式求数量积的最值 3、利用投影法求数量积的最值 4、利用坐标法来求数量积的最值 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（2027高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为边上的动点（包括端点），为的中点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先设出动点位置的比例参数，用基底表示出两个向量，再根据已知几何条件求出基底的数量积，最后将数量积表示为参数的函数，利用参数范围求出值域. 【详解】设，， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，，所以，，， 所以， 因为，所以的取值范围为． 故答案为：. 2．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，，在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为， 取，所以，所以， 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上， 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 3．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；由平面向量的线性运算可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；分析可知点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧，结合扇形的弧长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，若，则，所以， 故 ，故，B对； 对于C选项，，则点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧， 故点的轨迹长度为，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，， 所以 ，解得， 因为，故，所以， 所以 ，D对. 故选：BCD. 题型05 向量在几何中的其他应用 向量在几何中的其他应用，奔驰定理与四心问题。 1、奔驰定理：当时，有 2、奔驰定理的四心应用： ①为重心：各边中线的交点，则，代入有 ②为内心：内角平分线的交点，则代入有 ③为外心：各边中垂线的交点，则，代入有 ④为垂心：各边高线的交点，则，代入有 典｜例｜精｜析 1．（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 【答案】/ 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，∴，， ∴，， ∴ ， 同理可得， 延长交于点，则. ∴ ， 同理可得，∴， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾； 故，则， ∴是锐角，， 于是，解得. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】B 【分析】由可得四边形是平行四边形，又，根据矩形的判定定理可得结果. 【详解】由得，所以四边形是平行四边形. 因为，即平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形. 如图， 故选：B. 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 【答案】AB 【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得，可说明，即可判断B；假设过的重心，可设，根据平面向量基本定理计算化简可得，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为，可得过的内心，即可判断D. 【详解】对于A，根据余弦定理，，则，故A正确； 对于B，， ，即，则过的垂心，故B正确； 对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设， ， ， 则，即， 由正弦定理可得，即时，过的重心，故此式不一定成立， 所以不一定过的重心，故C错误； 对于D，， 其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误. 故选：AB. 题型06 解析法在向量中的应用 解析法的本质是选定一组基底，将几何向量问题转化为系数的代数运算问题。常见的方法有三点共线问题、等和线的应用、坐标法等。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出，把表示为，利用辅助角公式、三角函数求最值. 【详解】 如图示，建立平面直角坐标系. 设，可得：. 由可得：， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为， 结合选项可知，A，B，C中的数值符合， 故选：ABC 2．（24-25高一下·四川·期中）在平面四边形中，，，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示相应向量，根据三角换元、辅助角公式及三角函数的有界性计算即可. 【详解】根据条件可知该四边形为直角梯形，如下图所示，建立平面直角坐标系， 则， 因为， 所以，且， 易知， 利用三角换元，可设， 则， 其中， 显然，则， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·北京·期中）如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（    ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可判定①，由线性运算及数量积运算可判定②，根据平面相机本定理可判定③，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可判定④. 【详解】对于①，由题意，，，， 故，正确； 对于②，，错误； 对于③，， ， ， 因为E，O，F三点共线，所以， 即，解得，，错误； 对于④，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， ，，， 设，， 因为， ， 所以，， 所以当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的取值范围是，正确； 故选：A 题型07 向量在物理中的应用 向量在物理中的应用，核心就是 “先分解，后合成”。把看不见的方向感，变成看得见的正负号和三角函数，这是解决所有矢量问题的通用方法。 典｜例｜精｜析 1．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【答案】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，，所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 【答案】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图所示：， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有， 所以有. 所以此时小货船航行速度为. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 【答案】，方向与上游河岸的夹角为53°． 【分析】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，，根据三角函数得，再利用辅助角公式求解. 【详解】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，， ，，由物理学知识， 可知，所以． 令 即，即． 所以当时，，所以． 此时． 故划速最小为，方向与上游河岸的夹角为53°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法及物理中的应用 知识点一 平面向量解决几何问题 1、利用平面向量解决几何问题可以用的方法： （1）基底法，选择合适的基底表示待求或待证明的向量 （2）坐标法，如果适合建系的话，可以用向量的坐标来计算。 2、向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段垂直： （2）夹角：已知两个非零向量，，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （3）求线段长的问题，可以用向量的模 3、用向量方法解决平面几何问题三部曲： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 （3）把运算结果翻译成几何关系。 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，，分别是，的中点，求证：． 知识点二 向量在物理中的应用 向量在物理中的应用主要在力的合成与分解、运动（渡河问题、位移、速度、加速度都是向量）的合成与分解等。 向量在物理中的应用，核心就是 “先分解，后合成”。把看不见的方向感，变成看得见的正负号和三角函数，这是解决所有矢量问题的通用方法。 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 题型01 用向量证明线段垂直 证明线段垂直： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 题型02 用向量解决夹角问题 用向量解决夹角问题可以有 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，半圆的直径，C是半圆上的一点，D，E分别是，上的点，且，，． (1)求证：； (2)求； (3)求向量与向量夹角的余弦值． 2．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 题型03 用向量解决线段的长度问题 求线段长的问题，可以用向量的模 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 2．（25-26高一上·海南·开学考试）如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 题型04 向量与几何最值 在几何问题中，常见的求最值问题有求模长的范围、夹角的范围、向量数量积的范围。在这三个问题中都离不开求向量的数量积最值来解决。 1、利用基底法来求数量积的最值 2、利用极化恒等式求数量积的最值 3、利用投影法求数量积的最值 4、利用坐标法来求数量积的最值 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为________． 变｜式｜巩｜固 1．（2027高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为边上的动点（包括端点），为的中点，则的取值范围为________． 2．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 题型05 向量在几何中的其他应用 向量在几何中的其他应用，奔驰定理与四心问题。 1、奔驰定理：当时，有 2、奔驰定理的四心应用： ①为重心：各边中线的交点，则，代入有 ②为内心：内角平分线的交点，则代入有 ③为外心：各边中垂线的交点，则，代入有 ④为垂心：各边高线的交点，则，代入有 典｜例｜精｜析 1．（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 题型06 解析法在向量中的应用 解析法的本质是选定一组基底，将几何向量问题转化为系数的代数运算问题。常见的方法有三点共线问题、等和线的应用、坐标法等。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·四川·期中）在平面四边形中，，，则的取值范围为_____________． 3．（24-25高一下·北京·期中）如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（    ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 题型07 向量在物理中的应用 向量在物理中的应用，核心就是 “先分解，后合成”。把看不见的方向感，变成看得见的正负号和三角函数，这是解决所有矢量问题的通用方法。 典｜例｜精｜析 1．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $