第02讲 常用逻辑用语讲义-2027年高考数学一轮复习

第02讲 常用逻辑用语 题型一 充分、必要条件的判定 2 题型二 充分、必要条件的应用 5 题型三 含量词的命题的否定 8 题型四 含量词的命题的真假判断 11 题型五 含量词的命题的应用 14 课时精练 16 【基础回顾】 知识点1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示． 知识点3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【必备知识】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； (3)若p是q的必要不充分条件，则B⫌A； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 题型一 充分、必要条件的判定 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断，小集合⇒大集合． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 【例题精讲】 1．（2025秋•威远县校级月考）已知x，y∈R，则下列条件中使x＞y成立的充要条件是（　　） A． B．x2＞y2 C．ax＞ay（a＞0且a≠1） D．ln（x﹣y+1）＞0 【答案】D 【解析】解：对于A：取x＝1，y＝﹣2，满足x＞y，但是，所以A不正确； 对于B：取x＝1，y＝﹣2，满足x＞y，但是x2＜y2，所以B不正确； 对于C：取，满足x＞y，但是ax＜ay，所以C不正确； 对于D：因为x＞y，所以x﹣y＞0，x﹣y+1＞1，再由函数y＝lnx是单调递增函数，所以ln（x﹣y+1）＞0，充分性成立； 由ln（x﹣y+1）＞0且函数y＝lnx是单调递增函数，所以x﹣y+1＞1，x﹣y＞0，即x＞y，必要性成立，故D正确． 故选：D． 2．（2025秋•昌平区校级月考）若不等式0＜x＜4是|x|＜a成立的充分条件，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≥4 C．a≤1 D．a≤4 【答案】B 【解析】解：﹣a＜x＜a成立的充分条件是0＜x＜4， 则（0，4）⊆（﹣a，a），所以a≥4， 所以a≥4． 故选：B． 3．（2026•连云港模拟）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为y＝±2x”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】解：若双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故可设双曲线方程为， 若λ＞0，则，故a2＝λ，b2＝4λ， 故c2＝λ+4λ＝5λ，故； 若λ＜0，则，故a2＝﹣4λ，b2＝﹣λ， 故c2＝﹣λ﹣4λ＝﹣5λ，故； 设双曲线的方程为，此时，故离心率为， 此时渐近线的方程为， 故“离心率为”推不出“渐近线方程为y＝±2x”； “渐近线方程为y＝±2x”推不出“离心率为”， 故“离心率为”是“渐近线方程为y＝±2x”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 4．（2025秋•山阳区校级月考）如果对于任意实数x，[x]表示不超过的最大整数，例如[π]＝3，[0]＝0，[﹣0.3]＝﹣1，那么“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：如果[x]＝[y]，那么x和y的整数部分是相同的，所以|x﹣y|＜1， 即“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的必要条件， 如果|x﹣y|＜1，那么x和y的整数部分不一定相同， 例如x＝1.2，y＝2.1，所以“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的不充分条件． 综上，“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的必要不充分条件． 故选：B． 5．（2025秋•于都县校级月考）使不等式﹣4≤x+1≤4成立的一个必要条件是（　　） A．2≤x≤3 B．﹣6≤x≤3 C．﹣5≤x≤2 D．﹣6≤x≤2 【答案】B 【解析】解：﹣4≤x+1≤4⇔﹣5≤x≤3， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． （多选）6．（2025秋•宿迁校级期末）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（　　） A．若x，y是偶数，则x+y是偶数 B．若a＜2，则方程x2﹣2x+a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 【答案】BCD 【解析】解：A．由x+y是偶数，不能推出x，y是偶数，则p不是q的必要条件； B．方程x2﹣2x+a＝0有实根⇔（﹣2）2﹣4a≥0⇔a≤1⇒a＜2，则p是q的必要条件； C．由一个四边形是菱形，能够得到该四边形的对角线互相垂直，则p是q的必要条件． D．若a＝0，则ab＝0，则p是q的必要条件， ∴p是q的必要条件的有BCD． 故选：BCD． （多选）7．（2025秋•吉林校级期中）下列说法正确的是（　　） A．x＞2的一个必要条件是x＞3 B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则 C．“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一负根”的充要条件 D．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】解：对于A，由于x＞3可得x＞2，故x＞2的一个充分条件是x＞3，故A错误， 对于B，a＝0时，A＝{x|ax2+x+1＝0}＝{﹣1}，故B错误， 对于C，一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一负根x1，x2， 则，因此得ac＜0，则Δ＝b2﹣4ac＞0，可知方程有两个不相等的实根x1，x2， 且，则ax2+bx+c＝0有一正一负根， 故“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一负根”的充要条件，C正确， 对于D，满足M∪N＝M的集合N可以为∅，{0}，{1}，{0，1}，D正确． 故选：CD． 题型二 充分、必要条件的应用 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【例题精讲】 1．（2025秋•河南期末）已知集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的取值范围为（　　） A．m≤1 B．m≤1或m＞2 C．1＜m＜2 D．1＜m≤2 【答案】D 【解析】解：因为集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，且x∈A是x∈B的充分条件， 则A⊆B， ，解得1＜m≤2． 故选：D． 2．（2025秋•南昌校级月考）若关于x的不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a＜1 C．a＞3 D．a≥3 【答案】D 【解析】解：由|x﹣1|＜a可得，1﹣a＜x＜1+a， 因为不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4， 所以，解得a≥3． 故选：D． 3．（2025秋•翔安区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．﹣2＜m＜2 【答案】C 【解析】解：若x∈A是x∈B成立的充分条件，则A⊆B， 因为集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}， 所以m+1＞3，解得m＞2． 故选：C． 4．（2024秋•勉县校级期中）已知非空集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[0，+∞） D． 【答案】A 【解析】解：非空集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，若“x∈B”是“x∈A”的必要条件， 由题意A⊆B，且A≠∅， 所以，则，可得． 故选：A． 5．（2025秋•嘉定区校级月考）已知α：2x+log2x≤2，β：x≤m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】D 【解析】解：设f（x）＝2x+log2x，可知f（x）在（0，+∞）内单调递增， 根据f（1）＝21+log21＝2，解不等式2x+log2x≤2，可得0＜x≤1， 因为α是β的充分条件， 所以{x|0＜x≤1}⊆{x|x≤m}，解得m≥1，D项符合题意． 故选：D． （多选）6．（2024秋•丘北县校级月考）已知集合A＝{x|m﹣3≤x≤2m+1}，B＝{x|﹣5≤x≤2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值可能为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．0 D． 【答案】ACD 【解析】解：集合A＝{x|m﹣3≤x≤2m+1}，B＝{x|﹣5≤x≤2}， 因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B， 若A＝∅，显然满足题意，此时m﹣3＞2m+1，解得m＜﹣4； 若A≠∅，则m≥﹣4，且，解得； 综上，m＜﹣4或，对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． （多选）7．（2025秋•吉林期中）在下列四个命题中，正确的是（　　） A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0” B．当x＞1时，的最小值是5 C．已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为 D．“a＞1”是“a2＞1”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】解：对于A，“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，A正确； 对于B，当x＞1时，则， 当且仅当，即x＝3时取到等号，故B正确； 对于C，集合A＝{m+2，2m2+m}，3∈A， 若，解得，则集合， 若，此时m无解，因此若3∈A，则m的值为，故C正确， 对于D，由a＞1可得到a2＞1，当a2＞1时，a＞1或a＜﹣1，故“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，D错误， 故选：ABC． 题型三 含量词的命题的否定 全称命题的否定（∀→∃，并否定结论） 原命题：∀x∈M，P(x)（所有x属于M，都满足P(x)） 否定命题：∃x∈M，¬P(x)（存在x属于M，不满足P(x)） 存在命题的否定（∃→∀，并否定结论） 原命题：∃x∈M，P(x)（存在x属于M，满足P(x)） 否定命题：∀x∈M，¬P(x)（所有x属于M，都不满足P(x)） 【例题精讲】 1．（2026•河东区一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（　　） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 【答案】B 【解析】解：原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称量词命题， 因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以该命题的否定是：存在一个菱形，它是矩形． 故选：B． 2．（2025秋•绍兴期末）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（　　） A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0 【答案】B 【解析】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题， 所以命题的否定∃x∈R，2x≤0． 故选：B． 3．（2025秋•丹阳市期末）命题“∀x∈R，ex+2x﹣1＞0”的否定是（　　） A．∃x∈R，ex+2x﹣1≤0 B．∃x∈R，ex+2x﹣1＜0 C．∀x∈R，ex+2x﹣1＜0 D．∀x∈R，ex+2x﹣1≤0 【答案】A 【解析】解：由命题否定的定义可知，命题“∀x∈R，ex+2x﹣1＞0”的否定为：∃x∈R，ex+2x﹣1≤0． 故选：A． 4．（2026春•盘锦月考）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题可得：命题“”的否定为． 故选：D． 5．（2025秋•深圳期末）命题“∃x＞0，x2+2x﹣2≥0”的否定是（　　） A．∃x＞0，x2+2x﹣2＜0 B．∀x≤0，x2+2x﹣2＜0 C．∃x≤0，x2+2x﹣2＜0 D．∀x＞0，x2+2x﹣2＜0 【答案】D 【解析】解：根据题意，该命题为存在量词命题，其否定为：∀x＞0，x2+2x﹣2＜0． 故选：D． （多选）6．（2025秋•蔡甸区校级期末）下列说法中正确的是（　　） A．经过4小时，时针转了120° B．设命题p：∃x＞0，x3＞x2+2，则命题p的否定为∀x＞0，x3≤x2+2 C．函数f（x+2）的定义域为[0，2]，则函数f（x2）的定义域为 D．若b＞a＞0，m＞0，则 【答案】BC 【解析】解：钟表的时针是顺时针旋转，所以经过4小时，时针转过的弧度数为﹣120°，A选项错误； 命题p的否定为∀x＞0，x3≤x2+2，B选项正确； 函数f（x+2）的定义域为[0，2]，则x∈[0，2]，故x+2∈[2，4]， 故函数f（x2）有意义需满足x2∈[2，4]，解得， 所以函数f（x2）的定义域为，C正确； ， 又因为b＞a＞0，m＞0， 所以b﹣a＞0，m＞0，b+m＞0，所以，D选项错误． 故选：BC． （多选）7．（2025秋•昌吉市校级月考）下列命题为假命题的是（　　） A．命题“”的否定是“∀x≤0，x2﹣5x+6≤0” B．“x＞0，y＞0”是“”的充分必要条件 C．设A＝{x|x2﹣5x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则实数a的值可以是0 D．“a2＝b2”是“a＝b”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】解：A：由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即“”的否定是“∀x＞0，x2﹣5x+6≤0”，错； B：显然x＝y＝0时，也成立，错； C：由A＝{x|x2﹣5x+4＝0}＝{1，4}，B＝{x|ax＝1}， 若A∪B＝A⇒B⊆A， 当a＝0时，有B＝∅，满足题设， 所以实数a的值可以是0，对； D：由a＝b必有a2＝b2，而a＝﹣b＝2时也有a2＝b2，此时a≠b，故“a2＝b2”是“a＝b”的必要不充分条件，对． 故选：AB． 题型四 含量词的命题的真假判断 一、全称命题（∀x∈M，P (x)）的真假判断 定义：命题 “对所有 x 属于 M，P (x) 成立”。 判断方法： 为真：需证明论域 M 中的每一个元素 x都满足 P (x)。 为假：只需找到至少一个反例（即存在 x∈M，使得 P (x) 不成立）。 二、存在命题（∃x∈M，P (x)）的真假判断 定义：命题 “存在 x 属于 M，使得 P (x) 成立”。 判断方法： 为真：只需找到至少一个实例（即存在 x∈M，使得 P (x) 成立）。 为假：需证明论域 M 中没有任何元素 x满足 P (x)（即∀x∈M，¬P (x) 为真）。 【例题精讲】 1．（2025秋•方城县校级期中）已知命题p：∀x≥0，x4≥x2，命题q：∃x∈R，tanx＝π，则（　　） A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 【答案】B 【解析】解：因对于命题p：∀x≥0，x4≥x2，若取，则，故命题p是假命题； 对于命题q：因函数y＝tanx在区间上为增函数，且值域为R， 故∃x∈R，tanx＝π有解，即命题q为真命题． 故A项错误；B项正确；C项错误；D项错误． 故选：B． 2．（2025秋•芗城区校级月考）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+4＝0”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|﹣2＜a≤1} B．{a|﹣2＜a≤2} C．{a|﹣2＜a＜2} D．{a|1≤a＜2} 【答案】A 【解析】解：由题意知命题p：“∀x∈[1，2]，x﹣a≥0”为全称量词命题，是真命题， 故∀x∈[1，2]，x≥a，可得a≤1； 由题意可得，q：“∃x∈R，x2+2ax+4＝0”为假命题， 则∀x∈R，x2+2ax+4＝0无实数解， 则Δ＝4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2， 综合上述a需满足， 可知实数a的取值范围是{a|﹣2＜a≤1}． 故选：A． 3．（2025秋•东丽区校级期中）已知命题p：∀x∈（2，3），x2﹣ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：若命题p：∀x∈（2，3），x2﹣ax+5＞0是假命题， 则命题：∃x∈（2，3），x2﹣ax+5≤0是真命题，即x∈（2，3）时，有解， 因为x2，当且仅当时，， 所以实数a的取值范围是． 故选：A． 4．（2025秋•四川校级期末）已知命题p：，，则命题p的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：命题p的否定为． 故选：C． 5．（2025秋•西安期末）下列命题的否定是真命题的是（　　） A．是整数 B．若x＞y＞0，则x＞y﹣1 C．“∃x∈N，2x＜7x”是存在量词命题 D．函数y＝﹣tanx在上为增函数 【答案】D 【解析】解：对于A，是整数，为真命题，否定是假命题； 对于B，若x＞y＞0，则x＞y﹣1为真命题，其否定是假命题； 对于C，“∃x∈N，2x＜7x”是存在量词命题，是真命题，其否定是假命题； 对于D，函数y＝﹣tanx在上为减函数， 故y＝﹣tanx在上为增函数是假命题，其否定是真命题，符合题意． 故选：D． （多选）6．（2025秋•五华区校级月考）下列命题正确的是（　　） A．∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数 B．∃x＜0，x2﹣x﹣3＝0 C．任意一个菱形的对角线互相垂直 D．∃x，y∈R， 【答案】BCD 【解析】解：A：是无理数，但2是有理数，A为假命题； B：x2﹣x﹣3＝0，Δ＝1+12＝13＞0，两根之积﹣3，故必有一个负根，真命题； C：由菱形的性质知，任意一个菱形的对角线互相垂直，真命题； D：当x＝y＝﹣1时，显然成立，真命题． 故选：BCD． （多选）7．（2025秋•墨江县校级期末）（多选题）下列结论正确的有（　　） A．∀x∈R，x2+4＞2x B．“∃x∈R，|x﹣1|+1＜0”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“∀x∈R，x+4x4≥0”的否定是“∀x∉R，x+4x4＜0” 【答案】AB 【解析】解：选项A：x2+4＞2x，即x2﹣2x+4＞0，可得：（x﹣1）2+3＞0恒成立，选项A正确； 选项B：由|x﹣1|≥0，可得|x﹣1|+1＞0，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变x的取值范围，因此选项D错误． 故选：AB． 题型五 含量词的命题的应用 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 【例题精讲】 1．（2025秋•集美区校级期末）已知命题P：∃x∈R，ax2+2x+3≤0为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得，“∀x∈R，ax2+2x+3＞0”为真命题， 若a＝0，则不等式等价为2x+3＞0，对于∀x∈R不恒成立， 若a≠0，则，解得：， ∴实数a的取值范围为． 故选：A． 2．（2025秋•响水县期末）若命题“∃x0∈R，”是假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．[1，5] 【答案】B 【解析】解：命题“∃x0∈R，”是假命题， 则∀x∈R，（m﹣1）x2+（m﹣1）x+1＞0， 当m＝1时，不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+1＞0化为1＞0，符合题意， 当m≠1时，，解得1＜m＜5， 综上所述，实数m的取值范围是[1，5）． 故选：B． 3．（2026•广东开学）若∀x∈[0，1]，95x≥m，则m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，95] D．[1，95] 【答案】A 【解析】解：由x∈[0，1]，函数y＝95x单调递增，故95x∈[1，95]， 要使∀x∈[0，1]，95x≥m恒成立，则m≤（95x）min＝1，即m∈（﹣∞，1]． 故选：A． 4．（2025秋•三门峡期末）已知命题，，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0．若￢p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a＝1或a≤﹣2 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a＝﹣2或a≥1 D．﹣2≤a≤1 【答案】A 【解析】解：对于命题p的否定为￢p，， 则，恒成立，故， 因为在单调递减，故在的最小值为1，所以； 因为命题q是真命题，则Δ＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a2+a﹣2≥0，解得a≤﹣2或a≥1， 综上，￢p，q都是真命题，实数a的取值范围是a≤﹣2或a＝1． 故选：A． 5．（2025秋•新余期末）使得∀x∈[1，2]，x2+x﹣a≤0为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A．a≤2 B．a≤6 C．a≥2 D．a≥6 【答案】C 【解析】解：若∀x∈[1，2]，x2+x﹣a≤0为真命题，则x∈[1，2]时，a≥（x2+x）max， 而，故当x＝2时，取到最大值6，故a≥6， 因此{a|a≥6}是所求必要不充分条件的范围的真子集． 故选：C． （多选）6．（2025秋•张家界期末）若命题“∀x∈R，x2+2x+m≥0”的否定为真命题，则实数m的值可以为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】AB 【解析】解：由题意可得，“∃x∈R，x2+2x+m＜0”为真命题，即Δ＝4﹣4m＞0，得m＜1． 故选：AB． （多选）7．（2025秋•安徽校级月考）下列说法中正确的是（　　） A．命题“∀x∈Z，x2＞0”是真命题 B．若命题p：∀x∈R，x2﹣6x+a≠0是假命题，则a的取值范围为{a|a≤9} C．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件 D．中含有三个元素 【答案】BC 【解析】解：A：当x＝0时，有x2＝0，假命题，错； B：由题设命题为假命题，则有Δ＝36﹣4a≥0，可得a≤9，对； C：由方程的根一正一负，则m＜0，为充要条件，对； D：由，共有4个元素，错． 故选：BC． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•集美区校级期末）命题“∀x＞0，x2+2x﹣3＞0”的否定是（　　） A．∃x＞0，x2+2x﹣3≤0 B．∀x＞0，x2+2x﹣3≤0 C．∃x＜0，x2+2x﹣3≤0 D．∀x＜0，x2+2x﹣3≤0 【答案】A 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题即可得到： ￢p：∃x＞0，x2+2x﹣3≤0， 故选：A． 2．（2025秋•宜兴市期末）设命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p为（　　） A．∃x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，x2≤0 C．∃x∈R，x2≤0 D．∀x∈R，x2＝0 【答案】C 【解析】解：命题p：∀x∈R，x2＞0， 则￢p为：∃x∈R，x2≤0． 故选：C． 3．（2025秋•黄山期末）命题“∀x∈{x|x2﹣3x+2＜0}，x2﹣m≤0”为真命题的充要条件是（　　） A．m≥4 B．m＞4 C．m≤4 D．m＜4 【答案】A 【解析】解：由x2﹣3x+2＜0，得1＜x＜2，所以1﹣m＜x2﹣m＜4﹣m． 所以4﹣m≤0，即m≥4． 故选：A． 4．（2025秋•德宏州期末）若命题“∀x∈[2，3]，x2﹣mx+1≥0”是假命题，则（　　） A．m≤2 B． C．m＞2 D． 【答案】D 【解析】解：因为命题“∀x∈[2，3]，x2﹣mx+1≥0”是假命题， 可知∃x∈[2，3]，x2﹣mx+1＜0是真命题， 则，令， 得，因为x∈[2，3]，所以x2﹣1＞0， 所以t′（x）＞0，所以t（x）在[2，3]上单调递增，， 则． 故选：D． 5．（2025秋•赣州期末）使命题p：“∃x∈（1，2），m≤x2+1”为假命题的一个必要不充分条件是（　　） A．m≥4 B．m＞5 C．m≤2 D．m≤5 【答案】A 【解析】解：因为p：“∃x∈（1，2），m≤x2+1”为假命题， 所以￢p：“∀x∈（1，2），m＞x2+1”为真命题， 因为2＜x2+1＜5， 所以m≥5， 结合选项可知，m≥5的一个必要不充分条件m≥4． 故选：A． 6．（2025秋•滨州期末）命题P：“对∀x∈R，x2+1≥2x”的否定¬P为（　　） A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1＜2x D．∃x∈R，x2+1＜2x 【答案】D 【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x∈R，x2+1＜2x， 故选：D． 7．（2025秋•泰州校级月考）若“∃x∈R，使得|2x+1|﹣|3﹣2x|＜m成立”是假命题，则实数m可能为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解析】解：若“∃x∈R，使得|2x+1|﹣|3﹣2x|＜m成立”是假命题， 则∀x∈R，|2x+1|﹣|3﹣2x|≥m为真命题， 由于， 显然|2x+1|﹣|3﹣2x|的最小值为﹣4， 故只需m≤﹣4． 故选：A． 8．（2024秋•临沂期中）已知命题p：∃x∈{x|1＜x＜2}，x﹣a≥0，若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2 【答案】D 【解析】解：根据题意，命题p：∃x∈{x|1＜x＜2}，x﹣a≥0，则￢p为：∀x∈{x|1＜x＜2}，x﹣a＜0， 若￢p是真命题，则x＜a在（1，2）上恒成立， 必有a≥2， 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•邯郸期末）以下四个命题中，是真命题的是（　　） A．∀x∈R，2x+1≥0 B．若命题p：∀x＞0，x2+3x+3≥0则p的否定为：∃x≤0，x2+3x+3＜0 C．存在整数x，y，使得4x+2y＝7 D．∀a∈R，二次函数y＝2x2+a的图像都关于y轴对称 【答案】AD 【解析】解：对于任意实数x，有2x＞0，因此2x+1＞1≥0，故A正确； 命题p：∀x＞0，x2+3x+3≥0的否定应为∃x＞0，x2+3x+3＜0，故B错误； 方程4x+2y＝7左边为偶数，右边为奇数，不存在整数解，故C错误； 二次函数y＝2x2+a（a∈R）的对称轴为x＝0（即y轴），因此图像关于y轴对称，故D正确． 故选：AD． （多选）10．（2025秋•迪庆州期末）下列选项中，正确的是（　　） A．若p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p：∀n∈N，n2≤2n B．已知a＞3时，，当且仅当，即a＝4时，取得最小值8 C．函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（1，1） D．“x2﹣7x+10＜0”是“x＞2”成立的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】解：对于A，由p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p：∀n∈N，n2≤2n，故A正确； 对于B，由a＞3，则， 当且仅当，即a＝5时等号成立，故B错误； 对于C，f（x）＝ax﹣1+1的图像恒过定点（1，2），故C错误； 对于D，由x2﹣7x+10＜0，得2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0是x＞2成立的充分不必要条件，故D正确． 故选：AD． （多选）11．（2025秋•济南期末）已知命题p：∃x≥0，使得2x＝x2，则（　　） A．p是真命题 B．p是全称量词命题 C．￢p：∀x≥0，都有2x≠x2 D．“x＝2”是“2x＝x2”的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当x＝2时，有22＝22，p是真命题，A正确； 对于B，p是存在量词命题，B错误； 对于C，p是存在量词命题，其否定￢p为：∀x≥0，都有2x≠x2，C正确； 对于D，当x＝2时，有2x＝x2，反之，若2x＝x2，则x＝2或4， 故“x＝2”是“2x＝x2”的充分不必要条件，D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．（2025秋•石家庄校级月考）已知命题p：∀x＞0，x2≥0，则命题p的否定为　∃x＞0，x2＜0　 ． 【答案】∃x＞0，x2＜0． 【解析】解：命题p：∀x＞0，x2≥0，则命题p的否定为∃x＞0，x2＜0． 故答案为：∃x＞0，x2＜0． 13．（2024秋•梁溪区校级月考）已知命题∃x∈R，ax2﹣ax+2＜0为假命题，则实数a的取值范围为 　{a|0≤a≤8}　 ． 【答案】{a|0≤a≤8}． 【解析】解：由命题∃x∈R，ax2﹣ax+2＜0为假命题， 则∀x∈R，ax2﹣ax+2≥0为真命题， 当a≠0时，则有，解得0＜a≤8； 当a＝0时，有ax2﹣ax+2＝2≥0恒成立，符合要求； 综上所述，{a|0≤a≤8}． 故答案为：{a|0≤a≤8}． 14．（2025秋•北京校级月考）若命题p：∀x∈{x|﹣3≤x≤1}，x2﹣a≥7为假命题，则实数a的取值范围是　{a|a＞﹣7}　 ． 【答案】{a|a＞﹣7}． 【解析】解：因为命题p：∀x∈{x|﹣3≤x≤1}，x2﹣a≥7为假命题， 所以∃x∈{x|﹣3≤x≤1}，x2﹣a＜7为真命题， 当﹣3≤x≤1时，0≤x2≤9， 所以﹣7≤x2﹣7≤2， 所以a＞﹣7． 故答案为：{a|a＞﹣7}． 四．解答题（共5小题） 15．（2025秋•碑林区校级月考）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0成立；命题q：∃x∈R，x2+4mx+1＜0成立． （1）若命题￢p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{m|﹣3＜m＜0}；（2）{m|m＜0或． 【解析】解：（1）因为命题¬p为假命题，所以命题p：∀x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0为真命题． 所以x2﹣2mx﹣3m＞0在R上恒成立，则判别式Δ＝（﹣2m）2﹣4×（﹣3m）＜0， 即m2+3m＜0⇔m（m+3）＜0，解得﹣3＜m＜0． 所以实数m的取值范围为{m|﹣3＜m＜0}． （2）由（1）知命题p为真命题时，m的取值范围为（﹣3，0）． 当命题q：∃x∈R，x2+4mx+1＜0为真命题时，不等式x2+4mx+1＜0有解． 则判别式Δ＝（4m）2﹣4×1＞0， 即4m2﹣1＞0⇔（2m﹣1）（2m+1）＞0，解得或． 因为命题p，q至少有一个为真命题， 所以当p，q都是假命题时，，即， 所以命题p，q至少有一个为真命题时，m＜0或， 所以实数m的取值范围为{m|m＜0或． 16．（2025秋•前郭县校级月考）已知命题p：∀x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命题q：∃x∈R，x2+2kx+3k+4＝0． （1）当命题￢p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围． 【答案】（1）[3，+∞）；（2）（﹣∞，﹣1]∪[3，4）． 【解析】解：（1）当命题￢p为假命题时，命题p为真命题， p：∀x∈[﹣1，1]，x2+2x≤k， 当x∈[﹣1，1]时，x2+2x∈[﹣1，3]， ∴k≥（x2+2x）max＝3，即k≥3； ∴实数k的取值范围为[3，+∞）． （2）∵命题p和q中有且仅有一个是假命题， ∴命题p和q一真一假， 当命题q为真命题时，Δ＝4k2﹣4（3k+4）≥0，解得k≤﹣1或k≥4， ①当命题p为真，命题q为假时， ，解得3≤k＜4， ②当命题q为真，命题p为假时， ，解得k≤﹣1， 综上，实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，4）． 17．（2025秋•历下区校级期中）已知p：∃x∈R，ax2+2ax+1＝0，q：a≤m﹣1或a≥m+1 （1）若命题￢p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{a|0≤a＜1}； （2）{m|0≤m＜1}． 【解析】解：（1）由命题￢p是真命题，则p为假命题， 所以ax2+2ax+1＝0在x∈R上无解， 当a＝0时，1＝0无解，满足题意， 当a≠0时，只需Δ＝4a2﹣4a＜0，解得0＜a＜1， 综上，a的取值范围是{a|0≤a＜1}； （2）由p是q的必要不充分条件，且p为真命题时a＜0或a≥1， 所以（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）是（﹣∞，0）∪[1，+∞）的真子集， 所以，解得0≤m＜1， 所以实数m的取值范围是{m|0≤m＜1}． 18．（2021春•昌吉州期末）（1）设集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，集合B＝{x|2＜x≤5}，求A∩B； （2）命题p：∃x∈R，x2﹣4mx+3﹣m≤0，若命题￢p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）x2﹣5x+4＜0，解得1＜x＜4，集合B＝{x|2＜x≤5}，A∩B＝{x|2＜x＜4}． （2）￢p：∀x∈R，x2﹣4mx+3﹣m＞0为真， Δ＝（﹣4m）2﹣4（3﹣m）＝16m2+4m﹣12＜0， 解得． 19．（2025秋•天宁区校级期中）已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：∃x∈[﹣1，1]，． （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）[0，4）； （2）． 【解析】解：（1）若p为真命题，则当a＝0，不等式变为1＞0解集为R，满足． 若a≠0，则，解得0＜a＜4， 所以实数a的取值范围为[0，4）． （2）若命题q为真，即∃x∈[﹣1，1]，， 令t＝3﹣x，则，不等式变为，即， 设， f（t）的图像开口向下，对称轴为t＝﹣1，在单调递减， 所以，所以， 即命题q为真时，实数a的取值范围为． 若p真q假，则，解得； 若p假q真，则或，解得a≥4． 综上，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围为． 第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 题型一 充分、必要条件的判定 2 题型二 充分、必要条件的应用 3 题型三 含量词的命题的否定 4 题型四 含量词的命题的真假判断 6 题型五 含量词的命题的应用 7 课时精练 8 【基础回顾】 知识点1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示． 知识点3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【必备知识】 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B； (3)若p是q的必要不充分条件，则B⫌A； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 题型一 充分、必要条件的判定 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断，小集合⇒大集合． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 【例题精讲】 1．（2025秋•威远县校级月考）已知x，y∈R，则下列条件中使x＞y成立的充要条件是（　　） A． B．x2＞y2 C．ax＞ay（a＞0且a≠1） D．ln（x﹣y+1）＞0 2．（2025秋•昌平区校级月考）若不等式0＜x＜4是|x|＜a成立的充分条件，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≥4 C．a≤1 D．a≤4 3．（2026•连云港模拟）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为y＝±2x”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2025秋•山阳区校级月考）如果对于任意实数x，[x]表示不超过的最大整数，例如[π]＝3，[0]＝0，[﹣0.3]＝﹣1，那么“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025秋•于都县校级月考）使不等式﹣4≤x+1≤4成立的一个必要条件是（　　） A．2≤x≤3 B．﹣6≤x≤3 C．﹣5≤x≤2 D．﹣6≤x≤2 （多选）6．（2025秋•宿迁校级期末）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（　　） A．若x，y是偶数，则x+y是偶数 B．若a＜2，则方程x2﹣2x+a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 （多选）7．（2025秋•吉林校级期中）下列说法正确的是（　　） A．x＞2的一个必要条件是x＞3 B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则 C．“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一负根”的充要条件 D．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4 题型二 充分、必要条件的应用 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【例题精讲】 1．（2025秋•河南期末）已知集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的取值范围为（　　） A．m≤1 B．m≤1或m＞2 C．1＜m＜2 D．1＜m≤2 2．（2025秋•南昌校级月考）若关于x的不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a＜1 C．a＞3 D．a≥3 3．（2025秋•翔安区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．﹣2＜m＜2 4．（2024秋•勉县校级期中）已知非空集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[0，+∞） D． 5．（2025秋•嘉定区校级月考）已知α：2x+log2x≤2，β：x≤m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 （多选）6．（2024秋•丘北县校级月考）已知集合A＝{x|m﹣3≤x≤2m+1}，B＝{x|﹣5≤x≤2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值可能为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．0 D． （多选）7．（2025秋•吉林期中）在下列四个命题中，正确的是（　　） A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0” B．当x＞1时，的最小值是5 C．已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为 D．“a＞1”是“a2＞1”的必要不充分条件 题型三 含量词的命题的否定 全称命题的否定（∀→∃，并否定结论） 原命题：∀x∈M，P(x)（所有x属于M，都满足P(x)） 否定命题：∃x∈M，¬P(x)（存在x属于M，不满足P(x)） 存在命题的否定（∃→∀，并否定结论） 原命题：∃x∈M，P(x)（存在x属于M，满足P(x)） 否定命题：∀x∈M，¬P(x)（所有x属于M，都不满足P(x)） 【例题精讲】 1．（2026•河东区一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（　　） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 2．（2025秋•绍兴期末）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（　　） A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0 3．（2025秋•丹阳市期末）命题“∀x∈R，ex+2x﹣1＞0”的否定是（　　） A．∃x∈R，ex+2x﹣1≤0 B．∃x∈R，ex+2x﹣1＜0 C．∀x∈R，ex+2x﹣1＜0 D．∀x∈R，ex+2x﹣1≤0 4．（2026春•盘锦月考）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•深圳期末）命题“∃x＞0，x2+2x﹣2≥0”的否定是（　　） A．∃x＞0，x2+2x﹣2＜0 B．∀x≤0，x2+2x﹣2＜0 C．∃x≤0，x2+2x﹣2＜0 D．∀x＞0，x2+2x﹣2＜0 （多选）6．（2025秋•蔡甸区校级期末）下列说法中正确的是（　　） A．经过4小时，时针转了120° B．设命题p：∃x＞0，x3＞x2+2，则命题p的否定为∀x＞0，x3≤x2+2 C．函数f（x+2）的定义域为[0，2]，则函数f（x2）的定义域为 D．若b＞a＞0，m＞0，则 （多选）7．（2025秋•昌吉市校级月考）下列命题为假命题的是（　　） A．命题“”的否定是“∀x≤0，x2﹣5x+6≤0” B．“x＞0，y＞0”是“”的充分必要条件 C．设A＝{x|x2﹣5x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则实数a的值可以是0 D．“a2＝b2”是“a＝b”的必要不充分条件 题型四 含量词的命题的真假判断 一、全称命题（∀x∈M，P (x)）的真假判断 定义：命题 “对所有 x 属于 M，P (x) 成立”。 判断方法： 为真：需证明论域 M 中的每一个元素 x都满足 P (x)。 为假：只需找到至少一个反例（即存在 x∈M，使得 P (x) 不成立）。 二、存在命题（∃x∈M，P (x)）的真假判断 定义：命题 “存在 x 属于 M，使得 P (x) 成立”。 判断方法： 为真：只需找到至少一个实例（即存在 x∈M，使得 P (x) 成立）。 为假：需证明论域 M 中没有任何元素 x满足 P (x)（即∀x∈M，¬P (x) 为真）。 【例题精讲】 1．（2025秋•方城县校级期中）已知命题p：∀x≥0，x4≥x2，命题q：∃x∈R，tanx＝π，则（　　） A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 2．（2025秋•芗城区校级月考）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+4＝0”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|﹣2＜a≤1} B．{a|﹣2＜a≤2} C．{a|﹣2＜a＜2} D．{a|1≤a＜2} 3．（2025秋•东丽区校级期中）已知命题p：∀x∈（2，3），x2﹣ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•四川校级期末）已知命题p：，，则命题p的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（2025秋•西安期末）下列命题的否定是真命题的是（　　） A．是整数 B．若x＞y＞0，则x＞y﹣1 C．“∃x∈N，2x＜7x”是存在量词命题 D．函数y＝﹣tanx在上为增函数 （多选）6．（2025秋•五华区校级月考）下列命题正确的是（　　） A．∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数 B．∃x＜0，x2﹣x﹣3＝0 C．任意一个菱形的对角线互相垂直 D．∃x，y∈R， （多选）7．（2025秋•墨江县校级期末）（多选题）下列结论正确的有（　　） A．∀x∈R，x2+4＞2x B．“∃x∈R，|x﹣1|+1＜0”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“∀x∈R，x+4x4≥0”的否定是“∀x∉R，x+4x4＜0” 题型五 含量词的命题的应用 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 【例题精讲】 1．（2025秋•集美区校级期末）已知命题P：∃x∈R，ax2+2x+3≤0为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•响水县期末）若命题“∃x0∈R，”是假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．[1，5] 3．（2026•广东开学）若∀x∈[0，1]，95x≥m，则m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，95] D．[1，95] 4．（2025秋•三门峡期末）已知命题，，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0．若￢p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a＝1或a≤﹣2 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a＝﹣2或a≥1 D．﹣2≤a≤1 5．（2025秋•新余期末）使得∀x∈[1，2]，x2+x﹣a≤0为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A．a≤2 B．a≤6 C．a≥2 D．a≥6 （多选）6．（2025秋•张家界期末）若命题“∀x∈R，x2+2x+m≥0”的否定为真命题，则实数m的值可以为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 （多选）7．（2025秋•安徽校级月考）下列说法中正确的是（　　） A．命题“∀x∈Z，x2＞0”是真命题 B．若命题p：∀x∈R，x2﹣6x+a≠0是假命题，则a的取值范围为{a|a≤9} C．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件 D．中含有三个元素 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•集美区校级期末）命题“∀x＞0，x2+2x﹣3＞0”的否定是（　　） A．∃x＞0，x2+2x﹣3≤0 B．∀x＞0，x2+2x﹣3≤0 C．∃x＜0，x2+2x﹣3≤0 D．∀x＜0，x2+2x﹣3≤0 2．（2025秋•宜兴市期末）设命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p为（　　） A．∃x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，x2≤0 C．∃x∈R，x2≤0 D．∀x∈R，x2＝0 3．（2025秋•黄山期末）命题“∀x∈{x|x2﹣3x+2＜0}，x2﹣m≤0”为真命题的充要条件是（　　） A．m≥4 B．m＞4 C．m≤4 D．m＜4 4．（2025秋•德宏州期末）若命题“∀x∈[2，3]，x2﹣mx+1≥0”是假命题，则（　　） A．m≤2 B． C．m＞2 D． 5．（2025秋•赣州期末）使命题p：“∃x∈（1，2），m≤x2+1”为假命题的一个必要不充分条件是（　　） A．m≥4 B．m＞5 C．m≤2 D．m≤5 6．（2025秋•滨州期末）命题P：“对∀x∈R，x2+1≥2x”的否定¬P为（　　） A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1＜2x D．∃x∈R，x2+1＜2x 7．（2025秋•泰州校级月考）若“∃x∈R，使得|2x+1|﹣|3﹣2x|＜m成立”是假命题，则实数m可能为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 8．（2024秋•临沂期中）已知命题p：∃x∈{x|1＜x＜2}，x﹣a≥0，若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•邯郸期末）以下四个命题中，是真命题的是（　　） A．∀x∈R，2x+1≥0 B．若命题p：∀x＞0，x2+3x+3≥0则p的否定为：∃x≤0，x2+3x+3＜0 C．存在整数x，y，使得4x+2y＝7 D．∀a∈R，二次函数y＝2x2+a的图像都关于y轴对称 （多选）10．（2025秋•迪庆州期末）下列选项中，正确的是（　　） A．若p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p：∀n∈N，n2≤2n B．已知a＞3时，，当且仅当，即a＝4时，取得最小值8 C．函数f（x）＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（1，1） D．“x2﹣7x+10＜0”是“x＞2”成立的充分不必要条件 （多选）11．（2025秋•济南期末）已知命题p：∃x≥0，使得2x＝x2，则（　　） A．p是真命题 B．p是全称量词命题 C．￢p：∀x≥0，都有2x≠x2 D．“x＝2”是“2x＝x2”的充分不必要条件 三．填空题（共3小题） 12．（2025秋•石家庄校级月考）已知命题p：∀x＞0，x2≥0，则命题p的否定为　 　 ． 13．（2024秋•梁溪区校级月考）已知命题∃x∈R，ax2﹣ax+2＜0为假命题，则实数a的取值范围为 　 　 ． 14．（2025秋•北京校级月考）若命题p：∀x∈{x|﹣3≤x≤1}，x2﹣a≥7为假命题，则实数a的取值范围是　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（2025秋•碑林区校级月考）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0成立；命题q：∃x∈R，x2+4mx+1＜0成立． （1）若命题￢p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 16．（2025秋•前郭县校级月考）已知命题p：∀x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命题q：∃x∈R，x2+2kx+3k+4＝0． （1）当命题￢p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围． 17．（2025秋•历下区校级期中）已知p：∃x∈R，ax2+2ax+1＝0，q：a≤m﹣1或a≥m+1 （1）若命题￢p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 18．（2021春•昌吉州期末）（1）设集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，集合B＝{x|2＜x≤5}，求A∩B； （2）命题p：∃x∈R，x2﹣4mx+3﹣m≤0，若命题￢p为真命题，求实数m的取值范围． 19．（2025秋•天宁区校级期中）已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，命题q：∃x∈[﹣1，1]，． （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $