精品解析：湖南长沙市明达高级中学2025-2026学年高二下学期开学质量检测数学试卷

明达中学2026年上学期高二开学质量检测 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线在轴的截距为（ ） A -3 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接令即可得到答案. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为． 故选：C． 2. 已知椭圆的长半轴长等于焦距的3倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用椭圆的长轴及焦距列式求解离心率即可. 【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即． 故选:B． 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求得函数的导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 又由，则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：A. 4. 已知数列为等差数列，若，，则公差等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式直接求解即可. 【详解】由等差数列的通项公式可得， 所以. 故选:C. 5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）． A. B. C. D. 与相交 【答案】B 【解析】 【分析】判断与的位置关系，进而可得出结论. 【详解】， 由已知可得，则，因此，. 故选：B. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可. 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得到关于的不等式，从而可得结果. 【详解】 当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值． ∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，， ∴ 中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B． 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围. 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得其所过定点，根据两直线位置关系可得其焦点的轨迹，根据抛物线的定义与圆外一点到圆上点的距离最值问题，结合图象，可得答案. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上，此时圆心为，半径． 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全音选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在正项等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为2 B. 的通项公式为 C. D. 数列为递增数列 【答案】AC 【解析】 【分析】应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以， 又，所以，即， 所以，，A，C正确，B错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误． 故选：AC． 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 11. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则且 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线为双曲线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可； 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得，即曲线可能是圆，A正确； 对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，B错误； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D选项，若曲线为双曲线，则，解得，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知，设直线，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由两直平行得到，求解并验证即可； 【详解】因为直线，，， 所以，即， 当时，直线重合，舍去， 当时，符合题意； 故； 故答案为： 13. 若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意设双曲线C的标准方程为，又过点(2，2)，所以． 考点：双曲线渐近线 14. 在数列中，，若该数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列既是等差数列也是等比数列推导出是非零常数列，由此可知，代入原式可计算出的通项公式. 【详解】因为既是等差数列也是等比数列，所以， 所以，所以公差， 所以是常数列且，所以， 因为，所以，所以. 故答案为. 【点睛】本题考查等比数列中的常数列认识，难度一般.当一个数列既是等比数列也是等差数列的时候，此数列一定是非零的常数列，其中非零的原因是等比数列的首项和公比不能等于零. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 求满足题意的直线方程： （1）求过点且与直线垂直的直线方程． （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）两条直线垂直，在两条直线都有斜率的情况下，利用求出所求直线的斜率，利用直线的点斜式求出所求直线方程； （2）当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，利用已知两点的斜率公式求出所求直线的斜率为，利用直线的点斜式求出所求直线方程；当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距，设所求直线方程为截距式，代入点，计算出，将代入截距式整理得解. 【小问1详解】 设所求直线的斜率为，已知直线的斜率为， 所求直线和已知直线垂直，，，， 又所求直线过点，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 整理得即所求； 小问2详解】 当所求直线过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 又所求直线过点， 则所求直线的斜率为，由直线的点斜式得到所求直线方程为， 即； 当所求直线不过原点时，满足所求直线在轴上的截距等于在轴上的截距， 设所求直线方程为，又所求直线过点， 将点代入，得到，解得， 将代入得到，整理得即为所求； 综上可知，所求直线方程为或. 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）的递增区间为、，递减区间为 【解析】 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得， 解得. 【小问2详解】 由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 17. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量计算即可得； （2）求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 因为，分别为的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列的前n项和为，且满足 （1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据递推式可得，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【小问1详解】 由题设，则，整理得， 又， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则. 【小问2详解】 由，则， 所以， 所以， 所以. 19. 已知椭圆的焦距为，离心率为，左，右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值； （3）已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点（，与，不重合），直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）可根据焦距和离心率求出、的值； （2）可设出点坐标，根据两点间距离公式结合椭圆方程和二次函数求解； （3）可设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合已知条件求解. 【小问1详解】 由题意，， 所以，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，则有， ，， 当时，最小值为， 所以最小值为； 【小问3详解】 连接，设直线斜率为，，， ， 因为，所以， 设直线为， 联立，可得， 即， 所以，， 因为， 所以， 即， 即， 化简得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 所以存在定点，定点为． 【点睛】方法点睛：处理圆锥曲线直线过定点问题，常用方法有： 特殊值法：先通过特殊情况确定定点可能的位置，比如取斜率为或不存在时，求出两条直线交点，再验证一般情况直线是否过此点. 直线方程变形法：设出直线方程，将其整理成关于参数的表达式，令参数的系数为，解方程组得到定点坐标.像本题设直线为，经计算得到与关系后，把直线方程变形为，令，就求出定点. 韦达定理法：联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合已知条件找出参数关系，进而确定定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明达中学2026年上学期高二开学质量检测 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线在轴的截距为（ ） A. -3 B. C. D. 3 2. 已知椭圆的长半轴长等于焦距的3倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 4. 已知数列为等差数列，若，，则公差等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 若直线方向向量为，平面的法向量为，则（ ）． A. B. C. D. 与相交 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全音选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为2 B. 的通项公式为 C. D. 数列为递增数列 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则且 C. 若曲线为焦点在轴上椭圆，则 D. 若曲线为双曲线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，设直线，，若，则______． 13. 若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为___． 14. 在数列中，，若该数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列的通项公式为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 求满足题意的直线方程： （1）求过点且与直线垂直的直线方程． （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的直线方程． 16. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求实数值； （2）求的单调区间. 17. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 已知数列的前n项和为，且满足 （1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 19. 已知椭圆的焦距为，离心率为，左，右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，若点是椭圆上的一点，求的最小值； （3）已知直线的斜率存在，且与椭圆交于，两点（，与，不重合），直线斜率为，直线斜率为，若，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $