第3章 分式-【一本·中考总复习】2026年中考训练方案 数学

◆006 第三章 考点07分式的概念和性质 变式训练A:分式一号的值等于0， 小8年得-2 1,A“分式的值为0， .x-1=0,且3x十1≠0， 解得x=1. 2.B2+12a+36-(a+6)2-a+6 a2+6a a(a十6)a 当a=-3时，原式=-36=一1 -3 3.x2 41答案不唯-）分式23有意义， 2x340x+2, x的取值可以为1. 5.0(答案不唯一) 1>0,1>0+10, 即x>一1，则满足条件的x的值可以为0（答案不 唯一) 6.解：a-b-1=0, ∴.a-b=1, 原式=3a6+36 (a-b)2 =3(a-b) (a-b)2 =3. 7.-2分式2的值为0， n 解得x=-2. 8.-a+b+1原式=a-b)2-(a-) a-b (a-b)(a-b-D=|a-b-1l. a-b 由题中数轴可得，a一b<0, .原式=-(a-b-1)=-a十b+1. 9.解：(1)等式分式 (2)设受=-=， 则x=2k,y=3k,之=6k, 微-盖-是- 分式器后的值为片 分式 考点08分式的运算 变式训鉴1解：原我-（信+中） a+1 =a _a+1 a =a+1‘a(a+2)-a+2 变式训练2解：原式=厂·中型 x-3 444 把工一2+4代入，得原式2十4-4 4=2W2 1.A 2.x-2原式=2.x=x-2 x 3.2原式=父+2x亡-2红=2 xxx 4解：原支+·22》 (x-1)2 =x1 x-1 =1. 5.解：原式=(x+1D(x-1D(+) =(x+1)(x-1).2 x+1 =(x-1)(x+2) =x2+x-2. 当x=2时，原式=22十2-2=4. 6解：原或-[c+成十a+2]安 -a+x-· 1 x+y' .(x+2)2+|y-1|=0, ∴.x+2=0,y-1=0, x=-2,y=1, 原式=行1 7.解：(1)③ 1 2x 1 (2)-4x-2（x+2)(x-2)x—2 2x x+2 =(x+2)(x-2)(x+2)(x-2 2x-x-2 x-2 1 =(z+2)(x-2)-(x+2)(x-2)+2 当-3时，原式- 8.-“a=x+1, aa:=1a-1+= 1 1 1 1 1 1 =x十1； 1 @-1a1 1 1 1 4 以此类推，每3个为一个循环. .2024÷3=674…2, a欧4=a2= 9.解：原式=x十2).z+2)(x-2)·+2 x(x十2) (x-2)2 x-2 号形 =x+2 -2≤x≤2，且x≠0，x≠士2， “当=1时，原式=1+2=3（答案不唯一，合理 1 即可) 10解：原式=3+2x-1-3x-z+》÷ x+1-2x x(x十1) =x-1+zx.x(x+1 (x+1)z 1一x =x1+ =x2-1-x2 x十1 1 :x=|-3|+(π-4)°=3+1=4， 1 1 “原式=一4中=一方 a 1.解：(1)由题意，得B,=a-6a-。十 1 6-c)(b-a(c-a(c-b=a-b)(a-0+ 1 1 (b-c)(b-a+(-a)(c-b (2）由题意，得P=(a-b(a-c a 007◆ (b-(b-a+(c-a(c-B b -(a-b(a-o-(b-Q(a-B+(a-0(b-o =a(6-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) _abacab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) 0 =(a-b)(b-c)(a-c =0. 1252c=a+6@)g8台2 2 b-a a+k(b-a)-a a十kwa)-a6=a+k6aJ' e名a=6“a8o k(b-a) 哈产 .k2十k-1=0, 解得=一1土⑤ 2 ,0≤k≤1， “=⑤-1 2 13,解：(10士1=1+，故①是“和瑞分式”： ②2生=1+受故②不是“和谐分式” 2 ③将中-1+故@是“和请分 x+1-x+1 式”； @岁=1+立故@是“和谐分式” y 故答案为①③④. （2)Q2—2a十+3a1）主2=2-+2 a-1 a-1 a-I= a-1+ a-1 (3)原式=3xt6-1.x+2) Γx+1 x(x+1)(x-1) 3x十6 2=-2z+4=2x+)+2 x+1 x+1 x+1 x+1 2+2 +1 当x十1=士1或x十1=士2时，该分式的值为整 数，此时x=0或x=一2或x=1或x=一3. ,分式有意义时，x≠0且x≠1且x≠一1 且x≠一2， .x=-3.019 第三章分式 07 分式的概念和性质 答案|P006 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.分式的有关概念 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和 2.分式的基本性质的 通分 桌染桌 运用 明考向 考向1分式的有关概念 考句2 分式的基本性质的运用 1.分式的定义：一般地，如果A,B表示两个整 1分式的基木性顾：合-会：C≠0，骨 式，并且B中含有字母，那么式子合叫做 分式. 会c≠0. 2.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分 a注意 判断一个代数式是否为分式，必须在没 式的分子与分母的公因式约去， 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫 有化简时判断，不能约分后再判断： 做最简分式 2.分式有无意义及值为0的条件如下表： 4.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异 分式合有意义 分母的分式分别化成与原来的分式相等的同 B≠0 分母的分式. 分式合无意义 B=0 d注意 分式会的值为0 A=0且B≠0 若分式的分子或分母是多项式，在运用 分式的基本性质时，要先把分式的分子或分 典例1若代数式二有意义，则实数工的取值 母用括号括上，将其看作一个整体，防止出现 漏乘或漏除的现象 范围是 解析依题意，得x一1≠0，解得x≠1. 典例2若a≠b,则下列分式化简正确的是（) 答案x≠1 A十24 变式训练若分式行的值等于0，侧工的值是 b十2b 1 c-号 D. -Q A.2 B.-2C.3 D.-3 b6 ◆020 解析 “a≠6，号≠号故选项A错误 答案D 规律方法 日号≠分，故选项B错送层≠号故选项C 分式约分化简的一般步骤 (1)寻找分子、分母的最大公因式； 1 a (2)根据分式的基本性质，分子、分母同时除 错误1 方—，故选项。正确 以最大公因式，分式的值不变. 过真题 。。。A组基础题。。 。·。C组创新题·· 1.[2023·浙江湖州门若分式的值为0，则 8.【创新考法】已知a,b两数在数轴上 的位置如图所示，则化简 x的值是 ( b2-a+a2+6-2ab A.1 B.0 C.-1 D.-3 a-b 的结果是 2[2025·河北]若a=-3,则02+12a+36- a2+6a a-1 ( b01 9.【过程学习性问题】阅读材料题： A.-3 B.-1C.3 D.6 3[2025·湖离]约分号 已知号-身-号（a≠0)，求分式a2 a-b+2c 的值 4[2025·山东求庄]写出使分式2z-3有意义 解：设号-冬-号=， 的x的一个值： 则a=3k,b=4k,c=5k, ① 5.[2024·吉林]当分式十的值为正数时，写 :.2a+36.9_=66+12k-5k-13k-13 a-b+2c3k-4k+10k9k-9 ② 出一个满足条件的x的值为 (1)上述解题过程中，第①步运用了 6.[2024·北京]已知a一b一1=0，求代数式 a一流》十的值 的基本性质；第②步中，由求得结果号运 用了 的基本性质 (2)参照上述材料解题： 已知吃=学=音(xx≠0)，求分式2 x-2y+3z 。·。B组能力题。· 的值 x-2 7.[2024·甘肃甘南州门若分式(x十-2)的 值为0，则x的值为一 021 考点 08 分式的运算 答案|P006 知考情 考向分布 考频 课标要求 1.分式的运算 染染桌块 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 2.分式的化简求值 象染染染来 明考向 考向1 分式的运算 算括号里面的.属于同级运算的，应按照从 分式的乘法：号·台-器 左到右的顺序依次进行。 分式的除法号÷台-号·-肥 (2)转化意识：分式的除法运算要转化为乘 法运算，异分母分式相加减要转化为同分母 分式的乘方：（号）广-器 分式相加减。 分 (3)因式分解意识：若分子、分母中有多项 的 同分母分式的加减：只士b-a士b c 式，应先分解因式 算 分式的加减 异分母分式的加减：分±旨-照±怒 dbd±bd (4)约分意识：若分子、分母中有公因式，应 ad±bc 先约分，最后的结果要化为最简分式或 bd 整式 分式的混合运算：与实数的混合运算的运算顺序相 同，结果化为整式或最简分式 典例1化简：。二十士》 ÷a+3 变式训练1计第：(a-1+。)小：牛0 a+1 a2-1 a-1 解 原式=[a品ta+a-DJa+ 5a+9 1,a-1 =a2+a+5a十9.a-1 (a+1)(a-1)a+3 a8·8 (a+3)2 =a+3 a+1 规律方法 分式的运算中应强化的四种意识 (1)顺序意识：分式的混合运算，应先算 乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先 ◆ 022 考向2分式的化简求值 分式化简求值的一般步骤 当a=- 时，原式 2x(-》 =6. 1分子、分母能因式分解的先因式分解 2进行乘除运算（除法变乘法） 规律方法 求分式的值的常用方法 不含先乘再乘然后代入使各分式 括号 方除 加减八数据都有意义 (1)直接代入求值； 化 (2)先化简，再代入求值，这种方法可简化运 将代数式化为最简形式， 算步骤； 值 含括号去括号 (3)先变形，再求值，这种方法通过改变已知 典例2先化简，再求值：+二9 a2-1 条件、待求式的形式或通过整体代入求值. (a-a-1),其中a=一是 x3 变式训练2先化简，再求值：-8x十16 郎原式a[a少 a-1 二16二4其中x=B+4 =2a十1+a2-2a÷2a-1-(a2-1) a+1a2-1 a-1 =2a+1+a2-2a·2a-a a+1a2-1、a-1 =2a+1+a(a-2) a-1 a++a+(a2i'-aa-2) =2a+1_1 a+1a+1 2a a+1 过真题 。。。A组基础题。。 4[2025·甘声武减]化简：己+行日 1.2025·新程]计算2产6 2y=( (x-1)2 x2-4· A.1 B.x-2y C.1 D.x-2y x-2y -4y 2[2025·江苏扬州]计算：(1-2)÷是 3.[2025·湖北]计算：十2L-x 023◆ 5.[2025·山东枣庄节选]先化简，再求值： ·。B组能力题。。 (x2-1)(1十1，其中x=2. 8.[2024·四川眉山]已知a1=x+1(x≠0且 1 1 x≠-1)，a,=1=aa=1-4g’…,a. 1一，则a24的值为 1一am-1 9.[2024·甘肃甘南州门先化简，再求值： 6.[2025·四川眉山]先化简，再求值：（之y十 站(2+0且x x2+2x 十)÷产，其中，y满足x+2)+ 满足一2≤x≤2，取一个值即可. 1y-1|=0. 2x 7.[2024·四川乐山]先化简，再求值：z-4 x一2其中x=3.小乐同学的解题过程如下： 2x 1 解：—4x一2 2x 1 (x+2)(x-2) x-2 …① 2x x+2 (x+2)(x-2)(x+2)(x-2) …② 10.[2025·重庆]先化简，再求值：(x+1)(3x 2x-x+2 =(x+2)(x-2) ③ -ax+1+,2(: x十2 Γ(x+2)(x-2) …④ 其中x=一3+（π一4）°. 1 = x-2 …⑤ 当x=3时，原式=1. (1)小乐同学的解题过程中，第 步开 始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解题过程. ◆024 11.[2024·山东滨州]欧拉是历史上享誉全球 13.【阅读理解】定义：如果一个分式能化成一个 的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学 整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 各个领域内作出了杰出贡献，也在初等数学 那么称这个分式为“和谐分式”，如 中留下了不凡的足迹.设a,b,c为两两不同 的数，且都不为0，称P.=(a-6(a-G) -号+名=1+名则冉 6 是“和谐分式” (6-c)(b-a)十(c-a)(c-)n=0,1,2,3) (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 为欧拉分式。 (填序号) (1)写出P对应的表达式 (2)化简P1对应的表达式. x+:@+1 ①2@2，®2 (2)将“和谐分式a_2+3化成一个整式 a-1 与一个分子为常数的分式的和的形式. ⑧)应用：先化简-号÷年2再 x+1 x 求当x取什么整数时，该分式的值为整数. 。。。C组创新题·。 12.【真实问题情境】商家通常依据“乐观系数准 则”来确定商品的销售价格，即根据商品的 最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及 常数(0≤k≤1)来确定实际销售价格c,其 中c=a十k(b一a),这里的k被称为乐观系 数.经验表明，最佳乐观系数k恰好使得 ?吕二，据此可得，最佳乐观系数质的 值为