重难拓展02 奔驰定理问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

重难专题 奔驰定理问题讲义 知识梳理 1. 奔驰定理的核心内容 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量表达式结构对称，形似奔驰车标而得名。 （1）核心定理（三角形内部点） O是△ABC内一点，且，则 （2）奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② （3）奔驰定理的特殊情形（与三角形“四心”的转化） 奔驰定理对三角形的重心、内心、外心、垂心均成立，且可简化为特定形式： 面积关系 奔驰定理简化形式 重心 内心 外心 垂心 典例精讲 模块一：奔驰定理基本应用（面积比例与向量计算） 典例1已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平面向量的线性运算得到，进而根据等底等高的三角形面积相等即可求出结果. 【解析】 取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此, 故选：C. 变式1 已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以 （法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以 模块二：奔驰定理与三角形“四心”（中等） 典例2 已知点，为中不同的两点，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，的中点分别为，，由可得点在上，且，即可得到，再根据重心的性质得到，即可得解. 【解析】因为， 如图所示，设，的中点分别为，， 因为，点在上，且， 到边的距离与C到边的距离比值为：，可得， 由可得是三角形的重心，因此， 所以， 故选：A. 变式1 已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件： ①； ②； ③； ④； 则点分别为的（   ） A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心 C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心 【答案】D 【解析】先考虑直角，可令，，， 可得，，，设， ①，即为， 即有，，解得， 即有到，轴的距离为1，在的平分线上，且到的距离也为1， 则为的内心； ③， 即为， 可得，，解得，， 由，故为的外心； ④，可得， 即为，，解得，， 由的中点为，，，即分中线比为， 故为的重心； 考虑等腰，底角为， 设，，，， ②， 即为， 可得，，解得，， 即，由，，即有， 故为的垂心． 【核心解题技巧】 （1）比例对应法： 奔驰定理的核心是“向量系数与面积比例成正比”，解题时直接将向量表达式与定理形式对比，即可快速得出面积比例或向量系数。 （2）“四心”特殊化法： 遇到三角形“四心”问题，直接套用对应简化形式（如重心的“三向量和为零”），无需复杂推导。 （3）坐标辅助法： 对于具体边长的三角形，可建立坐标系，设 ，利用向量坐标表示定理，结合面积公式求解（适合基础薄弱者）。 （4）外部点符号法： 若 在三角形外部，先判断负面积对应的向量，再套用定理（负面积对应向量系数为负）。 【易错提醒】 （1）面积与向量对应错误： 向量的系数对应 的面积，向量的系数对应 的面积，向量的系数对应 的面积。 （2“四心”的前提条件： 外心、垂心的简化形式有前提（如垂心需为锐角三角形），钝角三角形需调整符号。 （3点面积符号遗漏： 未考虑外部点的负面积，直接套用内部点公式，导致结果错误。 （4方向混淆： 奔驰定理中向量为“从 指向顶点”（如 ），而非顶点指向 ，方向颠倒会导致符号错误。 1. 设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ． ， 故选：D． 2. △ABC内一点O满足关系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3， S△OAB＝c·h1， 因为S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0， 则a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0，即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0， 又因为a·＋b·＋c·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点P是△ABC的内心． 3. 如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 4．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 5．设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则在边的延长线上 C．若，则是的重心 D．若，则的面积是面积的 【答案】AC 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算对选项一一判断即可. 【详解】对于，因为，所以，即， 则是边的中点，故正确； 对于，由得，所以， 则在边的延长线上，故错误； 对于，设的中点为，则，故C正确； 对于D，由知，， 所以，故D错误. 故选：AC. 6. 已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以. 设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为. 7．已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值． 【解析】， ． 如图，，分别是对应边的中点，    由平行四边形法则知，， 故， 在正三角形中， ， ， 且三角形与三角形的底边相等，面积之比为, 所以，得. 故选：B. 8．（多选题）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】设，利用重心的性质，把用、表示，再由，，三点共线得关于，的方程，再由三角形面积比得关于，的另一方程，联立即可求得实数的值． 【详解】解：如图，，，即，设，则， 三点共线，，， 所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3. 故选：BD 9. 平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】由得， 由得， 根据平面向量基本定理可得，， 所以，， 延长交于，延长交于， 则，又，所以， 所以为的平分线， 同理可得是的平分线， 所以为的内心. 10．如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．    A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 【答案】BCD 【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确. 【解析】对于A：由题意,结合， 可得,即A错误. 对于B：由, 可得; 整理得, 即得，即B正确； 对于C：如果O为的重心， 则可知， 可知，即C正确； 对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r, 则, 又,,则,所以， 可知，即D正确. 故选：BCD. 11． O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ）      A．O为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积可证垂直，进而可求解A，根据垂直关系，结合内角和即可判断B，根据锐角三角函数即可判断C，由面积公式结合奔驰定理即可求解D. 【详解】因为， 同理，，故O为的垂心，故A错误； 根据垂心可得，，所以， 又，所以，又， 所以，故B正确； ，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，同理可得，所以，故C正确； 设，，的面积分别为，，，则 ， 同理可得，所以，又，所以， 故D正确. 故选:BCD. 12. （多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（       ） A．为的垂心 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确. 【解析】 A项：，即， ，，， 同理可得，， 故为的垂心，A正确； B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点， 因为，所以，， 因为，所以，， 则 ，B正确； C项：在中，由正弦定理易知， 因为，， 所以， 即，， 同理可得， 故，C错误； D项：，同理可得，， 则 ， 同理可得，， 因为， 所以将、、代入，可得， 因为， 所以， 故成立，D正确， 故选：ABD. 13．设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【答案】B 【分析】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△BOC与△ABC的面积之比判断选项D. 【解析】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确；    对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵， ∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误；    对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（）， ∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确；    对于D，设，， 由，得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确．    故选：B 14. 已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 【答案】 【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以 （法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以 15．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【解析】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 16．根据“奔驰定理”，解决以下问题： (1)点O为内一点，若，设，求实数和的值； (2)若O为的外心，证明：. 【分析】（1）利用奔驰定理和平面向量的线性运算即可求解； （2）设的外接圆半径为R，利用奔驰定理即可求解. 【解析】（1）根据“奔驰定理”，得，即，整理可得， 因为与不共线， 所以由平面向量基本定理得，. （2）证明：若O为的外心， 则可设的外接圆半径为R，，， ，故， 同理，， 根据“奔驰定理”，. 即. 所以 【点睛】方法总结：四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为重心，则； 若为内心，则； 若为外心，则； 若为垂心，则. 17．奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据奔驰定理以及内切圆的性质可得，即可根据得，进而根据线性运算得,由共线即可求解， （2）根据奔驰定理以及外接圆的性质可得，即可得，结合三角恒等变换可得，即可根据函数的性质求解. 【解析】（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为， 由可得，即， 由，不妨设， 故， 设，则, 故, 由于与共线，而与不共线， 因此必然，故，    （2）设外接圆的半径为, 则由得， 即， 由于，所以, 因此，又， 所以 , 由于三角形为锐角三角形，所以，解得， 故, 故当时，取最小值， 当或时，， 故.    学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题 奔驰定理问题讲义 知识梳理 1. 奔驰定理的核心内容 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量表达式结构对称，形似奔驰车标而得名。 （1）核心定理（三角形内部点） O是△ABC内一点，且，则 （2）奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② （3）奔驰定理的特殊情形（与三角形“四心”的转化） 奔驰定理对三角形的重心、内心、外心、垂心均成立，且可简化为特定形式： 面积关系 奔驰定理简化形式 重心 内心 外心 垂心 典例精讲 模块一：奔驰定理基本应用（面积比例与向量计算） 典例1已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（       ） A． B． C． D． 变式1 知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 模块二：奔驰定理与三角形“四心”（中等） 典例2 已知点，为中不同的两点，若，，则为（   ） A． B． C． D． 变式1 已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件： ①； ②； ③； ④； 则点分别为的（   ） A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心 C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心 【核心解题技巧】 （1）比例对应法： 奔驰定理的核心是“向量系数与面积比例成正比”，解题时直接将向量表达式与定理形式对比，即可快速得出面积比例或向量系数。 （2）“四心”特殊化法： 遇到三角形“四心”问题，直接套用对应简化形式（如重心的“三向量和为零”），无需复杂推导。 （3）坐标辅助法： 对于具体边长的三角形，可建立坐标系，设 ，利用向量坐标表示定理，结合面积公式求解（适合基础薄弱者）。 （4）外部点符号法： 若 在三角形外部，先判断负面积对应的向量，再套用定理（负面积对应向量系数为负）。 【易错提醒】 （1）面积与向量对应错误： 向量的系数对应 的面积，向量的系数对应 的面积，向量的系数对应 的面积。 （2“四心”的前提条件： 外心、垂心的简化形式有前提（如垂心需为锐角三角形），钝角三角形需调整符号。 （3点面积符号遗漏： 未考虑外部点的负面积，直接套用内部点公式，导致结果错误。 （4方向混淆： 奔驰定理中向量为“从 指向顶点”（如 ），而非顶点指向 ，方向颠倒会导致符号错误。 1. 设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 2. △ABC内一点O满足关系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3. 如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 4．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则在边的延长线上 C．若，则是的重心 D．若，则的面积是面积的 6. 已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 7．已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 8．（多选题）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．3 9. 平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 10．如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．    A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 11． O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ）      A．O为的外心 B． C． D． 12. （多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（       ） A．为的垂心 B． C． D． 13．设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 14. 已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 15．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 16．根据“奔驰定理”，解决以下问题： (1)点O为内一点，若，设，求实数和的值； (2)若O为的外心，证明：. 17．奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $