3.2 复数的四则运算课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第3章 复数 3.2 复数的四则运算 2.复数有关概念： 复数的代数形式 复数的实部、虚部 复数相等 复数的分类 1. 虚数单位 i 的引入，数系的扩充 虚数（𝑏≠0） 非纯虚数（𝑎≠0） 纯虚数（𝑎=0） 实数（𝑏=0） 问题：实数有加、减、乘、除运算，有必要定义复数的四则运算，结合多项式的运算，如何合理地给出复数的加法法则，使其也满足交换律和结合律？ 试一试：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，尝试写出复数的加、减运算法则. 复数的加、减法及运算律 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 容易验证复数的加法满足交换律和结合律，即有 z1+z2=z2+z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 复数加法 复数减法 类似于实数运算中的合并同类项． 例1．计算： (1) (1+2i)+(4-3i); (2) (4-3i)+(1+2i); (3) (1+2i)-(4-3i). 解：(1)(1+2i)+(4－3i) =(1+4)+(2－3)i =5－i (3) (1+2i)－(4－3i) =(1－4)+［2－(－3)］i =－3+5i. (2)(4－3i)+(1+2i) =(4+1)+(-3+2)i =5－i 自行计算，并尝试总结出易错点 1.（1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）＝ ⁠. 解析：（1）（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i. （2）已知 x ∈R， y ∈R，（ x i＋ x ）＋（ y i＋4）＝（ y －i）－（1－3 x i），则 x ＝ ， y ＝ ⁠. 解析：（2）因为 x ＋4＋（ x ＋ y ）i＝（ y －1）＋（3 x －1）i，所以 解得 －2－i　 6　 11　 2.设复数 z 1＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R）， z 2＝ a － b i，则 z 1－ z 2为（　　） A. 实数 B. 纯虚数 C. 0 D. 零或纯虚数 解：∵ z 1－ z 2＝（ a ＋ b i）－（ a － b i）＝2 b i， 又 b ∈R， ∴当 b ＝0时， z 1－ z 2＝0； 当 b ≠0时， z 1－ z 2为纯虚数，故选D. 　D 要注意分类讨论 (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 复数的乘法及运算律 试一试：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，类比结合多项式的运算，猜想复数的乘法法则. 类比多项式的乘法把 i2 换成-1 z1·z2 = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bd i2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad) i 复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即有 z1z2=z2z1；(z1z2)z3=z1(z2z3)；z1（z2+z3）=z1z2+z1z3. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则 复数乘法 想一想：i3，i4表示什么？如何计算它们的结果呢？ 复数的乘方 复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.在复数集中，实数集中的正整数指数幂运算律仍然成立，即对任何复数z，z1，z2及正整数m，n,有 zm·zn=zm+n (zm)n=zmn (z1z2)n=z1nz2n 规定：i0=1 特别地，我们有以下常用结果： i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1 i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+4=1，其中n∈Z. 计算：i2024=_______ 1 例2．计算： (1) (1+2i)(4-3i); (2) (1+i)2; (3) (1-i)2; (4) (1+i)1000. (5) (a+bi)(a-bi). 解：（1）(1+2)(4-3) =1×4 + 1×(-3)+2×4+2×(-3) =4-3+8-6 =10+5 （2） = +2×1×+ =2 自行计算，并尝试总结出易错点 （3） = 2×1×+ =-2 (3) (1-i)2; (4) (1+i)1000； (5) (a+bi)(a-bi). （4） =[]500 = = =1= （5）(a+bi)(a-bi) =a2 -abi+abi+b2 =a2+b2 3. A.3-2 B.3+2 C.-3-2 D.-3+2 4. A. -4 B.4 C.-4 D.4 D A 6.若为实数，且则 A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知 A.-1 B.1 C.-3 D.3 C B 真题再现 试一试：我们已经会做复数的加、减、乘法，那么，对任意两个复数，(a,b,c,d∈R) ，当≠0时能否做除法求它们的商? 分子分母同乘以，从而使分母“实数化” 分子,分母运用乘法进行化简 化为复数的标准形式 (a ,b , c , d∈R) ÷ 复数的除法 对于任意两个复数，(a,b,c,d∈R且≠0)，有=+ 两个复数的商仍为复数. 复数的除法 例3.已知复数，，求及 解： = = = = = == = 一般地，称为z的倒数，若z≠0，则= . 例4. 已知（1－i）2 z ＝3＋2i，则 z ＝（　B　） A. －1－i B. －1＋i C. －＋i D. －－i [解析]　由已知得 z ＝ ，根据复数除法运算法则，即可求解. （1－i）2 z ＝－2i z ＝3＋2i， z ＝ ＝ ＝ ＝－1＋ i . B 点拨：复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，最后把结果化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化（方法是分母与分子同时乘复数 c － d i，若分母是纯虚数，则只需同时乘i即可）. 7. 真题再现 练一练 D D 9. 练一练 D 10.若 z 1＝ a ＋2i， z 2＝3－4i，且 为纯虚数，则实数 a ＝ 　​ . 解析：由题意 ＝ ＝ ＝ ＝ [3 a －8＋（6＋4 a ）i]， 因为 是纯虚数，故3 a －8＝0，且6＋4 a ≠0，解得 a ＝ . ​ 练一练 本节课你学到了哪些知识？谈谈你的收获. $