3.2 复数的四则运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

3.2　复数的四则运算 基础过关练 题组一　复数的加减运算 1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=(　　) A.8i　　B.6　　 C.6+8i　　D.6-8i 2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(　　) A.0　　B.2i　　 C.6　　D.6-2i 3.(2025辽宁抚顺德才高级中学期中)复数(1-i)-(2+i)+3i+6等于(　　) A.5+i　　B.7-i　　 C.6+i　　D.6-i 4.(2025四川巴中平昌中学开学考试)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,其中a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=(　　) A.-7　　B.-6　　 C.6　　D.7 题组二　复数的乘除、乘方运算 5.(2024重庆七校联盟期中)z=(1+i)(2+i)=(　　) A.3+3i　　B.1+3i　　C.3　　D.3i 6.(2025甘肃嘉峪关月考)若复数z满足iz=1-i,则z的虚部为(　　) A.-1　　B.-i　　C.1　　D.i 7.(2024江苏宿迁中学月考)已知复数z1=1-2i,z2=a+2i(其中i为虚数单位,a∈R),若z1·z2是纯虚数,则a=(　　) A.-4　　B.-1　　C.1　　D.4 8.(2025辽宁部分重点中学协作体期中)使复数(+i)n为纯虚数的最小自然数n是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 9.计算: (1)(1-2i)(3+4i)(-2+i); (2)(3+4i)2; (3); (4). 题组三　复数范围内的解方程问题 10.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为(　　) A.3+i　　B.1-3i C.3-i　　D.-1+3i 11.在复数范围内,方程3x2+2x+1=0的根为　　　　.  12.在复数范围内解下列方程. (1)x2+5=0; (2)x2+4x+6=0. 能力提升练 题组一　复数的四则运算及其应用 1.(2023山西晋中平遥二中质检)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=3-bi,则(b-ai)2=(　　) A.10+6i　　B.-8+6i C.9-6i　　D.8-6i 2.(2025北京和平街第一中学月考)若复数z=的实部与虚部相等,则实数a的值为(　　) A.-3　　B.-1　　C.1　　D.3 3.(2025四川雅安中学开学考试)若=1,n∈N+,则n的取值可以是(　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 4.已知复数z=-1+i,则z2 019的值为(　　) A.-1　　B.-22 019　　C.1　　D.22 019 5.(2024吉林白山抚松第一中学期中)已知集合M={z|z=in,n∈N+},则下列复数①;②(1+i)(1-i);③(1-i)2;④i+i2+i3+…+i2 021,属于集合M的为(　　) A.①②　　B.①③　　C.①④　　D.①③④ 6.计算: (1)+; (2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i). 题组二　复数范围内的解方程问题 7.已知a,b∈R,且2+ai,b+3i是一个实系数一元二次方程的两个根,则(　　) A.a=-3,b=2　　B.a=3,b=-2 C.a=-3,b=-2　　D.a=3,b=2 8.(多选题)(教材深研拓展)早在古巴比伦时期,人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶,数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理:任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.请借助代数基本定理解决下列问题:设实系数一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠0)在复数集C内的根为x1,x2,x3,x4,则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2+x3+x4=- B.x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=- C.x1x2x3x4= D.x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4= 9.(2023山东临沂蒙阴第一中学月考)已知复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R),其中i为虚数单位. (1)若z是纯虚数,求实数m的值; (2)若m=3,z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,求实数a,b的值. 答案与分层梯度式解析 3.2　复数的四则运算 基础过关练 1.B 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7.A 8.C 10.B 1.B　z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6. 2.D　z=3-i-(i-3)=6-2i. 3.A　(1-i)-(2+i)+3i+6=(1-2+6)+(-1-1+3)i=5+i. 4.A　由题意得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i, 因为z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,所以 解得所以a+b=-7. 5.B　z=(1+i)(2+i)=2+3i-1=1+3i. 6.A　解法一:由iz=1-i得z====-1-i,所以z的虚部为-1. 解法二:设z=a+bi(a,b为实数),由iz=1-i,可得-b+ai=1-i,所以a=-1,b=-1,所以z=-1-i,所以z的虚部为-1. 7.A　z1·z2=(1-2i)(a+2i)=a+4+(2-2a)i, 因为z1·z2是纯虚数, 所以解得a=-4. 8.C　因为(+i)2=2+2i,(+i)3=2(1+i)(+i)=8i, 因此使得复数(+i)n为纯虚数的最小自然数n是3. 9.解析　(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i) =-20+15i. (2)(3+4i)2=9+24i+(-16)=-7+24i. (3)====+i. (4) = = ==i. 10.B　根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,两个虚数根的实部相等,虚部互为相反数,所以另一个根为1-3i. 11.答案　-±i 解析　因为判别式Δ=4-4×3×1=-8<0, 所以方程的根为x==-±i. 12.解析　(1)因为x2+5=0, 所以x2=-5, 又因为(i)2=(-i)2=-5, 所以x=±i, 所以方程x2+5=0的根为x=±i. (2)解法一:由x2+4x+6=0,知判别式Δ=42-4×1×6=-8<0, 所以方程x2+4x+6=0的根为x==-2±i. 解法二:因为x2+4x+6=0, 所以(x+2)2=-2, 因为(i)2=(-i)2=-2, 所以x+2=i或x+2=-i, 所以x=-2+i或x=-2-i, 所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. 解法三:由x2+4x+6=0,知判别式Δ=42-4×1×6=-8<0, 所以方程x2+4x+6=0无实数根. 在复数范围内,设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0), 则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0, 所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0, 整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0, 所以 又因为b≠0, 所以解得 所以x=-2±i, 故方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. 能力提升练 1.B 2.A 3.A 4.D 5.C 7.A 8.AC 1.B　因为a+i=3-bi,a,b∈R,所以a=3,b=-1, 所以(b-ai)2=(-1-3i)2=(-1)2+(-3i)2+2×(-1)×(-3i)=-8+6i. 2.A　z===, 因为复数z=的实部与虚部相等, 所以2a+1=a-2,解得a=-3. 3.A　因为=-i,所以(-i)n=1,所以n=4k,k∈N+. 故A符合题意. 4.D　z=-1+i=2, ∵=-+3××i+3××+=1. ∴z2 019=22 019×=22 019×=22 019. 5.C　M={z|z=in,n∈N+}={1,i,-1,-i}. ①===-i∈M; ②(1+i)(1-i)=2∉M;③(1-i)2=-2i∉M; ④i+i2+i3+…+i2 021=505(i+i2+i3+i4)+i=505(i-1-i+1)+i=i∈M. 6.解析　(1)+=+=i(1+i)+=-1+i+(-i)1 009=-1+i-i=-1. (2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i. 7.A　由题意得,这两个根的实部相等,虚部互为相反数,故a=-3,b=2. 8.AC　由题设知ax4+bx3+cx2+dx+e=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4), ∴ax4+bx3+cx2+dx+e=a[x2-(x1+x2)x+x1x2][x2-(x3+x4)·x+x3x4], ∴ax4+bx3+cx2+dx+e=a[x4-(x1+x2+x3+x4)x3+(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2-(x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x+x1x2x3x4], ∴x1+x2+x3+x4=-,x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=,x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=-,x1x2x3x4=. 9.解析　(1)因为复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数,所以解得m=-1. (2)当m=3时,z=4+i. 因为z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,所以4-i也是实系数方程x2+ax+b=0的根, 所以(4+i)+(4-i)=-a,(4+i)(4-i)=b, 解得a=-8,b=17. 7 学科网（北京）股份有限公司 $