第六章 一元一次方程（复习课件）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

单元复习课件 第六章 一元一次方程 鲁教版五四制·六年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解方程、一元一次方程等概念，掌握等式性质；能规范解一元一次方程，会根据实际情境列方程． 3.感受数学与生活联系，克服复杂问题畏难情绪，了解古代数学文化，提升学数学兴趣与自信． 2.体会方程模型思想与转化思想，学会用表格、画图分析问题，形成 “找等量关系——建方程 ——求解验证” 的路径． 单元学习目标 一 元 一 次 方 程 基本概念 方程的定义 一元一次方程的定义 方程的解的定义 等式的基本性质 解方程 去分母 去括号 移项 合并同类项 未知数系数化为1 列方程解应用题的一般步骤 审、设、列、解、验、答 应用题常见题型 行程问题、工程问题、利润问题、几何问题、数字问题等 单元知识图谱 考点一、一元一次方程及其相关概念 1．方程：含有________的表示量________的等式称为方程。 2．一元一次方程：在一个方程中，只含有________未知数（元），且方程中的代数式都是________，未知数的次数都是________，这样的方程叫作一元一次方程。其一般形式为（、为常数，且）。 未知数 相等 一个 整式 1 考点串讲 考点一、一元一次方程及其相关概念 3．方程的解：使方程左、右两边的值________的未知数的________，叫作方程的解。 4．解方程：求方程________的过程称为解方程。 注意：解一元一次方程就是逐步把方程“转化”为________的形式。 相等 值 解 x=a 考点串讲 考点二、等式的基本性质 （一）等式的基本事实 1．如果a=b，那么________ 2．如果a=b，b=c，那么________ （二）等式的基本性质 性质1：等式的两边都加（或减）同一个________，所得结果仍是等式。 如果，那么。 b=a a=c 代数式 考点串讲 考点二、等式的基本性质 （二）等式的基本性质 性质2：等式的两边都乘同一个________（或除以同一个________的数），所得结果仍是等式。 如果，那么 如果（），那么 数 不为0 考点串讲 考点三、解一元一次方程的步骤 1．去分母：在方程两边都乘各分母的____________，注意不要漏乘不含分母的项。 2．去括号：先去______括号，再去______括号，最后去______括号，括号前是“”号时，去括号后括号内各项要________。 3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的________，移项要________。 4．合并同类项：把方程化成（）的形式。 5．系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解。 最小公倍数 小 中 大 变号 另一边 变号 考点串讲 考点四、一元一次方程的实际应用 （一）列一元一次方程解应用题的一般步骤 1．_____：认真审题，明确已知量、未知量以及它们之间的数量关系，找出题中的等量关系。 2．_____：设未知数，可直接设未知数，也可间接设未知数。 3．_____：根据等量关系列出一元一次方程。 4．_____：解所列出的方程，求出未知数的值。 5．_____：检验所求的解是否符合实际意义。 6．_____：写出答案。 审 设 列 解 验 答 考点串讲 考点四、一元一次方程的实际应用 （二）常见的应用题型包括： 1．行程问题（如相遇问题、追及问题，涉及路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间）； 2．工程问题（涉及工作量、工作效率、工作时间的关系：工作量=工作效率×工作时间）； 3．利润问题（涉及成本、售价、利润、利润率的关系：利润=售价-成本，利润率=）； 考点串讲 考点四、一元一次方程的实际应用 （二）常见的应用题型包括： 4．几何问题（涉及图形的周长、面积、体积等数量关系）； 5．数字问题（涉及数位上的数字关系，如一个两位数，十位数字为，个位数字为，则这个两位数表示为）等。 考点串讲 题型一、方程的有关概念 例1：下列各式中，是一元一次方程的是(    ) A． B． C． D． C 分析：本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即可求解． 解：A. ，不是一元一次方程，不符合题意；     B. ，不是一元一次方程，不符合题意；      C. 是一元一次方程，符合题意；     D. 不是方程，不符合题意．故选：C． 题型剖析 题型一、方程的有关概念 满足一元一次方程的条件： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数都是1. 两者缺一不可！ 题型剖析 题型一、方程的有关概念 变式：关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 分析：本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到且，求解即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴，故答案为：． 题型剖析 题型二、等式的基本性质 例2：利用等式的基本性质解下列方程： (1)．(2)．(3) 解：（1）方程两边同时加，得， 方程两边同时除以，得． （2）方程两边同时减，得， 方程两边同时除以，得． （3）方程两边同时减，得， 方程两边同时减，得， 方程两边同时除以，得． 题型剖析 题型二、等式的基本性质 利用等式的基本性质解方程的实质是将方程转化为x=a（a为常数）的形式，即求出方程的解。 题型剖析 题型二、等式的基本性质 变式：已知（，），下列等式中变形正确的是（     ） A． B． C． D． C 解：A选项： ，根据等式的性质，把等式两边同时乘以，可得：，故A选项错误； B选项： ，根据等式的性质可得：，把两边同时除以，可得：，故B选项错误； C选项： ，根据等式的性质，把等式两边同时乘以，可得：，故C选项正确； D选项： ，根据等式的性质可得：，把两边同时除以，可得：，故D选项错误．故选：C． 题型剖析 题型三、一元一次方程的解法 例3：解方程：(1)； (2)． 解：（1）， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 题型剖析 题型三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的步骤： 去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数的系数化为1. 注意： (1)移项时要变号，不能出现不变号就移项的情况。 (2)当一元一次方程中的分母是小数时，要先利用分数的基本性质将分母变为整数，再去分母。 (3)在解一元一次方程时，为了保证求出的解的正确性，可将方程的解代入原方程进行检验。 题型剖析 题型三、一元一次方程的解法 变式：若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（    ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 A 解：可化为： ， 即：.. 又为整数，或或. 故选：． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——行程问题 例4：甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 C 解：根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为： 设两人相遇的次数为 ， ∵起跑后时间总共为2分钟，即120 s ，∴，∴ 根据题意，两人相遇的次数为整数 ∴，即两人相遇的次数为5次 故选：C． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——行程问题 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水。 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——行程问题 变式：在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是7．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)求t秒后，点P和点Q表示的数． (2)经过多少秒后，点P和点Q相遇？ (3)若点P到达点B后立即以原速返回，点Q到达点A后也立即以原速返回，求两点第二次相遇时的位置． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——行程问题 解：（1）由题意可得， 点从出发向右运动，秒后的位置为：， 点从出发向左运动，秒后的位置为：； （2）当时，两点相遇得，， ， ， ， ∴两点在2.4秒后相遇； 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——行程问题 （3）点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时，点的位置为， ∴点还未到达点，仍在向左运动； 点从到的距离为单位，速度单位/秒， ∴所需时间为秒， ∴此时点已从返回运动秒，位置为， ∴第二次相遇发生在点返回、点返回后； 设第二次相遇时间为秒（）， 此时点经过秒到达，剩余秒向左运动， 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——行程问题 位置为， 点经过秒到达A，剩余秒向右运动， 位置为， 联立方程得， ， ， ， 解得， 将t代入或计算位置得， ， ∴两点第二次相遇时的位置是． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——行程问题 例5：湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 D 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ，解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——工程问题 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量＝工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率＝工作效率之和； ③ 工作总量＝各部分工作量之和＝合作的工作效率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看作 1。 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——工程问题 变式：一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——工程问题 解：（1）假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——工程问题 （2）假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——销售问题 例6：某服装店为回馈新老客户，打折销售店内服饰，已知店内某款服装每件的标价为380元，若按标价的八折销售，仍可获利75元，设这款服装每件的进价为x元（    ） A． B． C． D． D 分析：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用利润标价折扣率进价，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 解：根据题意得：．故选：D． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——销售问题 销售问题中基本量之间的关系： ① 商品利润＝商品售价－商品进价； ② 利润率＝； ③ 商品售价＝标价× ； ④ 商品售价＝商品进价＋商品利润 ＝商品进价＋商品进价×利润率 ＝商品进价×(1＋利润率)。 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——销售问题 变式：国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 解：（1）根据题意得： （元）， 答：商品A最后应卖元； 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——销售问题 变式：国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ （2）设商品B的成本是x元， 根据题意得：，解得：， 答：商品B的成本是850元． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——几何问题 例7：如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 A 解：依题意找小长方形的长作为相等关系得； 找大长方形的宽相等关系得：． 故选：A． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——几何问题 （1）画图形标数量：根据题干描述画出对应几何图形，在图中清晰标注已知条件和设出的未知量（用x表示），通过图形直观呈现各量间的关系。 （2）回忆几何公式：明确题目涉及的几何量，回忆并写出对应的核心公式，以公式作为连接已知量与未知量的桥梁，为建立等量关系打下基础。 （3）抓住 “不变量” ：从题干中筛选出“不变量”，以不变量为核心，结合几何公式将数量关系转化为等式，这是列出一元一次方程的关键步骤。 （4）注意统一单位：若题干中出现不同单位，需先将单位统一后再代入计算，确保数据一致性。 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——几何问题 变式：如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若两张贺卡不重叠部分的面积等于平方厘米，求重叠部分的面积． 解：设重叠部分为单位，则，， ∴，， 解得：， 答：重叠部分的面积为平方厘米． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——数字问题 例8：有这样一道关于周瑜年龄的诗歌数学题：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位六倍与寿同．大意为：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．则周瑜病逝时的年龄是（    ） A．36岁 B．38岁 C．47岁 D．63岁 A 解：设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为．这个两位数可表示为．根据题意可得 , 解得： 则十位数字为，所以这个两位数是．故选：A． 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——数字问题 （1）用字母表示数位：两位数设十位为a、个位为b，则这个两位数表示为：10a+b。 （2）抓住“数字关系”：如“个位数字比十位数字大3”，则可转化为：b=a+3。 （3）找等量建立方程：根据“新数与原数和或差”等条件列出等式并建立方程。 （4）验证解的合理性：确保数字为0-9的整数，符合数位上的数字规则。 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 ——数字问题 变式：一个三位数，从左到右的三个数字正好是从大到小排列的3个连续的正整数，这个数的比百位数字和个位数字交换位置后所得的新数小238，求原来的三位数． 解：设原来三位数的十位数字为x ∵三个数字从大到小是连续正整数，∴百位数字为，个位数字为 原三位数： 新三位数（交换百位与个位）： 根据题意列方程： 即，解得 ∴百位，十位，个位，原三位数为 答：原来的三位数是 题型剖析 题型四、实际问题与一元一次方程 一元一次方程是有效刻画实际问题的一类数学模型．在实际问题中，读懂题意、分析数量关系、建立方程模型是关键，需要注意以下三点： 一是整体地、系统地审清题意； 二是准确把握问题中的等量关系，并列方程； 三是正确求解方程，并检验解的合理性． 题型剖析 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． C 解：A、是代数式，不满足一元一次方程的定义，该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、，是一元一次方程，该选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 针对训练 2．已知，则下列变形不正确的是（ ） A． B． C． D． B 解：、，，该选项变形正确，不符合题意； 、，当时，；当时，无意义，该选项变形错误，符合题意； 、，，该选项变形正确，不符合题意； 、，∴， ，该选项变形正确，不符合题意； 故选：． 针对训练 3．下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 D 解：A．由移项，得，故选项A错误； B．由去括号，得，故选项B错误； C．由系数化为1，得，故选项C错误； D．由去分母，得，故选项D正确； 故选：D． 针对训练 4．某商店有两件进价不同的上衣都卖了60元，其中一件盈利，另一件亏，则在这次买卖中，这家商店（  　） A．亏5元 B．盈利5元 C．不盈不亏 D．盈利8元 A 解：设盈利的进价为x元，亏损的进价为y元，由题意，得： ，， 解得：，∴成本为：（元）． 售价为：（元）， 利润为：（元）， 即这次买卖中，这家商店亏了5元．故选：A． 针对训练 5．将连续的奇数1、3、5、7、9、…，按一定规律排成数阵：  图中的T字框框住了五个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的五个数，则框住的五个数的和不可能是（    ） A．365 B．205 C．125 D．45 C 解：设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，，，∴T字框内五个数的和为．令框住的五个数的和为365，则，解得，故选项A不符合题意；令框住的五个数的和为205，则，解得，故选项B不符合题意；令框住的五个数的和为125，则，解得，∵在最左边，而不能处在T字框内最左边，故选项C符合题意；令框住的五个数的和为45，则，解得，故选项D不符合题意．故选：C． 针对训练 6．已知是方程的解，则 ． 解：将代入，得：， 即， 解得， 故答案为：． 针对训练 7．已知是关于x的一元一次方程，则m，n应满足的条件为m ，n ． 解：是关于x的一元一次方程， ， 解得， 故答案为：． 针对训练 8．已知是关于x的一元一次方程，则 ． 解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 针对训练 9．阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是 ．（请填写序号） ③ 解：①去分母时，在方程两边同时乘上10，依据为：等式的性质2； ②移项时，等式两边同时减去，依据为：等式的性质1； ③合并同类项时，依据是合并同类项法则；不是等式性质； ④系数化为1时，在等式两边同时除以3，依据为：等式的性质2． 故答案为：③． 针对训练 10．将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为 ________. 解：，， ， 即， 解得． 故答案为：． 针对训练 11．解方程： (1)；(2)． 解：（1）， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 去分母得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 针对训练 12．已知一艘船在静水中的速度为每小时26千米，船沿江从A港逆流行驶至B港用时，比从B港返回A港多用3个小时，已知水流的速度为每小时2千米，则A港到B港的距离是多少千米？ 解：设港和港之间的距离为千米， 由题意可得：， 化简得， 解得：． 答港和港之间的距离为504千米． 针对训练 13．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 针对训练 解：（1）设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，，解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元， 足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元,单个足球的利润为元, ∴，解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； 针对训练 （3）由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 针对训练 ✅ 知识构建：一元一次方程 基本概念→解方程步骤→实际应用 ✅ 思想方法： 模型思想、转化思想、方程思想、逻辑推理 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $