培优点05 奔驰定理与四心问题（5大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

培优点05奔驰定理与四心问题 目录 01方法总结 02题型归纳 题型一：重心问题 题型二：垂心问题 题型三：外心问题 题型四：内心问题… o9 题型五：奔驰定理 。10 03过关测试。 16 1/33 01 方法总结 1、重心 ①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1. G ②重心的向量表示：如图所示在△ABC中，G为△ABC重心台GA+GB+GC=0 ③重心坐标公式，设A(x,y),B(,2),C(x,乃)，则△ABC的重心坐标为 G+++y2+⅓ 3 3 2、内心 I是△ABC的内心台aA+bIB+cIC=0.(a,b,c分别是内角A,B,C的对边) 3、垂心 在△ABC中，P为△ABC重心白PA·PB=PB.PC=PA.PC 4、外心 若P为△ABC内一点，则PA=PB=PC一P为△ABC的外心 5、奔驰定理 若O为△ABC内一点，且满足2OA+2,OB+1,OC=0,则△AOB日AAOC日ABOC的面积之比等 于2：2：入 2/33 02 题型归纳 题型一：重心问题 【例1】O为平面上一动点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足OA+OB=2OC≠0(2∈R),则0 点的轨迹必过ABC的() A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心 【答案】D 【解析】如图，设D为AB边的中点，OA+OB=2OD, 20D=10C, :O、C、D共线， 即点O在ABC底边AB的中线上. D B 故选：D, 【变式1-1】己知点G为ABC的重心，若BG=1BC+uAG,则2-μ=() A.0 B.1 D.3 【答案】B 【解析】如下图所示，延长AG交BC于点D, B D 易知D为BC的中点，且AG=2GD 又BG=BD+DG=)BC-)AG, 2hs、 因为BG=2BC+uAG,且BC,AG不共线，所以可知2= 2 因此入-4=1。 3/33 故选：B 【变式1-2】已知ABC的重心为G,若其所在平面内有4个不同点P,P,P,P满足 AD+B2+CP=3,i=1,2,3,4.给出下列四个结论： ①GA+GB+GC=0 ②GP=2 ③PE+PF+PE的最小值为3 ④PE+PF+PE的最大值为18 其中正确结论个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】对于①，设AB的中点为D, :△ABC的重心为G, .GC=2GD,..-GC=2GD, ..GA+GB=2GD=-GC, GA+GB+GC=-GC+GC=0, :GA+GB+GC=d=0,故@正确： D G B 对于②，：A亚+BP+CP=2DE+CP=2(DG+GP)+CG+GP =2DG+2GP+CG+GP=-CG+3GP+CG=3GP. :AP BP CP 3GP AD+BP+CE=3i,i=1,23,4,}3GP=3i, GP=i,∴GP=1,故②错误； 4/33 B 对于③，GP=i, :点P在以G为圆心，半径i的圆上， 当所有点P,E,P,P共线且在G同侧时，相邻点距离最小， 即P=2-1=1,RF=3-2=1,PE=4-3=1, PE+PF+E的最小值为1+1+1=3，故③正确： 对于④，GP=i, :点P在以G为圆心，半径i的圆上， 当点，乃，P,P共线且交替在G的两侧时，相邻点的距离最大， 且最大为PE=1+2=3,BF=2+3=5,PP=3+4=7, ∴PE+D,E+P,E的最大值为=3+5+7=15，故④错误 故选：B 【变式13】已知G为A8C的重心，过G的直线分别与边B,4C交于点PQ,则？型的最小值为() 4 A·3 B D. 【答案】A 【解析】 B D 如图，延长AG交BC于点D,因为G为ABC的重心，所以点D是BC的中点， 5/33 则石号而号亚+和到兮亚+元， 因为P,G,Q三点共线，所以可设AG=1AP+(1-2)AQ,(0<1<1), 设AP=mAB,AQ=nAC,则AG=1mAB+(1-1)nAC, 1 1 1 所以m=(1-2刘n=写即m=玩”=31-万 1 又因为G为ABC的重心，所以SAc=,SBc 3 房SAIPO-S6ADO=3xs四E3x2 APolsin ZP40 =3mn, SABC 4C/sin∠BAC 1 1 4 3mn=3× 因为ma玩*30-可1-刀产与久+-刘5，当且仅当入 =时，等号成立， 2 2 所以 、=3加m的最小值为号 SABGC 故选：A 题型二：垂心问题 【例2】己知O为ABC所在平面内一点，若tan4x04+tanB×OB+tanCxOC=0,则点O是ABC的 (). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】D tanB tanC 【解析】原式变形为AO= AB+ AC, tan4+tanB+tanC tan4+tanB+tanC AO.BC= tanB AB.BC+ tanC AC·BC tan4+tanB+tanC tan4+tanB+tanC tanB(-cosB) tanCcosC -ac+ -ab tanA+tanB+tanC tanA+tanB+tanC a -sinBxc+sinCxb)-sinBx ac +sinCxb0 tan4+tanB+tanC tanA+tanB+tanC 所以AO⊥BC,同理，BO⊥AC. 所以O是ABC的垂心， 故选：D. 6/33 【变式2-1】设0是ABC的外心，点P满足0A+OB+OC=0P,则P是ABC的() A.内心 B.任意一点 C.垂心 D.重心 【答案】C 【解析】由题可得OA+OB=OP-OC=CP, 由于O是ABC的外心，设D为线段AB的中点， 故0A+OB=20D且OD⊥AB,即CP=2OD, 所以CP⊥AB,同理BP⊥AC,AP⊥BC,故P是ABC的垂心. 故选：C 【变式2-2】己知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点不共线若BA.BD=BC.BD,则直线BD一定 经过三角形ABC的() A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 【答案】A 【解析】BA.BD=BC.BD,.BA.BD-BC.BD=0, :BD.(BA-BC)=0,..BD.CA=0,.BD L CA, ·BD是三角形ABC的高线，：直线BD一定经过三角形ABC的垂心 故选：A 题型三：外心问题 【例3】已知点O为ABC所在平面内一点，若AC2-AB=2AO.BC,则点O的轨迹必通过ABC的 () A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【答案】B 【解析】点0为ABC所在平面内一点，若AC2-AB=2AO.BC, 7/33 设M为BC的中点，AC2-AB=(AC+AB)AC-AB=2AM.BC=2AO.BC, 则有A0-AMBC=MO.BC=0,所以MO⊥BC, 所以动点O在线段BC的中垂线上，则点O的轨迹必通过ABC的外心 故选：B 【变式3-1】设P是ABC所在平面内的一点，若AB·(CB+CA)=2AB.CP,且AP=CP|,则点P是 ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】A 【解析】 如图，取AB中点D, .CB+CA=2CD AB.(CB+CA)=2AB.CP, .AB.2CD =2AB.CP, ..24B.CD-CP)=0, ..2AB.PD=0, AB⊥PD, :点P在AB中垂线上 AP=BF,又A=CP, 所以AP=CP=BP .P为ABC的外心 故选：A 【变式3-2】已知0是ABC所在平面上一点，若OA=0B=OC2,则0是ABC的() A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【答案】B 【解析】因为0A=0B2=0c2,则0A=08=0C, 所以O是ABC的外心 8/33 题型四：内心问题 【例4】已知0为ABC所在平面内一点，若aOA+bOB+c0C=0,其中内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 则点O是ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】B 【解析】因为OB=OA+AB,OC=OA+AC, 所以(a+b+cOA+bAB+cAC=0, 所以A0=b—AB+C_AC(*). atb+c atb+c 又因为AB=cE,AC=bE,,其中，已分别表示AB,AC方向的单位向量， （)式可进一步化为40=，c(后+，. a+b+c 而，+E,表示与∠BAC的平分线共线的向量， 所以AO平分∠BAC. 同理，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以O是ABC的内心， 故选：B. 式4】已知点0是ABC内任意=点，4C=b,AB=c且0D=OA+入6片CAB+AC则点D 的轨迹一定经过ABC的(). A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心 【答案】A 【解析1因为00-0+力丽+C b+c b+c 所以AD=2 (b+c b+c 设AE=,bAB+,CAC, b+c b+c 因为， C=1,所以点E在线段BC上且BE=, b+c b+c CEB 由角平分线的性质得AE是∠A的角平分线， 而AD=入AE,所以点D的轨迹经过ABC的内心 9/33 故选：A. 【变式42】A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AP=4B+AC 4BIAC (2∈[0，+o》,则点P 的轨迹一定经过ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】B 【解析】AP=2 AB AC AB AC AM, ABAC 则AM是以A为始点，向量 AB 与 AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即AM在LBAC的平分线上， :AP=入AM,AP,AM共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 题型五：奔驰定理 【例5】（多选题)奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车 的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是ABC内一点，△BOC,△AOC, A0B的面积分别为S4,Sg,S,则S,·OA+S。·OB+Sc·0C=0.设O是ABC内一点，ABC的三个 内角分别为A,B,C,△BOC,△A0C,A0B的面积分别为S4,SB,Sc,若3OA+4OB+5OC=0,则 以下命题正确的有() B A.S4:Sg:Sc=3:4:5 B.O有可能是ABC的重心 10/33 培优点05 奔驰定理与四心问题 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 3 题型一：重心问题 3 题型二：垂心问题 4 题型三：外心问题 4 题型四：内心问题 4 题型五：奔驰定理 5 03 过关测试 8 1、重心 ①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1. ②重心的向量表示：如图所示在中，为重心 ③重心坐标公式，设，则的重心坐标为. 2、内心 是的内心.(分别是内角的对边) 3、垂心 在中，为重心 4、外心 若为内一点，则为的外心. 5、奔驰定理 若为内一点，且满足，则的面积之比等于. 题型一：重心问题 【例1】为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【变式1-1】已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【变式1-2】已知的重心为，若其所在平面内有4个不同点满足给出下列四个结论： ① ② ③的最小值为3 ④的最大值为18 其中正确结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二：垂心问题 【例2】已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-1】设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【变式2-2】已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 题型三：外心问题 【例3】已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式3-1】设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-2】已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 题型四：内心问题 【例4】已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式4-1】已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【变式4-2】A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型五：奔驰定理 【例5】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【变式5-1】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【变式5-2】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【变式5-3】（多选题）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 1．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 2．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 3．已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 4．已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 5．在中，，点是外心，点是的中点，则为（    ） A．4 B． C． D． 6．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 7．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．（多选题）（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 9．（多选题）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 10．（多选题）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（    ）    A．若，则 B．若，则为的重心 C．若为的内心，则 D．若为的外心，则 12．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 13．已知为的垂心，，，若，则______． 14．已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________. 15．已知点O为的外心（各边中垂线的交点），，则__________． 16．在中，，且，则边__________；为的外心，若，其中，则__________. 17．已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为．则的值为______． 18．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 19．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________. 20．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)设是的重心，求的最小值． 21．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 28/40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $