高一数学下学期第一次月考（人教A版必修第二册第六章平面向量～第七章复数，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 3．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．设复数在复平面上对应的向量分别为，以下等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 5．已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则A，B，C，D四点构成平行四边形 ③若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 ④向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 ⑤若两非零向量，满足，则与的夹角是 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，且，若且，下列说法中正确的是（    ） ①对于任意的，总存在，使得成立； ②对于任意满足的，总存在，使得成立 A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②也正确 D．①不正确，②也不正确 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（   ） A．复数的虚部为 B． C． D．若复数满足，则最小值为 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11．已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数，则的取值范围为__________. 13．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 14．O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知单位向量满足． (1)求的最大值； (2)若在上投影的数量为，求的值； (3)设向量满足，求的取值范围． 16．（15分） 已知复数，，且是实数. (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 17．（15分） 如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 18．（17分） 在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长． 19．（17分） 在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____. (1)求角A的大小； (2)求的取值范围； (3)若BC边上的中线长为，，求的面积. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 2．已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 3．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 4．设复数在复平面上对应的向量分别为，以下等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设复数，则在复平面上对应的向量分别为， 所以，A选项错误； 所以，D选项错误； 所以，，B选项错误； 设复数，则在复平面上对应的向量分别为， ，C选项正确； 故选：C. 5．已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 6．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则A，B，C，D四点构成平行四边形 ③若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 ④向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 ⑤若两非零向量，满足，则与的夹角是 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】由已知得：，①对； 若，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，故②错误， 若平面向量与平面向量相等，则始点相同时，终点必须相同，始点不同时终点也不相同，故③错误， 因为，故与不共线，可作为基底，故④正确， 设， 则， 所以，设与的夹角为， 则，即，⑤正确. 故选：B 7．的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则，当且仅当时取等号， 因此，，，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 8．已知向量，且，若且，下列说法中正确的是（    ） ①对于任意的，总存在，使得成立； ②对于任意满足的，总存在，使得成立 A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②也正确 D．①不正确，②也不正确 【答案】D 【详解】设， 因为， 当时，方程明显成立， 当时，即， 又， 所以，又，所以， 又，所以点在直线上， 又，所以， 即点在与垂直的直线上， 当，即点在点处时，此时点在轴上（不含原点），无法满足， 即命题①不正确； ， ，即点在以为直径的圆上， 又，所以同向， 所以当时，，此时不存在点使， 故命题②不正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（   ） A．复数的虚部为 B． C． D．若复数满足，则最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，复数的虚部为，故A正确； 对于B，两个复数不能比较大小，故B错误； 对于C，设，则， ，所以，故C正确； 对于D，由，可知对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 又原点到的距离为，所以最小值为，故D正确. 故选：ACD. 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11．已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】设. 由知：，则有， 则设， 则， 因为，所以. 故答案为：. 13．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 14．O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 【答案】 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    易知，所以， 因此可得三点共线， 易知与的公共边为，设点到边的距离为， 可知到边的距离为，到边的距离为， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知单位向量满足． (1)求的最大值； (2)若在上投影的数量为，求的值； (3)设向量满足，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【详解】（1）因为单位向量满足， 则， 当且仅当时等号成立， 故当时，取得最大值为1； （2）在上投影的数量为， 又，则得，所以； （3）设，， 则， ， 因， 故， 整理得， 设函数， 则在区间上存在零点，则， 即，解得，即， 又，， 且当时，，即， 即在区间上存在零点，所以的取值范围为. 16．（15分） 已知复数，，且是实数. (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，， ∴. ∵是实数，∴，解得. ∴，∴. （2）由（1）知，∴. ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得，即实数m的取值范围为. 17．（15分） 如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以. （2）延长与交于点，因为三点共线， 所以， 又因为，且，所以， 即， 所以，解得，所以，则. 所以. 18．（17分） 在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 因为，则， 故． （2）∵，且, ∴， ∵，， ∴，解得， ∵，∴， ∴， ∴. （3）∵，∴， 由余弦定理得， ∴， 又，∴，则， ∴， 于是的周长． 19．（17分） 在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____. (1)求角A的大小； (2)求的取值范围； (3)若BC边上的中线长为，，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）选择条件①，因为， 由正弦定理，得，将代入条件①， 则， 因，，约去，得， 展开，即， 移项得，即，又，所以； 选择条件②，根据题意可知，， 等式两边同乘abc，得，由正弦定理，则， 因为，，所以， 因，，约去，得，故； 选择条件③，由余弦定理， 代入条件③，则⟹，化简得：， 对比余弦定理，得，即，因为，所以； （2）由，得，即， ， 因为，所以，， 故的取值范围是； （3）设BC中点为D，，，， 由向量关系，平方得， 即，即⟹，解得舍负， 面积 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AB AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为单位向量满足， 则， 当且仅当时等号成立， 故当时，取得最大值为1；（3分） （2）在上投影的数量为， 又，则得，所以；（6分） （3）设，， 则， ， 因， 故，（9分） 整理得， 设函数， 则在区间上存在零点，则， 即，解得，即，（11分） 又，， 且当时，，即， 即在区间上存在零点，所以的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）∵，， ∴. ∵是实数，∴，解得. ∴，∴.（7分） （2）由（1）知，∴. ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得，即实数m的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1），， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 同理，因为三点共线，所以，（3分） 又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以.（7分） （2）延长与交于点，因为三点共线， 所以，（9分） 又因为，且，所以， 即，（12分） 所以，解得，所以，则. 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 因为，则， 故．（4分） （2）∵，且, ∴，（6分） ∵，， ∴，解得，（8分） ∵，∴， ∴， ∴.（11分） （3）∵，∴，（13分） 由余弦定理得， ∴，（15分） 又，∴，则， ∴， 于是的周长．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）选择条件①，因为， 由正弦定理，得，将代入条件①， 则， 因，，约去，得， 展开，即， 移项得，即，又，所以； 选择条件②，根据题意可知，， 等式两边同乘abc，得，由正弦定理，则， 因为，，所以， 因，，约去，得，故； 选择条件③，由余弦定理， 代入条件③，则⟹，化简得：， 对比余弦定理，得，即，因为，所以；（6分） （2）由，得，即， ，（9分） 因为，所以，， 故的取值范围是；（12分） （3）设BC中点为D，，，， 由向量关系，平方得， 即，即⟹，解得舍负， 面积（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $