9.1.1 平面直角坐标系的概念（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

9.1.1 平面直角坐标系的概念 第九章 平面直角坐标系 平面直角坐标系 第九章 9.1 用坐标描述平面内点的位置 9.2 坐标方法的简单应用 章节导读 用坐标表示地理位置 用坐标的变化表示平移 由坐标变化判断图形平移 平面直角坐标系的概念 用坐标描述简单几何图形 学 习 目 标 1 2 3 理解平面直角坐标系的定义与构成，明确象限划分规则； 掌握点与有序数对的一一对应关系，能进行点与坐标的互化； 归纳坐标轴及象限内点的坐标特征，体会数形结合思想，提升几何直观素养. 章节导入 在庆祝中华人民共和国成立70周年联欢活动中，天安门广场上出现了“祖国万岁”等壮观的图案，你知道它们是怎么组成的吗？ 原来，表演现场设置了由有序数对标识的点位，3000多名表演者手举光影屏，根据预先编排的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同的图案．类似于生活中用有序数对确定位置，在数学中可以通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画平面内点的位置． 在本章中，我们将学习平面直角坐标系等有关知识，由此建立图形与数量之间的联系．这将为几何问题和代数问题的相互转化打下基础． 导入新课 这节课，我们就在有序数对的基础上，继续学习、系统掌握一种更规范、更通用的方法，用来刻画平面内任意一点位置的新工具——平面直角坐标系． 同学们，在本章开头我们就知道：天安门广场联欢活动里的表演点位，是用我们小学学过的有序数对来表示的，它能帮我们准确刻画平面内点的位置． 新知探究 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标． 新知探究 点A在数轴上的坐标是-4、点B在数轴上的坐标是2， 数轴上坐标为5的点表示的是点C ． 忆一忆：A、B两点在数轴上的坐标分别为多少？数轴上坐标是5表示的哪个点？ 利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置． 新知探究 类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置吗（例如图中A，B，C，D，E各点）？ 思考 能不能用两条互相垂直、原点重合的数轴呢？ 新知探究 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系． 水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向； 竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向； 两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． y轴 x轴 原点 新知探究 B（____，____） （3, 4） －4 A的横坐标是3，纵坐标是4. 有序数对（3，4）叫做点A的坐标 记作：A （3，4） －3 C（____，____） 0 2 E（____，____） －2 0 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了． 先过这点分别向x，y轴作垂线看垂足对应的实数. D（____，____） 0 －3 新知探究 原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标又有什么特点呢？ 思考 O (0, 0) A (2, 0) B (0, 3) C (-4, 0) D (0, -2) A (2, 0) B (0, 3) C (-4, 0) D (0, -2) x轴上的点，纵坐标为0 y轴上的点，横坐标为0 新知探究 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限. 注意：坐标轴上的点不属于任何象限. Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 典例分析 例1：如图，写出坐标系中各点的坐标． 【解析】本题考查了平面直角坐标系； 根据平面直角坐标系和各点的位置可直接写出坐标． 解：由图得：，，，，，． 基础训练 1．教室里，小明，小亮，小红的位置如图所示，如果小明的位置用表示，小亮的位置用表示，则小红的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． A 解：∵小明的位置用表示，小亮的位置用表示， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴小红的位置可以表示为， 故选：A． 基础训练 2．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 1 解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 新知探究 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + - + - - + - 你能说出平面直角坐标系中各象限点的坐标特征吗？ 思考 典例分析 例2：在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4 , 5)，B(-2 , 3)，C(-2.5 , -2)，D(4 , -2)，E(0 , -4)． （ -2 ,3 ） （ -2.5 ,-2 ） （ 4 ,-2 ） （ 0 ,-4 ） 　　解：如图，先在 x 轴上找出表示 4 的点，再在 y 轴上找出表示 5 的点，过这两个点分别作 x 轴和 y 轴的垂线，交点就是点 A． 　　类似地，点 B，C，D，E 的位置如图所示． 在平面直角坐标系中确定坐标(a，b) 所表示的点 P 的具体步骤 第 1 步：在 x 轴上找出表示数 a 的点，过该点作 x 轴的垂线； 第 2 步：在 y 轴上找出表示数 b 的点，过该点作 y 轴的垂线． 两条垂线的交点就是已知坐标表示的点 P． 典例分析 方法技巧 基础训练 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 【解析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征．根据点A的横纵坐标符号即可判断其所在象限，即可作答． 解：∵点的横坐标为负数，纵坐标为正数 ∴点A在第二象限 故选：B． 基础训练 2．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是_________． 【解析】本题考查了点的坐标，求点到坐标轴的距离，根据第二象限点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正，且点到两坐标轴的距离相等，即横坐标与纵坐标的绝对值相等，列出方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由点在第二象限，得，， ∵点到两坐标轴的距离相等，∴， ∵，，∴， 解得， 代入得点坐标为，故答案为． 新知探究 类比数轴上的点与实数是一一对应的．对于坐标平面内任意一点 M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)（即点 M 的坐标）和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点 M（即坐标为(x，y)的点）和它对应． 也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置． 新知总结 平面直角坐标系 ①平面直角坐标系的构成 ②点的坐标表示 平面内点用有序数对 (x, y) 表示，与有序实数对一一对应；x为横坐标，y纵坐标。 平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系，分别为x轴（横轴）和y轴（纵轴），交点为原点 O ． ③坐标特征 原点：(0, 0) x 轴上点：纵坐标为 0；y 轴上点：横坐标为 0 象限符号：一 (+,+)、二 (-,+)、三 (-,-)、四 (+,-) 坐标轴上点不属于任何象限 巩固练习 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． B 【解析】根据小手盖住的位置在第一象限，据此逐项判断即可求解． 解：A. 在第三象限，不合题意； B. 在第一象限，符合题意； C. 在第二象限，不合题意； D. 在第四象限，不合题意． 巩固练习 2．若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【解析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 解： 轴，点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点N的横坐标为， ，解得． A 巩固练习 3．2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 解：如图，建立平面直角坐标系，  ∴点的坐标为． 故答案为：． 巩固练习 4．如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 【解析】（1）根据点的坐标 画出点A，C，再根据点B的位置写出坐标； （2）画出，利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可． 解：（1）如图，点A，C即为所求，． （2）如图，，即为所求． 拓展提升 5．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 解：（1）∵点在轴上，，∴， ∴，∴，∴此时点的坐标为； （2）∵点到轴的距离与到轴的距离相等，， ∴， 当时，解得：， ∴，，∴点的坐标为； 当时，解得：， ∴ 即 ，∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 课堂总结 感谢聆听! $