专题11 复数中的重点问题（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题11 复数中的重点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、复数的乘方运算 1 类型二、复数中的综合运算 3 类型三、复数中的几何意义问题 7 类型四、复数范围内方程的根 11 类型五、复数中的新定义问题 14 类型六、复数的三角表示 18 压轴专练 24 类型一、复数的乘方运算 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 1．（24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法、除法运算可得复数，再由复数即几何意义可得在复平面对应的点即可求解. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C 2．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：B 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据复数的运算法计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】复数， ，， 所以. 故选：A 4．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则___________． 【答案】0 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 5．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则______. 【答案】 【分析】根据虚数单位的性质，复数的运算法则求复数，再利用模的公式求结论. 【详解】因为，所以，， 所以，可化为， 所以， 所以， 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由虚数的性质，可得， 可得. 故答案为： 类型二、复数中的综合运算 1．（多选题）（24-25高一下·甘肃定西·期中）设复数（，为虚数单位），，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数代数形式的乘法运算、复数的模及复数相等的条件，求出、，即可得解. 【详解】因为，则， 所以，所以或，又， 所以，则，所以，，故A、C正确，B错误； ，故D正确. 故选：ACD 2．（多选题）（24-25高一下·山东青岛·期末）已知，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BCD 【分析】设，根据赋值的四则运算即模长公式等可逐项判断. 【详解】设， ， ， ， 即或，故A错误； ，， 即， 所以，故B正确； ， ， 则或， 所以，则或，故C正确； ，， 即，故D正确； 故选：BCD. 3．（多选题）（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，均不为0，复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】依题意设，由共轭复数的定义以及模长公式利用复数运算法则对选项逐一计算进行验证即可求得结果. 【详解】根据题意，不妨设，且和不同时为零； 对于A，， 又，即可得，所以A正确； 对于B，， 而，因为不一定成立，所以B错误； 对于C，， ，因此，即C正确； 对于D，易知 ， 又，所以，即D正确. 故选：ACD 4．（多选题）（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，，x，y，a，，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算判断选项. 【详解】设，，x，y，a，，则 对A，令，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，取，，则， ，故，故C错误， 对D，，， 得到，故，故D正确. 故选：BD 5．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】举例说明AB是错误的；根据复数模的概念，判断C的真假；利用复数乘法的运算法则，判断D的真假. 【详解】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合，所以， 所以，所以； 当时，或. 若，则，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 类型三、复数中的几何意义问题 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 2．设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 4．（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)5 (2)7 【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得，，则，从而得到其对应的复数； （2），则，利用平行四边形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）向量对应的复数为,所以向量， 对应的复数为,所以向量， ， ， ， 点对应的复数为5 . （2）， ， ，， . 故平行四边形面积为7. 类型四、复数范围内方程的根 复数范围内方程的根 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 1．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知是关于的方程的根，则（   ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】C 【分析】先由实系数一元二次方程复数根的共轭性，得到方程的另一根为，再由韦达定理求出的值，即可得解. 【详解】因为关于的方程的系数为实数， 且是方程的根，所以由复数根的共轭性可知另一根为， 由韦达定理可知，得， ， 所以. 故选：C 2．（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用实系数一元二次方程的复数根公式求解即可. 【详解】方程的复数根为． 故选：A 3．若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将代入方程中，即可根据且求解. 【详解】将代入可得， 化简可得， 故且，解得，， 故选：C 4．已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】先求出方程的两复数根，然后利用复数模的运算求解即可. 【详解】由得， 可得方程的两个复数根分别为，， 所以. 故选：D 5．若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】解复数方程求出，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得，即，解得， 故由模长公式得. 故选：B 6．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【详解】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B 类型五、复数中的新定义问题 1．（多选题）（24-25高一下·湖北武汉·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④. 则下列结论正确的是（） A．若，，则 B．若，，则 C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，故A错误； 对于B，因为因为，， 所以， 所以，故B正确； 对于C，，所以， ，所以， 所以不一定相等，故C错误； 对于D，设，则， 所以，故D正确; 故选：BD． 2．（多选题）定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 【答案】BCD 【分析】设，则由题设条件可得，据此利用反证法判断AC，取特例判断B，利用复数的乘法计算后判断D. 【详解】设，则， 整理得，故即， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B成立； 对于C，若在复平面内对应的点位于第二象限，则， 此时不成立，故在复平面内对应的点不可能位于第二象限， 故C正确； 对于D，，故的实部是5， 故D正确. 故选：BCD. 3．（多选题）（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 4．（多选题）（24-25高一下·山东聊城·期末）欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（    ） A．的虚部为1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，得到虚部；B选项，，由共轭复数的定义可知B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，通过计算可得的一个周期为6，且，通过周期可得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误； B选项，，故，B正确； C选项，， ， 故，，C正确； D选项，，， ， ， 故的一个周期为6， 且 ， 故 ，D正确. 故选：BCD 5．（25-26高一下·全国·课后作业）定义运算．若复数，，则_____________，_____________． 【答案】 1 【分析】先由复数的运算计算和，将其代入到，再根据题干的定义运算进行求解即可. 【详解】由题意可得，则； 所以． 6．（2025高一·全国·专题练习）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为______.（填序号） 【答案】②③ 【分析】对于①举出反例即可；对于②利用已知的定义进行判断即可；对于③同样利用定义进行判断. 【详解】对于①，复数，，满足， 但，，不满足，故①不正确； 对于②，设，，， 由，可得“”或“且”，所以，故②正确； 对于③，设，，， 由可得“”或“且”， 显然有“”或“且”， 从而，故③正确. 故答案为：②③. 类型六、复数的三角表示 1、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. 2、复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． 3、三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，幅角相加 5、复数乘法的几何意义 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义. 6、复数三角形式的除法及其几何意义 （1）复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 （2）复数除法的几何意义 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 2．（2024高一下·全国·专题练习）复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的除法运算得，进一步由复数乘法的几何意义即可运算求解. 【详解】，又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转， ∴旋转后的向量对应的复数为. 故选：A. 3．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解. 【详解】因为， 所以的辐角的主值为. 故选：D. 4．（2025高一·全国·专题练习）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的三角形式的乘法运算即可求解. 【详解】由题可知， 所以， 所以， 故选:B. 5．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【详解】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3） . 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一将复数都化为三角形式再进行运算，方法二将复数都化为一般形式再运算即可. （2）将复数都化为三角形式再进行运算即可. 【详解】（1）方法一：原式 . 方法二：原式. （2）原式. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4096 【分析】（1）利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得； （2）将幂的底数化成三角形式，再利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得. 【详解】（1）． （2）． 1．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 2．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出，逐项判断. 【详解】由方程得， 对于A：显然不对，A错误； 对于B：若，则；若，则；B错误； 对于C：法1，若，，则； 若，，则；C错误； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误； 对于D：法1，若，，则； 若，，则；D正确； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确； 故选：D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. 【详解】， 故选：B 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 5．（多选题）（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质判断各个选项即可. 【详解】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，A选项正确；B选项错误； ，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：ACD. 6．（多选题）已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D. 【详解】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 7．（多选题）已知复数满足，则（    ） A．与的实部相等 B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断A、C，根据共轭复数的性质及模的相关运算判断B、D. 【详解】取，满足，但它们的实部不相等，A错误； 由，，所以，B正确； 取，满足， ，C错误； 设复数，则， ，所以，D正确. 故选：BD 8．（多选题）设，，为复数，，下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．，则 【答案】ABC 【分析】设，，，利用复数的模的运算法则计算可判断A；利用复数的乘法法则运算可判断B；由题意可得判断C；利用赋值法可判断D. 【详解】对于A，，， 所以， 所以 ， 又，，所以， 所以，故A正确； 对于B，设，，， 所以 又， 所以 ， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 又因为，所以，所以，故C正确； 对于D，取， 则，， 满足，但，故D错误. 故选：ABC. 9．（多选题）在代数发展史上的很长一段时间内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.我们发现：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积，进而一元次多项式方程有个复数根（重根按重数记），我们发现这些根与系数之间存在一些确定的关系.比如，实系数一元二次方程在复数集内的根为，，容易得到，.根据以上信息，下列关于方程的结论，正确的有（   ） A．是该方程唯一的有理数解 B．方程存在两个虚数根，且它们为共轭复数 C．若方程在复数集内的根为，，，，则 D．若方程在复数集内的根为，，，，则 【答案】BD 【分析】依题意可将方程进行因式分解得出该方程的4个复数根，对选项逐一分析判断可得结果. 【详解】根据题意可将方程分解为4个一次因式的乘积， 易知， 由方程可得，解得； 所以方程的4个复数根分别为； 对于A，和均是该方程的有理数解，即A错误； 对于B，显然互为共轭复数，即B正确； 对于C，易知4个复数根之和为，所以C错误； 对于D，4个复数根之积为，即D正确. 故选：BD 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）设是虚数单位，__________． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法的运算以及复数的周期性即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 【答案】 【分析】设，，，根据复数乘方运算得，从而根据复数的模运算法则得到在复平面内对应的点组成的集合. 【详解】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 故答案为： 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列复数的模和辐角主值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值； （2）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值. 【详解】（1），又， 点在第二象限，所以． （2），又， 点在第四象限，所以． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由复数的三角形式表示的概念可得解. 【详解】（1）由复数的三角形式表示为，且，且，， 又，所以，解得， 所以； （2）由，所以，解得， 所以； （3）由，所以，解得， 所以； （4）由，所以，解得， 所以. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，求的辐角的主值． 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再结合辐角主值的定义求出. 【详解】 ， 因为辐角主值属于，所以的辐角的主值为． 15．（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法公式和乘方公式计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 16．（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 17．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）使用复数的除法运算法则即可求得，进而由复数的乘法运算即可求的值； （2）由复数减法的几何性质，可确定点的轨迹为，在复平面内对应的点为，由复数减法的几何性质，当最大值，点到的距离最大，结合圆的几何性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）设在复平面上的点为， 因为，由复数减法的几何意义可得：在以为圆心，以1为半径的圆上， 即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即， 在复平面内对应的点为，在圆上，如图： 若要取的最大值，则动点与定点的距离最大， 所以当对应的点为时，的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 复数中的重点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、复数的乘方运算 1 类型二、复数中的综合运算 2 类型三、复数中的几何意义问题 3 类型四、复数范围内方程的根 4 类型五、复数中的新定义问题 6 类型六、复数的三角表示 7 压轴专练 10 类型一、复数的乘方运算 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 1．（24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）=（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（ ） A． B． C． D．0 4．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则___________． 5．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则______. 6．（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，则________． 类型二、复数中的综合运算 1．（多选题）（24-25高一下·甘肃定西·期中）设复数（，为虚数单位），，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一下·山东青岛·期末）已知，下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 3．（多选题）（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，均不为0，复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 类型三、复数中的几何意义问题 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 4．（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是______． 5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 类型四、复数范围内方程的根 复数范围内方程的根 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 1．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知是关于的方程的根，则（   ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 2．（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（   ） A． B． C． D． 3．若是关于的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 5．若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 类型五、复数中的新定义问题 1．（多选题）（24-25高一下·湖北武汉·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④. 则下列结论正确的是（） A．若，，则 B．若，，则 C． D． 2．（多选题）定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 3．（多选题）（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（24-25高一下·山东聊城·期末）欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（    ） A．的虚部为1 B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）定义运算．若复数，，则_____________，_____________． 6．（2025高一·全国·专题练习）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为______.（填序号） 类型六、复数的三角表示 1、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. 2、复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． 3、三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，幅角相加 5、复数乘法的几何意义 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义. 6、复数三角形式的除法及其几何意义 （1）复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 （2）复数除法的几何意义 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2). 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)． 1．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 2．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 5．（多选题）（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 6．（多选题）已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 7．（多选题）已知复数满足，则（    ） A．与的实部相等 B． C． D． 8．（多选题）设，，为复数，，下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．，则 9．（多选题）在代数发展史上的很长一段时间内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.我们发现：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积，进而一元次多项式方程有个复数根（重根按重数记），我们发现这些根与系数之间存在一些确定的关系.比如，实系数一元二次方程在复数集内的根为，，容易得到，.根据以上信息，下列关于方程的结论，正确的有（   ） A．是该方程唯一的有理数解 B．方程存在两个虚数根，且它们为共轭复数 C．若方程在复数集内的根为，，，，则 D．若方程在复数集内的根为，，，，则 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）设是虚数单位，__________． 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列复数的模和辐角主值． (1)； (2)． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 14．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，求的辐角的主值． 15．（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 16．（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 17．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $