专题10 （优质好题速递）平面向量、解三角形必刷题型（12大题型85题）（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题10 平面向量、解三角形必刷题型 （12大题型85题） 题型01 平面向量基本定理 1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 2．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线建立方程，由基底的定义，可得答案. 【详解】对于A，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误； 对于B，设则，显然无解，则向量与向量不共线，即能构成一组基底，故B正确； 对于C，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误； 对于D，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误. 故选：B. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 5．如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量的线性运算，将和用、表示，再结合向量数量积的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以， 所以， 又点为边的中点，所以， 所以， 又四边形为菱形，所以，， 所以， 又菱形的边长为，， 所以 . 故选：D 题型02 平面向量共线定理及其推论 1．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 3．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知向量.若三点共线，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 4．（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可. 【详解】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 5．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三点共线定理，依题意可得，，根据平面向量三点共线定理计算可得. 【详解】由， 由已知，则， 根据平面向量三点共线定理得，解得. 故选：A 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 7．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 题型03 平面向量的数量积、模长、夹角问题 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】运用向量模长的平方公式，然后代入计算. 【详解】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 2．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 3．已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对两边平方即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值． 【详解】 ， ， 即，解得， ，解得． 故选：D 4．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件先求出的坐标，再由两向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 5．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出、、的值，再根据向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】解析：因为，所以， 所以，即， 即，所以 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：D. 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 7．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的运算律进行求解即可. 【详解】因，，， 由， 而， 所以， 故答案为：. 8．（2026高一·全国·专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】设的坐标，根据数量积的定义及向量的坐标运算法则，可求得向量与向量夹角的余弦值.或直接由数量积的定义及运算法则求解. 【详解】因为，所以可设，，则，. 因为，所以，即. 则. 即向量与向量夹角的余弦值为. 方法二： 因为，所以，即. . 即向量与向量夹角的余弦值为. 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 10．已知向量，，且，则向量的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据向量数量积为0和模为1列方程求解. 【详解】设，由， 所以或，所以或． 故答案为：或 题型04 投影向量问题 1．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以. 3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，可得，故， 所以在方向上的投影向量的坐标是. 故选：B 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 5．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 6．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得四边形是等腰梯形即可由投影向量几何意义求解. 【详解】因为， 所以，所以四边形是等腰梯形， 所以向量在上的投影向量为 . 故选：D 7．（24-25高一下·福建南平·期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的几何意义，确定的形状，再根据投影向量的几何意义确定问题的答案. 【详解】如图： 因为，所以点为中点，所以. 又，，所以为等边三角形. 取中点，连接，则. 则即为向量在向量上的投影向量. 又. 故选：B 题型05 极化恒等式 1．（25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法，化简得到，即可求得的最小值. 【详解】连接，如图， ， 根据图形知，当点位于正六边形各边的中点时，此时最小值为，的最小值为， 所以的最小值是. 故选：B 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 4．已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至，使，依题意可得共线，则是等边三角形，取的中点，求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，    所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 5．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正六边形内切圆圆心为，则，然后利用数量积的运算律及定义求解即可. 【详解】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 题型06 等和线的应用 1．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    2．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 3．已知点为的外接圆圆上一点（不与、重合），且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令为线段与边交点有且，根据题意有且，即可得答案. 【详解】若为线段与边交点，则且， 由题设，在的边外侧，如上图中上， 令，则，而， 所以， 当变大时，外接圆半径趋向无穷大，此时可趋向无穷大， 综上，的取值范围为. 故选：B 4．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】构造“等和线”解题，作，连接，则，对应的，作与平行的直线，点在同一直线上时，相等，求出过和的直线对应的“和”，即可得所求范围． 【详解】构造“等和线”解题，作， 连接，则， 所以， 显然对应的， 作出的一系列平行线，对应的 对应的， 过点对应的等和线，过点对应的“等和线：， 所以的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若是不共线向量，，则共线，由此可得，当点在与平行的直线上时，对应的相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 题型07 平面向量与三角形的“四心” 1．（24-25高一下·北京·月考）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算可得，结合平面向量基本定理可求，由此可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心， 可得为中点，， ， 所以， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·河南·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B. 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】将用与表示出来，再利用外心的性质求出与，最后根据向量数量积的运算求出． 【详解】已知，即． 根据向量加法的三角形法则可得，将代入可得： 设为中点，因为点为的外心，则，即． 又因为． 由于，且，则． 已知，所以． 同理，设为中点，则． 因为，且，所以． 已知，所以． 将代入可得： 故选：A． 4．（23-24高一下·浙江·期中）设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案. 【详解】取的中点，连， 因为，，所以，， 所以的内心在线段上，为内切圆的半径， 因为， 所以， 所以，得， 所以， 所以， 又，所以， 又已知，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键. 5．（多选题）（23-24高一下·陕西西安·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的外心，满足，则是的垂心 C．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的外心 D．若，则为的外心 【答案】ABD 【分析】对于A：设为中点，通过判断；对于B；通过证明来判断；对于C：通过来判断；对于D：通过来判断. 【详解】对于A：设为中点， 则，则三点共线，即点在边的中线上，同理，点也在边的中线上，所以为的重心，A正确；    对于B：由已知，即，因为，所以，即点在边的高上，同理点在边的高上，所以是的垂心，B正确；    对于C：，，，分别是向量方向上的单位向量，设向量方向上的单位向量分别为， 则，即，又菱形的几何特征可得直线一定经过的内心，C错误； 对于D：由得，即点在边的垂直平分线上，同理，点在边的垂直平分线上，即点为的外心，D正确；    故选：ABD. 6．（多选题）（24-25高一下·四川南充·月考）已知点在所在平面内，则下列叙述正确的有（    ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的外心 C．若，则点是的垂心 D．若，则点是的内心 【答案】AC 【分析】由到三个顶点的距离相等可得A正确；由中线的性质可得B错误；由向量垂直可得C正确；数量积的运算律结合内心的性质可得D错误. 【详解】对于A，若，则到三个顶点的距离相等，所以点是的外心，故A正确； 对于B，若，则若，这里为边中点， 所以所在的直线经过的中点，与中线共线， 同理可得分别与的中线共线， 所以点是三条中线的交点，即为重心，故B错误； 对于C，若，则若，即，即， 所以， 同理可得另外两向量都与相应边垂直， 所以点是的垂心，故C正确； 对于D，若， 即若，即，即， 所以， 所以点不在的角平分线上，故D错误. 故选：AC. 7．（多选题）（25-26高一上·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 题型08 正余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 2．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先求出角，再利用正弦定理即可求得结论. 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 4．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 6．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 7．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 8．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到，再根据正切的二倍角公式即可求出． 【详解】由，则， 则， 又在中，， 则，且， 所以， 即，得， 所以，， 所以． 故选：B． 9．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 题型09 三角形的面积问题 1．（24-25高一下·河北邯郸·月考）在中，，且的面积为，则角B的大小为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用面积公式得，利用特殊角的函数值求解即可. 【详解】的面积，解得， 因为，所以角的大小为或. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理先求出边的值，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】由已知及余弦定理得， 解得（负值舍去）， 所以的面积为. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 4．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得，根据余弦定理，可得a值，根据勾股定理，可得角，代入面积公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 5．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 6．（25-26高一上·广东·期中）古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知，，，， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：A. 7．（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及得出，；再利用余弦定理即可求解. 【详解】由的面积为可得：； 由可得：. 因为， 所以，， 则. 因为， 所以，. 由余弦定理可知：，即. 故选：D 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，结合辅助角公式可得角和，再利用正弦定理可求外接圆半径，等面积法求内切圆半径，从而求解. 【详解】因为，所以， 即， 由余弦定理，得， ，， 在三角形中，则或(舍)，故， 由余弦定理，，所以， 由正弦定理，，则， 因为， 所以，所以. 故选:B 题型10 解三角形在实际问题中的应用 1．（24-25高一下·河南·期中）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（    ） A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，求出，再在中，利用正弦定理即可得解. 【详解】在中，，所以， 在中，由，可得， 在中，由正弦定理得：. 故选：D. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 3．（24-25高一下·天津西青·期末）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直角三角形中，求得，在中，由正弦定理求得，再在等腰直角求得． 【详解】在直角中，，则， 在中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角中，直角边， 故选：A． 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 5．（24-25高一下·重庆·期中）文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【详解】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 6．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）“一座越王楼，半部中国文学史”，位于四川省绵阳市龟山之巅的越王楼始建于唐高宗显庆年间（公元656-661年），其规模宏大，富丽堂皇，历代诗人咏越王楼的诗篇多达150余篇，如“危楼高百尺，手可摘星辰．不敢高声语，恐惊天上人”等．今天我们所看到的越王楼是2011年重建而成的，共有15层，站在楼上观光，可俯视整个绵阳的风景．现采用三角高程测量法测量越王楼的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 【答案】D 【分析】过作于，过作于，由题意可得，在中，由正弦定理可得，进而计算可求得A，B两点到水平面的高度差. 【详解】过作于，过作于， 由题意可得，， 在中，，所以， 所以，在中，，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以 ， 因为在点B处测得点A的仰角为，所以. 所以A，B两点到水平面的高度差约为m. 故选：D. 题型11 解三角形中角平分线、中线问题 1．（24-25高一下·山东聊城·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得. 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 3．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，可得，进而可求的最大值. 【详解】为中线，则，两边平方得， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 则. 故选：B. 4．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解可得角；根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理，得， 由，得， 所以，即. 因为，所以，又， 所以，因为，所以.    由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 故选：A. 6．（24-25高一下·吉林白山·月考）在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 【答案】/ 【分析】设，利用三角形面积得到方程，求出，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，利用三角形边上的中线的向量表示，利用平面向量数量积公式求出向量的模长即可． 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以， 因为，点为线段的中点， 所以， ， ， 故答案为：． 7．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    【答案】1 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为：1. 8．（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，利用向量的模长公式可求，根据二次型函数求最值即可 【详解】   ， 即，即，又，所以， 又的中线，所以， ， 又为锐角三角形，所以，， 即时，. 故答案为： 题型12 解三角形中的最值问题 1．（25-26高一下·广西贵港·月考）中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理计算即可. （2）方法一：先根据余弦定理列出关于的关系式，然后根据基本不等式的性质计算即可；方法二：先根据正弦定理得到，然后根据正弦函数的性质求出结果即可. （3）根据余弦定理结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：，， ，. （2）[方法一]：由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]： 设，则，根据正弦定理可知， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 此时周长的最大值为. （3）由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. 2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 4．已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最小正周期求出的值，即可得到解析式，再由诱导公式及两角差的正弦公式化简，由的范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）首先求出解析式，由求出，根据数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以， 则 ， 由，则，所以， 则，即在的值域为； （2）当时，， 所以，所以， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 5．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 【答案】(1)或 (2)直角三角形 (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，化简可求的值，进而求出角； （2）由题意求得或，结合勾股定理即可得解； （3）根据余弦定理可求出的取值范围，进而求面积的取值范围. 【详解】（1） ， 即 又，即得 又或； （2）由题意， 因为， 所以，解得， 又因为， 所以或，因为，， 所以是以为直角的直角三角形； （3）角为钝角，， 由余弦定理得：， 角为钝角，，即， . 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）已知，，可计算出，在中，利用正弦定理，结合已知的、和，建立等式求解；（ii）先由余弦定理，结合已知的、和，求解，最后依据三角形面积公式，计算的面积. （2）在中，用角表示；在中，结合角、的关系，用角表示，然后将转化为关于角的三角函数，根据角度范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【详解】（1）（i），，又，. 在中，已知，，，根据正弦定理可得， 即. （ii）在中，已知，，，根据余弦定理可得 ，将数值代入可得， 即，解得或. 由图可知，在中，，则，，. 根据三角形面积公式可得， 的面积. （2）由（1）可知，，，又， 则在中， ，即； 在中，由正弦定理可得，即. 在中，因为，所以，即. 因此，. ，，，即. 故的取值范围为. 7．在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】(1) (2)(i)     (ii) 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. （2）(i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 8．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干条件及余弦定理即可求解； （2）由（1）知.根据，推得.在中，由，，可得，.设，根据正弦函数的性质及同角三角函数的平方关系将问题转化为，，最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）∵，，∴， 在中，由余弦定理得，化简整理得， ∴由余弦定理得， ∵，∴. （2）由（1）知. ∵，∴，∴. 在中，∵，，又， ∴，. ∵，且，∴. 令，因为，所以 则，， ∴，， 令，，∵在上单调递增，∴. 又在上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得在上单调递减，∴， 即的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 平面向量、解三角形必刷题型 （12大题型85题） 题型01 平面向量基本定理 1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型02 平面向量共线定理及其推论 1．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知向量.若三点共线，则（    ） A． B． C．3 D．4 4．（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 5．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 题型03 平面向量的数量积、模长、夹角问题 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 2．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 7．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则__________. 8．（2026高一·全国·专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 10．已知向量，，且，则向量的坐标为______． 题型04 投影向量问题 1．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知四边形中，，则向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·福建南平·期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型05 极化恒等式 1．（25-26高一上·广东广州·期末）如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 4．已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06 等和线的应用 1．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知点为的外接圆圆上一点（不与、重合），且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是______． 题型07 平面向量与三角形的“四心” 1．（24-25高一下·北京·月考）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知，，若点为的外心，点满足，则（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24高一下·浙江·期中）设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 5．（多选题）（23-24高一下·陕西西安·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的外心，满足，则是的垂心 C．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的外心 D．若，则为的外心 6．（多选题）（24-25高一下·四川南充·月考）已知点在所在平面内，则下列叙述正确的有（    ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的外心 C．若，则点是的垂心 D．若，则点是的内心 7．（多选题）（25-26高一上·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 题型08 正余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 6．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型09 三角形的面积问题 1．（24-25高一下·河北邯郸·月考）在中，，且的面积为，则角B的大小为（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 5．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（25-26高一上·广东·期中）古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（    ） A． B． C． D． 题型10 解三角形在实际问题中的应用 1．（24-25高一下·河南·期中）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（    ） A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津西青·期末）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆·期中）文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）“一座越王楼，半部中国文学史”，位于四川省绵阳市龟山之巅的越王楼始建于唐高宗显庆年间（公元656-661年），其规模宏大，富丽堂皇，历代诗人咏越王楼的诗篇多达150余篇，如“危楼高百尺，手可摘星辰．不敢高声语，恐惊天上人”等．今天我们所看到的越王楼是2011年重建而成的，共有15层，站在楼上观光，可俯视整个绵阳的风景．现采用三角高程测量法测量越王楼的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 题型11 解三角形中角平分线、中线问题 1．（24-25高一下·山东聊城·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 3．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．4 6．（24-25高一下·吉林白山·月考）在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 7．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________.    8．（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 题型12 解三角形中的最值问题 1．（25-26高一下·广西贵港·月考）中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 2．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 4．已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 5．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 7．在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 8．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $