清单01 高考数学考前必背基础知识（抢分清单）2026年高考数学终极冲刺讲练测

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 清单01高考数学考前必背核心知识 (含20个专题，223个核心考点) 内容导览 专题01集合 专题02 常用逻辑用语 专题03复数 专题04平面向量 专题05 等式与不等式的性质 专题06 基本不等式 专题07 三角函数与诱导公式、三角恒等变换 专题08三角函数的图象及性质 专题09解三角形 专题10函数的概念及其表示 专题11 函数的基本性质 专题12指数对数幂函数 专题13函数的图象、 函数与方程、函数模型 专题14导数 专题15数列 专题16立体几何 专题17直线与圆 专题18圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 专题19 排列组合与二项式定理 专题20 概率统计 核心知识背记 专题01集合 考点1元素与集合 1.集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写字母A,B,C,表示，集合中的每 个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,b,c,.表示. 2.集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素α在集合中A中，就说元素 a属于集合A,记作a∈A,如果元素a不在集合中A中，就说元素a不属于集合A,记作a廷A_ 3.集合的分类 1/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集，不含任何元素的集合 叫作空集，记作☑一 4.元素与集合 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 (2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。 (3)常用数集及其记法： 正整 有理 实数 复数 数集 非负整数集（或自然数集） 整数集 数集 数集 集 集 符号 N N*或(N+) Z R 考点2集合的基本关系 文字语言 符号语言 集合A中任意一个元素都是 子集 A B 集合B的元素 集合A是集合B的子集，且 基本关系 真子集 集合B中至少有一个元素不 AB 在集合A中 集合A,B中元素相同或集 相等 A=B 合A,B互为子集 空集是任何集合的子集 0∈A 空集 空集是任何非空集合的 真子集 OB且B≠O 必记结论： (1)若集合A中含有n个元素，则有2”个子集，有2”-1个非空子集，有2”-1个真子集，有2”-2个 非空真子集。 (2)子集关系的传递性，即A∈B,B∈C→A∈C, 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的 情况，否则会造成漏解， 考点3集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 2/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 并 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的 {xk∈A,或 B AUB 集 集合 x∈B} 交 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的 {xr∈A,且 B AOB 集 集合 x∈B} 补 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集 {xx∈U,且 C CuA A 集 合 x使A} 考点4集合的运算性质 1.交集的性质： ①AnB≤A:②AnB≤B:③AnA=A: ④An必=_O:⑤AnB=BnA. 2.并集的性质： ①AUB2A:②AUB2B:③AUA=A;④AU0=A；⑤AUB=BUA. 3.补集的性质： ①CU(CUA)=A_;②CUU=_O:③CU0=U; ④An(CUA)=☑_；⑤AU(CUA)=U: CU(AnB)=(CUA)U (CUB): CU(AUB)=(CUA)(CUB) 专题02常用逻辑用语 考点1命题的概念 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题 (3)结构形式：“若卫，则9如果P，那么q”等形式的命题中，卫称为命题的条件，9称为命 题的结论. 3/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点2充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件的定义 一般地，“若p,则g”为真命题，是指由条件p通过推理可以得出q。 由p可推出q,记作p→q,并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件一。 如果“若p,则q”为假命题，是指由条件p不能推出结论q,记作p本q,则p不是q的充分条件，9 不是p的必要条件。 2.充分性和必要性的关系 在“若p,则q”中， 若：p→q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件 若：q→p,则q是p的充分条件，p是q的必要条件 也就是说：在“若p,则q”中， 条件→结论，充分性成立： 结论一条件，必要性成立” 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p→q,则p是q的充分条件，g是p的必要条件 p是g的充分不必要条件 p→q且q本p p是q的必要不充分条件 p本g且q→p p是q的充要条件 p台g p是q的既不充分又不必要条件 p本q且q本p 考点3集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题p对应集合A,命题q对应集合B 若A二B,即p→q,p是q的充分条件（充分性成立） 若A三B,即q→p,p是q的必要条件（必要性成立） 若AB,即p→q,9书p,卫是q的 充分不必要条件 4/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若A买B,即p本q,9→p,p是q的必要不充分条件 若A=B,即p→q,q→p,p是q的 充要条件 考点4全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“表示.含有全称 量词的命题，叫做全称量词命题·全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x) (2)存在量词：短语“存在一个“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词一，并用符号“3”表示.含有 存在量词的命题，叫做存在量词命题·存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记 为3x∈M,p(x)_ 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：H∈，()，它的否定一： 1∈，()不成立 全称量词命题的否定是存在量词命题， (2)存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：3∈，()，它的否定一：∈ ,()还成立 存在量词命题的否定是全称量词命题. (3)在书写这两种命题的否定时，相应地存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词一 专题03 复数 考点1复数的定义 复数：一般地，当a与b都是实数时，称+i为复数，复数一般用小写字母z表示，即=+〔，∈ R),其中α称为z的实部，b称为z的虚部·任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定。 考点2虚数单位与周期 i叫做虚数单位，规定2=1 ；虚数单位可以与实数进行四则运算 5/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 特别地，4+1= ,4+2= ,i4+3=-14=1,其中∈Z. 考点3复数的分类 对于复数=+i〔，∈)，复数=+i(,∈)，为实数台一= 为虚数 台 为纯虚数台 ；为非纯虚数数台 (丰 实数(=) 即复数=+i〔， 纯虚数(=) 虚数( 丰 (非纯虚数（≠） 考点4复数相等 如果，，， 都是实数，那么+i=+1台=且=·特别地，当，都是实数时， +i=0的充要条件是=0且=0. 考点5共轭复数及其性质 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，则称这两个复数互为共轭复数.复 数z的共轭复数用表示，即如果=十1，，∈R,那么=一1· 共轭复数的性质 设的共轭复数为，则 (1) =11=112. (2)2=()2. (3)12=12 考点6复平面及复数的几何意义 复平面： 在平面上建立直角坐标系，以坐标为(，)的点表示复数=+1(，∈)，就可在 平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面 叫做复平面，这 里的轴叫做 实轴 轴叫做 虚轴 注意：(1)表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0. (2)每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数 和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的. 6/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位) 对应 对应 一一对应 复平面内的点Z(a,b) 平面向量OZ(起点为原点O) 复平面上两点P,Q关于轴对称一它们所对应的复数相互共轭 考点7复数的向量表示 复平面内的点(，)表示复数=+i(、∈)，连接，向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也 可以由向量唯一确定这样，复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量也是 对应的（实数0与零向量对应）· 考点8复数的模 复数=+i(a、∈)在复平面上所对应的点(，)到原点的距离√+ 叫做复数z 的模（或绝对值），记作|，由模的定义可知|=|+=√+ 复数的模与该复数所对应的向量的模是一致 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到 原点 的距离。 考点9复数的加、减、乘、除运算法则 设1=+i,2=+i（,,,∈)，则 (1)加法：1+2=(+)+(+)=_(+)+(+i一· (2)减法：1-2=(+)+（+)=(-)+(-)i. (3)乘法：1·2=（+)·(+)=(-)+(+)1 (4)除法：上=+=+(-) 2 +1(+i0(-) =2+z+2+zi(+1+0). 考点10复数乘法的运算律 (1)对任意复数1,2,3，有 交换律 12= 结合律 (12)3=() 乘法对加法的分配律 1(2+3)=+ (2) 个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作，即=××…×·可以验证， 个 当，均为正整数时， (12)= 7/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04平面向量 考点1平面向量的定义与表示 (1)向量：在数学中，我们把既有大小_又有方向的量叫做向量. (2)向量的表示 ①表示工具—有向线段. 有向线段包含三个要素：起点一，方向，长度· ②表示方法： 向量可以用」 有向线段 表示，向量的大小称为向量的_长度（或称模），记作一一 向量可以用字母a,b,c,表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：， 考点2平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量. (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (⑤)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 考点3平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） atb b 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 a 平行四边形法则 8/82 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 求与的相反向量一的和的 减法 运算 三角形法则 (1)1|=1川： (2)当>0时， 的方向与的方向相同： 数乘 求实数与向量的积的运算 当<0时，的方向与的方向相反：当=0 时， =0 考点4平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 (1)交换律：+=+ (2)结合律：（+)+=一 +(+) 2.向量减法的运算律 几何意义：一可以表示为从向量的终点指向向量的终点 的向量. 定义：一=+（一），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反 向量. 3.-与，之间的关系 )对于任意向量，，都有-|‖_≤|-|≤」+|一： (2)当，共线，且同向时，有-|=」-|1_或1-11一： )当，共线，且反向时，有-|=」+ 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x,y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(+)=一+ (2)对实数乘法的结合律：()=() (3)对向量加法的分配律：(+)=一 考点5平面向量共线定理 向量（≠0）与共线的充要条件是：存在一唯一一个实数，使= 给定四点，，，，其中，，为不共线的三点，且=+，则，，三点共线的充要条件是 十= 9/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点6平面向量基本定理 条件 1,2是同一平面内的两个 不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1,2，使一=”+ 基底 若，2不共线，把{，2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 考点7平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量=都可用从原点出发的有向线段 表示.原点到 1(1,0),2(0,1)的向量1=1,2=2分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基， 则==1+2的坐标(，)视为在这组基下的坐标，等于向量终点(，)的坐标。 考点8平面向量线性运算的坐标表示 己知=(1,1)，=（2,2)，则： (1)+=(+，+) 即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. (2)若点A坐标为(1,1)，点B坐标为(2,2)，0为坐标原点， 则 =(，)-,=_(，), =(2,2)-(1,1)=(-， )，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 ； 4)设向量=(y),则”=(，)一 (⑤)中点坐标公式：若，2的坐标分别为(1,1)，(2,2)，线段12的中点P的坐标为(，)，则 =1+2 考点9平面向量平行（共线）的坐标表示 设=(1,1)，=（2,2)，其中≠0.向量，（≠0）共线的充要条件是 考点10平面向量的数量积的定义及性质 (1)数量积的定义 般地，当与都是非零向量时，称一「川|<，>为向量与的数量积（也称内积）， 记作·，即·=川|<，>一 10/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)数量积的性质 ①·I≤1川1 ②·=11，即川1=V· ③1台·= 考点11平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作=，=，则2=(0≤≤π)叫 做向量与的夹角. 注意：①当=0时，向量与同向： B b 00 →A ②当=时，向量与_垂直，记作上； ③当=π时，向量与反向 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，上不是向量与的夹 角.作=，则上才是向量与的夹角. A 向量的夹角公式： (,）= 考点12：平面向量数量积的运算律 己知向量，，和实数，则 (1)交换律： (2)数乘结合律： ()·=(·)=·() (3)分配律： (+)·=·+· 注意：(1)向量的数量积不满足消去律；若，，均为非零向量，且·=·，但得不到=· (2)(·)·≠·(·)，因为·，·是数量积，是实数，不是向量，所以(·)·与向量共线，·(·) 与向量共线，因此，(·)·=·(·)在一般情况下不成立. (3)推论：（±）子=2±2·+2 11/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点13平面向量数量积中的坐标运算 若=（，)，=(2,2)，与的夹角为则： (1)·= 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 (2)12= ,或！|= (3)⊥台 =0: (4)若， 为非零向量，则cos=一 ++ 考点14投影向量 向量的投影 B A b C A B D ①定义：如图，设，是两个非零向量，=，=，作如下的变换：过的起点和终点，分别 作所在直线的垂线，垂足分别为1,1，得到11，则称上述变换为向量向向量投影，11叫做向量 在向量上的投影向量 ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为0，则向量在向量上的投影向量是！cos0, 专题05 等式与不等式的性质 考点1等式的性质 性质1如果a=b,那么b=4；性质2如果a=b,b=c,那么a=C: 性质3如果a=b,那么a±c=b±c;性质4如果a=b,那么ac=bc: 性质5如果a=b,c≠0，那么0=b cc 考点2比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： a-b>0台a>b_:a-b=0台a=b;a-b<0÷a<b 12/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 另外，若b>0,则有2>1台a>b;g=1台a=b; b b <1÷a<b. b 考点3不等式的性质 性质 别名 性质内容 对称性 > 2 传递性 >，>→ > 台+>+推论1：+>台>-： 3 可加性 推论2：>，>→+>+ >,>0→≥>，<0→<： 推论3：>>0，>>0→>； 4 可乘性 推论4：>>0→≥（∈，≥2）： 推论5：>>0→√厂>√厂 5 取倒数 >， >0→1<1 >,<01>1 专题06基本不等式 考点1基本不等式 如果之0，之0，那么之√厂（当且仅当三_时取-”）. 说明： ①对于非负数，，我们把之称为，的算术平均数一，√厂称为，的几何平均数一 ②我们把不等式√厂≤专（≥0，之≥0）称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的 几何平均数不大于它们的算术平均数。 ®“当且仅当=时取=，号”这句话的含义是：一方面是当一三一时，有V厂=专：另一方面当一 √厂=±时，有=. ④结构特点：和式与积式的关系。 13/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点2利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当=时，和+有最小值V厂一： ②已知， 是正数，如果和+等于定值，那么当且仅当=时，积有最大值.一 考点3几个重要不等式 (1)2+2≥2(a,∈)（当且仅当=时取等号）· 变形式：一 ≤+一(a,∈)（当且仅当=时取等号）， (2)基本不等式：一√厂≤±（>0，>0)（当且仅当=时取等号）· 变形式：+≥2W厂(>0，>0)， ≤（告）}(，E）(当且仅当=时等号成立). (3)2+2+2≥++(a,b, ∈)（当且仅当==时取等号）. (4)若>0，则-+-≥2，(+)（仁+）≥4（当且仅当=时取等号）. 考点4基本不等式链 专题07三角函数与诱导公式、三角恒等变换 考点1扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为1，圆心角为a(0<a<2π)，则 度量单位类别 α为弧度制 扇形的弧长 I=aR 1 扇形的面积 S= 考点2三角函数的定义 如图所示，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的 距离为'，则sina=一 一，coa=一号一ama=一士一其中r=R+y 14/82 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点3特殊角的三角函数值 度 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 交 π π 2π 3π 5π 3π 2 2 2π 6 4 3 4 6 1 1 sin a 0 2 3 2 0 -1 2 2 2 2 cosa 5 2 1 0 2 3 2 -1 0 2 2 2 2 2 tana 0 3 不存在 3 -1 0 不存在 0 3 3 考点4 同角三角函数基本关系式的变形 sin'a= ； cos'a (1)sin2a+cos2a=1→ sina=±V1-cos'a cosa=±V1-sin2a (sina±cosa)}2=1±2 sinacosa sina= sina (2)tana= → sina cosa cosa= tana 【答案】1-cos2a;1-sin2a;tana cosa 考点5 诱导公式 终边关系 图示 公式 15/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin(a+2k)=sina, 角a+2kπ与角a的终 公式一 cos(a+2kn)=cosa, 边相同 其中k∈Z 角a的终边 角-a与角a的终边关 sin(-a）=-sina' 公式二 于一x轴对称 cos(-a)=cosa_, D 角-a的终边 角a的终边升 角π+a与角a的终边 sin(元+a)）=-sina_, 公式三 M O 关于原点对称 cos(π+a)=-cosC, 角π+的终边 角a的终边角π-g的终边 角π-a与角a的终边 sin(π-a)=sina'， 公式四 关于y轴对称 M cos(n-a)=_-cosa, y=x 角二-a与角a的终边 sinπ-a= (2 公式五 2 关于y=x对称 、2-a=sne cos 角+α的终边可以看 D P(u,v) cosa 公式六 作角α的终边逆时针 π cos 旋转 2+a」 2 考点6两角和与差的正、余弦、正切公式 sin(a±β)=_sin a cosB±cosasinB: cos(a±B)=_cosa cosB年sinasinB_: tana±tanB tan(a±P)F一于tan a tan一 16/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点7倍角公式 sin2a= 2sina cosa: cos2a=cos2a-sin2a_-_1-2sin2a_=_2cos'a-1_; 2tan a tan2a=-1-tan'a 1-cos 2a 1+cos2a 降幂公式：sin2a= 2 考点8■ 半角公式 sin a 1-cosa ① 2 2 a |1+cosa cos- ② tan 1-cosa 1+cosa (无理形式). ③ 2 sina 1-cosa tan 2 (有理形式)· 1+cosa sina 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为：，C:,T:半角公式的符号需要根据角号所在的象限来 判断 考点9 辅助角公式 y=asinx+bcosx= Va2+b2sin(x+0)-· （其中0≤0<2m,tan0=b) 考点10 和差化积公式 sin a+sin B= 2sin +B a-B -cos 2 a-B sin a-sin B= a+B 2cos- -sin- 2 a+阝。na-B cosa+cos B= 2cos- -cOS- 2 2 a-B cosa-cos B= 2sin+B 2 考点11积化和差公式 sinacos B= [sin()+sin()] cosasin B= [sin(@+)-sin(a-8)] 17/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cosa cos B= j[oos(c+p)+cos(a-B)]. sin a sin B= [cos(@+p)-os(a-/] 专题08」 三角函数的图象及性质 考点1 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 y=sinx y=cosx 图象 T2π -m -2π-T -2T 2TX 定义域 值域 [-1,] [-1,] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 最小正周期： 2π 最小正周期： 2π 当 π x=- +2kπ(k∈Z) 当 x=2kπ(k∈Z) 时， 时，ymx=l；当 ymx=l;当 最值 x三+2km(keD x=π+2kπ(k∈Z) 时， 时，ymim=-l ymin =-1 在 在 [-π+2km,2k](k∈Z)」 单调性 +2k,+2a《keZ)】 2 上单调递增；在 上单调递增：在 [2km,元+2kπ]k∈Z) [+2a+2lkez 上单调递减 18/82 猫学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上单调递减 零点 km,k∈Z +k,k∈Z 2 对称轴 tkn,keZ x-2 x=km,k∈Z 对称中 (m,0)(k∈Z) 心 （经+，0ez☑ 考点2 正切函数的图象与性质 解析式 y=tanx y 图像 -T 0 T 3 3T 2 -1 定义域 reR,且x≠+m,keZ 2 值域 R 最小正周期 奇偶性 奇二函数 单调性 在每一个区间」 2 上都单调递增 对称性 对称中心 考点3三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质 19/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法一（先平移后伸缩） 方法二（先伸缩后平移） 画出y=sinx的图象 步骤1→ 画出y=sinx的图象 向左(p>0)或向右(p<0) 横坐标变成原来的 函数 平移① 个单位长度 ④ 倍！ y=Asin(ox+p)(@>0) 得到y=sin(x+p)的图象 步骤2→「得到y=sin wx的图象 横坐标变成原来的 向左(p>0)或向右(p<0) ② 倍 平移⑤】 个单位长度 的图象变换 得到y=sin(wx+9的图象 步骤3+ 得到y=sin(ωx+p的图象 纵坐标变成原来的 纵坐标变成原来的 ③倍 ⑥ 感 得到y=Asin(wx+9的图象 步骤4得到y=Asin(ωx+p的图象 函数 y=Asin(ax+o)+B(A>0,0>0) 定义域 R 值域 ⑦ 由0x+p= +2k(k∈Z),解得yx=A+B 最值 由0x+p=- +2kx(k∈Z),解得yn=-A+B 函数 y=Asin(@x+o)+B 最小正周期 ⑧T= (A>0,o>0)的图象 当p=⑨ (k∈Z),且B=0时，函数为奇函数： 性质 奇偶性 当p=⑩ (k∈Z)时，函数为偶函数 当-元+2km≤Ox+p≤C+2kxk∈Z)时，函数① 2 2 单调性 当+2km≤x+p 3 二π+2kπ(k∈Z)时，函数②】 2 由ox+p=+k(k∈Z)解得对称轴：由ox+p=k红(k∈Z) 对称性 2 解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为③ 【答秦】01o:②合：®4：①。：⑤ @4⑦[-4+B4+1:@径：@：经红：国单调送 增：②单调递减：③B 20/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09 解三角形 考点1正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,C,R为△ABC外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 三角形中任何一边的平 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值 方，等于其他两边的 文字 的比相等，等于该三角形外接圆的直 平方和减去这 语言 径 两边与它们夹角的余弦 的积的两倍 a2=b2+c2-2bc cos A a b sinA—=sinB— 公式 b2=a2+c2-2accos B sin C =2R c2=a2+b2-2abcosC_ (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. b2+c2-a2 (2)sin A=- in8-0nC-识 a cosA= (3) 2be 常见 a:b:c=sin A:sin B:sinC cosB=tab 变形 2ca (4) cosC= a2+b2-c2 2ab asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A. 考点2余弦定理及其推论的应用 (1)利用余弦定理的变形判定角 在△ABC中，c2=a2+b2÷C为直角_；c2>a2+b2÷C为_钝角_；c2<a2+b2台C为_锐角_· (2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. 21/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①已知三边，求三角 ②已知两边及一角，求第三边和其他两个角. 考点3解的情况 在△ABC中，己知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图 b a b 形 B B 关 系 a=bsin A b>a>bsin A a≥b axblb<a_ 式 解 的 一一解 两解 一一解 解 个 数 考点4任意三角形的面积公式为 1 (1)S.4Bc= bcsinA= acsinB absinc，即任意三角形的面积等于 2 任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半. 2h,其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高. 1 (2)S.4BC 考点5三角形中的三角变换 (1)角的变换：因为在△ABC中，A+B+C=元台C=π-(A+B)台C=-4牛B台2C=2元-2A+B), 222 所以sin(A+B)=_sinC,cos(A+B)=_-cosC-，tan(A+B)=-tanC, sin 4+B 2 2 （2)三角形边角关系定理及面积公式：S=，h,= 1 。absinC=r·p=Vp(p-a)(p-b)(p-c).(r为三角形内 22/82 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 切圆半径，p=二(a+b+c)) 专题10 函数的概念及其表示 考点1函数的概念 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数 ,在集合 中都有唯一确定的数()和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数，记作 ()∈ 考点2函数三要素 (1)一般地，对于函数=()，∈，则称为函数的定义域一， 称集合⊥=()，E} 为函数的值域 (2)函数的三要素指： 定义域 对应法则 值域 (3)两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 考点3函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域 相同， 对应关系也相同（即对自变 量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 考点4具体函数的定义域问题 ①：分式函数：y= f(x) 定义域是g(x)≠0，分母不为0. g(x) ②：0次幂类型：y=[f(x)”,定义域是fx)≠0，底数不为0. ③：根式类型： y=刊f(x),定义域为f(x)≥0，偶次根式被开方数为非负数. y=2mWfx,定义域为R,奇次根式被开方数为R. ④：对数函数：真数大于0 考点5函数的表示方法 23/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解析法 就是用 表示两个变量之间的对应关系 数的表示 列表法 就是 来表示两个变量之间的对应关系 图象法 就是用图像表示两个变量之间的对应关系 解析式：列出表格 考点6分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的 对应方式，则称 其为分段函数 专题11 函数的基本性质 考点1函数的单调性与单调区间 设函数=（)的定义域是D,区间≤，如果对于任意的1,2∈，当1<2时，都有 ()≤() 则称=()在区间1上是增函数，（也称在区间1上单调递增），如图 所示 yA f(x2) f(x) X2 当1<2时，都有()≥(），则称=（)在区间1上是减函数， (也称在区间1 上单调递减)如图所示， f(xi) f(x2) 0 XI X2 两种情况下，都称函数在区间上具有 单调性 (区间I称为函数的单调区间，也可分 别称为 单调递增区间 和 单调递诚区间 ) 考点2函数的最值 24/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 最值 最大值 最小值 函数=()的定义域为，存在实数 满足： 条件 (1)对于任意的∈，都有 ()≤ (1)对任意∈，都有()≥ (2)存在0∈，使()= (2)存在0∈，使()= 结论 是函数=()的最大值 是函数=()的最小值 考点3单调性的常见运算 (1)单调性的运算 ①增函数()+增函数()=增函数 ②减函数()+减函数(、)=减函数 ③f(x)为/，则-f(x)为八， 1为 f(x) ④增函数(/)一减函数()=增函数刀 ⑤减函数(、)-增函数（乙）=减函数 ⑥增函数()+减函数(、)=未知（导数） (2)复合函数的单调性 函数f(x)=h(g(x)设u=g(x),叫做内函数，则f(x)=h(u)叫做外函数， 内函数个，外函数↑，三复合函数个 内函数↓，外函数↓，三复合函数个 →结论：同增异减 内函数个，外函数↓，→复合函数↓ 内函数↓，外函数个，三复合函数↓ 考点4函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 一般地，设函数=()的定义域为，如果对内任意一 个，都有一∈ 偶函数 关于轴对称 且 (-)=() ,则称函数=()是偶 函数 25/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 般地，设函数=()的定义域为，如果对内任意一 个，都有-E一’ 奇函数 关于 原点对称 且 (-)=-() 则称函数=()是奇 函数 f(x) g(x) f(x)十g(x) f(x)-g(x)f(x)g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 考点5函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数()的定义域为D,如果存在一个 非零常数 使得对每一个∈ 都有+∈，且(+)=()，那么函数()就叫做周期函数. 非零常数 叫 做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数()的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数 就叫做()的最小正周期。 若fx+a)=f(x),则fx)的周期为：T=|a 若fx+a)=fx+b),则f(x)的周期为：T=la-b 若fx+a)=-fx),则f(x)的周期为：T=2d(周期扩倍问题) 若+a=±而 则f(x)的周期为：T=2d(周期扩倍问题) 考点6函数的对称性 轴对称 0若c+a小=（小.则）的时你箱为x=分 ②若f+a)=f(-x+b),则f)的对称轴为x=a+b 2 点对称 26/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①法f代+a)=-小，则f)的对称中心为行0 ②若fx+a)+f(x+b)=c,则f(x)的对称中心为 考点7周期性对称性综合问题 ①若f(a+x)=f(a-x),fb+x)=fb-x),其中a≠b,则f(x)的周期为：T=2a-b ②若f(a+x)=-f(a-x),fb+x)=-fb-x),其中a≠b,则f(x)的周期为： T=2a-b ③若f(a+x)=f(a-x),fb+x)=-fb-x),其中a≠b,则f(x)的周期为： T=4a-b 考点8奇偶性对称性综合问题 ①已知f(x)为偶函数，fx+a)为奇函数，则f(x)的周期为：T=4a ②已知f(x)为奇函数，f(x+a)为偶函数，则fx)的周期为：T=4a 专题12指数对数幂函数 考点1根式的概念及性质 ()概念：式子√厂叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。 (2)①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作V0=0· ③(=（∈*，且>1）· ④√厂=（为大于1的奇数）. ⑤V=11=(二二O。(为大于1的偶数)， 考点2分数的指数幂的意义 分数指 正分数指数 规定：一= (>0,,∈*，且>1) 27/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数幂 幂 负分数指数 规定： -=是=是(>0，，∈，且>1) 幂 性质 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 考点3实数指数幂的运算性质 (1) +一(>0，e) (2)（)=_·(>0,，∈). (3)()= .（>0,>0,∈). 考点4指数函数的一般形式 9.一般地，函数=(>0，≠1)叫做指数函数，其中是自变量，定义域为· 考点5指数函数的图象及性质 >1 0<<1 ly-a y=a (a>1) 图象 1(0,1) (0<a<1八 01).1 定义域 R 值域 (0,+∞) 性 过定点 过点 (,),即=一0 时， =1 质 函数值的变 当>0时，一> 当>0时，一 << 化 当<0时，一 << 当<0时， 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 考点6解指数不等式 28/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)指数不等式的类型为（)>()(>0，且≠1). ①当>1时，()>()； ②当0<<1时，_()<（) (2)含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单 调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解。 考点7比较大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断： (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律■ 来判断： (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 考点8对数的定义 如果= (>0且≠1)，那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作= 一，这里， a叫作对数的底数一，N叫作对数的真数. 指数或对数 底数 产b=logN 幂或真数 考点9常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把1og10记作1g,以无理数e=2.71828…为底数的对数 称为自然对数，并且把loge记为In 考点10对数的基本性质及对数恒等式 性质1 负数和零没有对数 性质2 1的对数是 即1og1=（>0,≠1) 性质3 底数的对数是 即log =（>0,≠1) 对数恒等式： log ,10g 考点11对数的运算性质 如果>0且≠1，>0，>0，那么： (1)log )=log +log ； 29/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1og-=1og-1og (3)l0g =log (E ) 推广：log(12…)=log1+log2+…+log(1,2,>0). loglo,logtog,loglog, n n 考点12换底公式 换底公式：1og,b=log:b-lgb1nb log a lga Ina 推广1：对数的倒数式loe.b=→1og,b:1og,a=】 log a 推广2：log blog;clog a=1→log。blogi clog d=logd。 考点13对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数一=(>，且≠)叫作对数函数，其中一_是自变量，x的范围是一 (,+0) 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概 念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等 于1 考点14对数函数的图象及性质 >1 0<<1 y x=1 图象 y-log-x(a>1) (1,0 01(1,0) y=log.x(0<a<1) 性 定义域 (0,+∞) 质 值域 及 30/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过定点 过定点(，)， 即=1时， =0 函数值的 当0<<1时， 当0<<1时， 变化 当>1时， > 当>1时， 单调性 是(0，+oo)上的 增函数 是(0，+oo)上的减函数 考点15 解对数不等式 (1)形如log()>log()的不等式，借助函数=log的单调性求解，如果的取值不确定，需分> 一与一 <<两种情况讨论， (2)形如og()>的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助函数=l0g的单 调性求解。 (3)形如0g()>1og()的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对 数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集。 (4)形如Iog)>0的不等式，可用换元法（令=10g),先解(）>0，得到的取值范围. 然后再解的范围。 考点16幂函数的定义及一般形式 般地，函数=叫做幂函数，其中x是自变量，是常数. 考点17幂函数的图象和性质 (1)常见的五种幂函数的图象 =x2 (2)幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1). ②如果>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数. 31/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③如果<0，则幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴. (3)常见的五种幂函数的性质 解 析 2 3 =1 式 图 象 0花 0 定 义 {1≠} -[,+o)】 域 值 -[,+0) -[,+0∞ 域 奇 偶 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 性 单 (-∞，]上 (-∞，)上 调 增 减，(，+∞) 增 减，(，+o)上 增 性 上增 城 定 (1,1) 点 考点18 幂函数的奇偶性 32/82 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a为整数 a为偶数，f(x)为偶函数 a为奇数，f(x)为奇函数 f(x)=x" p为偶数时，f(x)为非奇非偶函数 a为分数，设u= pp为奇数时 9为奇数，fx)为奇函数 9为偶数，f(x)为偶函数 专题13 函数的图象、函数与方程、「 函数模型 考点1函数图象的定义及描点法作图 将自变量的一个值，作为横坐标，相应的函数值f(x)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标， 当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）用符号表述 为{(x,y)y=fx),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数的图象. 描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域：(2)化简函数的解析式：(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、 最值（甚至变化趋势）：(4)描点连线，画出函数的图象. 考点2图象问题解题思路：（判断奇偶性、特值、极限思想） ①√2=1.414，√3=1.732，√5=2.236，V6=2.45,V7=2.646 ②e=2.71828,e2=7.39,e2=Ve=1.65 In1=0,In2=0.69,In3=1.1,Ine=1,Inve=1 2 ④sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42 特别地：当x→0时sinx=x 例如：sin0.1=0.099≈0.1，sin0.2=0.199≈0.2，sin0.3=0.296≈0.3 当x→0时c0sx=1 cos0.1=0.995≈1，c0s(-0.2)=0.980≈1 考点3图像变换 (1)平移变换 33/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=f(x)+k (h>O) 移 个单位 左移 右移 y=f(x+h) h个单位 y=f(x)H h个单位 y=f(x-h) (h>0) 下k(O) (h>0) 移个单位 y=f(x)-k (2)对称变换 ①y=)关于x轴对 y=-f: ②=)关于y轴对称，=《-山： ③w=九关于原点对称，-一-过： ④y=a(a>0且a≠1)关于y=x对称 y=logax(a>0且a≠1). (3)伸缩变换 ①把函数y=()图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的1倍得y=f(o)(0<0<1) w ②把函数y=f)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1倍得y=fo心)(o>) N ③把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得y=⊙f(x)(⊙>1) ④把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w倍得y=®f(x)(0<o<1) (4)翻折变换 保留x轴上方图象 ①y=f心w)将x轴下方图象翻折士去=f田山. 保留y轴右边图象，并作其 ②y=fx 关于y轴对称的图象 y=f(x ) 考点4函数零点的定义 一般地，对于函数=()，把使()=的实数 叫作函数=()的零点.函数=()的零 点就是方程()=0的实数解，也就是函数=()的图象与轴的交点的横坐标。 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程()=0有实数解曰函数=()的图象与轴有公共点台函数=()有零 点 考点5函数零点存在性定理 34/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如果函数=()在区间[，]上的图象是 连续不断 的一条曲线，且 有 ()·()< ,那么函数=()在区间(，)内 至少有一个 零点，即存在∈ (,),使得()=0，这个也就是方程()=0的解 考点6函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断 函数是否单调 考点7几个“不一定”与”一定”（假设在区间连续）】 (1)若f(a)·f(b)<0,则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析f(x)的性质 与图象，如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点 (2)若f(a)·f(b)>0,则f(x)“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果f(x)单调，那么 “一定”没有零点 (3)如果f(x)在区间(a,b)中存在零点，则f(a)f(b)的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。 如果f(x)单调，则f(a)·f(b)一定小于0 考点8零点与单调性配合可确定函数的符号 f(x)是一个在(a,b)单增连续函数，x=x是f(x)的零点，且x。∈(a,b),则x∈(a,xo)时，f(x)<0: x∈(x,b)时，f(x)>0 考点9证明零点存在的步骤 (1)将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 (2)判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数∫(x) (3)分析函数∫(x)的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 (4)利用零点存在性定理证明零点存在 考点10三种函数模型的性质 函数 y=a y=logax y=x" 性质 (a>1) (a>1) (n>0) 35/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在(0，+∞)上 单调递增 单调递增 单调递增 的增减性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增大逐渐表现为 随x的增大逐渐表 随n值变化而各有 图象的变化 与y轴平行 现为与x轴平行 不同 考点11常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 x)=axr十b(a,b为常数，a≠0) 二次函数模型 x)=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 反比例函数模型 )=K+bk,b为常数且k≠0) 指数函数模型 fx)=ba+c(a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 fx)=blogax十c(a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 fx)=ar十b(a,b,a为常数，a≠0，a≠0) 考点12解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)解模：求解数学模型，得出数学结论 (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下： 实际问题 分析、联想、 建立函数模型 抽象、转化 答 数学推演 还原 实际结果 数学结果 专题14导数 考点1平均变化率 对于函数=()，设自变量x从。变化到+ ,相应地，函数值y从()变为 (+)一，这时，x的变化量为A,y的变化量为A=(。+A)-(。).我们把比值会，即哈=- 36/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (+)()叫做函数=()从到。+△的平均变化率. 考点2瞬时变化率 设函数=（)在0附近有定义，自变量在=处的改变量为△，当△无限接近于0时，若平均变化率会= (+4)上（无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数(）在=0处的瞬时变化率. 记作：当△→0时，+a上（卫→ 上述过程，通常也记作一，(+)（山= 考点3导数的定义 函数=()在=处的导数定义式：（。)=四( 实质：函数=()在=0处的导数即函数=()在=o处的瞬时变化率 考点4割线斜率与切线斜率 设函数=()的图象如图所示，直线AB是过点(o,(o)与点(0+△，(0+△)的一条割线，此割 线的斜率是会=(0t)( △ Oxo+△x Xo 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD,直线AD叫做此曲线在点A 处的切线一.于是，当△x→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k=一() =lim (ot)-(o △→0 考点5导数的几何意义 '(o)就是曲线=()在点(o,()(也称=o处)处的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方 程可知，切线的方程是-()=‘()（一）一· 考点6常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 37/82 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()=(c为常数) '()= ()= '()= ()=sin '()= ()=cos '（)=- ()= '()= （>0,且≠1) ()=e '()=e ()=log ()=÷(>0,且≠1) ()=ln ()=3 考点7导数的运算法测 已知()，()为可导函数，且()≠0. (1)[()±(='()±(). (2)[()(刀='()()+()'()，特别地，[（)=_'()· 88=0000, 特别地， [=品 考点8复合函数的导数 (1)复合函数的概念 一般地，对于两个函数=()和=()，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数 为函数=（)和=（)的复合函数，记作=一(()· (2)复合函数的求导法则 一般地，对于由函数=()和=()复合而成的函数=(()，它的导数与函数=()，=() 的导数间的关系为'=一‘。·， 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积· 考点9导函数与原函数的送系 条件 恒有 结论 函数y=x)在区间 f'(x)>0 x)在(a,b)上单调递增 (a,b)上可导 f'(x)<0 x)在(a,b)上单调递减 38/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 f'(x)=0 x)在(a,b)上是常数函数 考点10利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域： 第2步，求出导函数(x)的零点： 第3步，用f(x)的零点将x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负， 由此得出函数y=x)在定义域内的单调性， [常用结论] 1.若函数fx)在(a,b)上单调递增，则x∈(a,b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数fx)在(a,b)上单 调递减，则x∈(a,b)时，f'(x)≤0恒成立. 2.若函数fx)在(a,b)上存在单调递增区间，则x∈(a,b)时，f'(x)>0有解；若函数fx)在(a, b)上存在单调递减区间，则x∈(a,b)时，f'(x)<0有解. 考点11极值的定义 极大值：函数=()在点=的函数值()比它在点=附近其他点的函数值都大一，'()= 0.而且在点=附近的左侧()>0，右侧'()> 0.我们把叫做函数=() 的极大值点，()叫做函数=()的极大值 极小值：函数=()在点=的函数值()比它在点=附近其他点的函数值都 小一，()= 0；而且在点=附近的左侧()<0，右侧'()_>0，我们把叫做函数= ()的极小值点，()叫做函数=()的极小值 求可导函数()的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数'()： (2)求方程一'()=的根： (3)列表； (4)利用'()与()随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 考点12极值与导数的关系 f(x)是极值点→f'(x)=0 f'(x)=0本f(x)是极值点，即：f'(x)=0是f(x)为极值点的必要非充分条件 39/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点13函数的最值与导数 设函数()在[，]上连续，在(，)内可导，求()在[，]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数=（)在(，)内的极值一： (2)将函数=()的各极值与端点 处的函数值()、()比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值. 专题15数列 考点1数列的相关概念 (1)数列：按照一定次序排成的一列数叫作数列， (2)数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（首 项)，第2项… (3)项数：组成数列的项的个数称为数列的项数 考点2数列的通项与通项公式 （1)通项：数列从首项起，每一项都与正整数 对应，所以数列的一般形式可以写成 2,3,”,,其中表示数列的第n项（也称为的序号)，称为数列的通项一，一般将 整个数列简记为一{}一· (2)通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用=()来表示，其中()是关于n的不含 其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的通项公式· 考点3数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中 通项 把数列的通项使用公式表示的方法 公式 公式法 递推 使用初始值a1和a+1=fan)或a1,a2和an+1=fan,an-)等表示数列的方法 公式 考点4数列的分类 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.有穷数列的最后一 项一般也称为这个数列的末项一· 40/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足一_<+一， 则是递增数列：若满足一>+一，则是递减数列：若满足一 +,则是常数列. 考点5最大（小）项问题 (1)利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值。 ②利用{ 三（之）求数列中的最大项：利用{ 三·（之）一求数列中的最小项 当解不唯一时，比较各解大小即可确定. (2)利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列{}递增台一+>_恒成立；数列{}递减台一+< 恒成立，通过分离变量转化为 代数式的最值来解决. 考点6数列前n项和的定义及an与Sn的关系 一般地，给定数列{，称=+++…+ 为数列{}的前n项和. 检验=1时的1是否满足≥2时的通项公式： 将n=1代入n≥2时得到的通项公式an=Sn-Sn-1中，如果计算结果与步骤1中求出的a1相等，那么数 列的通项公式可以统一写成≥2时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表 示，即 S1,n=1 an={sn-Sa-1wn≥2 考点7数列的递推关系 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示 则称这个公式为数列的 递推关系（递推公式或递归公式）.· 考点8累加法求通项公式 若数列{}满足 +()】 ,其中()是关于的函数，且()的前项和可求，就可以 考虑使用累加法求通项公式， 考点9累乘法求通项公式 若数列{}满足一+=·() ,其中()是关于的函数，且()的前项积可求，就可以 考虑使用累乘法求通项公式. 考点10等差数列的定义 一般地，如果数列{}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d, 41/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即+一 恒成立，则称数列{}为等差数列，其中d称为等差数列的公差 考点11等差数列通项公式的变形及推广 (1) =1+（-1)(∈N*), (2) =+(-) (，∈N) (3) (,∈N*,且≠). 考点12等差中项 若a,A,b成等差数列，则是a与b的等差中项，且有2=一+/+或=_±， 即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数. 考点13下标性质 在等差数列{}中，若+=+(，，，∈+)，则+=一+1+一·特别地，若+ =2(,,∈+)，则有+=2. 考点14等差数列构造新等差数列的性质 (1)若{}，{}分别是公差为，‘的等差数列，则有 数列 结论 (+3 公差为 的等差数列（为任一常数） {·} 公差为 的等差数列（为任一常数） -} 公差为 的等差数列（为常数，∈N) + } 公差为 的等差数列(，为常数) (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差 数列 考点15等差数列通项公式与函数关系 an=a+(n-1)d a,=dn+(a-d) 令K=d,B=a,-d,→an=Kn+B→等差数列{an}为一次函数 考点16等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 42/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 求和公式 (+) +() 考点17知三求二 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量1，，， 和，这五个量可以"知三求 二 ".一般是利用公式列出基本量和 的方程组，解出和， 便可解决问 题.解题时注意整体代换的思想， 考点18等差数列前n项和的性质 ①等差数列中依次k项之和，2一，3一2，组成公差为kd的等差数列. ②记偶为所有偶数项的和，奇为所有奇数项的和.若等差数列的项数为2n(n∈N),则2=（十 +1 )，偶-奇=，县=出(S0):若等差数列的项数为2n-1(n∈N),则2-1二(2一1) ( 奇 是数列的中间项)，奇一偶=， 鱼=1（奇+0）： 奇 ③()为等差数列→{一}为等差数列. ④两个等差数列{，（的前n项和，之间的关系为-=2二（≠0,2-1≠0）· 2-1 ⑤Sm+n=Snm+Sn+mnd 考点19等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{}中， 当1>0，<0时，有最大值，使取得最值的n可由不等式 {,0确定：当1<0，>0 时，有最小值，使取到最值的n可由不等式组 三0角 (2) =22+(1-)，若≠0，则从二次函数的角度看：当>0时， 有最小值；当<0 时， 有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时， 取到最值. 考点20证明数列为等差数列的方法 (1)an+1-an=c(c为常数)→{an}为等差数列 (2)通项公式：an=Kn+B(一次函数)，前n项和：S,n=An2+Bn（无常数项的二次函数) (3)若2B=A+C,则A,B,C三个数成等差数列 考点21等比数列的定义 43/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一般地，如果数列{}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数g,即 ±=_恒成立，则称数列{}为等比数列，其中d称为等比数列的公比· 考点22等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列{}的首项为1，公比为（≠0），则通项公式为： = 2、通项公式的推广： 或=一 考点23等比中项 1、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中 项，即是与的等比中项台，，成等比数列台= 2、对等比中项概念的理解 (1)是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项此时，=士√厂， 即等比中项有两个，且互为相反数 (2)2=时，不一定是与的等比中项例如02=5×0，但0,0,5不是等比数列； (3)在等比数列{}中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项： (4)与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}中，2=一·+ 3、等差中项与等比中项区别 (1)任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存 在等比中项： (2)任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数 考点24“下标和”性质 在等比数列{}中，若十=+（，，，∈N),则 (1)特别地，+=2(，，∈N)时， 当++=++(，，，，，EN)时， (2)若数列{}是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即1·=2·-1= ·-+1=… 考点25等比数列的性质拓展 (1)若（是等比数列，公比为9，则数列(（≠0），{凸，{23都是等比数列，且公比分别是9， 44/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)两等比数列合成数列的性质：若数列{}，{}是项数相同的等比数列，{·}也是等比数列· (3)对于无穷等比数列{}，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为+1，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为： (4)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，+，+2，仍是等比数列，公比为 (,eN) 考点26等比数列的前n项和公式 己知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 ={1w=1 求和公式 (-) 考点27等比数列前n项和公式的函数特征 ()当公比≠1时，设=等比数列的前项和公式是=（一1），即是的_指数型函数 (2)当公比=1时，因为1≠0，所以=1，是的正比例函数 温馨提醒：当≠1，=）=亡-亡.，所以=一· 的结构形式. 1- 考点28等比数列前n项和的性质 己知{}为等比数列，公比为，为其前项和 (1)若=+（≠0，≠0，≠1），则+=0； (2)当≠0时，，一 一，3一2，…为等比数列： (3)若等比数列(}共2项，记奇为诸奇数项和，偶为诸偶数项和，则查=一~一： 偶 (4)若{}是公比为q的等比数列，则+=+ (,∈+). 考点29证明数列为等比数列的方法 (1) anl=c(c为常数)→{an}为等比数列 (2)若B=AC三B=±AC,则A,B,C三个数成等比数列 考点30公式法求和 ①等差数列的前n项和公式S,=na十a=a1十mn-ld 2 2 45/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)等比数列的前n项和公式①当q=1时，S,=na:②当q≠1时，S,=a4一9_a1一a9 1-q 1-q 考点31倒序相加法求和 如果一个数列{}与首末两端等“距离的两项的和 相等或等于同一个常数 ,那么求这个数列的 前项和即可用倒序相加法求解. 考点32分组转化法求和 一个数列的通项公式是若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法， 分别求和后相加减： 考点33裂项相消法求和 把数列的通项拆成 两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. 考点34常见的裂项技巧 2》n+=+k-: ss-le点】 (21-1-(2”-1）11 (4)(2-102-1 (2”-1(21-1）2”-12*-1 (5)指数型(a-1)a”=a1-a”: (6)对数型1og.1=log。an1-log。a a 1 (1)1 1[1 1 (n+1)(n+2）2n(n+1）(n+l(n+2） n11 (8)(m+m1+1 2 (9）(2-2-212-司 46/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 n+2 1 1 (10) n(n+)2n-2a+12等 考点35错位相减法求和 如果一个数列的各项是由 一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么求这个数 列的前项和即可用错位相减法求解， 考点36万能公式法求和 形如cn=(an+b)·q"-(g≠1)的数列求和为Sn=(An+B)g”+C(g≠1)， 其中A= B=b-A C=-B 9-1 9-1 考点37奇偶并项法求和 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如=（一I)y)类型，可采用两项合并 求解.奇偶并项可采用两大类合并求解 专题16 立体几何 考点1棱柱、棱推、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 顶点 0 、上底面 图 侧棱 则面 侧面 面 侧楼 形 侧棱一 D 侧面、 顶点 B顶点 g下底面 有两个面互相平行，其余各面 有一个面是多边形，其余 用一个平行于棱锥底面 定 都是四边形，并且相邻两个四 各面都是有一个公共顶 的平面去截棱锥，底面和截 义 边形的公共边都互相平行，由这些面 点的三角形，由这 面之间那部分多面体 所围成的多面体 些面所围成的多面体 结 底面互相平行且全等：侧面都是 底面是一个多边形：侧面 上、下底面互相平行且相 构 平行四边形：侧棱都相等且互相 都是三角形：侧面有一个 似；各侧棱延长线交于一 特 平行 公共顶点 点；各侧面为梯形 47/82 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 征 ①按底面多边形的边数：三棱柱、四 ①按底面多边形的边数： 棱柱、五棱柱… 三棱锥、四棱锥、五棱 ①按底面多边形的边数：三 ②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直于 锥. 分 棱台、四棱台、五棱台 底面的棱柱叫做直棱柱 ,否 ②正棱锥：底面是正多边 类 ②正棱台：由正棱锥截得的 则叫做斜棱柱.底面是正多边形的 形，并且顶点与底面中 棱台 直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四 心 的连线垂直 边形的四棱柱也叫做平行六面体 于底面的棱锥 [注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 底面是平 侧棱垂直 行四边形平行 于底面 平 底面是 底面是 六面体 长 正各棱长 棱 矩形 正方形 都相等 正 侧棱垂直 直四 底面是平 棱 于底面， 棱柱 行四边形 体 体 考点2圆柱、 圆推、圆台、球体的结构特征 分类 定义 图形及表示 表示 以 矩形的一边所在直线 为 旋转轴，其余三边旋转一周形成的面 所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫 做圆柱的轴： 母线 圆柱用表示它的轴的字母表 圆柱 垂直 于轴的边旋转而成的 底向 示，左图记作圆柱 圆面叫做圆柱的底面：平行 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 侧面；无论旋转到什么位置，平行于 轴的边都叫做圆柱侧面的母线 48/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直角三角形的一条直角边 用表示圆锥轴的字母表示圆 圆锥 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一 母线 侧面 锥，左图记作圆锥S0 周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 底面 用平行于 圆锥底面 的平面 轴 母线/ 用表示它的轴的字母表示， 圆台 去截圆锥，底面与截面之间的部分叫 侧面 左图记作圆台 做圆台 底面 半圆以它的 直径 所在直线 为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 球面， 球面所围成的旋转体叫做 半径 球体 简称球.半圆的圆心叫 直径 球常用球心字母进行表示， 球 球心 做球的 球心；连接球心和 左图可表示为 球0 球面上任意一点的线段叫做球的半 径；连接球面上两点并且经过球心的 线段叫做球的直径 考点3圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 2πr 侧面积 S圆的=2πl S四侧=πl π(r+r)l 公式 其中，为底面半径，1为母线长。 [注意]①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和： ②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱：当圆台的上底面半径 49/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为零时，得到圆锥，由此可得S=2πrl'=S台侧=元（r十r')1'=0S维=元l. 考点4柱体、推体、台体、球体的表面积和体积 几何体 表面积 体积(S是底面积，h是高) 柱体（棱柱和圆柱） S衣雨脚=S侧十2S底 V-Sh 锥体（棱锥和圆锥) S表商=S的十S底 =% 台体（棱台和圆台） S衣丽积=S侧十S上十S下 V=_-(S:+Sx+ 上下)h 球(R是半径) S=一T =-π 考点5平面的概念与平面的表示方法 几何里所说的平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 向四周 无限延展■ 的 平面的画法与表示 (1)平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面 画法 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边 当平面竖直放置时，常把平行四边 画成 横向 形的一边画成 竖向 D 图示 a (2)平面的表示方法 ①用希腊字母，，等表示平面，如平面、平面、平面等 ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面 ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面，平面· 考点6平面的基本事实与推论 (1)基本性质 50/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基本 文字语言 图形语言 符号语言 作用 事实 基本 过 不在一条直线上 A,B,C三点不共线 确定平面；判定点线 事实 的三个点，有且只有一个平 B C ·A →存在唯一的平面a 共面 面 使A,B,C∈a 如果一条直线上的 基本 两个点在一个 A∈l,B∈I,且A∈a, 确定直线在平面内； 事实 平面内，那么这条直线在这 B∈a→lca 判定点在平面内 2 个平面内 如果两个不重合的平面有一 基本 个公共点一，那么它们有 P∈a,且P∈B→anB 判定两平面相交：判 事实 且只有一条过该点的公共直 =l,且P∈l 定点在直线上 3 线 (2)基本事实1与2的推论 推论 文字语言 图形语言 符号语言 经过一条直线和这条直线外一点， ·A AE1曰有且只有一个平面a,使 推论1 有且只有一个平面 A∈a,lca 经过 两条相交直线」 有 a∩b=P-有且只有一个平面a, 推论2 且只有一个平面 使aca,bca 经过 两条平行直线 ,有 a∥b→有且只有一个平面a,使 推论3 且只有一个平面 aca,bca 考点7空间中点线面的位置关系及其表丞 点在直线上 点不在直线上 点与直线的位置关系 A∈a B生a 51/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 点在平面上 点不在平面上 A· 点与面的位置关系 A∈ B生& a 线与线的位置关系 0 h 平行，a∥b 相交，a∩b=o l,m异面 线与面的位置关系 aca a∩a=A a∥c B B 面与面的位置关系 平行，a∥B 相交，a∩B=a 与B重合 考点8平行直线的传递性、等角定理 (1)平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行，用符号可表示为：如果‖， Ⅱ，则‖一 (2)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这 两个角 相等 考点9异面直线及所成角 (1)定义：空间中既不_平行也不相交的直线. (2)异面直线的画法 b ① ② ③ (3)异面直线所成的角 定义：一般地，如果，是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与，平行或重合 的 52/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线‘，，则‘与所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小 范围： 。<≤0 ·特别地，当=。时，与互相垂直，记作 考点10证明线线平行的方法 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行， ②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行：同旁内角互补，两直线平行 考点11直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 如果平面外的一条直线 判定定 与平面内的一条直线平 /,c, 理 行，那么这条直线与这个平面平 /a 女→/ 行 如果一条直线与一个平面平 性质定 行一，且经过这条直线的平面 /,c, 理 与这个平面相交，那么这条直线 n=→/ 就与两平面的交线平行 考点12平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 /1,/1,n 如果一个平面内有两条相 fa- 爷、b 判定定理1 交直线分别平行于另一 C,C→ 个平面，那么这两个平面平行. / 如果一个平面内有两条相交直 ∠a 线分别平行于另一个平面内的 A /I,11, 判定定理2 0=,,c 两条直线，则这两个平面平 B c→/ 行 53/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两个平面平行，则其中一个平 aa /,c 性质定理1 面内的直线平行」 于 B 1∥ 另一个平面 如果两个平行平面同时与第三 /，n 性质定理2 个平面相交，那么它们 n=→/ 的交线平行 a 考点13证明线线垂直的方法 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 ④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 考点14线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 如果一条直线与一个平面内的 若c,c,1,1, 判定定理 两条相交直线 垂直，则这 0= ,则1 条直线与这个平面垂直 如果两条直线垂直于同一个平 性质定理 若1，⊥，则/川 面，那么这两条直线平行 考点15三垂线定理及其逆定理 (1)射影： 己知空间中的平面以及点A,过A作的垂线1，设I与相交于点A,则A就是点A在平面内的 射影（也称为投影）：空间中，图形F上所有点在平面内的射影 所组成的集合F, 称为图形F在平面a内的射影. 54/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)三垂线定理： 如果平面内的 一条直线 与平面的一条斜线在该平面内的 射影 垂直，则它也和这条 斜线垂直 (3)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线 垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 考点16面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 一个平面过另一个平面的垂 判定定理 线，则这两个平面垂直 }= 两个平面垂直，则一个平面内垂直于 性质定理 交线的直线与另一个平面垂直 a 考点17空间向量的定义、表示及有关概念 1.空间向量的有关概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)表示法： ①符号表示法：，，， ②几何表示法：有向线段。 (3)向量的模：空间向量的大小（或长度）称为的模，记为丨一· (4)几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为1的向量 零向量 模为0的向量，记作 零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 55/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于空间任意两个向量，（≠0），若一=，其中为实数，则与 共线向量（平行向量） 共线或平行，记作一‖一·零向量与任意向量共线 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内， 共面向量 则称这些向量共面 考点18空间向量的线性运算 加法 C 满B 空间 a+b 向量 减法 a 的线 性运 当>0时， 但 /M 算 数乘 当<0时， a Aa>0)/Au<0) 当=0时， =0 6 P W (1)交换律：+=+； (2)结合律：(+)+=+(+)，（)= 运算律 () (3)分配律：(+)=+ 考点19空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，，任意在空间中选定一点O,作=，=，则大小在_【，_内的∠ 称为与的夹角，记作<，> 特别地，若<，>=2则称与 垂直 记作上. (2)向量的数量积 两个非零向量， 的数量积定义为·=一1卜<，>一· (3)数量积的性质： ①1台 ·=0 ②·=1=2： ③·s‖： ④0)=(·)： 56/82 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⑤·= (交换律)： ⑥(+)=】 ·十· (分配律). 考点20空间向量的有关定理 空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果≠0且‖，则存在唯一的实数，使得=· (2)共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对(，)， 使=+ 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面 内的充 要条件是，存在唯一的实数对(，)，使=+· (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯 的有序实数组(，，)，使得=++ 一·其中，{，，}称为空间向量的一组基底。 考点21空间向量的坐标运算 己知空间向量，，其坐标形式为=(1,1,1)，=（2,2,2) 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 +=(+，+，+) 减法 一=( 数乘 =(，，) ,ER 数量积 夹角余弦值 c0s<,> C0S<,>= 了++了++ 模长 11= ++ 考点22空间向量平行与垂直 设=(1,2,3)，=（1,2,3)，则 平行（Ⅱ） /(≠0)台= 垂直(1) 1台·=0台 + 57/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (,均为非零向量) 考点23直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在 的直线与平行或重合，则称为直线的一个方向向量 (2)平面的法向量：如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的 直线与平面垂直，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作上. 2.求平面法向量的步骤： (1)设向量：设平面的法向量为=(，，) (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量， (3)列方程组：由一{ 列出方程组 (4)解方程组 =0 =0 (5)赋非零值：取，，的其中一个为非零值（常取±1）. (6)得结论：得到平面的一个法向量， 考点24空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示 设1,2分别是直线1,2的方向向量，1,2分别是平面，的法向量. 1/2台1/12台3∈R,使得一 线线平行 注：此处不考虑线线重合的情况.但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重 合 1/ 台111台 。 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面 线面平行 内； /∥台1/2台3∈R,使得1-2 面面平行 注：证明面面平行时，必须说明两个平面不重合. 线线垂直 112台112台1·2=0 线面垂直 11台1/1台3∈R,使得1=1 58/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面面垂直 1台112台1·2=0 考点25空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角） (1)求异面直线所成的角 若两异面直线1，所成角为，它们的方向向量分别为，2，则有0s=一· ·I (2)求直线和平面所成的角 力 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有s= L·1 (3)求二面角 如图，若1于A,⊥于B,平面PAB交于E,则∠ 为二面角一一的平面角， ∠AEB+∠APB=180°.若二面角一一的平面角的大小为，其两个面，的法向量分别为1,2，则|cos= (4)求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角c0s= 1《，一=一 59/82 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点26空间向量求空间距离集 (1)点到直线的距离 己知直线I的单位方向向量为，A是直线1上的定点，P是直线I外一点，点P到直线1的距离为 -(·) (2)两条平行直线之间的距离 求两条平行直线1，m之间的距离，可在其中一条直线1上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于 到直线的距离 (3)求点面距 ①求出该平面的一个法向量：②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量： ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面的距离=■ L· ,其中∈，是平面的一个法向量。 (4)线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面之间的距离： · 其中∈，∈，是平面的一个法向量， 两平行平面，之间的距离： L· ,其中∈，∈，是平面的一个法向量. 考点27几何法求空间角与空间距离 异面直线所成角 1.定义：己知两条异面直线，经过空间任意一点作直线‘/，‘/，我们把与所成的锐角（或直角）叫 做异面直线与所成的角（或夹角） 2范围：(0 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角： 直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： [, 3.求法： 60/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)由定义作出线面角的平面角，再求解： (2)在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为）和到平面的距离（设为），则s= -（为线面角)： 二面角 1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足， 分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围：[0，]. 3.求法： (1)定义法： 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线， 两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主 要特征”来找出平面角。 B (2)三垂线法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。 B (3)垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可 知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 (4)射影面积法： 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公 式(cos=慰=△一，如图)求出二面角的大小 斜 △ 61/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B b 空间距离 点面距可转化为三棱锥等体积求解 专题17直线与圆 考点1直线倾斜角的定义及取值范围 1.定义：x轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角.当直线与x轴平 行或重合时，规定它的倾斜角为0°· 2.倾斜角的取值范围 平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角的取值范围是 [)· 考点2直线的斜率 (1)斜率的定义： 一般地，如果直线1的倾斜角为，则当 ≠。时，称=tan 为直线1的斜率； 当=90时，称直线1的斜率不存在 (2)斜率的公式： 若(1,1)，(2,2)是直线1上两个不同的点，则当1≠2时，直线1的斜率为一 =二，当1= 2时，直线1的斜率 不存在 考点3直线方程的五种形试 名称 己知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(1,1) 不含直线=1 斜率k与直线在y轴上的截距 不含垂直于x轴的直 斜截式 b 线 62/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不含直线=1 两点式 两点(1,1)，(2,2) (1=2)和直线= 1(1=2) 直线在x轴、y轴上的截距分 不含垂直于坐标轴和 截距式 别为a,b 过原点的直线 平面直角坐标系内的 一般式 直线都适用 考点4直线的方向向量的定义及有关结论 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 平行或重合，则称向量为直线的一 个方向向量，记作/. 直线方向向量的有关结论 ①如果(1，)，(2，)是直线上两个不同的点，则=(2-1,2-1)是直线的一个方向向量. ②如果直线的斜率为，则一(，)是直线的一个方向向量. ③若直线的方向向量为=(，)（≠0），则直线的斜率=一- 考点5直线的法向量的定义 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法 向量，记作上.一条直线的方向向量与法向量互相 垂直 考点6两条直线的位置关系 方程组1十1+1=0 {2+2+2=0的解 组 无数组 无解 直线1与2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线1与2的位置关系 相交」 重合 平行 位置关系 1,2满足的条件 3， 4满足的条件 12-21=0且 平行 1=2且1+2 12-21≠0 63/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂直 12+12=0 相交 12-21≠0 考点7两直线的交点 点P的坐标既满足直线1的方程1+1+1=0，也满足直线2的方程2+2+2=0，即点P的坐 标是方程(：十：十：二8的解，解这个方帮组就可以得甜这两条直线的交友丝标 考点8两点距离、点线距离、 线线距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 (1,1),（2,2) =V(1-2)2+(1-2)2 点到直线的距 (0,)到直线 =0的距离 1++1 离 为 √+ 两平行线间的 直线 +1=0到直线++ 距离 2=0的距离为d(1≠2) 考点9圆的定义 平面上到定点 的距离等于定长 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径 考点10圆的标准方程 圆的标准方程是（一）+(-)=一（其中>0），圆心的坐标是(，)一，半径是一· 考点11圆的一般方程及表示圆的充要条件 当 +-> 时，二元二次方程2+2+ +=0叫做圆的一般方程.其中圆心 为一（--) ,圆的半径为=-√+ 考点12点与圆的位置关系 平面上的一点(，)与圆：(-)2+(-)2=2之间存在着下列关系： (1)11>台在圆外一，即(0-)2+(0-)2>2台在圆外： (2)11=台在圆上一，即(0-)2+(0-)2=2台在圆上： 64/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)11<台在一圆内一，即(。-)2+(0-)2<2台在圆内. 考点13直线与圆的位置关系 设圆：(-)2+(-)2=2，直线：++=0，圆心（，)到直线的距离为·由 -2+(-P= 2 +=0 消去（或），得到关于（或）的一元二次方程，其判别式为△. 位置关系 相离 相切 相交 图形 方程观点 △<0 △=0 △>0 量化 几何观点 d>r d=r d<r 考点14直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形，弦长1=2√2一2. (2)代数法：设直线=+与圆2+2+++=0相交于点，，把直线方程代入圆方程， 消去，得关于的一元二次方程，则|=V1+Z√(+)2-4. 考点15圆与圆的位置关系 (1)代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 (2)几何法：若两圆的半径分别为1， 2, 两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 65/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与1,2 -< 的关系 考点16圆中的最值问题 圆上一点到圆外一点的距离的最值 dnax=点到圆心的距离+半径 dn=点到圆心的距离-半径 圆上一点到圆上一点的距离的最值 dax=圆心到圆心的距离+2半径 dn=圆心到圆心的距离-2半径 圆上一点到直线距离的最值 dmx=圆心到直线的距离+半径 dn=圆心到直线的距离-半径 过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径：最短弦：垂直于直径 专题18 圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线) 考点1椭圆的定义 把平面内与两个定点F,E,的距离的和等于常数（大于EE) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个 定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的_一半称为半焦距 集合P={M‖MF+ME-2a,EE=2c,其中a>0,c>0,且a、c为常数： (1)若a>c,则集合P表示椭圆； (2)若a=C,则集合P表示线段： (3)若_a<c一，则集合P为空集. 66/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点2 椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 a+2=(a>b>0) x+ a2+6=1(a>b>0) y y米 B2 F2 图像 B B2 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 4(-a,0),A(a,0),B(0-b), A(0,-a),A(0,a),B(-b,0), 顶点 B2(0,b) B2(b,0) 性 轴 长轴A4,的长为2a一， 短轴BB2的长为2b 质 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a a、b、c的 c2=a2-b2 关系 离心率 e=e(0<e<1) 注意：(1)长轴长是2a,短轴长是2b_,长半轴长是a一，短半轴长是b一· (2)椭圆的其他相关性质： ①椭圆上到中心距离最大的点是长轴的两个端点，到中心距离最小的点是短轴的两个端点： ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是 长轴的两个端点，最大、最小距离分别是a+c一、 _a-c: ③P是椭圆上的点，当P点在短轴端点时，∠FPF,最大 考点3双曲线的定义 一般地，如果F,F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且 2a<FF 则平面上满足 67/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 IPF-PF =2a 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F,称为 双曲线的焦点，两个焦点的距离FF|称为双曲线的 焦距一 考点4■ 双曲线的标准方程与几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y A2 图形 B B2 B F 标准方程 x2 y2 aF=1(a>0,b>0) y2 x2 a京=1(a>0,b>0) 轴长 实轴长|A4=2a,虚轴长B,B,=2b 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 FF=2c 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y之a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为 坐标原点 顶点 (±a,0) (0,±a 渐近线 a y=±x a b 离心率 e- (e>0- a 考点5抛物线的定义 平面上到一个定点F和到一条定直线1(F不在1上)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛 物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线 考点6抛物线的标准方程与几何性质 68/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2pyp>0) x2=-2pp>0) 图形 0 列 焦点 〔 准线 x=-D — 2— 范围 性质 20,y∈R O,y∈R y20,x∈R ysO,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0)_ 离心率 e=_1 考点7■ 弦长公式 当直线y=+mk0当椭圆。+(Q>b>0)的两交点为4,4，B,⅓)时， x-广+0-g-一+0G+g广-4_或=一++为-4房一 专题19排列组合与二项式定理 考点1两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那 么完成这件事共有N=m十n种不同的方法. 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共 有N=_m×n_种不同的方法。 69/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点2排列数及排列数公式 排列数的 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列 的个数，称为从n个不同对象中取出m 定义 个对象的排列数 排列数的 A(n∈N,meN,m≤n) 表示 乘积式 A0= 排列数公 n(n-1)(n-2）…(n-m+1） 式 阶乘式 Ai 阶乘 A8=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1_=_n! 规定 01=1，A8=1 考点3 组合数及组合数公式 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同的组合 的个数，叫做从n个不 定义 同元素中取出m个元素的组合数 表示法 _C% n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 乘积式 c=- A 组合数 m(m-1)(m-2）…21 公式 n! 阶乘式 C。=—mln-m)1一 性质 Cm=Cn CR =Cm+Ca 备注 n,meN且m≤n;②规定：C=l 考点4二项式定理 (a+b=_Cga”+Ca-b+Ca"-b2++Ca-b++Cb(neN） (1)这个公式叫做二项式定理. 70/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a十b)”的二项展开式，展开式中一共有n十1项. (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，，n})叫做二项式系数. 二项展开式的通项 (a十b)”展开式的第_k+1_项叫做二项展开式的通项，记作T+=_Ca"-b_ 二项式系数的性质 在(a十b)”的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项 对称性 式系数相等，即C=_C_ 增减性：当K”+时，二项式系数是逐渐增大的： 增减性 当伦n+1 时，二项式系数是逐渐_减小的： 与最 当n为偶数时，中间一项的二项式系数_C2_最大： 大值 n-1 当n为奇数时，中间两项的二项式系数一C,2一’一C 2+1 相等，且同时取得最大值 各二项 (1)C8+C+C2++C=2” 式系数 的和 (2)C0+C2+C4+.=C1+C3+C+.=2- 专题20 概率统计 考点1事件的分类 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象 在一定条件下， 某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象是 随机现象 对某随机现象进行的实验、观察称为 随机试验，简称试验 把随机试验的每一个可能结果称为样本点一· 所有样本点组成的集合称为样本空间，记 为_2 样本空间的子集称为随机事件一，简称事件一， 一般用大写英文字母 表示.当一 个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件· 71/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2(全集)是 必然事件：☑（空集）是不可能事件. 若事件B发生必导致事件A发生，我们称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A).记 作BSA或A2B 注意： ①不可能事件记作☑，显然C20(C为任一事件)： ②事件A也包含于事件A,即AsA: ③事件B包含于事件A,其含义就是“事件B发生，事件A一定发生，而事件A发生，事件B不一定发生， 若事件A与B至少有一个发生即为事件C发生，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的 和，记作C=A+B一· 若事件A与B同时发生即为事件C发生，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积 记作C=AB 考者点2频率与概率 (1)定义 在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加 时，Fn（4)将向一个固定的数值p 靠近，这个数值p 就可看作事件A发生的概率 P(4) ,即Fn(A)是P(A)的估计. (2)频率与概率的区别与联系 频率和概率都是随机事件发生 可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数 及具体的 试验有关，因此频率具有随机性 ；而概率是刻画随机事件发生 可能性大小 的数值， 是一个 固定的量，不具有 随机性一，因此频率不能完全反映概率。 考点3 概率的性质 (1)由于事件A中的样本点个数总是小于或等于样本空间2中的样本点个数，因而根据古典概型的定义， 可知任何事件的概率在0~1之间，即0≤P(A)≤1 (2)必然事件包含2中所有样本点，因而P(2)=_1 (3)不可能事件不包含任何样本点，因而P)=0 性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0. 72/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(2)=1, 性质2 P(0)=0. 如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B) 推广：如果事件A1,A,,A两两互斥，那么事件4U4U...UA发生的 性质3 概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即 P(AA..A)=P(A)+P(4)+...+P(A) 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A) 性质4 P(A)= 1-P(B) 性质5 如果A∈B,那么 P(A)≤P(B) 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有 性质6 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A0B). 考点4 事件的积、和、差 定义 表示法 图示 如果某事件发生当 且仅当事件A与事件B同 AB 事件的交（或 时发生 则称该事 (或 A( B 积)2∩A=A 件为事件A与B的交（或 AB) 积) 如果某事件发生 当且仅当事件A发生或 事件的并（或 AUB 事件B发生，则称该 和)0UA=A (或A+B) 事件为事件A与B的并 (或和) 73/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如果某事件发生 当 2 且仅当事件A发生而事 事件的差 A\B B 件B不发生 ,则称该 事件为事件A与B的差 考点5 古典概型 (1)定义：设试验的样本空间2有n个样本点，且每个样本点发生的 可能性相同 当2中的事件A包含了m个样本点时，称P()=一” 为事件A发生的概率，简称A的概率.把 n 上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (2)特点： ①样本空间中只有 有限个 样本点： ②每个样本点出现的 可能性相等 考点6相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件· 两个相互独立事件同时发生的概率P(AB)=_P(A)P(B)一· 考点7二项分布 (1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验重 复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 显然，n重伯努利试验具有共同特征：同一 个伯努利试验重复做次，且各次试验的结果相互独立 (2)二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<I),用X表示 事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=)=Cp(I-p)-一，k=0,1,n如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~一B(”,P)一，且有 E(X)=np,D(X)=np(1-p). 注：①次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 P.(k)=Ck p*(1-p)P =(1-p)p. (3)二项分布的增减性与最大值 记P=P(x=k),则当k<(n+I)p时，P>P-1,pk递增；当k<(n+l)p时，P<Pk-1,P递减.故P最大 74/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值在k=(n+)p时取得（此时P=P-1,两项均为最大值：若 (n+1)p非整数，则k取(n+1)p的整数部分时，P最大且唯一). 考点8超几何分布 分布列：如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0，则X的分布列如下表所示，其中s为X的最大取值. X 0 …… CCM ChCM ChC CCM CN CN … C … 考点9 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 (1)条件概率 ①定义：一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)0,我们称P(BM)=一P用 P(AB) 为在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率· ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A) P (BA) (2)条件概率的性质：设P(A)>0,则 ①P(24)=1; ②如果B和C是两个互斥事件，则P((BUC)A)=P(B4)+P(CM): ③设B和B互为对立事件，则P(BA)=1一P(BA) (3)全概率公式：一般地，设A,A2,An是一组两两互斥的事件，AUA2U.UAn=2,且P(A:)>0, =1,2,,n,则对任意的事件BS2,有P(B)=_ P(A)P(B4)一， 我们称这个公式为全概 率公式. (4)贝叶斯公式 设4，A,…,An是一组两两互斥的事件，AUA,UUAn=2,且P(A)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件 P(4)P(B14) P(4)P(BI4) B∈2，P(B)>0,有P(A|B)= P(B) ∑P(4)P(B刷4)—，1=L2m, 75/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点10离散型随机变量的数字特征 (1)离散型随机变量的均值 ①定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X XI X2 xi xn P pi D. pn 则称E() XP+x2p2+x33++xn= 为随机变量X的均值或数学期望 ，数学期望简称期望 ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数一，它综合了随机变量的取值和取值 的概率，反映了随机变量取值的平均水平 ③性质：若X为离散型随机变量，则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量，且E(Y)=E(aX+b) -_aE(X)+b_. (2)离散型随机变量的方差 ①定义：设离散型随机变量X的分布列为， X x X2 … xi xn P PI p2 pi pn 我们称DD=—G-EX》广A+,-EXPP++化-E(Xp.一=2(：-E(X)P为随 机变量X的方差，有时也记为Vr(X),并称√D(X)为随机变量X的标准差，记为o(X) ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方(x一E(X))2关于取值概率的加权平均.随机变量的方差 和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的 离散程度 ·方差 或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散· ③性质：D(X)=2(x-E(X)P=∑xP-(E(0)2=E()-(E(0)D(X+b)=aD (X) (3)关于均值、方差的几个结论 ①E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数： ②E(X+X)=E(X)+E(X); 76/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③若X,X相互独立，则E(XX)=E(X)E(X). 考点11正态分布曲线及其性质 )正态曲线：我们称f=1e =e2a,x∈R,其中4∈R,o>0时为参数，为正态密度函数，称 σ√2 它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线 (2)正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布，记为 X~N(4,o)·特别地，当4=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的期望与方差：若X一N(4,o),则E(X)=_“一，D(X)=一o2一· (4)正态曲线的特点： ①非负性：对x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方. ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x=4对称. 1 ④最大值：曲线在x=“处达到峰值 σ√2π ⑤当x无限增大时，曲线无限接近x轴。 ⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着“的变化而沿x轴平移，如图①. ⑦当“一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中：σ较大时， 曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. =0 4=-1 =0.5 g=1 g=2 2-10 -3-2-10123 ① ② (5)正态分布的几何意义：若X~N(4,o),如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的 面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 77/82 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 x) G√2π Ox M a b (6)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(u-o≤X≤+o)≈0.6827：P(u-2o≤X≤H+2o≈0.9545；P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973. 考点12简单随机抽样与分层抽样 把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层进行简单随机抽样， 这种抽样方法称为分层抽样. 抽样方法的对比 抽样类别 特点 适用范围 共同点 总体中的个体差异不易 简单随机抽样 从总体中随机抽取 分层 抽样过程中，每个个 体被抽到的可能性 将总体分层，对各层进 总体由差异明显的几个 分层抽样 相同 行简单随机抽样 互不交叉的部分组成 考点13 众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其 组数据中出现次数 众数 他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特 最多的数 征 把一组数据按大小顺 序排列，处在 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数 中位数 中间 位置的一 几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它 个数据（或两个数据的 对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数) 平均数 如果有n个数x,x2, 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据 78/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x,xn,那么这n 全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较 大，使平均数在估计总体时可靠性降低 个数的平均数 x= x1+X2+…+x 之 (1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y,Y,,Y,则 = Y+Y+…+Yw 为总体均值，又称总体平均数， N (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中.不同的值共有k个(k≤N)个，不妨记为Y, y,,Y,其中Y出现的频数为f(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式 Y=_ m (3)样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为片，2，，yn,则称 j- y+y2+…+yn -2y -ni 为样本均值，又称样本平均数。 (4)在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量 。m 分别为m和小第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数0=一一十 n M m+n -M+N-x+-M+N. 考点14方差 (1)一组数据x1,2…,xn的方差和标准差 若数据x1,x2…,xn的平均数为x,方差为s2,则数据mx,+a,mx2+a,,mxn+a的平均数为mx+a, 方差为ms2. 数据x,x2…,x的方差为 12(x- 1x-x ,标准差为 n扫 - (2)分层抽样中的全部样本方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n,2,样本均值分别为x,x,样本方差分别为s, 79/82 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 好，则全部样本方差为s子=一 t[+6-]a[*6-] (2)样本方差（方差）：若从总体中随机抽样，获得个观测数据x,2,,x,用x表示这n个数据 的均值，则称=一x-可+（飞可+…+（化乃一=一之- 为这n个数据的样 本方差，也简称为方差。 (4)分层随机抽样的均值与方差 设样本中不同层的平均数分别为，x2,…,x,方差分别为s,s,…,s,相应的权重分别为@，@，…，①，则这 个样本的平均数为_∑m,X 这个样本的方差为-立[+口-可] 考点15总体百分位数的估计 ①第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有%的 数据小于或等于这个值，且至少有(I00-p)%的数据大于或等于这个值 ②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i=n×p%: 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分 位数为第i项与第(+)项数据的平均数 ③四分位数：常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到 大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数·其中第25百分位数也称为第一四 分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 考点16一元线性回归模型及其应用 (1)一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测， E(@=0,De)-g.①我们称O式为Y关于x的 Y=bx+a+e, 一元线性回归模型 ·其中，Y称为因变 量或 响应变量，x称为自变量 或解释变量 ;a和b为模型的未知参数， a称为截距参数 ,b称为斜率参数：e是Y与bx十a之间的 随机误差·如果 e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述 (2)一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心(：，)，是回归直线方程最常用 80/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的一个特征 我们将=bx+à称为Y关于x的线性回归方程 也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为 经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做 最小二乘法，求得的b,a叫做b,a的最小二 (x-x)(y-列是xy-版万 b=n 乘估计 其中 -x) X- d=y-bx. (3)回归分析 ①残差：对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测 值，观测值减去预测称为残差 ②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的 模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高：二是残差平方和法，∑(y一)}称 为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好：三是用决定系数比较， 20- R2=1- 三w-可 R?越大，模型的拟合效果越好，R越小，模型的拟合效果越差一· 考点17列联表与独立性检验 (1)分类变量与列联表 ①分类变量：为了表述的方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量 称为分类变量 ②2×2列联表：一般地，假设两个分类变量X和Y,它们的取值为{0，}，其样本频数列联表（也称为2×2列联表） 为 X 合计 Y=0 Y=1 X=0 a+b X=1 c c+d 81/82 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 合计 a+c b+d n= a+b+c+d (2)等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据 的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果 (3)独立性检验 n(ad-be) ①x计算公式：X=a+bc+d0a+eb+d)' 其中n=a+b+c+d. ②临界值的定义：对于任何小概率值a,可以找到相应的正实数x。,使得P(x2≥x)=a成立，我们称x。为a的 临界值，概率值α越小，临界值x。越大 ③独立性检验：H。:P(Y=1X=0)=P(Y=X=1),通常称H。为零假设或原假设.基于小 概率值α的检验规则是：当x≥x,时，我们就推断H。不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超 过；当x2<x时，我们没有充分证据推断H。不成立，可以认为X和Y独立.这种利用x的取值推断分类变量 X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验 ④临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 82/82 清单01 高考数学考前必背核心知识 （含20个专题，223个核心考点） 专题01 集合 专题02 常用逻辑用语 专题03 复数 专题04 平面向量 专题05 等式与不等式的性质 专题06 基本不等式 专题07 三角函数与诱导公式、三角恒等变换 专题08 三角函数的图象及性质 专题09 解三角形 专题10 函数的概念及其表示 专题11 函数的基本性质 专题12 指数对数幂函数 专题13 函数的图象、函数与方程、函数模型 专题14 导数 专题15 数列 专题16 立体几何 专题17 直线与圆 专题18 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 专题19 排列组合与二项式定理 专题20 概率统计 专题01 集合 考点1 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 属于 集合A，记作 ，如果元素a不在集合中A中，就说元素a 不属于 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N N*或（N＋） Z Q R C 考点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的 真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有 个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑 空集 的情况，否则会造成漏解. 考点3 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 或属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   A∪B 交 集 由所有属于集合A 且属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     A∩B 补 集 由全集U中 不属于 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     考点4 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B = B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B = B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 专题02 常用逻辑用语 考点1 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． （2）分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 考点2 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的 充分条件 ，是的 必要条件 。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论， 充分性成立 ； 结论条件， 必要性成立 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 考点3 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的 充分不必要条件 若，即，，是的 必要不充分条件 若，即，，是的 充要条件 考点4 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p（x） . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p（x） . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ． 专题03 复数 考点1 复数的定义 复数：一般地，当a与b都是实数时，称为 复数 ，复数一般用小写字母z表示，即，其中a称为z的 实部 ，b称为z的 虚部 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定。 考点2 虚数单位与周期 i叫做虚数单位，规定 -1 ；虚数单位可以与实数进行 四则运算 特别地， ， ， 1 ，其中． 考点3 复数的分类 对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数数 ． 即复数 考点4 复数相等 如果，，，都是实数，那么 且 ．特别地，当，都是实数时， 的充要条件是且． 考点5 共轭复数及其性质 如果两个复数的实部 相等 ，而虚部 互为相反数 时，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ． 共轭复数的性质 设的共轭复数为，则 （1） ． （2）． （3）． 考点6 复平面及复数的几何意义 复平面： 在平面上建立直角坐标系，以坐标为的点表示复数 ，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面 叫做复平面，这里的轴叫做 实轴 ，轴叫做 虚轴 . 注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0. （2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的. 复平面上两点P，Q关于轴对称它们所对应的复数相互 共轭 ． 考点7 复数的向量表示 复平面内的点表示复数（a、），连接，向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.这样，复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量也是 一一 对应的（实数0与零向量对应）. 考点8 复数的模 复数（a、）在复平面上所对应的点到原点的距离 叫做复数z的模（或绝对值），记作，由模的定义可知 . 复数的模与该复数所对应的向量的模是 一致 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到 原点 的距离. 考点9 复数的加、减、乘、除运算法则 设， ，则 （1）加法： ． （2）减法： ． （3）乘法： ． （4）除法：． 考点10 复数乘法的运算律 （1）对任意复数，，，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 （2）个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作，即 ．可以验证，当，均为正整数时， ， ， ． 专题04 平面向量 考点1 平面向量的定义与表示 （1）向量：在数学中，我们把既有 大小 又有 方向 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： 起点 ， 方向 ， 长度 ． ②表示方法： 向量可以用 有向线段 表示，向量的大小称为向量的 长度 (或称模)，记作 || .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 考点2 平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (2)单位向量：长度等于1个单位的向量． (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点3 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 求与的相反向量的和的运算 三角形 法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向 相同 ；当时，的方向与的方向 相反 ；当时， 考点4 平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 2.向量减法的运算律 几何意义：可以表示为从向量的 终点 指向向量的 终点 的向量． 定义：，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反 向量． 3.与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： ． （2）对实数乘法的结合律： ． （3）对向量加法的分配律： ． 考点5 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 唯一一个 实数，使 ． 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ． 考点6 平面向量基本定理 条件 ，是同一平面内的两个 不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 考点7 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点出发的有向线段表示．原点到，的向量，分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标，等于向量终点的坐标． 考点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知，，则： （1） ， ， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． （2）若点A坐标为，点B坐标为，O为坐标原点， 则 ， ， ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 ； (4)设向量，则 ． (5)中点坐标公式：若的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则 考点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 设，，其中．向量，共线的充要条件是 ． 考点10 平面向量的数量积的定义及性质 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 考点11 平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 注意：①当时，向量与 同向 ； ②当时，向量与 垂直 ，记作； ③当时，向量与 反向 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是向量与的夹角．作，则才是向量与的夹角． 向量的夹角公式： . 考点12 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且，但得不到． （2），因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立． （3）推论：． 考点13 平面向量数量积中的坐标运算 若，，与的夹角为.则： （1） ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ； （2） ，或 ； （3） ； （4）若，为非零向量，则 = . 考点14 投影向量 向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量， ， ，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. 专题05 等式与不等式的性质 考点1 等式的性质 性质1 如果，那么 ；性质2 如果，，那么 ； 性质3 如果，那么；性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么 ； 考点2 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 考点3 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 ＜ 2 传递性 ＞ 3 可加性 ＞ 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ＞ ； 推论3：； 推论4： ＞ （，）； 推论5： 5 取倒数 ＜ 专题06 基本不等式 考点1 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 算术平均数 ，称为的 几何平均数 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 考点2 利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值． 考点3 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 考点4 基本不等式链 专题07 三角函数与诱导公式、三角恒等变换 考点1 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为（），则 度量单位类别 为弧度制 扇形的弧长 _________ 扇形的面积 ________ 考点2 三角函数的定义 如图所示，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为，则______，______，______．其中 考点3 特殊角的三角函数值 考点4 同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） 【答案】；； 考点5 诱导公式 终边关系 图示 公式 公式一 角与角的终边相同 ， ， 其中 公式二 角与角的终边关于______轴对称 ___ ___， _____， 公式三 角与角的终边关于__原点____对称 ______， ______， 公式四 角与角的终边关于______轴对称 ______， ______， 公式五 角与角的终边关于对称 ______________ 公式六 角的终边可以看作角的终边逆时针旋转 ______________ 考点6 两角和与差的正、余弦、正切公式 ______； ______； ______． 考点7 倍角公式 ______； ______＝______＝______； ______． 降幂公式：， 考点8 半角公式 __________，        ① __________，        ② __________（无理形式）．    ③ __________．（有理形式）． 上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，．半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断． 考点9 辅助角公式 __________．（其中，） 考点10 和差化积公式 ___________________； ___________________； ___________________； ___________________． 考点11 积化和差公式 ___________________； ___________________； ___________________； ___________________． 专题08 三角函数的图象及性质 考点1 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 图象 定义域 _____________ _____________ 值域 _____________ _____________ 奇偶性 ______奇函数_______ _______偶函数______ 周期性 最小正周期：_____________ 最小正周期：_____________ 最值 当_____________时，；当_____________时， 当_____________时，；当_____________时， 单调性 在_________________________上单调递增；在_____________上单调递减 在_______________________上单调递增；在_________________上单调递减 零点 ， ， 对称轴 ， ， 对称中心 考点2 正切函数的图象与性质 解析式 图像 定义域 值域 最小正周期 _________ 奇偶性 _奇__函数 单调性 在每一个区间___________上都单调递增 对称性 对称中心___________ 考点3 三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质 函数 的图象变换 函数 的图象性质 函数 定义域 值域 ⑦_________ 最值 由，解得 由，解得 最小正周期 ⑧_________ 奇偶性 当⑨_________，且时，函数为奇函数； 当⑩_________时，函数为偶函数 单调性 当时，函数⑪_________ 当时，函数⑫_________ 对称性 由解得对称轴；由 解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑬_________ 【答案】①；②；③A；④；⑤；⑥A；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪单调递增；⑫单调递减；⑬B 专题09 解三角形 考点1 正弦定理、余弦定理 在中，若角所对的边分别是为外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦值___的比相等，等于____该三角形外接圆的直径______. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的_____平方和____减去这两边与它们夹角的余弦的积的___两倍____. 公式 ________＝_______＝_______=______. __________________， __________________， __________________. 常见 变形 （1） （2）（3） （4） ， ， . 考点2 余弦定理及其推论的应用 （1）利用余弦定理的变形判定角 在中，为__直角__；为__钝角__；为__锐角__． （2）应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求___三角___． ②已知___两边__及__一角__，求第三边和其他两个角． 考点3 解的情况 在中，已知、和时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 _____ ___ /__ 解的个数 __一解___ 两解 __一解___ 一解 考点4 任意三角形的面积公式为 （1）______________________________，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． （2），其中为的一边长，而为该边上的高． 考点5 三角形中的三角变换 （1）角的变换：因为在中，，所以___________，___________，___________，___________. （2）三角形边角关系定理及面积公式：.（r为三角形内切圆半径，） 专题10 函数的概念及其表示 考点1 函数的概念 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 考点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 考点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 考点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 考点5 函数的表示方法 解析式；列出表格 考点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 专题11 函数的基本性质 考点1 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 减函数 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和 单调递减区间 ） 考点2 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 考点3 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 考点4 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 轴 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 原点 对称 考点5 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 非零常数 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 非零常数 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正数 就叫做的 最小正周期 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 考点6 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 考点7 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 考点8 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 专题12 指数对数幂函数 考点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做___根式 ___，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①__负数____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作___0___． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 考点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 考点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 考点4 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 考点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 0 时， 1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 考点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 考点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断． 考点8 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 底数 ，N叫作对数的 真数 ．    考点9 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 考点10 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 负数 和 零 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 考点11 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 考点12 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 考点13 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0且不等于1 考点14 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 考点15 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 以为底数的对数式 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 换元法（令） ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 考点16 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 考点17 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 考点18 幂函数的奇偶性 专题13 函数的图象、函数与方程、函数模型 考点1 函数图象的定义及描点法作图 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 考点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想） ① ② ③ ④ 特别地：当时 例如：， 当时 考点3 图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)； ③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (3)伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 考点4 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 的实数 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 与轴有公共点 函数 有零点 . 考点5 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 连续不断 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 至少有一个 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 考点6 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 考点7 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 考点8 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 考点9 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 考点10 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 考点11 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 考点12 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 专题14 导数 考点1 平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到 ，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 考点2 瞬时变化率 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，． 上述过程，通常也记作 ． 考点3 导数的定义 函数在处的导数定义式： 实质：函数在处的导数即函数在处的 瞬时变化率 ． 考点4 割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 切线 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ 考点5 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 斜率 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 考点6 常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 （c为常数） （，且） （，且） 考点7 导数的运算法则 已知为可导函数，且． （1） ． （2） ，特别地， ． （3），特别地，． 考点8 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 ． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于 对 的导数与对的导数的乘积 ． 考点9 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 考点10 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 考点11 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 大 ， 0 .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 小 ， 0 ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 考点12 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 考点13 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 极值 ； （2）将函数的各 极值 与 端点 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 专题15 数列 考点1 数列的相关概念 （1）数列：按照 一定次序 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 项 ，各项依次称为这个数列的第1项（ 首项 ），第2项…… （3）项数：组成数列的 项的个数 称为数列的项数 考点2 数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 正整数 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 通项 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ． 考点3 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 考点4 数列的分类 一般地，项数 有限 的数列称为有穷数列，项数 无限 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 末项 ． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列． 考点5 最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 单调性 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 考点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： 将代入时得到的通项公式中，如果计算结果与步骤1中求出的相等，那么数列的通项公式可以统一写成时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即 考点7 数列的递推关系 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 用一个公式来表示 ，则称这个公式为数列的 递推关系 （递推公式或递归公式）． 考点8 累加法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 考点9 累乘法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 考点10 等差数列的定义 一般地，如果数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之 差 都等于 同一个常数d ，即 恒成立， 则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的 公差 . 考点11 等差数列通项公式的变形及推广 （1）， （2） （3） ，且. 考点12 等差中项 若a，A，b成等差数列，则 是a与b的等差中项，且有 / 或 ，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 考点13 下标性质 在等差数列中，若，则 / ．特别地，若，则有． 考点14 等差数列构造新等差数列的性质 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为 的等差数列为任一常数） 公差为 的等差数列（为任一常数） 公差为 的等差数列为常数， 公差为 的等差数列为常数） （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 等差 数列. 考点15 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 考点16 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 考点17 知三求二 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以＂ 知三求二 ＂．一般是利用公式列出 基本量和 的方程组，解出 和 ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 考点18 等差数列前n项和的性质 ①等差数列中依次k项之和，…组成公差为k2d的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n∈N*），则， （S奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则是数列的中间项），，＝（）. ③为等差数列⇒ 为等差数列. ④两个等差数列，的前n项和之间的关系为 （）. ⑤ 考点19 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 最大 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 最小 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 最小 值；当时，有 最大 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 考点20 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 考点21 等比数列的定义 一般地，如果数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之 比 都等于 同一个常数q ，即 恒成立， 则称数列为等比数列，其中d称为等比数列的 公比 . 考点22 等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2、通项公式的推广： 或 考点23 等比中项 1、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的 等比中项 ，即是与的等比中项成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时， 不一定 是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是 唯一 的，而若两数有等比中项，则等比中项 有两个，且互为相反数 . 考点24 “下标和”性质 在等比数列中，若，则 ； （1）特别地，时， ； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 考点25 等比数列的性质拓展 （1）若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是 q ， ， ． （2）两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，也是 等比数列 ． （3）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； （4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 考点26 等比数列的前n项和公式 已知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 求和公式 考点27 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 指数型函数 (2)当公比时，因为，所以是的 正比例函数 . 温馨提醒：当，所以的结构形式. 考点28 等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 0 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为诸奇数项和，为诸偶数项和，则 / ； （4）若是公比为q的等比数列，则 （）． 考点29 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 考点30 公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式①当q＝1时，Sn＝na1；②当q≠1时，Sn＝＝. 考点31 倒序相加法求和 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数 ，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 考点32 分组转化法求和 一个数列的通项公式是 若干个等差或等比或可求和的数列 组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 考点33 裂项相消法求和 把数列的通项拆成 两项之差 ，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和． 考点34 常见的裂项技巧 （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 考点35 错位相减法求和 如果一个数列的各项是由 一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 考点36 万能公式法求和 形如的数列求和为， 其中，， 考点37 奇偶并项法求和 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．奇偶并项可采用两大类合并求解． 专题16 立体几何 考点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 图 形 定 义 有两个面 互相平行 ，其余各面都是 四边形 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 三角形 ，由这些面所围成的多面体 用一个平行于 棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体 结 构 特 征 底面互相平行且全等；侧面都是 平行四边形 ；侧棱都相等且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为 梯形 分 类 ①按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直棱柱 ，否则叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体 ①按底面多边形的边数：三棱锥、四棱锥、五棱锥… ②正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与 底面中心 的连线垂直于底面的棱锥 ①按底面多边形的边数：三棱台、四棱台、五棱台… ②正棱台：由正棱锥截得的棱台 [注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 考点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以 矩形的一边所在直线 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆柱 圆锥 以 直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图记作 圆锥SO 圆台 用平行于 圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆台 球 半圆以它的 直径 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 球面 ，球面所围成的旋转体叫做 球体 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 球心 ；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为 球O 考点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ 2πrl S圆锥侧＝ πrl S圆台侧＝ π(r＋r′)l 其中r，r′为底面半径，l为母线长. [注意]　①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和； ②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl． 考点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积 几何体   表面积 体积（S是底面积，h是高） 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ (S上＋S下＋)h 球（R是半径） S＝ V＝ 考点5 平面的概念与平面的表示方法 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周 无限延展 的． 平面的画法与表示 （1）平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 竖向 图示 （2）平面的表示方法 ①用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等． ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面． ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面，平面． 考点6 平面的基本事实与推论 （1）基本性质 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实 1 过 不在一条直线上 的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面 基本 事实 2 如果一条直线上的 两个点 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 确定直线在平面内；判定点在平面内 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上 （2）基本事实1与2的推论 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个 平面 A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过 两条相交直线 ，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过 两条平行直线 ，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 考点7 空间中点线面的位置关系及其表示 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 考点8 平行直线的传递性､等角定理 （1）平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ，用符号可表示为：如果 ，则 . （2）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 平行 ，并且方向相同，那么这两个角 相等 考点9 异面直线及所成角 （1）定义：空间中既不 平行 也不 相交 的直线． （2）异面直线的画法． （3）异面直线所成的角 定义：一般地，如果，是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与， 平行或重合 的直线，，则与所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小． 范围： ．特别地，当 时，与互相垂直，记作 ． 考点10 证明线线平行的方法 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行， ②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 考点11 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果 平面外 的一条直线与 平面内 的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 ，， 性质定理 如果一条直线与一个平面 平行 ，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的 交线 平行 ，， 考点12 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理1 如果一个平面内有两条 相交直线 分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ，，， ， 判定定理2 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条直线 ，则这两个平面平行. ， ，， 性质定理1 两个平面平行，则其中一个平面内的直线 平行 于另一个平面 ， 性质定理2 如果两个平行平面同时与第三个平面 相交 ，那么它们的 交线 平行 ，， 考点13 证明线线垂直的方法 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 ④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 考点14 线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，则这条直线与这个平面垂直 若，，，， ，则 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行 若，，则 考点15 三垂线定理及其逆定理 （1）射影： 已知空间中的平面以及点A，过A作的 垂线 l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面内的 射影 (也称为投影)；空间中，图形F上 所有点 在平面内的 射影 所组成的集合F`，称为图形F在平面α内的射影. （2）三垂线定理： 如果平面内的 一条直线 与平面的一条斜线在该平面内的 射影 垂直,则它也和这条斜线垂直. （3）三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 斜线 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 考点16 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 考点17 空间向量的定义、表示及有关概念 1．空间向量的有关概念 （1）定义：空间中 既有大小又有方向 的量称为空间向量． （2）表示法： ①符号表示法：，． ②几何表示法：有向线段． （3）向量的模：空间向量的大小（或长度）称为的模，记为 ． （4）几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为 1 的向量 零向量 模为 0 的向量，记作 零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 相同 且长度 相等 的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量（平行向量） 对于空间任意两个向量，若 ，其中为实数，则与共线或平行，记作 ．零向量与任意向量 共线 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 考点18 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘 当时，； 当时，； 当时， 运算律 （1）交换律：； （2）结合律： ， ； （3）分配律： ， 考点19 空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 垂直 ，记作. （2）向量的数量积 两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ·=0 ；         ②·= =； ③|·|≤||||；                   ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= · (交换律)；    ⑥(+)·= ·+· (分配律). 考点20 空间向量的有关定理 空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：如果且，则存在唯一的实数，使得． （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使 ． 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使． （3）空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，称为空间向量的一组基底． 考点21 空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 夹角余弦值 模长 考点22 空间向量平行与垂直 设，，则 平行 垂直 ___ ___（，均为非零向量） 考点23 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线的一个 方向向量 ． （2）平面的法向量：如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个 法向量 ，此时也称与平面垂直，记作． 2.求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为. （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由 列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为 非零值 (常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 考点24 空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 线线垂直 线面垂直 ，使得 面面垂直 考点25 空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角） （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有= . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有 = . （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则 为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则= = （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角 = . 考点26 空间向量求空间距离集 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为 . （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于 到直线的距离 . （3）求点面距 ①求出该平面的一个 法向量 ；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面 的距离= ，其中，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：= ，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：= ，其中，是平面的一个法向量. 考点27 几何法求空间角与空间距离 异面直线所成角 1.定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角） 2.范围： 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角； 直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： 3.求法： （1）由定义作出线面角的平面角，再求解： （2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 ）和到平面的距离（设为 则 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围： 3.求法： （1）定义法： 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。 （2）三垂线法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。 （3）垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 （4）射影面积法： 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（如图)求出二面角的大小 空间距离 点面距可转化为三棱锥等体积求解 专题17 直线与圆 考点1 直线倾斜角的定义及取值范围 1．定义：x轴 正向 与直线 向上 的方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° ． 2．倾斜角的取值范围 平面直角坐标系中的每一条直线都有 唯一 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 ． 考点2 直线的斜率 （1）斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 不存在 . （2）斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 不存在 . 考点3 直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点 不含直线 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点 不含直线 和直线 截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 考点4 直线的方向向量的定义及有关结论 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 平行或重合 ，则称向量为直线的一个方向向量，记作. 直线方向向量的有关结论 ①如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量. ②如果直线的斜率为，则 是直线的一个方向向量. ③若直线的方向向量为，则直线的斜率 . 考点5 直线的法向量的定义 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线 垂直 ，则称向量为直线的一个 法向量 ，记作.一条直线的方向向量与法向量互相 垂直 考点6 两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线与的位置关系 相交 重合 平行 位置关系 ，满足的条件 ，满足的条件 平行 ，且 且 垂直 相交 考点7 两直线的交点 点P的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 交点 坐标. 考点8 两点距离、点线距离、线线距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 ， 点到直线的距离 到直线的距离为 两平行线间的距离 直线到直线的距离为d（） 考点9 圆的定义 平面上到 定点 的距离等于 定长 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 考点10 圆的标准方程 圆的标准方程是 （其中），圆心的坐标是 ，半径是 r ． 考点11 圆的一般方程及表示圆的充要条件 当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程．其中圆心为 ，圆的半径为 . 考点12 点与圆的位置关系 平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在 圆外 ，即在圆外； （2）在 圆上 ，即在圆上； （3）在 圆内 ，即在圆内． 考点13 直线与圆的位置关系 设圆，直线，圆心到直线的距离为．由消去或，得到关于（或）的一元二次方程，其判别式为． 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 < 0 = 0 > 0 几何观点 d > r d = r d < r 考点14 直线被圆截得的弦长 （1）几何法：弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形，弦长． （2）代数法：设直线与圆相交于点，把直线方程代入圆方程，消去，得关于的一元二次方程，则． 考点15 圆与圆的位置关系 （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2 个 1 个 0 个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 考点16 圆中的最值问题 圆上一点到圆外一点的距离的最值 圆上一点到圆上一点的距离的最值 圆上一点到直线距离的最值 过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 专题18 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 考点1 椭圆的定义 把平面内与两个定点的距离的和等于____常数（大于）______的点的轨迹叫做椭圆，这___两个定点___叫做椭圆的焦点，_____两焦点间的距离_____叫做椭圆的焦距，焦距的__一半___称为半焦距. 集合，，其中，，且a、c为常数： （1）若______，则集合P表示椭圆； （2）若______，则集合P表示线段； （3）若______，则集合P为空集． 考点2 椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图像       性质 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 ，，， ，，， 轴 长轴的长为___2a___，短轴的长为__2b____ 范围 ， ， a、b、c的关系 ______ 离心率 ______ 注意：（1）长轴长是___2a___，短轴长是____2b__，长半轴长是___a___，短半轴长是___b___． （2）椭圆的其他相关性质： ①椭圆上到中心距离最大的点是__长轴的两个端点____，到中心距离最小的点是___短轴的两个端点___； ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是______长轴的两个端点______，最大、最小距离分别是______、______； ③P是椭圆上的点，当P点在__短轴端点____时，最大． 考点3 双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且___________，则平面上满足__________________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点，称为双曲线的___焦点_____，两个焦点的距离称为双曲线的____焦距____. 考点4 双曲线的标准方程与几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ______ ______ 轴长 实轴长______，虚轴长______ 焦点 ______ ______ 焦距 范围 或， ，或 对称性 对称轴为___坐标轴___，对称中心为___坐标原点___ 顶点 ______ ______ 渐近线 ______ ______ 离心率 ______ 考点5 抛物线的定义 平面上到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）距离__相等____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的___焦点___，定直线l叫做抛物线的___准线___． 考点6 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 _______ ______ ______ ______ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 __ 轴____ ___轴___ 顶点 ______ 离心率 e＝_______ 考点7 弦长公式 当直线与椭圆的两交点为，时，______或______． 专题19 排列组合与二项式定理 考点1 两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_m＋n___种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__ m×n__种不同的方法． 考点2 排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的___所有排列_____的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 排列数公式 乘积式 ________ 阶乘式 阶乘 ________=________ 规定 ____1____，____1____ 考点3 组合数及组合数公式 组合数定义 从n个不同元素中取出个元素的_______所有不同的组合_______的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 ________ 组合数公式 乘积式 ______=______ 阶乘式 ______ 性质 ______，______ 备注 且；②规定： 考点4 二项式定理 ＝____________． （1）这个公式叫做二项式定理． （2）展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有___n＋1__项． （3）二项式系数：各项的系数（k∈{0，1，2，…，n}）叫做二项式系数． 二项展开式的通项 展开式的第__k＋1__项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝____. 二项式系数的性质 对称性 在的展开式中，与首末两端“_等距离__”的两个二项式系数相等，即＝____ 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐 __减小的__； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数____最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ____，____相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 （1） （2） 专题20 概率统计 考点1 事件的分类 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是____确定性现象_____．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象是____随机现象_____． 对某随机现象进行的实验、观察称为_____随机试验____，简称___试验______． 把随机试验的每一个可能结果称为____样本点_____．所有样本点组成的集合称为____样本空间_____，记为_________． 样本空间的子集称为____随机事件_____，简称____事件_____，一般用____大写英文字母_____表示．当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为____基本事件_____． （全集）是_____必然____事件；（空集）是____不可能_____事件． 若事件B发生必导致事件A发生，我们称_____事件A包含事件B____（或___事件B包含于事件A______）．记作___或______． 注意： ①不可能事件记作，显然（C为任一事件）； ②事件A也包含于事件A，即； ③事件B包含于事件A，其含义就是“事件B发生，事件A一定发生，而事件A发生，事件B不一定发生”． 若事件A与B至少有一个发生即为事件C发生，我们称C是A与B的____并____，也称C是A与B的____和_____，记作_________． 若事件A与B同时发生即为事件C发生，我们称C是A与B的____交_____，也称C是A与B的____积_____，记作_________． 考点2 频率与概率 （1）定义 在相同的条件下，将一试验独立重复次，若用表示事件在这次试验中发生的频率，则当增加时，将向一个固定的____数值p______靠近，这个___数值p_______就可看作事件发生的____概率 ______，即是的估计． （2）频率与概率的区别与联系 频率和概率都是随机事件发生_____可能性大小_____的定量刻画，但频率与____试验次数______及具体的试验有关，因此频率具有___随机性_______；而概率是刻画随机事件发生______可能性大小____的数值，是一个_____固定的量_____，不具有_____随机性_____，因此频率不能完全反映概率． 考点3 概率的性质 （1）由于事件A中的样本点个数总是小于或等于样本空间中的样本点个数，因而根据古典概型的定义，可知任何事件的概率在______之间，即______． （2）必然事件包含中所有样本点，因而______. （3）不可能事件不包含任何样本点，因而______. 性质1 对任意的事件，都有． 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即______________，． 性质3 如果事件与事件互斥，那么______________． 推广：如果事件，，…，两两互斥，那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即 性质4 如果事件与事件互为对立事件，那么______________，______________． 性质5 如果，那么______________． 性质6 设，是一个随机试验中的两个事件，我们有． 考点4 事件的积、和、差 定义 表示法 图示 事件的交（或积） 如果某事件发生____当且仅当事件与事件同时发生______，则称该事件为事件A与B的交（或积） __________（或__________） 事件的并（或和） 如果某事件发生______当且仅当事件发生或事件发生____，则称该事件为事件与的并（或和） __________（或） 事件的差 如果某事件发生_____当且仅当事件发生而事件不发生_____，则称该事件为事件与的差 考点5 古典概型 （1）定义：设试验的样本空间有n个样本点，且每个样本点发生的_____可能性相同_____． 当中的事件A包含了m个样本点时，称__________为事件A发生的概率，简称A的概率．把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 （2）特点： ①样本空间中只有_____有限个_____样本点； ②每个样本点出现的_____可能性相等_____． 考点6 相互独立事件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作___相互独立事件___． 两个相互独立事件同时发生的概率______． 考点7 二项分布 （1）伯努利试验：我们把只包含____两个_____可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为____n重伯努利试验_____. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果____相互独立_____. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_______，且有_______，_________. 注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若 非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 考点8 超几何分布 分布列：如果且，则的分布列如下表所示，其中为的最大取值． 0 1 … … … ________ … ________ 考点9 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 （1）条件概率 ①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称___条件概率_____. ②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则____ P（AB）＝P（A）P（B|A）____. （2）条件概率的性质：设P（A）>0，则 ①P（Ω|A）＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝____ P（B|A）＋P（C|A）____； ③设和B互为对立事件，则P（|A）＝___ 1－P（B|A）_____. （3）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝________，我们称这个公式为全概率公式. （4）贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_________＝_________，． 考点10 离散型随机变量的数字特征 （1）离散型随机变量的均值 ①定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E（X）＝_________________为随机变量X的均值或___数学期望_____，数学期望简称___期望___. ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的____加权平均数____，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的___平均水平_____. ③性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋b）＝________. （2）离散型随机变量的方差 ①定义：设离散型随机变量X的分布列为， X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D（X）＝____________＝为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的___标准差___，记为σ（X）. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（xi－E（X））2关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的_____离散程度_____. 方差或标准差越小，随机变量的取值越___集中____；方差或标准差越大，随机变量的取值越___分散____. ③性质：D（X）＝＝－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D（X）. （3）关于均值、方差的几个结论 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； ②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； ③若X1，X2相互独立，则E（X1X2）＝E（X1）·E（X2）. 考点11 正态分布曲线及其性质 （1）正态曲线：我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为_________．特别地，当，时，称随机变量X服从____标准____正态分布． （3）正态分布的期望与方差：若，则______， _______. （4）正态曲线的特点： ①非负性：对，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称． ④最大值：曲线在处达到峰值. ⑤当无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （5）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．    （6）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 . 考点12 简单随机抽样与分层抽样 把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为___互不交叉___的层，然后对各层进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样． 抽样方法的对比 抽样类别 特点 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体差异不易分层 抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相同 分层抽样 将总体分层，对各层进行简单随机抽样 总体由差异明显的几个互不交叉的部分组成 考点13 众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在______中间_______位置的一个数据（或两个数据的平均数） 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有个数，，，…，，那么这个数的平均数______________ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 （1）总体均值：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…，，则____________________________，为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的个变量值中．不同的值共有个（）个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，则总体均值还可以写成加权平均数的形式______________． （3）样本均值：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…，，则称____________________________为样本均值，又称样本平均数． （4）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数______＋______＝_____＋______． 考点14 方差 （1）一组数据，，的方差和标准差 若数据，，的平均数为，方差为，则数据，，…，的平均数为，方差为． 数据，，的方差为______________=______________，标准差为______________． （2）分层抽样中的全部样本方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为，，样本均值分别为，，样本方差分别为，，则全部样本方差为________． （2）样本方差（方差）：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据，，…，，用表示这n个数据的均值，则称________＝________为这n个数据的样本方差，也简称为方差． （4）分层随机抽样的均值与方差 设样本中不同层的平均数分别为，方差分别为，相应的权重分别为，则这个样本的平均数为______. 这个样本的方差为______. 考点15 总体百分位数的估计 ①第百分位数的定义：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据____小于或等于____这个值，且至少有________的数据大于或等于这个值. ②计算一组个数据的第百分位数的步骤：第步，按从小到大排列原始数据；第步，计算；第步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的__平均数______. ③四分位数：常用的分位数有第百分位数、第百分位数、第百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成____四等份____，因此称为____四分位数____. 其中第百分位数也称为____第一四分位数____或下四分位数等，第百分位数也称为第三四分位数或____上四分位数____等. 考点16 一元线性回归模型及其应用 （1）一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的_______一元线性回归模型______. 其中，Y称为____因变量_____或_____响应变量_____，x称为___自变量______或___解释变量______；a和b为模型的未知参数，a称为____截距参数_____，b称为___斜率参数______；e是Y与bx＋a之间的____随机误差_____. 如果_____e＝0____，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. （2）一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征. 我们将称为关于的____线性回归方程_____，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做_____最小二乘法____，求得的叫做b，a的___最小二乘估计______，其中 （3）回归分析 ①残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为___观测值_____，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为____残差____. ②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的___带状区域_____中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度___越窄_____，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和____越小____，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果____越好____，R2越小，模型的拟合效果____越差____. 考点17 列联表与独立性检验 (1)分类变量与列联表 ①分类变量:为了表述的方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为____分类变量____. ②列联表:一般地,假设两个分类变量和,它们的取值为,其样本频数列联表(也称为列联表)为 合计 ___________ ___________ 合计 _______ ___________ ______________ (2)等高堆积条形图 等高条形图和表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断结果. (3)独立性检验 ①计算公式:，其中. ②临界值的定义:对于任何小概率值,可以找到相应的正实数，使得成立,我们称为的临界值,概率值越小,临界值____越大____. ③独立性检验:,通常称为____零假设____或____原假设____.基于小概率值的检验规则是:当时,我们就推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过;当时,我们没有充分证据推断不成立,可以认为和独立.这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为___独立性检验_____,读作“卡方独立性检验”,简称___独立性检验_____. ④临界值表 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $