8.1.3实数与向量的乘法（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第八章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.1.3实数与向量的乘法 学 习 目 标 1 2 3 理解实数与向量乘法（数乘向量） 的由来，掌握其定义（长度、方向规则）与几何意义. 熟练运用数乘向量的运算法则化简向量式；掌握共线向量定理，能结合位移模型判断向量共线. 经历 “科考船位移计算→发现向量简化问题→抽象数乘向量定义→几何验证运算律→归纳共线定理” 的完整过程，渗透数学建模、数形结合、从具体到抽象的数学思想. 新课引入 某科考船以12 海里 / 时的速度匀速沿东北方向航行，中午 12 时在点A处.请计算下午 3 时、下午 4 时 30 分该船与点 A 的相对位置？ 下午 3 时（航行 3 小时）：位移 = 速度 × 时间 = ，大小海里，方向与相同（东北） 下午 3 时 下午 4 时 30 分（航行 4.5 小时）：位移 = ，大小海里，方向与相同（东北） 下午 4 时 30 分 时间与速度相乘，结果是向量吗？这种乘积有什么规律？ 新知探究 探究一：实数与向量相乘 在情境中，实数（时间）与向量（速度）相乘，结果是向量吗？这种乘积有什么规律？ 设为任意实数，为任意向量，实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足： 长度：（对应位移大小 = 时间 速度大小）； 方向： 当时，与方向相同（如、与同向，东北方向）； 当时，与方向相反； 当或时，（无位移或无速度时，位移为零向量）。 数乘向量的几何意义是什么？ 新知探究 ①： 同向伸长为的 倍； ②： 同向缩短为的倍； ③： 反向伸长为的 倍。 如图，已知向量的图像如图所示 数乘向量的几何意义是将向量沿原方向或反方向进行伸缩变换 即时训练 1.已知，则实数的值为________． 【分析】利用向量线性运算转化为，根据系数相等可得. 【详解】因为，所以， 又，所以 得 . 新知探究 探究二：向量共线定理 情境中、、这些位移向量，与的位置关系是什么？ 都在东北方向（或反方向），即与共线 如果一个向量与共线，是否一定能表示为？ 共线向量的方向相同或相反，大小成比例，因此存在实数使得。 共线向量定理 定理：向量与非零向量共线 存在唯一的实数，使得 是必要条件（若，不唯一）. 知识小结 向量的定义及共线定理 ①定义：实数与向量的乘积是一个向量，记作 ②模长： ③方向：时与 同 向 , 时反向，时 ④共线定理：向量与非零向量共线 存在唯一的实数，使得 新知探究 探究三：实数与向量乘法的运算律 类比实数的乘法运算律，结合情境中科考船位移模型，你能得出实数与向量乘法的运算律吗？ ①先航行小时（位移），再航行倍时间（位移），等价于直接航行小时（位移）. 即 结合律 ②先航行小时，再航行小时，总位移，等价于直接航行小时（位移） 即 第一分配律 ③若科考船先以速度航行小时，再以速度航行小时，总位移，等价于以速度航行小时（位移 即 第二分配律 新知探究 类比实数的乘法运算律，我们得到了向量与实数的乘法运算律，由此你能总结出什么是向量的线性运算吗？ 向量的线性运算（加、减、数乘）结果仍为向量 ①向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算. ②通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合. 单位向量 与非零向量 同方向的单位向量叫做向量 的单位向量，记作 ． 根据实数与向量的乘法的定义，可知 ，即 即时训练 2.化简 【分析】遵循“去括号、合并同类向量”原则，利用数乘分配律、结合律，将同类向量的系数进行代数运算，化简至最简形式。 ； 【解析】 知识小结 实数与向量乘法的运算律 1. 结合律： 2. 第一分配律： 3. 第二分配律： 4.向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算. 5.与非零向量 同方向的单位向量叫做向量 的单位向量，记作 ． 即 例1 典例分析 化简下列向量线性运算 （1） （2） （3） 【分析】通过向量数乘的运算律（结合律、分配律）去括号、合并同类项，完成向量线性运算的化简 解：（1） （2） 典例分析 （3） 例2 典例分析 已知向量 、、 满足 ，试用 、 表示 。 【分析】本题通过向量数乘分配律化简等式，再移项、系数化 1,最终用、表示出。 解 ：将原式变形为 即 。所以 。 例3 典例分析 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且 （1）用向量、表示； （2）用向量、表示。 【分析】通过向量加法法则拆分 ，结合中点与线段比例关系表示向量，再进行线性运算化简. （2）因为 所以． 解 ：（1）因为，， 所以． 题型1 对向量数乘运算的理解 2.设是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知. 【详解】由数乘定义可知，若，则； 若，表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出， 综上，“”是“”的充分不必要条件. A 题型2 向量共线与的判定 2.若向量，，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用共线向量基本定理，若存在唯一实数使（），则与共线 【解析】因为向量，，所以． 又 所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系 B 题型3 用已知向量表示其他向量 3.在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 【分析】结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，结合向量的三角形法则解答 【解析】∵ ∴ . C 题型4 根据线性运算求参数 4.在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以. C 所以 ， 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 实数与向量的乘法 人教B版 必修三 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 课堂小结 · 高中数学 知识点回顾 01 数乘向量的定义 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa。 • 长度： |λa| = |λ||a| • 方向： 当 λ > 0 时，与 a 方向 相同； 当 λ < 0 时，与 a 方向 相反； 当 λ = 0 时，结果为 零向量。 02 运算律 结合律 λ(μa) = (λμ)a 第一分配律 (λ + μ)a = λa + μa 第二分配律 λ(a + b) = λa + λb 易错点警示 1. 零向量的陷阱 0 · a = 0，而不是实数 0。 解析：数乘向量的结果仍然是向量，必须带有方向属性（零向量方向任意）。 2. 消去律不一定成立 若 λa = μa，能推出 λ = μ 吗？ 错误： 直接认为成立。 正确： 必须前提是 a ≠ 0。如果 a = 0，则 λ, μ 可以是任意实数。 3. 模与向量的混淆 |λa| 表示向量的长度，是一个非负实数； λa 表示一个向量，既有大小又有方向。 解题技巧 📏 共线向量定理 向量 b 与 a (a ≠ 0) 共线的充要条件是：存在唯一实数 λ，使得 b = λa 💡 应用： 证明两直线平行或三点共线。 🔗 三点共线判定 A, B, C 三点共线 ⇔ AB 与 AC 共线 AB = λAC 💡 技巧： 选取公共点作为起点构建向量。 线段中点公式 若 P 是线段 AB 的中点，O 为任意一点，则： OP = 1 2 (OA + OB) O A B P $