专题7.4 解一元一次不等式组（举一反三讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦解一元一次不等式组核心知识点，先明确概念（含同一未知数的一次不等式联立），再通过数轴与口诀确定解集（同大取大等四种情况），最后掌握解法步骤（解各不等式、数轴表示、找公共部分），构建从概念到解法的学习支架。 资料按9大题型系统设计，含例题与变式，融入实际情境（如气温范围）、程序框图及新定义问题，培养数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（推理字母取值），课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题7.4 解一元一次不等式组（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 一元一次不等式组的定义】 2 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 4 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 6 【题型4 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 8 【题型5 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 10 【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 12 【题型7 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 14 【题型8 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 18 【题型9 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 21 知识点1 一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．例如，和，都是一元一次不等式组． 知识点2 不等式组的解集 1. 定义：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．如果不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 知识点3 不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2. 解不等式组的一般步骤 （1）分别求出不等式组每一个不等式的解集； （2）在数轴上把每个不等式的解集表示出来； （3）写出不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 【例1】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【变式1-1】文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：t的变化范围是， 故选D． 【变式1-2】是不小于的负数，则可表示为（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可. 【详解】是不小于的负数，则可表示为. 故选D 【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系.解题关键点：理解题意，并用不等式表示. 【变式1-3】有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：它的所有的解为非负数； 乙：其中一个不等式的解集为； 丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向． 请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数， ∴其中一个不等式的解集必为， ∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向， ∴其中一个不等式中x的系数为负数， ∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质，此题属开放性题目，答案不唯一 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 【例2】若三个非负数满足与，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出a，b，c的值，根据，求得的取值范围即可解答． 【详解】解：由题意可得， 解得， 由于a，b，c是三个非负实数， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2-1】不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在数轴上表示出每一个不等式的解集即可．解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下： 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 先求出 ，则，，将关于x的不等式化为 ，得到，即可解答． 【详解】解：由得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴ ， 解得， ∴， ∴关于x的不等式，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【变式2-3】如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组解集，首先由不等式组解集的情况判断出的大小，进而即可求解，理解不等式组无解的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴不等式组的解集是， 故选：． 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查求不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组解集，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴不等式组整数解是， ∴， 故答案为：6． 【变式3-1】不等式组的整数解是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，解决本题的关键是求解该一元一次不等式组的解集． 先根据一元一次不等式组的解法求解不等式组的解集，根据解集即可得整数解． 【详解】解：∵不等式组， 不等式，解得， 不等式，解得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1． 故答案为：1 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 则不等式组的解集是：． 则最大整数解是2． 故答案为：2． 【变式3-3】（2025·河南新乡·三模）小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式(1)的解集，再根据不等式组的解集中有三个整数解得出不等式(2)的解集，从而得出不等式(2)． 【详解】解：解不等式(1)得：， ∵这个不等式组的解集中有三个整数解， ∴不等式(2)的解集可以为， ∴符合条件(2)的不等式可以为， 故答案为： (答案不唯一)． 【题型4 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）若不等式组的解集为， 则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集得出故m，n的值，进而解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得， ． 故答案为：8． 【变式4-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据数轴上表示的不等式组的解集确定的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及根据解集求参数，重点在于理解“同大取大”等不等式组解集的确定原则． 分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集来确定参数a的值． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 当时，， 则， 时，， 则a无解． ， 故答案为： 【变式4-3】如果关于的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（   ） A．49对 B．42对 C．36对 D．13对 【答案】B 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解出不等式组的解集，然后根据整数解的情况进行分析即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组的整数解仅为 ， 解得：， 可取1，2，3，4，5，6，7，共7个，可取19，20，21，22，23，24，共6个， 整数对共有：对． 故选：B． 【题型5 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 【例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”． 分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解列出关于的不等式组，解之即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 因为不等式组的所有整数解之和为2， 所以不等式组的整数解为、0、1、2， 则， 解得， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的整数解得出答案即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∴不等式组的解集为：， 整数解只有2个，所以整数解是1，2 ， ． 故答案为：． 【变式5-2】关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解出不等式组的解集，然后根据整数解的情况分析参数的取值即可． 【详解】解：不等式组， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解只有1和2，则有：， 解得：， 当和均为整数时，或或，或， ∴整数对有对． 故答案为：6 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如果整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解，那么整数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有2个奇数解得到的取值范围，最后根据为整数得出合条件的所有整数为，即可解题． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 则解集为， 整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ， 整理得， 解得 符合条件的所有整数为 故答案为：6． 【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 【例6】已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 【答案】7 【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴，解得 解不等式组得： ∵关于的不等式组无解 ∴，解得 ∴ ∴所有符合条件的整数为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个 故答案为7 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数的取值范围，解第二个不等式可得，再结合原不等式组有解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式可得：， ∵关于的一元一次不等式组有解， ∴， 故选：D． 【变式6-2】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的不等式组有解但没有整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．0 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，会解一元一次不等式组． 根据解不等式组的方法可以求出不等式组的解集，又因为关于x的不等式组有解但没有整数解，从而可以得到a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解但没有整数解， ∴． 故选：D． 【题型7 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 【例7】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 【变式7-1】已知和是关于，的方程的两个解，当取不小于的负数时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二元一次方程组的解法．先根据和是关于，的方程的两个解，求出，，得出，再根据当取不小于的负数时，，解不等式组，即可得出答案． 【详解】解：∵和是关于，的方程的两个解， ∴， ，得， 把代入①，得， 解得：， ∴， ∴， 当取不小于的负数时，， 解得：， 故答案为：． 【变式7-2】已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【答案】1和2 【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】方法一： 解：， 得，， ∵， ∴， 解得：， 得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，则满足条件的m的整数值为1和2； 方法二： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴满足条件的m的整数值为1和2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法． 【变式7-3】（24-25七年级下·福建福州·期末）定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”．例如：已知方程和不等式，对于未知数x，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“关联解”．如果是关于x的方程与关于x的不等式组的“关联解”，则n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解、不等式组的解法以及新定义问题．熟练掌握方程的解的定义、解一元一次不等式组的方法是解题的关键．本题可根据“关联解”的定义，先求出方程的解，再将此解代入不等式组，从而得到关于的不等式组，最后求解该不等式组得到的取值范围． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴． ∵是不等式组的“关联解”， 将代入不等式组可得： ，即． 把代入上述不等式组得． 解不等式： ， ， ， ． 解不等式： ， ， ， ． 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 【题型8 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 【例8】（24-25七年级下·山东济南·期中）按如图的程序进行运算，规定：当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算，若运算进行3次才停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过程序列表达式，以及一元一次不等式组的应用，根据图示列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，第三次：，再题意可得：第一次和第二次的算式都小于等于487，只有第三次的算式大于487，列出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 第三次：， 由题意可得不等式组， 解得：． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25？”为一次操作，如果操作进行了两次才停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）按下列程序进行运算（如图）： 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算进行 次才停止；若运算进行了5次才停止，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用；根据第4次和第5次的运算结果得到关系式是解决本题的关键． 把代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于或等于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可． 【详解】解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：， 则停止； 共4次． 第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； ∴由题意：， 解得：． ∴x的取值范围为． 故答案为：4；． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的最小整数值是 ； （2）如果程序操作进行了三次才停止，那么输入的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式和不等式组是解题的关键 ． （）根据第一次停止列一元一次不等式求解即可； （）根据题意列不等式组求解即可． 【详解】解：（）由题意得，， 解得：， ∴输入的的最小整数值是， 故答案为：； （）由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【题型9 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 【例9】定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 【变式9-1】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴ 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为最大整数， ∴或； 故答案为：或 【变式9-3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）定义一种新运算“ ”：当时， ；当时，． 例如：． （1）计算： ； （2）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，求不等式组的解集，熟练掌握新运算，是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可； （2）分两种情况，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得：； 故答案为：； （2）由题意，得：或， 当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 解一元一次不等式组（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 一元一次不等式组的定义】 2 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 2 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 3 【题型4 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 3 【题型5 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 4 【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 4 【题型7 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 5 【题型8 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 5 【题型9 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 6 知识点1 一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．例如，和，都是一元一次不等式组． 知识点2 不等式组的解集 1. 定义：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．如果不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 知识点3 不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2. 解不等式组的一般步骤 （1）分别求出不等式组每一个不等式的解集； （2）在数轴上把每个不等式的解集表示出来； （3）写出不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 【例1】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】是不小于的负数，则可表示为（          ） A． B． C． D． 【变式1-3】有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：它的所有的解为非负数； 乙：其中一个不等式的解集为； 丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向． 请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ． 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 【例2】若三个非负数满足与，若，则的取值范围是 ． 【变式2-1】不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 【例3】（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【变式3-1】不等式组的整数解是 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【变式3-3】（2025·河南新乡·三模）小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为 ． 【题型4 由一元一次不等式组的解集求字母的值】 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）若不等式组的解集为， 则的值为 ． 【变式4-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【变式4-2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 【变式4-3】如果关于的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（   ） A．49对 B．42对 C．36对 D．13对 【题型5 由一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】 【例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是 ． 【变式5-2】关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有 对． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如果整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解，那么整数有 个． 【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求字母的取值范围】 【例6】已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的不等式组有解但没有整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C．0 D．0 【题型7 方程（组）与一元一次不等式组则综合运用】 【例7】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 【变式7-1】已知和是关于，的方程的两个解，当取不小于的负数时，的取值范围是 ． 【变式7-2】已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【变式7-3】（24-25七年级下·福建福州·期末）定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”．例如：已知方程和不等式，对于未知数x，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“关联解”．如果是关于x的方程与关于x的不等式组的“关联解”，则n的取值范围 ． 【题型8 根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】 【例8】（24-25七年级下·山东济南·期中）按如图的程序进行运算，规定：当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算，若运算进行3次才停止，则x的取值范围是 ． 【变式8-1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25？”为一次操作，如果操作进行了两次才停止，则x的取值范围是 ． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）按下列程序进行运算（如图）： 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算进行 次才停止；若运算进行了5次才停止，则的取值范围是 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的最小整数值是 ； （2）如果程序操作进行了三次才停止，那么输入的的取值范围是 ． 【题型9 与一元一次不等式组有关的新定义问题】 【例9】定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）定义一种新运算“ ”：当时， ；当时，． 例如：． （1）计算： ； （2）若，则的取值范围是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $