6.4.3.2正弦定理（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4平面向量的应用 6.4.3.2正弦定理 学 习 目 标 1 2 3 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题. 通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律. 通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美. 新课引入 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . 新课引入 村里的果园中有三棵果树，分别标记为。 果农需要在A树附近安装一个灌溉水龙头，同时 要铺设管道连接到树和树，确保两棵树都能被灌溉到。已知树到树的距离为米，果农用测角仪测得，。果农想知道，从A树到B树的管道长度需要多少米？另外，为了计算灌溉所需水量，还需要知道三角形ABC的面积，仅靠现有数据能完成这两个计算吗？ 已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式？ 新知探究 思考：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们有三角形中等边对等角的理论 实际上，三角形中还有大边对大角的边角关系 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系. 可以解决“在中，已知，求”的问题. 新知探究 问题1：如图，先探究在中的对边对角有何关系？ A B C c b a 根据锐角三角函数，在中，有: 则： 又因为所以 新知探究 问题2：在一般的三角形中，关系式是否仍成立？ A C a b c B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： 新知探究 问题3：你能用其他方法证明吗？ 向量法 A B C ·= ·()=·+ · 即| | ||cos()0+ | | ||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ A B C j ·= ·()= ·+ · 即|| ||cos()0+ | | ||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ j 新知探究 外接圆法 D 如图，的外接圆为圆，其半径为， 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接， 易知， °,，且 在中，,且 同理可得， 、 综上， 新知探究 正弦定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： （为外接圆半径）. 同时，有 b c a 即时训练 1. 判断正误. (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ） (2)正弦定理不适用于直角三角形.（ ） (3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（ ） (4)在中，（ ） (5)在中，.（ ） 【答案】：×，×，√，√，√ 典例分析 例7 在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 【分析】三角形内角和为，故角易得。由正弦定理 可得 典例分析 例8 在中，已知，，，解这个三角形. 【分析】由正弦定理 可得，而后求。可由三角形内角和求得，可由或求得。 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 典例分析 例8 在中，已知，，，解这个三角形. ①当时， 此时， ②当时， 此时， 新知探究 思考1：利用正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？ 已知三角形的任意两个角与一边，解三角形． 已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形． 判断三角形的形状. 由正弦定理已知边角关系 新知探究 思考2：从代数运算的角度看，正弦定理有哪些变形式？ ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； ④asin B=bsinA ，asin C=csinA ， bsin C=csinB ； ⑤==＝2R. 即时训练 1. 在中，已知，求边. 题型1 已知两角一边解三角形 解：因为，所以 因为根据正弦定理， 得 2. 在中，已知，，则 【答案】： 知识小结 已知两角及一边解三角形的一般步骤 即时训练 题型1 已知两角一边解三角形 3. 在中，已知，，，解这个三角形 解： 由正弦定理得，即， 解得 4. 在中，，，，则此三角形的最大边长为______.  【答案】： 即时训练 题型2 已知两边及一边的对角解三角形 1. 在中，已知求. 解：∵ ，∴，解得. 又∵，，∴. ∴， ， ∴. 知识小结 已知两边及一边的对角解三角形的一般步骤 即时训练 题型2 已知两边及一边的对角解三角形 2. 在中，已知，，求边的长. 解：由，得. ∵，∴，∴或. ①当时，. 此时，. ②当时，. 此时，. 综上知或. 即时训练 题型2 已知两边及一边的对角解三角形 3. 在中，已知，，则角为（ ）. ． ． ． ．或 【答案】： 思考：在前面的题目中我们可以发现，有一些三角形有两个解，有一些有两个解，为什么会出现这一情况？ 由三角函数的性质可知， 在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 即时训练 题型3 判断三角形形状 1. 在中，若且试判断的形状. 解：(法一)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角，， ∴ ∴.∵，∴ ∴是等腰直角三角形. 即时训练 题型3 判断三角形形状 1. 在中，若且试判断的形状. 解：(法二)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角， ∵ ∴ ∴.又，∴ ∴是等腰直角三角形. 即时训练 题型3 判断三角形形状 2. 在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： 3. 在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： 课堂总结 正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？ （1）已知三角形的任意两个角与一边，解三角形； （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，解三角形； （3）判断三角形的形状。 感谢聆听! $