第09讲 正弦定理（寒假预习讲义）（思维导图+4知识点+七大考点+过关检测）高一数学人教A版

第09讲 正弦定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：正弦定理解三角形】 【题型02：正弦定理结合余弦定理解三角形】 【题型03：三角形解的个数判断】 【题型04：三角形的面积公式】 【题型05：正弦定理边角互化应用】 【题型06：三角形的外接圆问题】 【题型07：正弦定理判断三角形形状】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 知识点2：三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 知识点3：正弦定理解决的两类问题 1、类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 知识点4：利用正弦定理判断三角形的形状 法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ 法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 【题型01：正弦定理解三角形】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 3．（24-25高一下·广东江门·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得. 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式求出即可. 【详解】在中，由，得，而， 由正弦定理，得， 整理得，因此或，解得，， 所以. 故选：D 【题型02：正弦定理结合余弦定理解三角形】 1．（24-25高一下·河南·月考）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出边的值，再根据正弦定理求出的值. 【详解】在中，，，， 所以，所以. 因为，，， 所以 故选：D. 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出， ，利用正弦定理即可求出的长. 【详解】由题意，在中，，，， 由余弦定理得， ， ∴， ∴， 在中, 由正弦定理得， ， 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 5．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答. 【详解】 在中，， ，可得则， 因，则， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：D 【题型03：三角形解的个数判断】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数. 【详解】 因为，所以符合条件的三角形个数是2个. 故选：C. 2．在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于BC：利用正弦定理的结论直接判断即可. 【详解】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知不能确定，故A错误； 对于选项B：因为，可知， 所以满足条件的有2个，故B错误； 对于选项C：因为，所以满足条件的有1个，故C正确； 对于选项D：因为为最大角，但，不满足大角对大边， 所以不存在，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 4．（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正弦定理得，再由有唯一一个得出或，即可求解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或， 则边长的取值范围是. 故选：C 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【题型04：三角形的面积公式】 1．（24-25高一下·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 2．（23-24高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由余弦定理求出长，由求得，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积. 故选：B. 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若其面积为S，且，则角A的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及三角形面积公式求解. 【详解】依题意，，， 则，故， 而，所以.故选：B 5．在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理可得余弦值，进而利用同角三角函数关系求解正弦值，由面积公式即可求解. 【详解】由以及正弦定理可得，设， 由余弦定理可得, 由于 则，解得， 又最小的边长为，故，故选：B 6．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【答案】B 【分析】根据已知及正弦定理得、、，再由三角形内角的性质及和角正弦公式得，根据正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，则，易知为锐角， 由正弦定理知，而，即，故， 所以，故， 由， 由正弦定理知，可得，故. 故选：B 【题型05：正弦定理边角互化应用】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理，得. 故选：A 2．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，即可求解. 【详解】由，得到，又是锐角三角形， 所以，则，得到， 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 4．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 6．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 7．（24-25高一下·湖北荆州·期末）设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，代入即可求得，再利用正弦定理将边转化为角即可求解. 【详解】由正弦定理有，为的外接圆半径， 所以， 所以， 所以，即，又的周长为1，所以， 所以， 故选：C. 8．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式得，又即可求，进而得. 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 【题型06：三角形的外接圆问题】 1．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积. 故选：A. 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 3．（25-26高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，再结合正弦定理可得的外接圆半径，即可求面积. 【详解】因为，所以，得， 设的外接圆半径为，则，可得， 故的外接圆面积. 故选：C. 4．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 5．（24-25高一下·山东泰安·月考）已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案. 【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为， 所以，解得， 由正弦定理，∴， 故选：B. 6．（24-25高一下·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式得，由正弦定理的边角互化以及余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解. 【详解】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 所以， 所以， 又， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以△ABC外接圆的半径为． 故选：B． 7．（24-25高一下·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得出角，再由余弦定理得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由，得， 又因，得，所以，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理得，所以， 所以圆的面积. 故选：C 8．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC， 因为，所以, , 所以， 由题意该圆即为三角形的外接圆， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 【题型07：正弦定理判断三角形形状】 1．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得 ∴， ∵，∴， 所以是等腰三角形 故选：A. 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理整理等式，解得角，可得答案. 【详解】由，根据正弦定理可得， 则，由，则， 可得，由，解得. 故选：D. 3．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】先由余弦定理和已知得到，再由正弦定理得，代入得到即可判断三角形形状. 【详解】在中，角，，所对的边分别为，，，且， 则．由于，故． 由于，利用正弦定理，得，所以，故， 所以为等边三角形． 故选：D. 5．（24-25高一下·福建厦门·月考）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，再由和角公式化简可得或，最后分类讨论即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以，故， 所以或，即或， 故为直角三角形或等腰三角形． 选：D． 6．的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B. 1．（24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求得，进而求得. 【详解】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 3．（23-24高一下·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】∵，∴， 由三角形的面积公式可知，的面积为. 故选：B 4．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理和三角形面积公式即可求得结果. 【详解】设中角所对的边分别为， 因为的面积为，，所以， 又，所以，结合上式得：， 由余弦定理得：，故. 故选：A 5．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据面积可求，再根据余弦定理可求，最后根据正弦定理求出外接圆半径. 【详解】由题设有，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形外接圆的半径为， 故选：B. 6．（24-25高一下·山西·期中）的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据三角恒等变形得，再借助正弦定理角化边可得，最后由正弦定理求解. 【详解】根据题意，，， 即， 根据正弦定理，得，可得， 则，所以， 则外接圆的半径为. 故选：A 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理分别求出，，即可判断. 【详解】在中，由正弦定理可得， ， 因为，所以，， 所以． 故选：C． 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：D. 9．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 10．（24-25高一下·山东济南·月考）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】在中，由正弦定理及可得：. 又，， ∴，即，即. 又∵，∴，∴，∴是直角三角形. 故选：A. 11．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】法一；利用正弦定理求出，再分别代入验证，求出，再结合的范围可得. 【详解】法一：在中，利用正弦定理可得，则， 若，则，因，则或（舍）， 则有一解，故A错误； 若，则，因，则或（舍），则有一解， 故B错误； 若，则，因，则，则有一解，故C错误； 若，则，因，则或， 则有两解，故D正确. 法二：利用或者可知，或， 故选：D 12．（24-25高一下·浙江台州·期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用两边之和大于第三边判断判断A；根据余弦定理求得可判断C；由正弦定理判断B、D； 【详解】对于A：因为，不符合两边之和大于第三边，所以无解，故A错误； 对于B：因为，所以，所以无解，故B错误； 对于C：由余弦定理得，所以，解得或，即有2个解，故C正确； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D不正确. 故选：C. 13．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正弦及正弦定理可得，进而利用余弦定理可得的值. 【详解】由，可得， 由正弦定理可得， 又因为，所以，所以， 在中，，由余弦定理可得， 所以. 故选：D. 14．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合即可得到答案. 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 15．在中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为， 即，解得. 故选：D. 16．（24-25高一下·河南漯河·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简可得或，进而可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 17．（24-25高一下·安徽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角，结合辅助角公式得到，再结合三角形面积公式及余弦定理求得，即可求解. 【详解】由正弦定理得， ，， ，， ，又， . ， ，由，， 得， 则 故， 周长为. 故选：C 18．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 19．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用余弦定理和正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 即，， 又在中，，，， 由正弦定理得，，即， 解得. 故选：B. 20．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 整理可得：， 可得， 因为为三角形内角，，所以． 因为，所以， 因为，且，所以， 解得， 由余弦定理得， 解得．所以， 故选：A． 21．（23-24高一下·浙江·期中）已知四边形内接于圆，且满足，，，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，分别在中和在中利用余弦定理求出和，然后在中，由正弦定理可得 【详解】由题意可得， 在中，由余弦定理得, 在中，由余弦定理得， 两式相减得， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得圆的半径为， 故选：A 22．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 23．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是（   ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由条件，利用正弦定理化边为角，再利用二倍角公式及两角和公式化简可得，化简可得或，，再判断三角形形状. 【详解】设的外接圆半径为，则，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 又，，，， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形， 故选：A. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 正弦定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：正弦定理解三角形】 【题型02：正弦定理结合余弦定理解三角形】 【题型03：三角形解的个数判断】 【题型04：三角形的面积公式】 【题型05：正弦定理边角互化应用】 【题型06：三角形的外接圆问题】 【题型07：正弦定理判断三角形形状】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 知识点2：三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 知识点3：正弦定理解决的两类问题 1、类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 知识点4：利用正弦定理判断三角形的形状 法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ 法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 【题型01：正弦定理解三角形】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东江门·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型02：正弦定理结合余弦定理解三角形】 1．（24-25高一下·河南·月考）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【题型03：三角形解的个数判断】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型04：三角形的面积公式】 1．（24-25高一下·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若其面积为S，且，则角A的大小为（    ） A． B． C． D． 5．在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【题型05：正弦定理边角互化应用】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北荆州·期末）设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【题型06：三角形的外接圆问题】 1．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（25-26高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 4．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（24-25高一下·山东泰安·月考）已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 6．（24-25高一下·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型07：正弦定理判断三角形形状】 1．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．（24-25高一下·福建厦门·月考）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 6．的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 1．（24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 4．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 5．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 6．（24-25高一下·山西·期中）的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 10．（24-25高一下·山东济南·月考）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 11．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 12．（24-25高一下·浙江台州·期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 13．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 14．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．在中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（    ） A．4 B． C． D． 16．（24-25高一下·河南漯河·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 17．（24-25高一下·安徽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 18．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 19．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 20．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·浙江·期中）已知四边形内接于圆，且满足，，，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·山东济宁·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是（   ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $