专题7.2 图形的平移、轴对称、旋转（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题7.2 图形的平移、轴对称、旋转（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 图形的变换】 1 【题型1 轴对称图形与中心对称图形】 1 【题型2 轴对称、中心对称、旋转与坐标变化】 4 【题型3 平移及其性质】 6 【题型4 利用轴对称的性质求解】 8 【题型5 利用旋转的性质求解】 13 【题型6 平移、轴对称、旋转的的作图问题】 16 【题型7 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 22 【考点二 图形的变换的综合运用】 25 【题型8 图形变换与函数综合】 25 【题型9 图形变换与几何图形综合】 30 【题型10 与图形变换有关的规律探究问题】 37 【题型11 将军饮马求最值问题】 41 【题型12 利用旋转求最值问题】 46 【题型13 直线类运动轨迹问题】 52 【题型14 弧线类运动轨迹问题】 58 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 图形的变换】 【题型1 轴对称图形与中心对称图形】 1．（2025·西藏·中考真题）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A．田 B．忌 C．赛 D．马 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）依次对各选项逐一判断，据此解答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2025·山东东营·中考真题）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 3．（2025·黑龙江·中考真题）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·福建·中考真题）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【题型2 轴对称、中心对称、旋转与坐标变化】 5．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 6．（2025·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称、点坐标与平移，熟练掌握轴对称变换和平移变换规律是解题关键．先根据点坐标与轴对称变换规律可得点的坐标为，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点， ∴， ∵将点向右平移2个单位长度得到点， ∴，即， 故答案为：． 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，．若点与点关于原点对称，则这个反比例函数的表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数的解析式，关于原点对称坐标特征，由点与点关于原点对称，则，，从而求出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为， 故答案为：． 8．（2025·山东青岛·二模）如图，将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 根据平移和旋转的性质，将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，根据图写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 即为所求， 由图可知． 故答案为： 【题型3 平移及其性质】 9．（2025·山西·一模）如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 10．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，某居民小区有一长方形土地，长32米，宽20米．居民想在长方形地内修筑宽均为2米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为（    ）平方米 A．640 B．600 C．540 D．504 【答案】D 【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（32-4）×（2025m2，进而即可求出答案． 【详解】解：利用平移可得，所有绿化面积之和为（32-4）（2025=504m2， 故选D． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出算式，求出答案． 11．（2025·陕西延安·一模）如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为______． 【答案】70 【分析】本题考查了平移的性质(平移前后对应线段平行)及平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)，解题的关键是根据平移性质得出对应线段平行，再利用平行线性质结合已知角度求的度数． 由平移性质可知,平移后对应线段；与平行，故与组成内错角，根据两直线平行内错角相等，即可求出． 【详解】解：∵沿直线方向平移得到， ∴(平移的性质：平移前后对应线段平行)． 即， ∴． 故答案为：． 12．（2025·江苏泰州·模拟预测）在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（   ） A．先逆时针旋转90°，再向左平移 B．先顺时针旋转90°，再向左平移 C．先逆时针旋转90°，再向右平移 D．先顺时针旋转90°，再向右平移 【答案】A 【详解】屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移． 故选A． 【题型4 利用轴对称的性质求解】 13．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，A．由对称的性质得，由 等腰三角形的性质得，，即可判断；B．不一定等于，即可判断；C．由对称的性质得，由全等三 角形的性质即可判断；D．过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断． 【详解】解：、∵， ∴， 由对称得， ∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、∵由已知不能证明出一定等于， ∴不一定等于，结论错误，故符合题意； 、由对称得：， ∴，， ∵，分别是底边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∴， 同理可证，， ∴，结论正确，故不符合题意， 故选：． 14．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 15．（2025·北京·模拟预测）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据图示的裁剪，判定左上角，左下角，右下角的图示形状即可求解． 【详解】解：根据裁剪结合图示可得，左上角，即正方形垂直方向上是含有线段的图形，左下角，即正方形中间部分是含有线段的图形，右下角，即正方形水平方向是含有曲线的图形， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 16．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【题型5 利用旋转的性质求解】 17．（2025·四川广元·一模）如图，将矩形 绕其顶点逆时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识.记旋转后的对应点为交于点，利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质进行求解即可． 【详解】解：记旋转后的对应点为交于点， 由旋转的性质可知四边形为长方形， ∴， ∴， ∵ ∴， 旋转角可以为． 故选：A． 18．（2025·湖南邵阳·三模）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点D作，，连接、交于点O．根据题意先证出四边形是平行四边形，再由，，得，即有平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，当两张纸片垂直时，即时，底边最短，即可求出面积最小值． 【详解】解：过点D作，，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 旋转过程中，菱形的高不变，底变化， 当两张纸片垂直时，即时，底边最短，此时面积为：， 故选：C． 19．（2025·四川成都·二模）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为______度． 【答案】108 【分析】本题考查旋转的性质，等角对等边，三角形的内角和定理，由旋转得，，根据等角对等边以及三角形的内角和定理，可得，进而根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：由旋转得， ∴， ∴， 故答案为：108． 20．（2025·西藏日喀则·模拟预测）如图，在中，，，，在边上取一点，使，以点为旋转中心，把逆时针旋转，得到（点、、的对应点分别是点、、），那么与的重叠部分的面积是__________． 【答案】 【分析】此题考查旋转的性质，勾股定理，三角函数．先根据勾股定理求出，再根据三角函数求出的长，再利用三角形的面积减去三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴与的重叠部分的面积 ． 故答案为：． 【题型6 平移、轴对称、旋转的的作图问题】 21．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． (1)结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； (2)平移得到，其中点A，B，C的对应点分别是，且点与点B关于原点O中心对称，画出，并说明是由怎样平移得到的？ 【答案】(1)； (2)见解析，是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 【分析】本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案． （2）根据中心对称的性质可得点，再根据平移的性质画图，可得答案． 【详解】（1）解：由图可得，，． 故答案为：；． （2）解：如图，即为所求． 则是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 22．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为 ， ，． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，直接写出线段扫过的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用线段扫过的面积扇形的面积﹣扇形的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由旋转知，，， ∴， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积 扇形的面积﹣扇形的面积 扇形的面积﹣扇形的面积， ∵，， ∴线段扫过的面积． 23．（2025·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)内一点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查中心对称和旋转的作图，涉及中心对称点、旋转点的坐标变换规律； （1）根据中心对称点的坐标特征求出的对称点，再顺次连接； （2）根据旋转坐标变换规律求出旋转后点的坐标，再顺次连接即可； （3）根据关于原点中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）内一点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 24．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)在图中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． 画出平移后的； 如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为______； (2)作出关于原点的中心对称图形； 写出的坐标为______； (3)画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析， 【分析】（1）①根据平移的性质作图即可． ②利用勾股定理计算即可． （2）①根据中心对称的性质作图即可． ②由图可得答案． （3）结合平行四边形的判定与性质画图，即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②由勾股定理得，， 平移距离为． 故答案为：． （2）解：①如图，即为所求． ②由图可得，的坐标为． 故答案为：． （3）解：如图，平行四边形即为所求． 由图可得，此时点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、平行四边形的判定与性质、勾股定理、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 【题型7 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 25．（2025·上海·模拟预测）下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了平面图形的分割与组合，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 【详解】解：如图所示：图案是由五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠）， 这两种基本图形是②⑤． 故选：D． 26．图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程______. 【答案】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【分析】变换图形2，可先旋转，然后平移与图2拼成一个矩形． 【详解】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形． 故答案为先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°，再将旋转后的图形向左平移5个单位． 【点睛】本题考查了平移和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 27．（2025·河北·模拟预测）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的． (1)图1中阴影部分的面积为______（结果保留π）． (2)请你以如图1所示的图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转在网格中设计一个完整的花边图案（要求至少有两种图形变换）． 【答案】(1) (2)如图（答案不唯一）． 【分析】（1）如图所示， ． ，据此即可求解； （2）借助轴对称、平移或旋转即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，阴影部分的面积为 ， 故答案为：． （2）所设计的方案如图所示： 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了计算组合图形的面积，运用平移、轴对称和旋转设计图案，解决本题的关键是弄清图中的扇形的半径与圆心，把不规则的图形的面积转化为几个规则图形的面积的和或差来求解． 28．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 【考点二 图形的变换的综合运用】 【题型8 图形变换与函数综合】 29．已知点与点关于轴对称，将点向左平移个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上．则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标特点，点的平移， 根据点与点关于轴对称，将点向左平移个单位长度得到点，得出和的坐标，代入函数解析式求解． 【详解】解：点与点关于轴对称，将点向左平移个单位长度得到点， ，， ，两点都在函数的图象上， ，解得， 点的坐标为． 故答案为：． 30．（2025·山东德州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，直线是平行于轴的一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．那么函数关于直线的“镜面函数”的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的轴对称变换及分段函数解析式的求解，解题的关键是理解“镜面函数”的定义，掌握关于垂直于y轴的直线对称的点的坐标变换规律． 确定原函数在时的解析式（直接保留）；通过对称点坐标关系，求出时对称部分的解析式；整合两部分解析式得到“镜面函数”． 【详解】解：设函数 上一点，其关于直线的对称点为，则，即 ． 将代入原函数，得． ∴时，“镜面函数”的解析式为． 综上，“镜面函数”的解析式为． 故答案为：． 31．（2025·山东烟台·一模）小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，，……得出，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴ ∵， 当时，，即，即 ∵关于点中心对称的点为，即当时，， ∴， 故答案为：． 32．（2025·湖南长沙·模拟预测）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)在下列关于的函数中，是“乾坤函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“乾坤函数”的打“×”． ①（_______）；②（_______）；③（_______） (2)若函数（为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，试求的值与相应的“乾坤点”的坐标； (3)已知抛物线关于轴对称的抛物线为是“乾坤函数”，且有两个“乾坤点”，这两个“乾坤点”之间的线段长为．将抛物线绕点旋转得到新函数，且新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”，请求出的取值范围，并用含的代数式表示上的两个“乾坤点”之间线段的长度． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3)，上的两个“乾坤点”之间线段的长度 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解； （1）设“乾坤点”坐标为，则，所有的“乾坤点”都在直线上，“乾坤函数”必定与有交点，再分别联立与三个函数解析式，判断交点情况即可； （2）由函数（为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，得到，整理得到，该方程有两等根，根据求解即可； （3）由点关于轴对称的点坐标为，得到抛物线关于轴对称的抛物线为解析式，再根据是“乾坤函数”，且有两个“乾坤点”，联立解方程求得 对应的两个“乾坤点”坐标为，，根据这两个“乾坤点”之间的线段长为，解得，再求出将抛物线绕点旋转得到新函数解析式为，根据新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”，得到方程，则，，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”， ∴设“乾坤点”坐标为，则， ∴所有的“乾坤点”都在直线上， ∵若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”， ∴“乾坤函数”必定与有交点； ①联立，整理得，，方程有两不等根，即与有两个交点，则是“乾坤函数”； ②联立，解得，即与有一个交点，则是“乾坤函数”； ③联立，整理得，，方程无解，即与没有交点，则不是“乾坤函数”； 故答案为：①；②；③； （2）解：∵函数（为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴函数（为常数）与有且只有1个交点， 联立，整理得， ∴方程有两等根， ∴，两等根， 解得， 当时，， ∴相应的“乾坤点”的坐标为； （3）解：∵点关于轴对称的点坐标为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为解析式为，即， ∵是“乾坤函数”，且有两个“乾坤点”， ∴联立得，整理得， 解得， ∵当时，；当时，； ∴对应的两个“乾坤点”坐标为，， ∵这两个“乾坤点”之间的线段长为， ∴， 解得，或 ∵， ∴， ∴， ∵点绕点旋转得到， ∴将抛物线绕点旋转得到新函数解析式为，整理得， ∵新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”， ∴联立得， ∵新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”，， ∴，，， ∴解不等式得， ∴上的两个“乾坤点”之间线段的长度． 【题型9 图形变换与几何图形综合】 33．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 34．（2025·广西来宾·模拟预测）某景区内有一片夹角为（）的游览区域，点P是区域内的核心观景台，观景台到夹角顶点O的距离．景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下： 材料1：为优化观景体验，先在射线上设置临时停靠点P，点P在上，并规划从P点出发，关于游览步道对称的备选观景点，连接（如图①）． 材料2：为丰富路线选择，过核心观景台P分别作关于步道的对称点，连接（如图②）． 材料3：为设计最短游览路线，需在步道上各选一个休憩点M、N，使游客从观景台P出发，经M、N后返回P的路线（即）周长最小（如图③）． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)结合材料1，求备选观景点与临时停靠点的距离的长度； (2)结合材料2，求对称点之间的距离； (3)结合材料3，先补全图③，再求出周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； （2）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； （3）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； 【详解】（1）解：∵点P和点关于对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：∵点P关于的对称点为， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：过点P分别作的对称点E，F，连接，交和于M，N， 如图所示，此时三角形的周长取得最小值． 由（2）知，， ∵点P关于的对称点为E，F， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 35．（2025·上海·模拟预测）已知长方形，，，边长为的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图1所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图2所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是________，面积相等的是________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；    ②三角形与三角形； ③三角形与三角形；    ④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】题考查了中心对称图形的性质，平移的性质，一元一次方程以及多项式的乘法与图形面积的应用； （1）根据长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上，观察图形，即可求解； （2）由（1）可得长方形与长方形的面积相等，根据已知列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）分点在上，根据（2）的方法计算即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称； ∴①②③中的两个三角形的面积相等， ∵①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又∵③三角形与三角形的面积相等， 则 四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 故答案为：①②③；①②③④． （2）解： 依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ∴， 解得：， （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ∴，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ∴， 解得：， ∴； 当在上时，如图， ∵，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ∴． 解得：． ∴． 综上所述，的值为或． 36．（2025·河南许昌·模拟预测）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．          数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“勤学小组”提出问题：如图2，当时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）①；② 【分析】（1）连接，证明即可． （2）①延长交于点，求出，，设，则，求出解答即可； ②利用旋转的性质证明和等腰三角形的判定得出，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，，， ， ， ． （2）①解：如图2，延长交于点， ，， ， ，． 由（1）知，， 设，则， ， ， ； ② 解：如图3，由旋转的性质知，，，，，， ∵， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， ∴，即． 【题型10 与图形变换有关的规律探究问题】 37．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有点 ，点第一次跳动至点 ，第二次向右跳动个单位至点 ，第三次跳动至点 ，第四次向右跳动个单位至点 ，…，依此规律跳动下去，点与点的横坐标距离是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的坐标规律问题、两点之间距离计算等知识点，观察并归纳出规律是解题的关键．按照题目中的规律，分成偶数点与奇数点的规律，偶数点对于起始点，横、纵坐标均增加点数的一半，所以；奇数点对于点，横坐标减去点数加1的和的一半，纵坐标则增加点数加1的和的一半，所以，得到和两个点的坐标，计算进而得到两点之间的距离． 【详解】解：根据观察图中的点的坐标，我们发现规律： 第一次跳动到时的坐标为；第二次跳动到时的坐标为； 第三次跳动到时的坐标为；第四次跳动到时的坐标为； 第五次跳动到时的坐标为；第六次跳动到时的坐标为； …… 第次跳动到时的坐标为；第次跳动到时的坐标为； 第次跳动到时的坐标为； 所以的坐标为，以的坐标为， ∴， 故选： ． 38．（2025·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探索、点坐标与轴对称变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 归纳类推得：轴对称变换后所得的点的对应点坐标按，，，循环，以4次为一个周期， ∵， ∴第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标与第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标相同，即为， 故选：D． 39．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律． 40．（2025·重庆忠县·模拟预测）如图，在中，，，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到①，可得到点；再将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转下去，若n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律探究，旋转的性质及直角三角形的性质，得到的长度依次增加2，1，且三次一循环是解题的关键． 由题意可得将绕点顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：中，，，， ，， 将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 又， ， 故选：D． 【题型11 将军饮马求最值问题】 41．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，是边上的动点，将沿翻折得，当取最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题和相似三角形应用、勾股定理、折叠性质，连接，可得当落在边上时，最小，此时，再延长，交点，证明，过点作，垂足为点，求出，代入比例式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∵， ∴当落在边上时，最小，此时． 延长，交点，过点作，垂足为点，如图． ∵， ∴，， ∴， ∴， ，     ，， ， ，， ， ∴， ， 解得． 故选C． 42．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识点，学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，再根据矩形的性质以及勾股定理求得即可解答． 【详解】解：如图：作点关于的对称点，连接，． ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，且为 ，，点在边上，且． ，， ， ∴最小值， 的最小值为． 故选：C． 43．（2025·湖北黄石·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意可知，要求周长最小，实际是求最小，先找出点运动轨迹，过点作，交、与E、F，过点M作于点G，由旋转的性质，利用证明，进而推出点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可． 【详解】解：过点作，交、于E、F，过点M作于点G，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形和是矩形， ∴， ∵将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，点M是边的中点， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时取得最小值，即周长最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题等，正确添加辅助线找出点运动轨迹是解题的关键． 44．（2025·海南·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点F是正方形内一点，连接、，且，点E是边上一动点，连接、，①若点E是的中点，则________；②求长度的最小值为_________． 【答案】 【分析】①由正方形的性质得出，，再根据已知条件得出，根据勾股定理得出． ②由正方形的性质进一步得出，点F在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，然后利用勾股定理求出，进而可求出． 【详解】解：①由正方形的性质可知，， ∵点E是的中点， ∴ ∴； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形， 则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直径所对的圆周角等于90度，勾股定理，轴对称的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 【题型12 利用旋转求最值问题】 45．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点P是矩形内的一动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求． 由旋转的性质可知：是等边三角形， ∴， ， ， ∴当A、P、F、E共线时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 46．（2025·天津·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值____． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标，解题关键是建立平面直角坐标系． 以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，可得出，，，先求出直线的解析式，再设出点的坐标为，然后证明，从而可得出点的坐标，再求出点的坐标，然后利用两点间的距离求出用表示出，再求出最小值即可． 【详解】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，则，，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 过点作于点，过点作的延长于点，过点作， 则四边形是矩形，，， 所以，又， 所以， 所以，， 因为四边形是矩形， 所以，， 因为四边形是正方形，是对角线， 所以平分， 所以点到的距离等于它到的距离为， 所以到轴的距离为，即点的横坐标为， 所以，所以到的距离为，即点的纵坐标为， 所以点的坐标为， 因为点是的中点， 所以点的横坐标为， 所以，当时，有最小值2， 故答案为：2． 47．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=4，点P为△ABC内部一点，则点P到△ABC三个顶点之和的最小值是_______． 【答案】 【分析】将绕着点A顺时针旋转60°，得到，连接EP，CH，过点C作，交HA的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值HC，再求出CN和HN的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕着点A顺时针旋转60°，得到，连接EP，CH，过点C作，交HA的延长线于N， ∴， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点H、E、P、C共线时，有最小值HC． ∵， ∴， ∴， ∴ ． 在中，， 即点P到△ABC三个顶点之和的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 48．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，，连接，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 取中点，绕点逆时针旋转至，连接，可得点在以点为圆心，长为直径的圆上，，然后证明，所以，即有，当三点共线时，有最小值，设，则，，再通过勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取中点，绕点逆时针旋转至，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，长为直径的圆上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：． 【题型13 直线类运动轨迹问题】 49．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，根据是等腰直角三角形，可知点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同，且：1，得出周长比为，求出的周长即可解决问题． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同， ， ∴点的轨迹图形与点的轨迹图形相似比为， ， ， 周长， ∴点的轨迹形成的封闭图形周长为， 故选：B． 50．（2025·上海·模拟预测）超能市新闻速递：昨日一辆机长80米的客机（编号）在起飞过程中偏离航道，即将撞上正对的一个摩天大楼．据超能航空的斐德文机长回忆技术细节，他当时操纵飞机先朝北偏西方向急升达到最高点，再朝南偏西方向急降，机尾擦到大楼楼顶处着火．之后飞机进行了迫降，无乘客伤亡，有惊无险．斐德文机长获得“荣誉机长”称号． 如图是某人用数学模型粗略还原的新闻中的场景，是垂直于水平地面的大楼，是平行于水平地面的飞机（C是机头），机头仪器显示B点的仰角为．根据现场照片，机尾着火时，机头和紧急操作之前的位置处于同一高度． (1)根据所给信息在图中作图（不用写答句）． ①用虚线作出机头的粗略移动轨迹（标出必要的角度）； ②设飞机急降结束时机头、机尾的位置分别为，用实线作出线段，表示紧急操作结束时的飞机位置． (2)如图，此人根据事发现场侧面照推算出，求机头移动轨迹长（取1.73）． 【答案】(1)图象见解析 (2)356.8米 【分析】本题考查方向角的应用，等边三角形的判定与应用，正切函数的应用： （1）①根据题干描述作图即可；②根据题干描述作图即可； （2）将机头最高点记为，将与交点记作．根据题意可得，可证是等边三角形，利用边角关系即可求出，从而求得答案． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）解：将机头最高点记为，将与交点记作． 由题可知，，， ∴， ∴是等边三角形． 易求（米），（米）， ， （米）， （米）， 机头移动轨迹长度为（米）． 51．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图1，在中，．点在边上运动，连接，以为边作，使点、在同侧，且，连接，试探究线段长度的最小值． 【探寻轨迹】奇奇同学发现这是一道求定点到动点距离的最值问题．于是他想通过探寻动点的运动轨迹，进而求出线段长度的最小值． 下面是奇奇的证明过程： 证明：如图2，过点作于点，连接， ∵， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴， ∵点在边上运动， ∴点的运动轨迹为一条过点且以为一个端点的线段． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 （1）___________，___________； （2）点的运动轨迹的长为___________；线段长度的最小值为___________． 【答案】[探寻轨迹]缺失部分见解析；[问题解决]（1），；（2）3； 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，以及利用点的运动轨迹求线段最值和路径长度，通过证明三角形相似，确定点E的运动轨迹，再结合几何图形的性质求解是解题的关键． 【探寻轨迹】根据相似三角形的判定与性质补全缺失证明过程即可； 【问题解决】对于（1）由勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质和锐角三角函数求解即可； 对于（2）设直线交于点M，先证明，再求出，当时，取得最小值，由面积可得长；当点D从A运动到C时，点E的运动路径长等于长，由，即可求出． 【详解】解：【探寻轨迹】补全缺失的证明过程： ∴，， ∴，； 【问题解决】（1）在中，，， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）如图，设直线交于点M， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最小值，此时； 当点在上运动时，点E的运动轨迹是一条线段，当点D从A运动到C时，的长度从5到0， ∵，， ∴， 即点E的运动路径长等于此时的长度，为3． 综上，线段的最小值为；点E的运动路径长为3． 故答案为：3；． 52．（2025·重庆梁平·模拟预测）材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B． 下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时， (1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点N作的垂线，垂足为H．易求出．又易证，，即说明点N的运动轨迹是过点N与的平行线．再利用尺规作图作出该平行线即可； （2）作点D关于点N的运动轨迹的对称点，连接，则的长即为的最小值，即此时周长最小．根据勾股定理求出的长，从而即可求出周长的最小值． 【详解】（1）如图，过点N作的垂线，垂足为H． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是过点N与的平行线． 尺规作图如下， （2）如图，作点D关于点N的运动轨迹的对称点，连接，则的长即为的最小值，即此时周长最小． 由（1）可知， ∴． 在中，， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，尺规作图—作平行线，轴对称的性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 【题型14 弧线类运动轨迹问题】 53．（2025·江苏盐城·二模）已知△ABC是边长为的等边三角形．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O． （1）如图a，当θ=20°时，判断△ABD与△ACE是否全等？并说明理由； （2）当△ABC旋转到如图b所在位置时（60°＜θ＜120°），求∠BOE的度数； （3）在θ从60°到120°的旋转过程中，点O运动的轨迹长为 ．             【答案】(1)全等，理由见解析；（2）120°；（3）． 【分析】（1）结论：△ABD≌△ACE．根据SAS证明即可． （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）如图b中，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K．证明∠AOC=120°，推出点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°从而可以求得运动的轨迹． 【详解】解：（1）结论：△ABD≌△ACE． ∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°， 在△ABD与△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． （2）由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE． ∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝θ． ∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠ADB＝∠AEC． ∵∠ADB＋∠ABD＋∠BAD＝180°，∴∠AEC＋∠ABO＋∠BAD＝180°． ∵∠ABO＋∠AEC＋∠BAE＋∠BOE＝360°，∠BAE＝∠BAD＋∠DAE， ∴∠DAE＋∠BOE＝180°． 又∵∠DAE＝60°，∴∠BOE＝120°． （3）如图b中，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K．    ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ODJ=∠AEJ， ∵∠AJE=∠OJD， ∴∠EAJ=∠JOD=60°， ∴∠AOC=120°， ∴点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°． ∴当θ从60°到120°的旋转过程中，运动的轨迹为=， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 54．（2025·广东广州·模拟预测）已知为等腰直角三角形，，点为平面内的一动点，满足，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得到线段，连接． (1)当点在内部时． ①如图，求证：； ②如图，当点，，在同一直线上时，若，求的长． (2)阅读材料：如图，已知线段为定长，若以为斜边作，其中，根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹是：以线段中点为圆心，长为半径的圆（，两点除外）．如图，已知．若直线与直线相交于点．点为线段上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得到，连接，求长度的取值范围． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2) 【分析】（1） ①证明，，可得，从而可得结论，②由①得：，证明，如图，过作于，可得，设 证明，再利用勾股定理可得答案； （2）如图， 取的中点，证明在以为圆心，为半径的圆弧上运动，延长交过且垂直于的直线于，证明在线段上运动，当点与重合，三点共线时，最长，即的长，过作于，当重合，重合时，最短，即的长，再分别求解最大值与最小值即可． 【详解】（1）①证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∴． ②由①得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 如图，过作于， ∴， 设 ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （2）如图，由（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 延长交过且垂直于的直线于， ∴在线段上运动， 当点与重合，三点共线时，最长，即的长， ∵， ∴， ∴， 过作于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于， 当重合，重合时，最短，即的长， 此时， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，确定圆的条件，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的确定的运动轨迹是解本题的关键． 55．（2025·江苏盐城·模拟预测）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F． (1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______． (2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π） 【答案】(1)，30°； (2)成立 (3) 【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF=∠BAE，即可求解； （2）通过证明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF=∠BAE，即可求解； （3）由（1）（2）可知直线AE与AH的夹角为30°，则∠APD=30°，连接AC与BD交于Q，证明∠AQD=60°，得到点P在以Q为圆心，以AQ为半径的圆上运动，如图1所示，初始位置时，点P与点B重合，如图4所示，当旋转角度为60°时，点P与点C重合，如图5所示，当旋转角度为180°时，点P与点B重合，当旋转角度在0°—60°时，点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从B运动到C），当旋转角度为60°—180°时点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从C运动到B）由此即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA， ∴，， ∴，， ∴， 如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H， ∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°， ∴∠DBF=∠ABE=90°， 又∵， ∴△FBD∽△EBA， ∴，∠BDF=∠BAE， 又∵∠DOB=∠AOF， ∴∠DBA=∠AHD=30°， ∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°， 故答案为：，30°； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H， ∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转， ∴∠ABE=∠DBF， 又∵， ∴△ABE∽△DBF， ∴，∠BDF=∠BAE， 又∵∠DOH=∠AOB， ∴∠ABD=∠AHD=30°， ∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°． （3）解：由（1）（2）可知直线AE与AH的夹角为30°， ∴∠APD=30°， 连接AC与BD交于Q， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，∠DAB=90°， ∵∠DBA=30°， ∴∠ADQ=60°， ∴△ADQ是等边三角形， ∴∠AQD=60°， ∴点P在以Q为圆心，以AQ为半径的圆上运动， 如图1所示，初始位置时，点P与点B重合，如图4所示，当旋转角度为60°时，点P与点C重合，如图5所示，当旋转角度为180°时，点P与点B重合， ∴当旋转角度在0°—60°时，点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从B运动到C），当旋转角度为60°—180°时点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从C运动到B） ∴点P的运动轨迹长即为2倍的弧BC的长 ∵， ∴， 又∵∠CQB=∠AQD=60°， ∴， ∴点P的运动路程为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 56．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们规定：对于已知线段，若存在动点（点不与、重合），始终满足，则称是“雅动三角形”，其中，点为“雅动点”，为它的“雅动值”．              图1                                  图2                                                  图3 （1）如图1，为坐标原点，点坐标是，的“雅动值”为，当时，请直接写出这个三角形的周长； （2）如图2，已知四边形是矩形，点、的坐标分别是、，直线（且）交、轴于、两点，连接、并延长交于点，问：是否为“雅动三角形”？如果是，请求出它的“雅动值”；如果不是，请说明理由； （3）如图3，已知（是常数且），点是平面内一动点且满足，若、的平分线交于点，问：点的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）是“雅动三角形”，”雅动值”是；（3）点的运动轨迹长度为定值，定值为. 【分析】(1)如图1中，作于．根据等腰直角三角形的性质解决问题即可． （2）由一次函数解析式求出AB点坐标（用含b的式子表示）再利用线段比证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质证明即可． （3）构造过A、B、D三点的圆，证明D在圆周上，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，作于． ， ， ，， ， ， ， 的周长为． 故答案为. （2）结论：是“雅动三角形”，”雅动值”是． 如图2中， 点、的坐标分别是、， ，， 对于直线，令，得到，令，得到， ， ， ， ， ，， ， ， ， 直线且交、轴于、两点，连接、并延长交于点， 是“雅动三角形”，”雅动值”是． （3）点的运动轨迹长度为定值，运动路径的长． 理由如下： 如图3中，以为边向下作等边，以为圆心，为半径作，在上三点下方取一点，连接，． ，平分，平分， ， ， ， ，，，四点共圆， 点的运动轨迹是， 点的运动轨迹长度为定值，运动路径的长． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，四点共圆，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在下列现象中，属于平移的是（　　　） A．小亮荡秋千运动 B．升降电梯由一楼升到八楼 C．时针的运行过程 D．卫星绕地球运动 【答案】B 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移进行分析即可． 【详解】解：A、小亮荡秋千运动不是平移，故此选项错误； B、电梯由一楼升到八楼，是平移，故此选项正确； C、时针的运行过程属于旋转，不是平移，故此选项错误； D、卫星绕地球运动属于旋转，不是平移，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，关键是掌握平移的概念． 2．（2025·山东烟台·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握其概念是做题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可． 【详解】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角． 先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 4．（2025·山西运城·模拟预测）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 5．（2025·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标平移及轴对称变换，熟练掌握点的坐标平移及轴对称变换是解题的关键；因此此题可根据点的坐标平移按照“左减右加，上加下减”和关于坐标轴对称的特征“关于谁对称，谁就不变，另一个坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：由平移方式可得点，则点B关于y轴的对称点的坐标为； 故选C． 6．（2025·安徽·模拟预测）如图，点P是正方形的对角线上的一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，点M是的中点．下列结论错误的是（  ） A．是等腰三角形 B． C．当点E在边上时， D．连接，最短时， 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，最短距离等知识，证明为等边三角形得，根据证明，得，得出，从而可判断A正确；根据题意得点的运动轨迹是线段,得是等腰直角三角形，得，再求出，根据三角形外角性质可得，从而得出，从而可判断B正确；先求出，得，由得，，得，从而可得，故可判断C错误；点的运动轨迹为的中位线，过点作于点Q，当点与点重合时，最短，由，，可得，从而可判断D正确． 【详解】解：由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项Ａ正确，不符合题意； 连接，如图， 将绕点B顺时针旋转得到，将绕点B顺时针旋转得到，则点的运动轨迹是线段， ∵， ∴， 又，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项Ｂ正确，不符合题意； 连接，如图， ∵点在上，且是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴，， ∵, ∴， 又， ∴是等腰三角形， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵点P是正方形的对角线上的动点， ∴点的运动轨迹为的中位线， 过点作于点Q，当点与点重合时，最短， ∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 7．（2025·江苏盐城·三模）如果一个正多边形的外角等于，那么这个正多边形的共有______条对称轴． 【答案】5 【分析】本题考查的是正多边形的外角的有关计算．根据正多边形的外角和为360°，列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：这个多边形的边数是， ∴这个正多边形的对称轴共有5条． 故答案为：5． 8．（2025·河南焦作·二模）如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是___________ 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，根据求出，由三角形的面积公式可求出答案． 【详解】解：连接，设点到的距离是h， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·广西钦州·模拟预测）如图，为直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质以及勾股定理．根据旋转的性质，得到等腰直角三角形，根据勾股定理进行计算． 【详解】解：根据旋转的性质得：， 即为等腰直角三角形，根据勾股定理得． 故答案为：． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段，点C是线段上的动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，在上方作，使，，点F为的中点，连接，当最小时，的长为 _____． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理等知识，连接，根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，，，进而推出为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于x的二次函数关系式，求出时，最小． 【详解】解：连接，过点A作于点M， ∵，点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， 由勾股定理得：． 当时，有最小值为， ∴当最小时，的长为3， 故答案为：3． 11．（2025·河南·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数（）的图像和菱形OABC，且OB=4，，若将菱形向右平移，菱形的两个顶点B、C恰好同时落在反比例函数的图像上，则反比例函数的解析式是______________. 【答案】// 【分析】结合题意，由菱形的性质易得、CD=1，即可确定B、C的坐标，设菱形平移后B的坐标是（x，4），C的坐标是（1+x，2），因为B、C落在反比例函数的图像上，可知，解得x=1，可知菱形平移后B的坐标是（1，4），将其代入反比例函数的解析式并求解即可获得答案． 【详解】解：连接AC，交y轴于D，如下图， ∵四边形形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，OD=BD，AD=CD， ∵OB=4，tan∠BOC=， ∴， ∴，CD=1， ∴A（﹣1，2），B（0，4），C（1，2）， 设菱形平移后B的坐标是（x，4），C的坐标是（1+x，2）， ∵B、C落在反比例函数的图像上， ∴，解得x=1， 即菱形平移后B的坐标是（1，4），代入反比例函数的解析式， 可得 k=1×4=4， ∴反比例函数的解析式是y=． 故答案为y=． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及平移的性质等知识，运用树形结合的思想分析问题是解题关键． 三、解答题 12．（2025·安徽宿州·一模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，画出线段； (2)以D为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段，画出线段； (3)以为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图、旋转作图、轴对称图形和中心对称图形的定义，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可知，，取格点M，使，则四边形为菱形，结合轴对称图形和中心对称图形的性质可知，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：如图，四边形即为所求． 13．（2025·河南郑州·模拟预测）【问题呈现】如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点所在的位置都看做点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图（2）． 【回顾思考】（1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你已有的认识是____________． （2）相信你能解决以下问题：如图（3），直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短．请在图（3）中标注点C，并尝试利用图（2）解决上述问题，保留作图痕迹． 【能力迁移】如下图，四边形是一个长方形的台球桌，有黑，白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边，反弹后再碰撞台边，最后击中白球．请你认真思考，将黑球移动的路线画在图上（保留作图痕迹），并说明理由． 【答案】回顾思考：（1）利用轴对称解决最短问题；（2）见解析；能力迁移：，作图见解析 【分析】此题考查了作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 回顾思考：（1）利用轴对称解决最短问题． （2）如图所示，连接交直线l于点C，即为所求；作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，点C即为所求； 能力迁移：作点A关于直线的对称点，点B关于直线的对称点，连接交于点M，交于点N，连接，即可． 【详解】回顾思考：（1）可以利用轴对称解决最短问题； 故答案为：利用轴对称解决最短问题； （2）如图所示，点C即为所求； 能力迁移：作点A关于直线的对称点，点B关于直线的对称点，连接交于点M，交于点N，连接，即可． 如图所示，黑球移动的路线为． ∵点A关于直线的对称点， ∴，， ∴，，则，同理， ∴黑球先碰撞台边，反弹后再碰撞台边，最后击中白球． 14．（2025·浙江宁波·一模）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案； （2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． 15．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】题目主要考查一次函数的性质及轴对称图形的性质，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据题意先确定点，然后联立两个函数求出交点，结合图形求面积即可； （3）根据题意得，当时，：，：，，然后分两种情况：当在点P左侧时，当在点P右侧时，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵与x轴交于点C， ∴当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 联立直线与得：， 解得：， ∴， ∴； （3）根据题意得，当时，：，：， ∴， 分两种情况：当在点P左侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，不符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，符合题意； 当在点P右侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，不符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，不符合题意； 综上可得：或或． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·山东济南·模拟预测）已知，在平面直角坐标系中、两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点的对应点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据左（右）平移时点的横坐标减去（加上）一个正数，上（下）平移时点的纵坐标加上（减去）一个正数，由点和点的坐标确定出平移方式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：点和点是对应点， 平移方式为向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度， 点的对应点的坐标为，即 故选：A． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 3．（2025·北京西城·模拟预测）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·河北邯郸·三模）如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线，交延长线于点A，交最左侧菱形对边分别于点，交最右侧上方菱形一边于点F，过点作，垂足为G，    菱形是中心对称图形， 经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由中心对称图形可知， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 5．（2025·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解题的关键． 【详解】由图可知：，，，，， ，，，，，， 又，，，，， 当为偶数时， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ∴，即， 故选：． 二、填空题 6．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为____________． 【答案】3米/ 【分析】设道路的宽为，可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程，解方程即可． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 故道路的宽为3米． 故答案为：3米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解题的关键． 7．（2025·湖南·一模）如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由，推出，再由可得，设，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或0（舍去）， ∴． 故答案为： 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在等腰中，，，D为边的中点，E为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为．当时，的长度为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设与相交于F，分点F在D的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】解：设与相交于F， 当点F在点D的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵D为边的中点， 沿DE折叠，点A的对应点为， ∴，， ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 当点F在点D的上方时，如图， 同理：、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 当时，的长度为或， 故答案为：或 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 【答案】 【分析】连接交于点O．取的中点T，连接．求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点O．取的中点T，连接． ∵直线平分菱形的面积， ∴直线经过点O， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 10．（2025·甘肃陇南·一模）如图，已知是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与边分别交于点．如果是直角三角形，那么的长是__________． 【答案】或2 【分析】连接，由三线合一可得，，根据旋转的性质，可得，进而，，，，然后根据是直角三角形分类讨论，当时，或当时，画出图形，利用所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即，， ∵，， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； ②当时， 此时， 在中，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或2． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质，数形结合分析，分类讨论是解题的关键． 三、解答题 11．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的；并求出其中点A旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换， （1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴对称的，进而写出点的坐标； （2）根据旋转的性质即可画出绕点B逆时针旋转后的；根据弧长公式即可求出点A旋转到点所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图，；    （2）如图，∵ ∴点A所经过的路径的长． 12．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为； (2)①；②的解析式为，图象见解析； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式； （2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果； ②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象； （3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果． 【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得 ，解得：， ∴的解析式为； 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为； ∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②由于， ∴直线的解析式为； 函数图象如图所示：    （3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上， ∴， 设直线的解析式为， 把A、B两点坐标代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A，B，C三点始终在一条直线上， ∴， 整理得：； 即a，b，c之间的关系式为：． 【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键． 13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 动手操作 利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2． ①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上； ②_________； ③为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上． ①面积的最大值为____________； ②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为 ． 【答案】（1）①；②；③等边（2）①3② 【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； ③利用勾股定理，求得，即可求解； （2）①由题意知点在以点E为圆心，半径长为2的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大； ②当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①点在以点E为圆心，的长为半径的圆上； ②根据折叠的性质知：，，， ， ； ③， ∴为等边三角形； 故答案为：①，②，③等边； （2）①∵， ∴， 故点在以点E为圆心，半径长为2的圆上， ∴的面积要最大，只要以为底的高最长即可， ∴当时，的面积最大，如图： 的面积最大值； ②∵， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴Q为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴， 当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当时，△ABB'的面积最大；②当E、、C三点共线时，取得最小值是解本题的关键． 14．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． (1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； (2)在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10； (3)在图3中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画平行四边形ABCD，且面积为8； （2）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画矩形ABCD，且面积为10； （3）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画正方形EFGH，且各边长都是无理数，面积为10． 【详解】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求作的图形， （2）如图，四边形ABCD即为所求作的图形， （3）解：如图，四边形EFGH是所求作的图形， 由勾股定理可得： ∴四边形为正方形，面积为 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，无理数，勾股定理及其逆定理的灵活运用，二次根式的化简，本题掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键． 15．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，是的中点，连接，求证：； (3)如图③，在（）的条件下，当旋转到，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】()证明即可得出结论，证明，即可得出； ()设正方形的边长为，则，，，证明，，即可得出结论； ()过点作交的延长线于点，证明，得，从而可得到，则，然后在中，由勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， 由旋转得，， ∴，， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：设正方形的边长为，则， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 由()知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， 解得，(舍去)， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解题关键是掌握正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 图形的平移、轴对称、旋转（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 图形的变换】 1 【题型1 轴对称图形与中心对称图形】 1 【题型2 轴对称、中心对称、旋转与坐标变化】 2 【题型3 平移及其性质】 3 【题型4 利用轴对称的性质求解】 4 【题型5 利用旋转的性质求解】 5 【题型6 平移、轴对称、旋转的的作图问题】 6 【题型7 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 8 【考点二 图形的变换的综合运用】 9 【题型8 图形变换与函数综合】 9 【题型9 图形变换与几何图形综合】 11 【题型10 与图形变换有关的规律探究问题】 13 【题型11 将军饮马求最值问题】 14 【题型12 利用旋转求最值问题】 15 【题型13 直线类运动轨迹问题】 16 【题型14 弧线类运动轨迹问题】 18 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 图形的变换】 【题型1 轴对称图形与中心对称图形】 1．（2025·西藏·中考真题）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A．田 B．忌 C．赛 D．马 2．（2025·山东东营·中考真题）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·中考真题）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·中考真题）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 轴对称、中心对称、旋转与坐标变化】 5．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是_____． 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，．若点与点关于原点对称，则这个反比例函数的表达式为______． 8．（2025·山东青岛·二模）如图，将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是______． 【题型3 平移及其性质】 9．（2025·山西·一模）如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，某居民小区有一长方形土地，长32米，宽20米．居民想在长方形地内修筑宽均为2米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为（    ）平方米 A．640 B．600 C．540 D．504 11．（2025·陕西延安·一模）如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为______． 12．（2025·江苏泰州·模拟预测）在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（   ） A．先逆时针旋转90°，再向左平移 B．先顺时针旋转90°，再向左平移 C．先逆时针旋转90°，再向右平移 D．先顺时针旋转90°，再向右平移 【题型4 利用轴对称的性质求解】 13．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ） A． B． C． D． 14．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 15．（2025·北京·模拟预测）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【题型5 利用旋转的性质求解】 17．（2025·四川广元·一模）如图，将矩形 绕其顶点逆时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（     ） A． B． C． D． 18．（2025·湖南邵阳·三模）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 19．（2025·四川成都·二模）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为______度． 20．（2025·西藏日喀则·模拟预测）如图，在中，，，，在边上取一点，使，以点为旋转中心，把逆时针旋转，得到（点、、的对应点分别是点、、），那么与的重叠部分的面积是__________． 【题型6 平移、轴对称、旋转的的作图问题】 21．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． (1)结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； (2)平移得到，其中点A，B，C的对应点分别是，且点与点B关于原点O中心对称，画出，并说明是由怎样平移得到的？ 22．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为 ， ，． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，直接写出线段扫过的面积（结果保留π）． 23．（2025·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)内一点关于原点的对称点的坐标为________． 24．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)在图中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． 画出平移后的； 如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为______； (2)作出关于原点的中心对称图形； 写出的坐标为______； (3)画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为______． 【题型7 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 25．（2025·上海·模拟预测）下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 26．图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程______. 27．（2025·河北·模拟预测）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的． (1)图1中阴影部分的面积为______（结果保留π）． (2)请你以如图1所示的图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转在网格中设计一个完整的花边图案（要求至少有两种图形变换）． 28．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【考点二 图形的变换的综合运用】 【题型8 图形变换与函数综合】 29．已知点与点关于轴对称，将点向左平移个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上．则点的坐标为____________． 30．（2025·山东德州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，直线是平行于轴的一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．那么函数关于直线的“镜面函数”的解析式为___________． 31．（2025·山东烟台·一模）小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是___________． 32．（2025·湖南长沙·模拟预测）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)在下列关于的函数中，是“乾坤函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“乾坤函数”的打“×”． ①（_______）；②（_______）；③（_______） (2)若函数（为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，试求的值与相应的“乾坤点”的坐标； (3)已知抛物线关于轴对称的抛物线为是“乾坤函数”，且有两个“乾坤点”，这两个“乾坤点”之间的线段长为．将抛物线绕点旋转得到新函数，且新函数图象上也存在两个不同的“乾坤点”，请求出的取值范围，并用含的代数式表示上的两个“乾坤点”之间线段的长度． 【题型9 图形变换与几何图形综合】 33．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 34．（2025·广西来宾·模拟预测）某景区内有一片夹角为（）的游览区域，点P是区域内的核心观景台，观景台到夹角顶点O的距离．景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下： 材料1：为优化观景体验，先在射线上设置临时停靠点P，点P在上，并规划从P点出发，关于游览步道对称的备选观景点，连接（如图①）． 材料2：为丰富路线选择，过核心观景台P分别作关于步道的对称点，连接（如图②）． 材料3：为设计最短游览路线，需在步道上各选一个休憩点M、N，使游客从观景台P出发，经M、N后返回P的路线（即）周长最小（如图③）． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)结合材料1，求备选观景点与临时停靠点的距离的长度； (2)结合材料2，求对称点之间的距离； (3)结合材料3，先补全图③，再求出周长的最小值． 35．（2025·上海·模拟预测）已知长方形，，，边长为的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图1所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图2所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是________，面积相等的是________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；    ②三角形与三角形； ③三角形与三角形；    ④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 36．（2025·河南许昌·模拟预测）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．          数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“勤学小组”提出问题：如图2，当时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，直接写出线段的长． 【题型10 与图形变换有关的规律探究问题】 37．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有点 ，点第一次跳动至点 ，第二次向右跳动个单位至点 ，第三次跳动至点 ，第四次向右跳动个单位至点 ，…，依此规律跳动下去，点与点的横坐标距离是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 38．（2025·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 39．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 40．（2025·重庆忠县·模拟预测）如图，在中，，，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到①，可得到点；再将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转下去，若n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型11 将军饮马求最值问题】 41．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，是边上的动点，将沿翻折得，当取最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 42．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 43．（2025·湖北黄石·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为______． 44．（2025·海南·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点F是正方形内一点，连接、，且，点E是边上一动点，连接、，①若点E是的中点，则________；②求长度的最小值为_________． 【题型12 利用旋转求最值问题】 45．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点P是矩形内的一动点，则的最小值是______． 46．（2025·天津·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值____． 47．（2025·广东肇庆·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=4，点P为△ABC内部一点，则点P到△ABC三个顶点之和的最小值是_______． 48．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，，连接，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型13 直线类运动轨迹问题】 49．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 50．（2025·上海·模拟预测）超能市新闻速递：昨日一辆机长80米的客机（编号）在起飞过程中偏离航道，即将撞上正对的一个摩天大楼．据超能航空的斐德文机长回忆技术细节，他当时操纵飞机先朝北偏西方向急升达到最高点，再朝南偏西方向急降，机尾擦到大楼楼顶处着火．之后飞机进行了迫降，无乘客伤亡，有惊无险．斐德文机长获得“荣誉机长”称号． 如图是某人用数学模型粗略还原的新闻中的场景，是垂直于水平地面的大楼，是平行于水平地面的飞机（C是机头），机头仪器显示B点的仰角为．根据现场照片，机尾着火时，机头和紧急操作之前的位置处于同一高度． (1)根据所给信息在图中作图（不用写答句）． ①用虚线作出机头的粗略移动轨迹（标出必要的角度）； ②设飞机急降结束时机头、机尾的位置分别为，用实线作出线段，表示紧急操作结束时的飞机位置． (2)如图，此人根据事发现场侧面照推算出，求机头移动轨迹长（取1.73）． 51．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图1，在中，．点在边上运动，连接，以为边作，使点、在同侧，且，连接，试探究线段长度的最小值． 【探寻轨迹】奇奇同学发现这是一道求定点到动点距离的最值问题．于是他想通过探寻动点的运动轨迹，进而求出线段长度的最小值． 下面是奇奇的证明过程： 证明：如图2，过点作于点，连接， ∵， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴， ∵点在边上运动， ∴点的运动轨迹为一条过点且以为一个端点的线段． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 （1）___________，___________； （2）点的运动轨迹的长为___________；线段长度的最小值为___________． 52．（2025·重庆梁平·模拟预测）材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B． 下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时， (1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）． (2)求周长的最小值． 【题型14 弧线类运动轨迹问题】 53．（2025·江苏盐城·二模）已知△ABC是边长为的等边三角形．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O． （1）如图a，当θ=20°时，判断△ABD与△ACE是否全等？并说明理由； （2）当△ABC旋转到如图b所在位置时（60°＜θ＜120°），求∠BOE的度数； （3）在θ从60°到120°的旋转过程中，点O运动的轨迹长为 ．             54．（2025·广东广州·模拟预测）已知为等腰直角三角形，，点为平面内的一动点，满足，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得到线段，连接． (1)当点在内部时． ①如图，求证：； ②如图，当点，，在同一直线上时，若，求的长． (2)阅读材料：如图，已知线段为定长，若以为斜边作，其中，根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹是：以线段中点为圆心，长为半径的圆（，两点除外）．如图，已知．若直线与直线相交于点．点为线段上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得到，连接，求长度的取值范围． 55．（2025·江苏盐城·模拟预测）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F． (1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______． (2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π） 56．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们规定：对于已知线段，若存在动点（点不与、重合），始终满足，则称是“雅动三角形”，其中，点为“雅动点”，为它的“雅动值”．              图1                                  图2                                                  图3 （1）如图1，为坐标原点，点坐标是，的“雅动值”为，当时，请直接写出这个三角形的周长； （2）如图2，已知四边形是矩形，点、的坐标分别是、，直线（且）交、轴于、两点，连接、并延长交于点，问：是否为“雅动三角形”？如果是，请求出它的“雅动值”；如果不是，请说明理由； （3）如图3，已知（是常数且），点是平面内一动点且满足，若、的平分线交于点，问：点的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在下列现象中，属于平移的是（　　　） A．小亮荡秋千运动 B．升降电梯由一楼升到八楼 C．时针的运行过程 D．卫星绕地球运动 2．（2025·山东烟台·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山西运城·模拟预测）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽·模拟预测）如图，点P是正方形的对角线上的一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，点M是的中点．下列结论错误的是（  ） A．是等腰三角形 B． C．当点E在边上时， D．连接，最短时， 二、填空题 7．（2025·江苏盐城·三模）如果一个正多边形的外角等于，那么这个正多边形的共有______条对称轴． 8．（2025·河南焦作·二模）如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是___________ 9．（2025·广西钦州·模拟预测）如图，为直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长为________． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段，点C是线段上的动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，在上方作，使，，点F为的中点，连接，当最小时，的长为 _____． 11．（2025·河南·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数（）的图像和菱形OABC，且OB=4，，若将菱形向右平移，菱形的两个顶点B、C恰好同时落在反比例函数的图像上，则反比例函数的解析式是______________. 三、解答题 12．（2025·安徽宿州·一模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，画出线段； (2)以D为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段，画出线段； (3)以为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 13．（2025·河南郑州·模拟预测）【问题呈现】如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点所在的位置都看做点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图（2）． 【回顾思考】（1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你已有的认识是____________． （2）相信你能解决以下问题：如图（3），直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短．请在图（3）中标注点C，并尝试利用图（2）解决上述问题，保留作图痕迹． 【能力迁移】如下图，四边形是一个长方形的台球桌，有黑，白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边，反弹后再碰撞台边，最后击中白球．请你认真思考，将黑球移动的路线画在图上（保留作图痕迹），并说明理由． 14．（2025·浙江宁波·一模）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 15．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·山东济南·模拟预测）已知，在平面直角坐标系中、两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点的对应点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京西城·模拟预测）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·三模）如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（  ）    A． B． C． D． 5．（2025·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为____________． 7．（2025·湖南·一模）如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则__________． 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在等腰中，，，D为边的中点，E为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为．当时，的长度为___________． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 10．（2025·甘肃陇南·一模）如图，已知是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与边分别交于点．如果是直角三角形，那么的长是__________． 三、解答题 11．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的；并求出其中点A旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和）． 12．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 动手操作 利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2． ①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上； ②_________； ③为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上． ①面积的最大值为____________； ②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为 ． 14．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． (1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； (2)在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10； (3)在图3中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 15．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图①，求证； (2)如图②，是的中点，连接，求证：； (3)如图③，在（）的条件下，当旋转到，若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $