7.1.1数系的扩充与复数的概念（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 第七章 复数 学 习 目 标 1 2 3 梳理数系扩充的完整脉络，明确数系扩充的核心原因与基本规则. 掌握虚数单位i的定义、运算性质，理解复数的代数形式、实部与虚部的定义. 能精准对复数分类（实数、虚数、纯虚数），熟练运用复数相等充要条件解决计算问题，提升数学抽象、逻辑推理、归纳概括、数学运算核心素养 我们能否像前人一样，再次扩充数的范围，来解决这类问题？ 新课引入 在数学史上，数学家们曾长期被一个问题困扰：负实数能不能开平方？比如方程 ，它在实数范围内有解吗？ 据我们所学过的数学知识可知：该方程无解，因为任何实数的平方非负。 16世纪的数学家卡尔达诺在研究三次方程求根公式时，却无法回避类似‘负数开平方’的运算. 今天，我们就沿着数学家的足迹，开启一次数系的探险，学习——复数的概念. 新课引入 在引入‘新数’之前，我们先来温故知新。我们学过的数系经历了怎样的扩充历程？ 自然数集→整数集→有理数集→实数集 想一想：每次扩充的主要动力是什么？ 扩充的动力主要是解决实际需求。 如：①为解决减法运算的封闭性引入负数 ②为解决开方或度量问题引入无理数等 且新旧数集一般是包含关系，旧数集是新数集的子集 扩充后，我们熟悉的加法和乘法运算律也并未改变. 这是我们今天进行新扩充必须遵循的“游戏规则”. 新知探究 探究一：定义虚数单位 我们面临方程 在实数范围内无解的问题。按照刚才总结的扩充思想”,我们该如何做？ 引入“新数”,使方程有解. 我们称为虚数单位. 数学家规定引入一个新数，用符号表示，并规定它满足： 实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？它们是否满足实数的运算律？ 引入新数后可解得方程 探究二：复数的形式 新知探究 把 这个新成员加入到实数中.我们希望它能和原来的实数、乘运算。那么，实数 和 相乘，结果应该记作什么？ 实数 和 相乘可以记为： 一个实数 和 相加，结果可表示为 可以， 复数定义：形如 () 的数称为复数。 原来的实数，比如数字 3，能用 的形式表示吗？ 全体复数构成的集合叫做复数集，记作 。 其中， 叫做复数 的实部，记作 ； 叫做复数 的虚部，记作 即时训练 1.的虚部为（　　） A． B． C．1 D．-5 【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解. 【详解】由于 则的虚部为； 故选：C C 知识小结 复数的概念 ①虚数单位：满足 ②复数的定义：形如 () 的数称为复数。 ③ 叫做复数 的实部，记作 ； ④ 叫做复数 的虚部，记作 新知探究 探究三：复数分类与关系辨析 ①当 时， 是实数。 ②当 时， 是虚数。 ③特别地，当 且 时， 是纯虚数。 0比较特殊，因为当 且 时，，它是实数，不是虚数 都是虚数吗？ 它们都是虚数，实部分别是 3,, 虚部分别是2 观察复数 ，根据的取值，可以对复数进行怎样的分类？ 新知探究 复数集与实数集之间有什么关系？ 复数可以分类如下： 复数 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示 实数集是复数集的真子集，即. 知识小结 复数分类与关系辨析 即时训练 ①当 时， 是实数. ②当 时， 是虚数 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示 新知探究 探究四：复数相等的条件 在复数集中，我们如何定义两个复数相等呢？比如 和 何时相等？ 两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等 即： 若复数相等，分别为多少？ 由复数相等的条件可知： 即时训练 2.已知，其中，，为虚数单位．求实数，的值． 【分析】由复数相等的充要条件，得，求解即可． 【详解】根据复数相等的充要条件 由 得，解得 即，． 典例分析 例1 【分析】因为 ，所以 ， 都是实数．由复数 （）是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 的取值． 当 ，且 ，即 时，复数 是纯虚数. 当实数 取什么值时，复数 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数． 解：（1）当 ，即 时，复数 是实数． （2）当 ，即 时，复数 是虚数． 即时训练 3.若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：B B 题型1 虚数单位及其性质 1.当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， A 题型2 复数的基本概念 2.已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. B 题型3 根据相等条件求参 3.已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B B 题型4 求复数的模 4.已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】依题意得， 故. 故选：C. C 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 数系的扩充与复数的概念 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 人教A版 · 必修三 核心知识梳理 点击下方蓝色色块查看关键术语 1. 虚数单位 i 定义：i 叫做虚数单位，满足 i2 = -1。 性质：i 可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。 2. 复数的代数形式 形如 z = a + bi (a, b ∈ R) 的数叫做复数。 其中 a 叫做复数 z 的 实部。 其中 b 叫做复数 z 的 虚部。 3. 复数的分类 复数 z = a + bi 条件 实数 b = 0 虚数 b ≠ 0 纯虚数 a = 0 且 b ≠ 0 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 ! 忽视前提条件 a, b ∈ R 只有当 a, b 均为实数时，a + bi 才是复数的代数形式，a 才是实部，b 才是虚部。 反例： 若 z = i + ii = i - 1 = -1 + i，其实部是 -1，而不是 i。 ! 纯虚数的判定误区 形如 bi 的数不一定是纯虚数，必须满足 b ≠ 0。 注意： 当 b = 0 时，0i = 0 是实数。 ! 复数不能比较大小 只有两个复数都是实数时，才能比较大小。虚数之间不能比较大小。 解题技巧与模型 掌握通法，举一反三 复数问题实数化 利用复数相等的充要条件，将复数方程转化为实数方程组求解。 a + bi = c + di ⇓ a = c 且 b = d 分类讨论思想 在判断复数所在的象限或类型时，需要对参数进行分类讨论。 例：判断 z = m + (m-1)i 是实数还是虚数？ 需讨论 m-1 是否为 0。 待定系数法 当题目涉及复数的运算或性质，但未给出具体形式时，通常设 z = x + yi (x, y ∈ R)，将复数问题转化为实数 x, y 的方程组问题。 示例： 已知 z·z + 2z = 3 + 4i，求 z。 （注：此处 z 表示共轭复数，通常用 z 上加横线表示，这里仅作向量符号演示，实际共轭复数应为 z） 修正： 共轭复数标准写法：z $