7.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1《数系的扩充和复数的概念》教学设计 一、教学目标 学习任务 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点) 2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点) 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)； 核心素养 1．通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养． 2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养． 二、教学重难点 1. 教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念. 2. 教学难点：复数概念引入的必要性,复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示. 三、教学过程 1.情境导入 问题一 对于一元二次方程ax2+bx+c=0,当△=b2-4ac<0时，方程根的情况呢？ 【预设答案】方程判别式小于0，无解（正答：没有实数根） 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决 问题二： 那么，如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？ 能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？ 如果引入了新数，则必然产生运算 数系定义：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 【数学活动】回顾数的发展过程 结论：数的发展与生产生活、随着社会的发展，数系在不断扩充。 【设计意图】通过回顾数的发展过程，使学生体会到现实生产生活对数学发展的推动作用，体会方程与数的发展的联系，激发学生对数系扩充的兴趣. 2. 探究交流 数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题. 【设计意图】 让学生类比从自然数集到实数集的扩充过程，自然地引导学生从解方程的角度出发探究数系的扩充，使“新数i”的添加变得水到渠成,积累研究数学问题的经验. 强调数系扩充规则视频引入i 视频播放中展示复数单位i，计算i2=1，平面直角坐标系的引入（涉及大单元，复数的几何意义）交流电（涉及学科融合，强调数学研究为其他学科发展铺路搭桥，数学的发展推动科学的进步!强调学好数学的重要性，激发学生兴趣。） 【数学家介绍】 1545年，卡尔丹引入负数的平方根； 1637年，笛卡儿给出“虚数”的名称； 1777年，欧拉首次使用符号i表示－1的平方根,他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的； 1831年，高斯主张用a＋bi表示复数； … 【设计意图】 1. 致敬为数系扩充作出卓越贡献的数学家们。（数学课堂的德育渗透） 从高斯的复数的表达式a+bi(a,b∈R)引出复数的概念 3. 构建数学 教师讲授： (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i2=-1. (2)复数集 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (3)复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 问题3：进一步地，你能对复数z=a+bi（a,b∈R）进行分类吗？ 【预设答案】 【设计意图】通过对复数进行分类，深化学生对于复数的认识. 问题4：复数z=a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是什么？z=a+bi=0的充要条件是什么？ 【预设答案】b=0；a=0,b=0. 教师讲授： (4)复数相等的充要条件（类比向量相等） 规定：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， a＋bi与c＋di相等当且仅当a=c且b=d． 复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小. 思考：如果(－1)＋(－2m)i＞0，则实数m的值为________． 【设计意图】由特殊到一般，帮助学生理解复数相等的含义. 问题5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集N，Z，Q，R，C之间的关系？ 【设计意图】通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构. 4. 应用拓展 例1　下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若(－4)＋(＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 例2：m∈R，复数z＝＋(－2m－15)i.求m取何值时， (1) z是实数；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数． 5.点评总结 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． （2）在实际问题中感受人类理性思维的作用以及数与现实的联系． （3）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 【设计意图】通过对本节课涉及的知识和思想方法的总结，使学生进一步熟悉复数的概念以及相关知识，深化对新知的理解，体会其中蕴含的数学思想方法和核心素养 6.达标检测 1当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 【预设答案】（1）m=1;（2）m≠1；（3）m=-1. 2.已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x， y的值． 【预设答案】x=3，y=-8 【设计意图】根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理，设置问题，帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解，强化对复数相等含义的理解，起到及时反馈的作用. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$