7.1.2复数的几何意义（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

7.1.2复数的几何意义 第七章 复数 学 习 目 标 1 2 3 理解复平面的定义，掌握复数与复平面内的点、平面向量的一一对应关系. 掌握复数模的概念、计算公式及几何意义. 建立数与形的关联，提升直观想象、抽象概括、逻辑推理、数学运算能力，能运用几何意义解决简单复数问题. 新课引入 上节课我们学习了复数的概念。那么复数是如何表示的？他的虚部和实部分别是什么？ 定义：形如 () 的数称为复数 叫做复数 的实部， 叫做复数 的虚部 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，这是一一对应关系。那么，一个复数，它由两个实数 和 唯一确定，这让我们联想到什么？ 平面直角坐标系中的有序实数对 ，以及坐标系中的点 。 这表明复数与平面上的点存在天然的对应关系。 本节课我们将探索——复数的几何意义 复平面： 探究一：复数与点的一一对应 新知探究 复数 由有序实数对 唯一确定，而有序实数对 与平面直角坐标系中的点 ——对应. 因此，我们可以用这个点 来表示复数 其中，轴称为实轴（单位是1），轴称为虚轴（单位是） 如图，用来表示复数的这个平面直角坐标系，称为复平面 如：原点(0,0)表示0，点(2,0)表示2 点(0,-1)表示 ，点(-2,3)表示 即时训练 1.已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 【分析】由复数与坐标点的一一对应关系可得结果． 【详解】因复数的实部为，虚部为， 故该复数在复平面内对应的点为. 故选：A. A 知识小结 复数与点的一一对应 ①与点对应： 点 ②实轴上的点实数 ③虚轴(除原点)上的点纯虚数 探究二：复数与向量的一一对应 新知探究 你能用平面向量来表示复数吗？ 以原点O为起点，点Z为终点的向量 . 如图，点 唯一确定了向量 ； 反之，给定一个以原点为起点的向量 ，也唯一确定了其终点 ，从而唯一确定一个复数 。 在平面直角坐标系中，一个点 𝑍(𝑎,𝑏) 还可以由什么来确定？ 复数 、点 、向量 三者之间建立了一一对应关系. 探究三：复数的模 新知探究 在向量中，我们学习了向量的模（长度）.与复数 对应的向量 的模是多少？ 根据两点间距离公式得出：. 向量 的模叫做复数 的模（或绝对值） 即 . 记作 或 特别地，当 时， 是实数 其模 就是实数 的绝对值. 即时训练 2.已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，， ， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A A 知识小结 复数与向量的一一对应 ①与向量对应：向量 (规定：相等向量 ②复数的模的定义： ③几何意义：向量 的模，点Z到原点的距离。 典例分析 例1 设复数i, i. (1)在复平面内画出复数对应的点和向量； (2)求复数 的模，并比较它们的模的大小. 【分析】本题将复数转化为复平面内的点和向量，再利用复数模的计算公式求解并比较模的大小. 解：(1)如图,复数对应的点分别为, 对应的向量分别为 （2）， 。 所以 新知探究 探究四：共轭复数 在刚刚解决的例题中： 和 这样的复数，实部相等，虚部互为相反数，它们互为共轭复数。 复数 的共轭复数记作 。 如图，不难发现，它们关于实轴对称. 和 在复平面内对应的点 和 ，它们有怎样的位置关系？ 即时训练 3.已知复数，且，则（   ） A． B． C． D． 【分析】由复数的模长公式，求出的值，得到的值，最后得出共轭复数. 【详解】复数，， 所以，解得 所以，共轭复数， 故选：B B 典例分析 例2 设 ，在复平面内 对应的点为 ，那么满足下列条件的点 的集合是什么图形？ (1) ； (2) . 【分析】利用复数模的几何意义，将 转化为复平面内点到原点的距离，从而确定点 的集合为圆或圆环。 解：(1) 由 得，向量 的模等于 1. 所以满足条件 的点 的集合是以原点 为圆心，以 1 为半径的圆. (1) ； (2) . 典例分析 (2) 不等式 可化为不等式 不等式 的解集是圆 的内部所有的点组成的集合 也就是满足条件 的点 的集合. 容易看出，所求的集合是以原点 为圆心，以 为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界. 不等式 的解集是圆 外部所有的点组成的集合 这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集 题型1 复数的坐标表示 1.已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. A 题型2 判断复数对应的点所在的象限 2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】设，由在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 由图可知圆显然不经过第三象限 故复数在复平面上不可能位于第三象限. 【详解】设，由 得 C 题型3 共轭复数的概念及计算 3.在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的几何意义可得，即可得共轭复数. 【详解】因为复数z对应的点为，则， 所以z的共轭复数. 故选：A. A 题型4 与复数模相关的轨迹（图形）问题 4.已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【分析】根据复数模的定义以及三角不等式求解即可. 所以的最大值为. 故选：A. A 【详解】 ， 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 复数的几何意义 课堂小结 · 人教A版 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 Designed for Mathematics 核心知识梳理 1. 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。其中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。 注：实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2. 复数的几何意义 ● 复数 z = a + bi (a, b ∈ R) 与复平面内的点 Z(a, b) 是一一对应的。 ● 复数 z = a + bi 与平面向量 OZ 是一一对应的。 x y Z(a,b) OZ 3. 共轭复数的几何意义 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数 z 的共轭复数用 z 表示。 几何特征：复平面内，互为共轭复数的两个点关于实轴对称。 4. 模的几何意义 复数 z = a + bi 的模 |z| 表示复平面内点 Z(a, b) 到原点的距离。 |z| = a 2 + b 2 |z1 - z2| 表示复平面内 z1, z2 对应的两点间的距离。 易错点警示 🚫 误区一：实轴与虚轴的包含关系 错误理解：虚轴上的点都表示纯虚数。 正确理解：原点(0,0)在虚轴上，但它表示实数0，不是纯虚数。所以应说“虚轴上除原点外的点表示纯虚数”。 🚫 误区二：复数大小的比较 错误理解：若 |z1| > |z2|，则 z1 > z2。 正确理解：虚数不能比较大小，只有实数才能比较大小。模是实数（非负），可以比较大小，但模大不代表复数大。 🚫 误区三：几何意义的混淆 |z - i| 表示点 Z 到点 (0, 1) 的距离，而不是到点 (1, 0) 的距离。 提示：时刻记住 i 对应的是 (0, 1)。 解题技巧与模型 📐 数形结合法 遇到涉及模的最值问题时，优先考虑几何意义。 模型：|z - z0| = r 表示以点 Z0 为圆心，r 为半径的圆。 🔄 向量法的应用 利用向量加减法的平行四边形法则处理复数加减运算。 |z1 + z2| 与 |z1 - z2| 分别对应平行四边形的对角线长度。 典型例题模型 已知 |z| = 1，求 |z - (3+4i)| 的最大值。 解析 转化为单位圆上的点到定点 (3,4) 的距离。最大值为 d + r = 5 + 1 = 6。 $