三角函数的图象和性质课件-2026年高考数学二轮复习

三角函数的图象和性质 高中数学 二轮复习 返回导航 三角函数的图象和性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：(1)三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；(2)利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查． 返回导航 内容索引 第一部分 真题演练　重温高考 第三部分 主干整合　核心提炼 第二部分 热点分类　考向探究 课时作业10 第四部分 返回导航 主干整合　核心提炼 第 分 部 一 返回导航 返回导航 返回导航 3．三角函数的图象与解析式 已知图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图象的最高点、最低点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 二 返回导航 考向 1 三角函数的图象变换 D 返回导航 AC 返回导航 返回导航 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，变换只是对其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 反思感悟 返回导航 A 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 考向 2 由函数的图象求函数的解析式 D 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 B 返回导航 返回导航 返回导航 考向 3 三角函数的性质 B 返回导航 ACD 返回导航 返回导航 返回导航 研究三角函数的性质，首先化函数为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f (x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f (x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的值或范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 反思感悟 返回导航 ABD 返回导航 返回导航 A 返回导航 返回导航 真题演练　重温高考 第 分 部 三 返回导航 B 返回导航 C 返回导航 A 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课时作业10 第 分 部 四 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ACD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 BC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ACD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间． (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心的横坐标；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴方程． (3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数． 2．三角函数的图象变换 (1)沿x轴平移：由y＝f (x)变为y＝f (x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移． 沿y轴平移：由y＝f (x)变为y＝f (x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移． (2)沿x轴伸缩：若ω>0，由y＝f (x)变为y＝f (ωx)时，所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍． 沿y轴伸缩：若A>0，由y＝f (x)变为y＝Af (x)时，所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍． 例1　(1)(2025·山西临汾三模)为了得到函数y＝cos 的图象，只要把正弦曲线上所有点(　 　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：因为y＝sin x＝cos ，所以将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得y＝cos 的图象．故选D． (2)(多选)为了得到函数f (x)＝2sin x·cos x－2sin2x＋1的图象，只要将函数y＝sinx图象上(　 　) A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 解析：由题意得f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，将y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到f (x)的图象，故A正确，B错误；将y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到f (x)的图象，故C正确，D错误．故选AC． 跟踪训练 (1)先将函数f (x)＝sin 的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　 　) A．sin B．sin C．sin D．sin 解析：函数f (x)＝sin 的最小正周期为T＝＝，将函数f (x)的图象向右平移个最小正周期，可得到函数y＝sin ＝sin 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，故g(x)＝sin ＝sin ．故选A． (2)(2025·山西太原一模)将函数f (x)＝sin (2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ＝(　 　) A．－ B． C．－ D． 解析：函数f (x)＝sin (2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的图象对应的新函数为g(x)＝sin ＋1＝sin ＋1．g＝sin ＋1＝2，化简得sin ＝1，即sin ＝1，则＋θ＝＋2kπ，k∈Z，解得θ＝－＋2kπ，k∈Z．又因为－<θ<，所以k＝0，θ＝－．故选C． 例2　(1)(2025·北京海淀区一模)已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示．若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝(　 　) A．1 B． C．π D． 解析：如图，连接BC交x轴于E， 由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故|AE|＝|BE|，|AE|＝T＝·＝，|BE|＝＝，故＝，解得ω＝．故选D． (2)(2025·安徽蚌埠二模)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)在区间上单调递减，直线x＝－和x＝为函数f (x)的图象的两条对称轴，则f ＝(　 　) A．1 B．－1 C． D．－ 解析：因为函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)在区间上单调递减，直线x＝－和x＝为函数f (x)的图象的两条对称轴，设f (x)的最小正周期为T，则－＝，所以T＝π，即|ω|＝＝2，所以ω＝2或ω＝－2．又f ＝－2，所以2sin ＝－2或2sin ＝－2，所以2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z或－2×＋φ＝－＋2mπ，m∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z或φ＝－＋2mπ，m∈Z，不妨分别取φ为－和－，则f (x)＝2sin 或f (x)＝2sin ，所以f ＝2sin ＝或f ＝2sin ＝．故选C． 确定函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)解析式的步骤和方法 1．求A，b．确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． 2．求ω．确定函数的最小正周期T，则ω＝． 3．求φ．常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在单调递增区间上还是在单调递减区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 跟踪训练 (1)(2025·湖北襄阳二模)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，f (0)＝2，则f ＝(　 　) A．0 B．－2 C．1 D．2 解析：根据f (0)＝2可得sin φ＝1，故φ＝＋2kπ，k∈Z，故f (x)＝2sin ＝2cos ωx，令f (x)＝2cos ωx＝，故ωx1＝＋2kπ或ωx2＝－＋2kπ，k∈Z，结合图象可知ωxA＝－＋2π，ωxB＝＋2π，因此|AB|＝xB－xA＝＝，故ω＝2，因此f (x)＝2cos 2x，故f ＝2cos π＝－2．故选B． (2)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象经过，两点，若f (x)在区间上单调递减，则ω＝___；φ＝___． 解析：由题意可得f (π)＝0，所以即k∈Z，解得ω＝，所以＋φ＝(2k＋1)π，因为|φ|<π，所以φ＝． 例3　(1)(2025·内蒙古包头二模)已知f (x)＝sin (ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：由题意可知－≤，则0＜ω≤．因为－≤x≤，所以－ω＋≤ωx＋≤ω＋，则－≤－ω＋＜，＜ω＋≤，因为f (x)在上单调递增，结合正弦函数的图象性质可得＜ω＋≤，解得0＜ω≤，故ω的取值范围是．故选B． (2)(多选)(2025·山东潍坊二模)已知函数y＝f (x)＝2sin ，函数y＝g(x)的图象由y＝f (x)的图象向左平移个单位长度得到，则(　 　) A．y＝f (x)与y＝g(x)在上有相同的单调性 B．y＝g(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称 C．设y＝h(x)＝，g(x)≠0，则y＝h(x)的图象的一个对称中心为点 D．当x∈[0，2π]时， 直线y＝f 与y＝g的图象有6个交点 解析：易知y＝f (x)的图象向左平移个单位长度可以得到y＝g(x)＝2sin ＝2sin ＝2cos 的图象．对于A，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数和余弦函数的图象性质可知，y＝f (x)与y＝g(x)在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，故A正确；对于B，由y＝g(x)＝2cos 可知，令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)，因此可得y＝g(x)的图象关于直线x＝－＋(k∈Z)对称，故B错误； 对于C，易知y＝h(x)＝＝＝tan ，令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)，即y＝h(x)的图象的对称中心为点(k∈Z)，当k＝1时，可知y＝h(x)的图象的一个对称中心为点，故C正确；对于D，当x∈[0，2π]时，g＝2cos 3x，又f ＝2sin ＝－，画出函数y＝g在[0，2π]上的图象与直线y＝－如图所示，结合图象可知，当x∈[0，2π]时，直线y＝f 与y＝g的图象有6个交点，故D正确．故选ACD． 跟踪训练 (1)(多选)(2025·河南新乡三模)已知函数f (x)＝sin ，则(　 　) A．f (x)的值域是 B．f (π)＝－ C．f (x)在区间上单调递增 D．f 是奇函数 解析：对于A，因为y＝sin t的值域是[－1，1]，所以f (x)的值域是[－，]，故A正确；对于B，f (π)＝sin ＝×＝－，故B正确；对于C，当x∈时，x＋∈，因为y＝sin t在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f (x)在区间上不单调，故C错误；对于D，f ＝－sin x，是奇函数，故D正确．故选ABD． (2)(2025·北京平谷区一模)已知函数f (x)＝2sin (ω>0)，若f (x)在区间上没有最值，则ω的最大值为(　 　) A． B． C． D．2 解析：由x∈，ω>0，得ωx－∈，因为f (x)在区间上没有最值，所以⊆，则解得0＜ω≤，所以ω的最大值为．故选A． 1．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　 　) A． B． C． D． 解析：令x－＝，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以y＝2tan 的图象的对称中心是点，k∈Z，故a＝＋，k∈Z，又a>0，则当k＝0时a的值最小，最小值为．故选B． 2．(2025·北京卷)设函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f (x＋π)＝f (x)恒成立，且f (x)在上存在零点，则ω的最小值为(　 　) A．8 B．6 C．4 D．3 解析：函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin (ω>0)，设函数f (x)的最小正周期为T，由f (x＋π)＝f (x)可得kT＝π(k∈N*)，所以T＝＝(k∈N*)，即ω＝2k(k∈N*)．又函数f (x)在上存在零点，且当x∈时，ωx＋∈，所以＋≥π，即ω≥3．所以ω的最小值为4．故选C． 3．(2025·天津卷)f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在上单调递增，且x＝为f (x)图象的一条对称轴，是f (x)图象的一个对称中心，当x∈时，f (x)的最小值为(　 　) A．－ B．－ C．－1 D．0 解析：设f (x)的最小正周期为T，根据题意有(m，k∈Z)，由正弦函数的对称性可知－＝(n∈N)，即＝(n∈N)，∴ω＝4n＋2(n∈N)．又f (x)在上单调递增，则≥－，∴≥⇒0<ω≤2，∴ω＝2，则(m，k∈Z)，∵φ∈(－π，π)，∴k＝0，m＝1，此时φ＝，∴f (x)＝sin ．当x∈时，2x＋∈，由正弦函数的单调性可知f (x)min＝sin ＝－．故选A． 4．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　 　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：因为函数y＝2sin 的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin 在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin 与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点．故选C． 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝_________． － 解析：不妨令ω>0，设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．因为f ＝sin ＝0，结合图象可得＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f (x)＝sin ＝sin ，所以f (π)＝sin ＝sin ＝－． 6．(2025·全国二卷)已知函数f (x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f (0)＝． (1)求φ； 解：(1)由题意知f (0)＝cos φ＝，又0≤φ<π，所以φ＝． (2)设函数g(x)＝f (x)＋f ，求g(x)的值域和单调区间． 解：(2)由(1)知f (x)＝cos ，所以g(x)＝f (x)＋f ＝cos ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos ， 所以函数g(x)的值域为[－，]． 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z． 1．(5分)(2025·四川德阳二模)已知函数f (x)＝cos ，现将函数f (x)的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g的值为(　 　) A． B．－ C． D．－ 解析：将函数f (x)的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得g(x)＝cos 的图象，所以g＝cos ＝－．故选B． 2．(5分)(2025·河南郑州二模)函数f (x)＝2sin 与函数g(x)＝log2x的图象交点个数为(　 　) A．3 B．5 C．6 D．7 解析：作出函数f (x)和g(x)的图象，如图所示， 由图象可得它们有3个交点．故选A． 3．(5分)(2025·江西九江一模)将函数f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的值可能是(　 　) A．5 B．8 C．11 D．13 解析：依题意，得y＝sin ＝sin 为偶函数，则＋＝kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋1，k∈Z，当k＝2时，ω＝13，D正确，其他选项均不正确．故选D． 4．(5分)(2025·陕西汉中二模)函数f (x)＝－sin 的单调递增区间为(　 　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：依题意，函数f (x)的单调递增区间即为函数y＝sin 的单调递减区间，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．故选A． 5．(5分)(2025·天津和平区二模)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，要得到y＝sin x的图象，只需将函数f (x)的图象上所有的点(　 　) 　　A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 解析：由题图可知，A＝，＝－，得T＝π．又T＝，由ω>0，可解得ω＝2．又由题图可得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z．又|φ|＜π，所以φ＝，得f (x)＝sin ．将f (x)的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得y＝sin x的图象．故选A． 6．(5分)(2025·天津河西区二模)已知x1，x2是函数f (x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，－π＜φ＜π)的两个零点，且|x1－x2|的最小值为，若将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数f (x)的解析式可能是(　　　) A．f (x)＝tan B．f (x)＝tan C．f (x)＝tan D．f (x)＝tan 3x 解析：由题意可知，函数f (x)的最小正周期为T＝，所以ω＝＝3，所以f (x)＝tan (3x＋φ)，将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，可得出函数y＝tan ＝tan 为奇函数，所以φ＋＝(k∈Z)，解得φ＝－(k∈Z)，A选项符合题意．故选A． 7．(5分)(2025·河北秦皇岛一模)已知函数f (x)＝sin (ω∈N*)，若f (x)在区间上单调，则f ＝(　　　) A． B．－ C． D．－ 解析：当x∈时，ω>0，ωx＋∈，由f (x)在区间上单调，则⊆(k∈Z)，于是k∈Z，解得k∈Z．由k∈Z，得－＜k≤，k∈Z，因此0＜ω≤或1≤ω≤．又ω∈N*，则ω＝1，f (x)＝sin ，所以f ＝sin ＝．故选C． 8．(5分)(2025·福建宁德三模)若函数f (x)＝2sin 在区间[a，a＋1]上的最小值为m，最大值为M，则(　　　) A．－2≤m≤－ B．－2≤m≤ C．≤M≤2 D．－≤M≤2 解析：对于A，B，x∈[a，a＋1]时，x－∈，其中a＋－＝，显然m的最小值为－2，只需内有－＋2k1π，k1∈Z即可，当k2∈Z时，m取得最大值，最大值为，故－2≤m≤，A错误，B正确；对于C，D，同理M的最大值为2，只需内有＋2k3π，k3∈Z即可，当k4∈Z时，M取得最小值，最小值为－，故－≤M≤2，C，D错误．故选B． 9．(8分，多选)(2025·辽宁辽阳一模)已知函数f (x)＝A cos2(ωx＋φ)＋1的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为(0，2)，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，则(　　　) A．A＝2 B．ω＝ C．φ＝ D．f (x)的单调递增区间为[1＋4k，3＋4k]，k∈Z 解析：f (x)＝A cos2(ωx＋φ)＋1＝A×＋1，因为f (x)的最大值与最小值的差为2，所以A×＋1－＝2，解得A＝2，A正确；因为函数图象的相邻两条对称轴间的距离为2，所以函数的最小正周期为4，即＝4，解得ω＝，B不正确；又f (x)的图象与y轴的交点坐标为(0，2)，所以2×＋1＝2⇒cos 2φ＝0，2φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，C正确；函数的解析式为f (x)＝cos ＋2＝－sin x＋2，令＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，解得1＋4k≤x≤3＋4k，k∈Z，所以f (x)的单调递增区间为[1＋4k，3＋4k]，k∈Z，D正确．故选ACD． 10．(8分，多选)(2025·河北保定一模)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则(　　　) A．f (0)＝－ B．f (x)的图象关于直线x＝－对称 C．将f (x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2cos 2x的图象 D．f (x)在区间上的值域为 解析：由题图可得A＝2，T＝－＝，所以T＝π，则ω＝2．所以f (x)＝2sin (2x＋φ)．因为f ＝2，所以2sin ＝2，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－，所以f (x)＝2sin ．f (0)＝2sin ＝－1，故A错误；当x＝－时，2x－＝－，所以f (x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确；将f (x)的图象向右平移个单位长度后得g(x)＝2sin ＝2cos 2x的图象，故C正确；当x∈时，2x－∈，则sin ∈，所以f (x)∈[－2，1]，故D错误．故选BC． 11．(8分，多选)(2025·湖南长沙一模)已知函数f (x)＝|sin ωx|＋|cos ωx|(ω>0)的定义域为A＝[0，α](α>0)，集合B＝{(x1，x2)∣f (x1)·f (x2)＝2，x1<x2}，则(　　　) A．若α＝，ω＝1，则B＝∅ B．若ω＝，且α∈[π，＋∞)，则f (x)的图象在A上存在对称轴 C．若α＝π，且f (x)在A上单调，则ω的取值范围是 D．若B中恰有3个不同元素，则ωα∈ 解析：f (x)＝|sin ωx|＋|cos ωx|＝＝的定义域为A＝[0，α]．对于A，当α＝，ω＝1时，f (x)＝，A＝，要使f (x1)·f (x2)＝2，则f (x1)＝f (x2)＝，即x1＝x2＝，与x1<x2矛盾，所以不存在x1<x2使f (x1)·f (x2)＝2，所以B＝∅，故A正确；对于B，当ω＝时，取α＝，则f (x)＝，A＝，若f (x)的图象在A上存在对称轴，则对称轴必为直线x＝，则必有f (0)＝f ，又f (0)＝1，f ＝≠1，故B错误；对于C，当α＝π时，t＝2ωx∈[0，2ωπ]，y＝的单调递增区间是，k∈Z，则2ωπ≤， 0＜ω≤，故C正确；对于D，若B中有3个不同元素，则方程|sin 2ωx|＝1在A上恰有3个不同的实根，2ωx∈[0，2ωα]，所以≤2ωα＜，≤ωα＜，故D正确．故选ACD． 12．(5分)(2025·河北保定二模)若函数f (x)＝tan 2x的最小正周期为T，且f (x)的图 象关于点(m，0)(0＜m＜T)对称，则m＝＿＿＿． 解析：T＝，由0＜m＜T，得0＜2m＜π，则2m＝，即m＝． 13．(5分)(2025·江西景德镇三模)函数f (x)＝3sin －1(ω>0)的最小正周期为π，将f (x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上 的值域为＿＿＿＿＿＿． 解析：由f (x)的最小正周期为π，得ω＝2，故f (x)＝3sin －1，则g(x)＝f ＝3sin －1．因为x∈，所以2x－∈，则sin ∈，则g(x)∈，故g(x)在区间上的值域为． 14．(6分)(2025·山西晋城二模)已知函数f (x)＝2cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有 且仅有4个零点，则ω的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 解析：令f (x)＝2cos ωx－1＝0，得cos ωx＝．由x∈[0，2π]，得ωx∈[0，2ωπ]．令t＝ωx∈[0，2ωπ]，因为函数f (x)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点，所以y＝cos t的图象与直线y＝在[0，2ωπ]上有且仅有4个交点，如图所示， 由图可知≤2ωπ＜，解得≤ω＜，即ω的取值范围是． $