与平面向量有关的最值、范围问题课件-2026届高三数学二轮复习

与平面向量有关的最值、范围问题 高中数学 二轮复习 返回导航 与平面向量有关的最值、范围问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档，主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 培优专训　难点突破 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 向量数量积的最值、范围 D 返回导航 返回导航 向量数量积最值(范围)问题的解题策略 1．形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． 2．数化：利用平面向量的坐标运算将问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决． 反思感悟 返回导航 A 返回导航 返回导航 考向 2 向量模的最值、范围 D 返回导航 求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2＝a2转化为实数问题；数形结合；坐标法． 反思感悟 返回导航 A 返回导航 考向 3 参数的最值、范围 B 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 C 返回导航 返回导航 B 考向 4 向量夹角的最值、范围 返回导航 求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系． 反思感悟 返回导航 D 返回导航 返回导航 培优专训　难点突破 第 分 部 二 返回导航 D 返回导航 返回导航 C 返回导航 A 返回导航 返回导航 C 返回导航 C 返回导航 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 例1　(2025·山东聊城二模)在△ABC中，BC＝2，A＝60°，则·的最大值为(　 　) A．6 B．3＋2 C．12 D．6＋4 解析：由正弦定理，得＝＝4＝2R，所以△ABC在以半径为R＝2的圆O上(如图)，则·＝·(＋)，由向量数量积几何意义及垂径定理可知·＝2＋·≤6＋(·)max，当与同向时，·有最大值为4，所以·的最大值为6＋4．故选D． 跟踪训练 (2025·黑龙江大庆二模)如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足＝λ(0＜λ＜1)，E为AC的中点，则·的取值范围为(　 　) A． B．[－4，4) C． D．[－2，4] 解析：以直线BC为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，则B(－2，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，)，因为＝λ(0＜λ＜1)，则点D在线段BC(不含端点)上，设D(x，0)，则－2＜x＜2，＝(－2－x，0)，＝(1－x，)，所以·＝(－2－x)(1－x)＝x2＋x－2＝－(－2＜x＜2)，所以当x＝－时，·取得最小值－，当x＝2时，·＝4，故·的取值范围为．故选A． 例2　已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－8e·b＋15＝0，则|a－b|的最小值是(　 　) A．4 B．＋1 C．2 D．1 解析：设a，b共起点，由b2－8e·b＋15＝0可得(b－3e)·(b－5e)＝0，则(b－3e)⊥(b－5e)，∴如图，b的终点在以AB为直径的圆上，设AB中点为O，||＝4，∵a与e的夹角为，∴|a－b|的最小值为圆心O到向量a所在直线的距离2减去半径1，为1．故选D． 跟踪训练 (2025·湖北黄石二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a⊥b，则|a＋b－c|的取值范围是(　 　) A．[3－，3＋] B．(3，6) C．(3，3＋] D．[3－，6) 解析：设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(3cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，所以a＋b－c＝(1－3cos θ，2－3sin θ)，所以|a＋b－c|＝＝，设f (θ)＝7－6sin θ－3cos θ，θ∈[0，2π)，则f (θ)＝7－3sin (θ＋φ)，其中tan φ＝∈，所以φ∈，所以sin (θ＋φ)∈[－1，1]，故f (θ)∈[7－3，7＋3]，所以|a＋b－c|∈[，]，即|a＋b－c|∈[3－，3＋]．故选A． 例3　在△ABC中，点D是边BC上一点(不包括端点)，若＝x＋y，则的最小值为(　 　) A．7－2 B．7＋2 C．2 D．7 解析：在△ABC中，点D是边BC上一点，＝x＋y，则x＋y＝1，x>0，y>0．＝(x＋y)＝7＋＋≥7＋2＝7＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以的最小值为7＋2．故选B． 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论进行转化，列不等式或等式得到关于系数的关系式，从而求系数的取值范围．其中共线向量定理及推论如下： (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)． (2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1．, 跟踪训练 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，m>0，n>0，则＋的最小值为(　 　) A．2 B．8 C．9 D．18 解析：由题意，得＝(＋)＝＋，因为M，O，N三点共线，所以m＋n＝2，又m>0，n>0，所以＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当m＝，n＝时取等号，即＋的最小值为9．故选C． 例4　(2025·重庆渝北区质检)已知非零向量a，b满足|a|＝3|b|，设a－b与a＋b的夹角为θ，则cos θ的最小值为(　 　) A． B． C． D． 解析：设|b|＝t(t>0)，则|a|＝3t，因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3t2cos 〈a，b〉，所以－3t2≤a·b≤3t2，所以0≤(a·b)2≤9t4，则cos θ＝＝＝≥，当(a·b)2＝0时取等号，所以cos θ的最小值为．故选B． 跟踪训练 已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2AD＝4，点M为边CD上的动点，若∠AMB＝α，则cos α的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，C(1，)，D(－1，)，设M(x，)(－1≤x≤1)，则＝(x＋2，)，＝(x－2，)，cos α＝＝＝，令x2－1＝t，则－1≤t≤0，cos α＝＝－＝－，可得cos α∈．故选D． 1．(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，设C(3，4)，则|2＋|的取值范围是(　 　) A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12] 解析：因为||＝||＝，||＝2，所以由＝－ 两边平方可得，·＝0，所以〈，〉＝．2＋＝2(－)＋－＝＋－2，||＝＝5，所以|2＋|2＝2＋ 2＋42－4(＋)·＝2＋2＋4×25－4(＋)·＝104－4(＋)·，又|(＋)·|≤|＋ |·||＝5×＝10，即－10≤(＋ )·≤10，所以|2＋|2∈[64，144]，即|2＋|∈[8，12]．故选D． 2．已知非零向量a，b满足(a－b)⊥(2a－b)，则sin 〈a，b〉的最大值为(　 　) A． B． C． D． 解析：由题意，得(a－b)·(2a－b)＝2|a|2－3|a||b|cos 〈a，b〉＋|b|2＝0，因为|a|>0，|b|>0，所以cos 〈a，b〉＝≥，当且仅当|a|＝|b|时取等号，又同角的正弦、余弦的平方和为1，所以sin 〈a，b〉≤．故选C． 3．(2023·全国乙卷理)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点．若|PO|＝，则·的最大值为(　 　) A．＋ B．＋ C．1＋ D．2＋ 解析：连接OA(图略)，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝．设直线OP绕点P按逆时针方向旋转θ后与直线PD重合，则－＜θ＜，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ，所以·＝||||·cos ＝cos θ·cos ＝cos θ＝cos2θ－sinθcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ＝＋cos ≤＋．故选A． 4．已知单位向量a与向量b＝(0，2)垂直，若向量c满足|a＋b＋c|＝1，则|c|的取值范围为(　 　) A．[1，－1] B． C．[－1，＋1] D． 解析：由题意不妨设a＝(1，0)，c＝(x，y)，则a＋b＋c＝(1，0)＋(0，2)＋(x，y)＝(1＋x，2＋y)．∵|a＋b＋c|＝1，∴(1＋x)2＋(2＋y)2＝1，即表示圆心为(－1，－2)，半径为1的圆，设圆心为P，O为坐标原点，∴|OP|＝＝．∵|c|＝表示圆P上的点到坐标原点的距离，∴－1≤|c|＝≤＋1，∴|c|的取值范围为[－1，＋1]．故选C． 5．在△ABC中，＝2，过点D的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且＝m，＝n，其中m>0，n>0，则m＋2n的最小值为(　 　) A．2 B． C．3 D． 解析：连接AD，如图所示，因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又＝m，＝n，所以＝＋＝＋，由E，F，D三点共线，得＋＝1，又m>0，n>0，所以m＋2n＝(m＋2n)＝＋＋＋≥2＋＝2×＋＝3，当且仅当＝，即m＝n＝1时，等号成立，所以m＋2n的最小值为3．故选C． $