三角形中的特征线问题课件-2026届高三数学二轮复习

三角形中的特征线问题 高中数学 二轮复习 返回导航 与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中档或偏下． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 教考衔接练3 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 三角形的中线 返回导航 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 考向 2 三角形的高线 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 考向 3 三角形的角平分线 返回导航 返回导航 2 返回导航 反思感悟 返回导航 2．解决与三角形的角平分线有关问题的方法 (1)利用角平分线定理找边之间的关系． (2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为大三角形的面积求解． 返回导航 返回导航 返回导航 教考衔接练3 第 分 部 二 返回导航 1 2 3 4 返回导航 1 2 3 4 返回导航 1 2 3 4 返回导航 1 2 3 4 返回导航 1 2 3 4 返回导航 1 2 3 4 返回导航 1 2 3 4 返回导航 1 2 3 4 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 证明：设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α． 在△ABM中，由余弦定理，得 AB2＝AM2＋BM2－2AM·BM cos α． 在△ACM中，由余弦定理，得AC2＝AM2＋MC2－2AM·MC cos (180°－α)． 因为cos (180°－α)＝－cos α，BM＝MC＝BC， 所以AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，从而AM＝． [教材母题]　(苏教版必修第二册P94例6)如图，AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM＝． [链接真题]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1． (1)若∠ADC＝，求tan B； 解：(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4． 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝．在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝． 在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin B＝＝，又B∈，所以cos B＝＝，所以tanB＝＝． (2)若b2＋c2＝8，求b，c． 解：(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC． 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2． 又S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝，得sin ∠ADC＝1，所以∠ADC＝，所以b＝c＝＝2． 1．中线长定理：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝，联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 2．中线的向量表示：2＝(2＋2＋2||||cos ∠BAC)． 推导过程：易知＝(＋)，则2＝(＋)2＝2＋2＋||||·cos ∠BAC，所以2＝(2＋2＋2||·||cos ∠BAC)． 3．解决三角形中线问题的常用方法 (1)利用角互补及余弦定理求解． (2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程． (3)利用向量法求解． 跟踪训练 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝∶2∶1． (1)求角A的值； 解：(1)设c＝1，则a＝，b＝2， 利用余弦定理可得cos A＝＝＝－， 又因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)若点D为BC的中点，求AD∶BC的值． 解：(2)设c＝1，则a＝，b＝2，因为点D为BC的中点，所以＝(＋)， 两边平方可得2＝(＋)2，即4||2＝||2＋||2＋2||||·cos ∠BAC，所以4||2＝1＋4＋2×1×2×＝3，可得||＝，所以AD∶BC的值为． [教材母题]　(人教A版必修第二册P54习题6．4T20)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设p＝(a＋b＋c)，求证： (1)三角形的面积S＝； 证明：(1)∵cos C＝， ∴S＝ab sin C＝ab＝ab＝ ＝＝ ＝ ． ∵p＝(a＋b＋c)，∴p－a＝(－a＋b＋c)，p－b＝(a－b＋c)，p－c＝(a＋b－c)， ∴S＝＝． ∴三角形的面积S＝． (2)若r为三角形的内切圆半径，则r＝； 解：(2)过内切圆的圆心，作三角形三条边的垂线，则内切圆圆心到三边的距离相等，都等于r． 则三角形的面积可以表示为S＝ar＋br＋cr＝r(a＋b＋c)， 结合第一问的结论可以得出r＝． (3)把边BC，AC，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则 ha＝， hb＝， hc＝． 解：(3)∵边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，三角形的面积 S＝， ∴S＝＝aha＝bhb＝chc， 可解得ha＝， hb＝， hc＝． [链接真题]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； 解：方法一　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin ＝sin ，展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0， 所以sin A＝． 解：(2)由正弦定理＝，得BC＝·sin A＝×＝3． 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋(3)2－2AC·3·cos ，整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2． 由(1)得tan A＝3>，所以＜A＜，又A＋B＝，所以B>，即C＜B， 所以AB＜AC，所以AC＝2． 设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BC sin C，即5h＝2×3×， 解得h＝6，所以AB边上的高为6． (2)设AB＝5，求AB边上的高． 方法二　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝． 因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C，易得cos A cos C≠0，所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3， 又sin A>0，tan A＝，sin2A＋cos2A＝1，所以sinA＝． (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，所以cos A＝， 所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)＝×＝． 由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6． 1．h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶． 2．高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关． 3．解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定理求得三角形的某些边和角来表示三角形的面积S，然后解S＝ab sin C＝ac sin B＝bc·sin A＝×边长×h，求高h． 跟踪训练 (2025·河南周口二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝2sin ． (1)求B； 解：(1)由＝2sin 及正弦定理，得＝cos C＋sin C， 所以sin A＝sin B cos C＋sin B sin C，又sin A＝sin (B＋C)， 则sin B cos C＋cos B sin C＝sin B cos C＋sin B sin C， 化简可得cos B sin C＝sin B sin C，又C∈(0，π)，sin C≠0， 所以cos B＝sin B，所以tan B＝，又B∈(0，π)，所以B＝． (2)若b＝2，过点B作BD⊥AC，D为垂足，求BD的最大值． 解：(2)设BD＝h，由三角形的面积公式得S△ABC＝b·h＝ac sin ∠ABC，解得h＝ac． 因为b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时，等号成立， 又b＝2，所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，故h＝ac≤×4＝，即BD的最大值为． [教材母题]　(人教B版必修第四册P20复习题T7)已知AD是△ABC的角平分线，且AC＝2，AB＝3，A＝60°，求AD的长． 解：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝9＋4－12×＝7， ∴BC＝(负值舍去)， ∴cos B＝＝＝． 由角平分线定理可得＝＝， ∴BD＝BC＝，∴AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝9＋－2×3××＝，∴AD＝(负值舍去)． [链接真题]　(2023·全国甲卷理)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的平分线交BC于D，则AD＝＿＿． 解析：由余弦定理的推论得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋(负值舍去)．由角平分线长公式得AD＝＝＝2． 1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c． (1)角平分线定理：＝． (2)因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD·sin ＋b·AD sin ＝bc sin ∠BAC，所以(b＋c)AD＝2bc cos ，整理得AD＝(角平分线长公式)． 跟踪训练 (2025·吉林长春二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c＝b－a cos C，角A的平分线交BC于D，且BD＝2DC． (1)求角A； 解：(1)由c＝b－a cos C和正弦定理，可得sin C＝sin B－sin A cos C， 因为sin B＝sin (π－A－C)＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin C＝sin A cos C＋sin C·cos A－sin A cos C，即sin C＝sin Ccos A． 因为sin C≠0，所以cos A＝． 因为0＜A＜π，所以A＝． (2)若AC＝3，求AD的长． 解：(2)因为AD是∠CAB的平分线，所以＝＝2，解得AB＝6， 又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，则·AB·AC·sin ＝·AB·AD·sin ＋·AC·AD·sin ， 即6×3×＝6·AD·＋3·AD·，解得AD＝2． 1．(15分)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，A＝60°． (1)若2c－b＝2，求sin C； 解：(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得49＝b2＋c2－bc， 联立2c－b＝2，解得c＝－3(舍)或c＝5， 由正弦定理得＝，得＝，解得sin C＝． (2)若BC边上的高h＝，求△ABC的周长． 解：(2)由题得△ABC的面积S△ABC＝ah＝×7×＝6， ∴bc sin ∠BAC＝bc＝6， ∴bc＝24． 由余弦定理得49＝b2＋c2－bc，∴b2＋c2＝73， ∴(b＋c)2＝73＋48＝121，∴b＋c＝11，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝18． 2．(15分)(2025·河北秦皇岛一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin C＝sin ＋1． (1)求B； 解：(1)因为sin C＝sin ＋1，所以sin C＝cos B＋1， 由正弦定理可得×sin C＝cos B＋1， 化简得sin B＝cos B＋1．则sin B－cos B＝1， 即2＝1，即2sin ＝1，所以sin ＝． 因为0＜B＜π，所以－＜B－＜，则B－＝，解得B＝． (2)若△ABC的面积为，b＝2，求AC边上的中线长． 解：(2)已知△ABC的面积为，∠ABC＝，根据三角形的面积公式S△ABC＝ac sin ∠ABC，可得ac sin ＝，即ac×＝，解得ac＝2． 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC， 可得22＝a2＋c2－2×2×cos ，即4＝a2＋c2－2，解得a2＋c2＝6． 设AC中点为D，则＝(＋)，两边平方可得2＝(2＋2＋2·)，可得2＝(c2＋a2＋2ac·cos ∠ABC)＝×＝×(6＋2)＝2，所以||＝，即AC边上的中线长为． 3．(15分)(2025·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝，a＝4． (1)若BC边上的高AD＝2，求证：△ABC为等边三角形； 解：(1)证明：在△ABC中，∠BAC＝，a＝4， 由余弦定理得b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝a2，即b2＋c2－bc＝16①． 又S△ABC＝·BC·AD＝·bc sin ∠BAC，即×4×2＝·bc·，故bc＝16②． 由①②得(b－c)2＋bc＝16，即(b－c)2＝0，故b＝c＝4＝a． 所以△ABC为等边三角形． (2)已知∠BAC的平分线交BC于点M，若AM＝，求△ABC的周长． 解：(2)在△ABC中，由S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 得bc sin ∠BAC＝AM·c·sin ∠BAM＋AM·b·sin ∠CAM， 又AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝， 所以bc×＝×c×＋×b×，即bc＝(b＋c)③， 又由余弦定理的推论可得cos ∠BAC＝，即b2＋c2－bc＝16④， 由③④可知16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－2(b＋c)， 解得b＋c＝4或b＋c＝－2(舍)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋4． 4．(15分)(2025·陕西西安一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，D为BC上一动点． (1)若AD平分∠BAC，求证：＝； 解：(1)证明：作AE⊥BC交BC于点E(图略)，在△ABD中，S△ABD＝AB·AD·sin ∠BAD＝BD·AE，在△ACD中，S△ACD＝AC·AD·sin ∠CAD＝CD·AE，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD， 所以sin ∠BAD＝sin ∠CAD，则＝⇒＝． (2)若D为BC上靠近点B的三等分点，当c＝2，b＝1时，求AD的长． 解：(2)因为D为BC上靠近点B的三等分点，所以＝＝(－)， 因为＝＋＝＋(－)＝＋，所以||＝＝＝＝． $