三角函数中的最值、范围问题课件-2026届高三数学二轮复习

三角函数中的最值、范围问题 高中数学 二轮复习 返回导航 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 培优专训　难点突破 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 三角函数式的最值、范围 返回导航 返回导航 求三角函数式的最值、范围问题的注意点 1．把三角函数式正确地化成单一函数形式． 2．根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式的范围． 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 考向 2 解三角形中的最值、范围问题 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 解三角形中的最值、范围问题的解题策略 1．定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围． 2．构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式． 3．求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 培优专训　难点突破 第 分 部 二 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 例1　(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin ． (1)若f(x0)＝，x0∈[0，2π]，求x0的值； 解：(1)因为f(x)＝sin ，由f(x0)＝，得到sin ＝， 解得x0－＝＋2kπ(k∈Z)或x0－＝＋2kπ(k∈Z)， 即x0＝＋2kπ(k∈Z)或x0＝＋2kπ(k∈Z)，又x0∈[0，2π]，所以x0＝或x0＝． (2)设g(x)＝f(x)·cos x，求g(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(2)因为g(x)＝f(x)·cos x＝sin ·cos x＝(sin xcos x－cos2x)＝＝sin －， 令t＝2x－，由x∈，得t∈， 则sin t∈，所以g(x)∈， 所以g(x)在区间上的最大值为－，最小值为－． 跟踪训练 (2025·重庆江北区模拟)已知函数f(x)＝tan x·sin ·cos －． (1)求f(x)的定义域与单调递增区间； 解：(1)由题知f(x)的定义域为，f(x)＝·cos x·cos－＝sin x cos －＝sin x－＝sin x cos x＋sin2x－＝sin2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x－＝sin －，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z⇒kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z． (2)若x∈，求函数f(x)的最值． 解：(2)由x∈，得2x－∈，所以－1≤sin ≤， 当sin ＝－1时，函数f(x)取得最小值－，当sin ＝时，函数f(x)取得最大值． 角度1　三角形面积的最值、范围 例2　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos ＝b sin A． (1)求B； 解：(1)由a cos ＝b sin A及正弦定理，得sin Acos ＝sin A sin B，又sin A≠0， 所以cos ＝sin B，则cos ＝2sin cos ． 又cos ≠0，所以sin ＝． 因为0＜＜，所以＝，解得B＝． (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC面积的取值范围． 解：(2)因为△ABC是锐角三角形，B＝，所以＜A＜，＜C＜， 所以S△ABC＝ac sin B＝c2··sin B＝＝＝＝＋， 因为C∈，所以tan C∈，则∈(0，)， 从而S△ABC∈，故△ABC面积的取值范围是． 角度2　三角形边长(周长)的最值、范围 例3　记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a tan B cos C＋c sin A＝． (1)求证：B＋C＝2A； 解：(1)证明：∵a tan B cos C＋c sin A＝，∴a··cos C＋c sin A＝，两边同时乘cos B，得a sin B cos C＋c sin A cos B＝a sin 2A，由正弦定理，得sin A sin B cos C＋sin Csin A cos B＝sin A sin 2A． ∵在△ABC中，A∈(0，π)， ∴sin A≠0，∴sin B cos C＋cos B sin C＝sin 2A，∴sin (B＋C)＝sin 2A， 又B＋C∈(0，π)，∴sin 2A＝sin (B＋C)>0，∴2A∈(0，π)，∴B＋C＝2A或B＋C＝π－2A， 若B＋C＝π－2A，且A＋B＋C＝π，则B＋C＝π－2A＝π－A，∴A＝0，不合题意，舍去． ∴B＋C＝2A． (2)若a＝3，求2b－c的取值范围． 解：(2)由(1)可知B＋C＝2A，又B＋C＝π－A，∴A＝，∴B＋C＝，∴B∈． 又由已知可得cos B≠0，∴B≠，∴B∈∪． ∵＝＝＝＝2，∴2b－c＝2(2sin B－sin C)＝2＝2＝2＝6＝6sin ． ∵B∈∪， ∴B－∈∪， ∴sin ∈∪，∴2b－c∈(－3，3)∪(3，6)， ∴2b－c的取值范围是(－3，3)∪(3，6)． 角度3　三角形的角或其函数值的最值、范围 例4　(2025·湖北宜昌二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝． (1)求证：A＝B； 解：(1)证明：因为＝，所以＝，则＝，整理得sin cos －cos sin ＝0，即sin ＝0．因为A，B∈(0，π)，所以－＝0，即A＝B． (2)若D是BC的中点，求∠CAD的最大值． 解：(2)由(1)及题设，有AC＝BC＝2CD，所以cos ∠CAD＝＝＝＝＋≥2＝， 所以∠CAD≤，当且仅当＝时，等号成立． 故∠CAD的最大值为． 跟踪训练 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝2ac sin B． (1)求A； 解：(1)因为b2＋c2－a2＝2ac sin B，所以cos A＝＝＝， 由正弦定理可得＝，所以sin A＝＝cos A，又因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(2)因为b2＋c2－a2＝2bc cos A，所以b2＋c2－4＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c时，等号成立， 即2bc－4≤bc，解得bc≤4＋2，所以△ABC的面积S＝bc sin A＝bc≤1＋， 即△ABC面积的最大值为1＋． 1．(2025·河北秦皇岛二模)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b tan B cos C＋c sin B＝2a tan B cos A． (1)求A； 解：(1)由b tan B cos C＋c sin B＝2a tan B cos A及正弦定理，得sin B·tan Bcos C＋sin C sin B＝2sin A·cos Atan B， 由tan B＝，tan B>0，得sin B·cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A， 即sin (B＋C)＝sin A＝2sin A·cos A，而sin A>0，故cos A＝， 又A∈，所以A＝． (2)若a＝3，求2b－c＋2sin 的取值范围． 解：(2)由正弦定理得＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C， 由sin C＝sin ＝cos B＋sin B， 则2b－c＋2sin ＝3·sin B－3cos B＋2sin ＝6sin ＋2sin ＝2cos 2＋6sin ＝2＋6sin＝－4sin2＋6sin＋2， 由则＜B＜，即0＜B－＜， 可得sin ∈，令t＝sin ， 则2b－c＋2sin ＝－4t2＋6t＋2＝－4＋， 易知函数f (t)＝－4＋在上单调递增，在上单调递减， f (0)＝2，f ＝，f ＝3－1，所以2b－c＋2sin ∈． 2．(2025·湖北宜昌二模)如图所示，在△ABC中，sin C＝3sin B，AD平分∠BAC，且AD＝kAC． (1)若DC＝2，求BC的长度； 解：(1)因为sin C＝3sin B，所以由正弦定理得AB＝3AC， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 在△ACD中，由正弦定理得＝， 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD． 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC，所以＝． 因为AB＝3AC，DC＝2，所以＝3，得BD＝6，所以BC＝8． (2)求k的取值范围； 解：(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 设∠BAD＝∠CAD＝θ， 所以AB·AC sin 2θ＝AB·AD sin θ＋AC·AD sin θ． 因为AB＝3AC，AD＝kAC， 所以3AC·AC·2sin θcos θ＝3AC·kAC·sin θ＋AC·kAC sin θ． 因为sin θ≠0，所以6cos θ＝4k，所以k＝cos θ． 因为θ∈，所以cos θ∈(0，1)，所以k∈． (3)若S△ABC＝，求k为何值时，BC最短． 解：(3)由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝2AC2(5－3cos ∠BAC)， 因为S△ABC＝，所以AC·AB·sin ∠BAC＝，又因为AB＝3AC， 所以AC2＝， 所以BC2＝(5－3cos ∠BAC)＝2·． 方法一　令y＝，易得y>0，则y sin ∠BAC＋3cos ∠BAC＝5， 所以sin (∠BAC＋φ)＝5，所以当sin (∠BAC＋φ)＝1时，y取得最小值4， 即当∠BAC＋φ＝时，y取得最小值4，此时tan φ＝， 所以cos ∠BAC＝cos ＝sin φ＝． 因为cos ∠BAC＝2cos2θ－1，所以2cos2θ－1＝，所以cosθ＝， 由(2)知k＝cos θ，所以k＝×＝，即当k＝时，BC最短． 方法二　BC2＝2·＝＝＝＝＝＝8tan θ＋≥8， 当且仅当8tan θ＝，即tan θ＝时取等号，故此时cos θ＝，即k＝． $