6.2.4 向量的数量积（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 知识点一 向量的数量积 1、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 2、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 3、两个向量数量积的定义 非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；记作，即；规定：零向量与任一向量的数量积为0． 4、向量的投影 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 5、向量数量积的几何意义 数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积． 即学即练（24-25高一下·四川·月考）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量数量积的定义，.故选：B. 知识点二 向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：； 3、向量数量积的常用结论 （1）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （2）平面向量数量积运算的常用公式 （3）， 当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立． 即学即练（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选）设，，是非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，令，不垂直，此时，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，让互为相反向量，且，则有， 但是此时不成立，故D错误.故选：BC. 题型01 向量数量积的简单运算 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 典｜例｜精｜析 【例题1】（24-25高一下·天津·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】.故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 【答案】D 【解析】因为和的夹角为，，， 所以.故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·河南焦作·月考）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A．－4 B．－6 C．－8 D．－16 【答案】C 【解析】非零向量在向量上的投影向量为，， 则，解得，故．故选：C． 【变式1-3】（24-25高一下·广东梅州·月考）已知向量满足，，则 _______ 【答案】 【解析】因为，， 所以， 所以， 所以 题型02 平面几何图形中的数量积的计算 / 解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路： 要充分利用图形特点及其含有的特向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征． 典｜例｜精｜析 【例题2】（24-25高一下·四川成都·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由向量的数量积的定义， 可得.故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，G为的重心，且，，则________． 【答案】 【解析】如图，设D为的中点，连接，则点G在上，且， 故，， 所以． 【变式2-2】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【解析】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 . 【变式2-3】（2026·河南开封·一模）菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接，则，； 所以， ， ， ； 因为为的中点，为的中点， 所以； 所以 .故选：D. 题型03 利用数量积判断平面图形形状 / 利用向量数量积判断平面几何图形形状的方法： 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、平方等手段，可以得出数量积及向量的长度等信息，为得到边相等、边垂直指明方向． 典｜例｜精｜析 【例题3】（2025·广东·模拟预测）在中，“且”是“为锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为所以是锐角，因为，所以是锐角，但是不一定是锐角， 如，此时是钝角三角形，所以是不充分条件； 若为锐角三角形，则是锐角， 所以且成立，所以是必要条件，故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【解析】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形.故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为，所以是的重心， 又， 所以垂直平分，所以为等腰三角形.故选：A 【变式3-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选）下列命题正确的是（    ） A．在中，若，则 B．已知向量满足条件，则为等边三角形 C．在中，若，则为直角三角形 D．在中，若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，设 由得，， 所以，即， 所以， 又，所以， 同理可得，， 所以为等边三角形，故B正确； 对于C，由，得， 展开整理得，即，故C正确； 对于D，设，则射线是的平分线， 又，所以， 所以为等腰三角形，故D正确； 故选：BCD． 题型04 向量数量积的最值问题 / 解决与向量数量积的最值有关问题的基本思路 先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值． 典｜例｜精｜析 【例题4】（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是．故选：D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（24-25高一下·浙江金华·月考）在正方形中，，点是边的中点，点在边上，且，若，，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】由题可得，， 则 ，又，. 则 ， 又，则，则. 【变式4-2】（24-25高一下·广东·月考）窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ．故选：B． 【变式4-3】（24-25高一下·陕西汉中·月考）（多选）如图，在直角梯形中，，，，，分别是的中点，是以为直径的半圆弧，点为圆弧上的一个动点，的值可能为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】ABC 【解析】如图，取的中点，将梯形补成长方形， 设与的夹角为， 则． 当三点共线，即时，取得最小值，， 当与重合时，取得最大值， ． 故．故选：ABC 题型05 利用数量积求向量的夹角 / 求两向量夹角的基本思路 （1）求向量夹角关键时计算及，在此基础上结合数量积的定义或性质计算，最后借助，求出的值； （2）在个别含有，的等量关系式中，常利用消元思想计算的值． 典｜例｜精｜析 【例题5】（24-25高二下·贵州六盘水·期末）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，∵，，， ∴，解得， ∴，故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（24-25高一下·山东日照·期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以.故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则__________. 【答案】 【解析】因，，， 由， 而， 所以. 【变式5-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________. 【答案】/ 【解析】是夹角为的两个单位向量，则， ， ， ，， ，. 题型06 利用数量积判断两向量垂直 / 核心结论：非零向量；解题时，先表示出两向量的数量积，令其等于0，建立关系求解相关量，或直接判断数量积是否为0确定垂直关系． 典｜例｜精｜析 【例题6】（24-25高一下·河南三门峡·月考）已知，，与的夹角为，若与垂直，则实数__________. 【答案】 【解析】由题意得， 从而，得. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】（24-25高一下·天津·月考）若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则_______. 【答案】 【解析】因为与垂直， 所以， 即， 即， 因为，所以，解得. 【变式6-2】（24-25高一下·黑龙江双鸭山·月考）已知平面向量，的夹角为60°，且，．若，则________． 【答案】 【解析】因为平面向量，的夹角为60°，且，， 所以. 因为， 所以， 所以，解得. 【变式6-3】（24-25高一下·重庆·月考）已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数_____. 【答案】 【解析】因为向量与的夹角为60°，，， 由知， 所以， 所以，解得. 题型07 利用数量积求向量的模 （1）解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解； （2）利用或，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 典｜例｜精｜析 【例题7】（24-25高一下·江苏苏州·月考）若向量满足，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】， ， ．故选：B． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】（24-25高一下·江西·月考）已知向量满足，则的值为____. 【答案】 【解析】因为， ， 所以， 又， 所以， 所以，故. 【变式7-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，得，变形得， 设，则，变形得， 因为，所以， 因为，所以，解不等式组， 当时，解得.故选：D. 【变式7-3】（24-25高一下·江西上饶·月考）设点是线段的中点，点在线段外，，，则______． 【答案】 【解析】因为点在线段外，， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以. 题型08 利用数量积求向量的投影 / 1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后代入公式计算即可； 2、设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 典｜例｜精｜析 【例题8】（24-25高一下·福建莆田·月考）已知，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 则向量在向量方向上的投影向量是：.故选：C 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为.故选：A 【变式8-2】（24-25高一下·山东淄博·期中）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的模是__________． 【答案】 【解析】依题意得，， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量的模是. 【变式8-3】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【解析】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第六章平面向量及其应用 6.2.4向量的数量积 知识网络 理清胶轮、▲锅举目轮 向量数量积的物理背景 m=F5=形os6 向量的夹角 已刘两个岁向量a,6,O是半向上的任意一点，作OA-a,OB-6, 则/AOB-日(0≤日≤x)叫做向量a与苏的夹角. 向量的数量积 a5=a51co56 两个向量数量积的定义 零向虽与任一向量的数量积为0 向量的投影 向量数量积的几何意义 6.2.4向量的数量积 (1)a-e-ea-alcos0; (2yd1Aa.6=0: 平面向量数量积的性质 林别地，aaaf问后=后 (5)|a6sal6 二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二 向量数量积的性质与运算律 (1)交换：a万=万a 平面向量数量积满足的运算律 (2)数乘箭色律：(a-万=a(a-)=a-(ib)a为实数 (3)分w:(a1)c=aeb-e 向量数量积的常用结论 知识梳理 梳理教材 奔实基础 食知识点一 向量的数量积 1、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力F的作用下产生位移5，那么力F所做的功W就等于力F与位移的数量积，即 W=F.5=厅cos0,其中0是F与s的夹角。 2、向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点，作0A=a,0B=b, 则LA0B=0(0≤0≤π)叫做向量G与的夹角 (2)性质：当0=0时，a与同向：当0=元时，a与反向. (3)向量垂直：如果G与的夹角是，我们说a与五垂直，记作a⊥b. 3、两个向量数量积的定义 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 非零向量a与五，它们的夹角为O,数量a‖bcos0叫做向量a与的数量积（或内积）：记作a.b,即 a.b=ab1cos0:规定：零向量与任一向量的数量积为0. 4、向量的投影 (1)设a,五是两个非零向量，AB=a,CD=b, 考虑如下变换：过AB的起点A和终点B,分别作C元所在直线的垂线，垂足分别为A,B,得到AB,,我 们称上述变换为向量a向向量投影，A,B,叫做向量ā在向量b上的投影向量. b CA (2)在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M1,则OM1就是向 量a在向量b上的投影向量，且OM,=|acos0e. M 5、向量数量积的几何意义 数量积a.b等于的长度a与b在a的方向上的投影向量的“长度”1bcos0的乘积，也等于b的长度与 a在b的方向上的投影向量的“长度”|acos0的乘积. @即学即练(2425高-下四川月考)已知向量和的夹角为行，且问=2，=5，则。=（) A.5 B.-5 C.-55 D.5v5 《。知识点二向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量，e是单位向量，0为a与b(或e的夹角.则 (1)a…e=ea=acos0; (2)a⊥b÷ab=0; (3)当a与b同向时，ab=ab1:当a与b反向时，ab=-a川b1: -2 特别地，aaaP或d=a:a=v后， (4)cos0= a.b albl 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (5)lablsallbl 2、平面向量数量积满足的运算律 (1)交换律：a.b=6a: (2)数乘结合律：(ab=入a.)=a-(2b)a为实数) (3)分配律：(a+c=ac+b.c: 3、向量数量积的常用结论 (1)两个向量a,b的夹角为锐角台ab>0且a,b不共线： 两个向量a,b的夹角为钝角台ab<0且a,b不共线. (2)平面向量数量积运算的常用公式 (a+B-(a-B)=a2-B2 (a+}=a2+2a-6+ (a-}=a2-2a6+6 (3)llal-1BllSa+Blsal+131, 当且仅当a与b同向共线时右边等号成立，a与b反向共线时左边等号成立. ◇即学即练(2425高一下江苏南通月考)（多选）设ā，万，c是非零向量，且相互不共线，则下 列命题正确的有() A.a.B.@=a.B.c) B.(3ā+46(3a-4i)=9a-166 C.(B.c)a-(a.c)B La D.若ab=ac,则b=c 题型突破 抓住核心 突破重点 ◆题型01向量数量积的简单运算 点方法 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角，若相关向量是两个或两个以上向量的线 性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 典1例|精|析 【例题1】(2425高一下天津月考)若向量a,E满足d==1,a与的夹角为60°，则a6等于() A. C.1+ 2 D.2 3/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变|式巩固 【变式1-1】(25-26高三上湖北襄阳期末)已知a和万的夹角为120，且a=2,=1,则(2ā+6=（) A.1 B.1-2V5 C.3 D.-1 【变式1-2】(2425高一下河南焦作月考)已知非零向量后在向量6上的投影向量为0，=4，则 (a-i=() A.-4 B.-6 C.-8 D.-16 【变式1-3】(24-25高一下广东梅州月考)已知向量a,6满足a=b=1,3a+b=2,则aa+2b)= ◆题型02平面几何图形中的数量积的计算 点方法 辩易精 解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路： 要充分利用图形特点及其含有的特向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或己知长度的向量.对于 以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征. 典例精引析 【例题2】2425商-下四川成都月考)已知∠ABC=号，48=2,8C=5,则历-8C=（) 1 A.-3 B.-2 C. D.-3 2 变|式巩1固 【变式2-1】(24-25高一下·贵州贵阳·月考)在ABC中，G为ABC的重心，且AB=6,AC=8,则 AG.CB=_ 【变式2-2】(25-26高一上·河北石家庄期末)已知在矩形ABCD中，AB=2√2，点E是边BC的中点，则 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE+AC.AB= 【变式2-3】(2026河南开封一模)菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为CD的中点，N为BC的中点， 则AM.AN=() A.2+5 B.4+53 c.9 D. 2 2 ◆题型03利用数量积判断平面图形牙形状 点方法，舞易精 利用向量数量积判断平面几何图形形状的方法： 由己知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、平方等手段，可以 得出数量积及向量的长度等信息，为得到边相等、边垂直指明方向. 典I例|精I析 【例题3】(2025广东·模拟预测)在ABC中，“AC.AB>0且BC.BA>0”是“ABC为锐角三角形的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 变式1巩|固 【变式3-1】(24-25高一下黑龙江齐齐哈尔月考)平行四边形ABCD中，BC+BA=BC+AB,则四边形 ABCD是() A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 【变式3-2】(24-25高一下·江苏无锡期中)点P是ABC所在平面内的一点，当PA+PB+PC=0且 (PB+PCAB-AC)=0时，ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【变式3-3】(24-25高一下·江苏南通·月考)（多选）下列命题正确的是() 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.在ABC中，若A=l,BC=2,∠4BC=牙则丽-BC=1 B.已知向量OA,0B,OC满足条件OA+0B+0C=0,DA=OB=DC,则ABC为等边三角形 C.在ABC中，若CA-CB=CA+CB,则ABC为直角三角形 AB AC D.在ABC中，若 BC=0,则ABC为等腰三角形 ◆题型04向量数量积的最值问题 点方法，舞易精 解决与向量数量积的最值有关问题的基本思路 先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函 数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值. 典|例精析 【例题4】(25-26高三上山西晋城月考)在菱形ABCD中，4B=2,∠ABC=行，点E是AB的中点，点F在 线段BD上（包含端点），则FCFE的取值范围为() A[6 B.[1,4] c.[0,4] D. 变1式巩1固 【变式41】(24-25高一下浙江金华月考)在正方形ABCD中，AB=V6,点E是BC边的中点，点F在 CD边上，且CF=2FD,若AG=xAE+(1-x)AF,0≤x≤1，则AG.BD的取值范围是 【变式4-2】(24-25高一下·广东·月考)窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一 在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如图1).已知正方形ABCD的边长为2，中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图 2),若P为BC的中点，则POPA+PB=() 6/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.6 B.8 C.10 D.12 【变式4-3】(24-25高一下·陕西汉中·月考)（多选）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥AB, AB=BC=2,AD=4,E,F分别是BC,AD的中点，AF是以AF为直径的半圆弧，点P为圆弧AF上的一 个动点，PD.PE的值可能为() D D E B A.1-13 B.2 C.1+√7 D.5 ◆题型05利用数量积求向量的夹角 三方法，弹易精 求两向量夹角的基本思路 (1)求向量夹角关键时计算a·b及|a‖b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos日= ab labl' 最后借助0∈[0，π]，求出0的值； (2)在个别含有|a|,|b|的等量关系式中，常利用消元思想计算cos0的值. 典例精析 【例题5】(2425高二下贵州六盘水期末)已知向量a,满足a·6=1,=4,日-=5，则 cos(a,B)=() A.4 3 D. 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变|式1巩|固 【变式5-1】(24-25高一下山东日照期末)已知a,为单位向量，且3ā-5=7，则a与的夹角为() A B. 2π 3 c.i D. 6 【变式5-2】(24-25高一下贵州月考)已知a,无为单位向量，且a-6=0,若c=V5a-6,则cos(a,c 【变式5-3】(24-25高一下·广东东莞期中)若e,e,是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e+e2与 b=-3e+2e,的夹角大小为 ◆题型06利用数量积判断两向量垂直 皮方法，群易精 核心结论：非零向量a⊥b台a,b=0;解题时，先表示出两向量的数量积，令其等于0，建立关系求解 相关量，或直接判断数量积是否为0确定垂直关系. 典|例精1析 【例题6】(24-25高一下河南三门峡月考)已知d=2,=1,a与的夹角为45°，若b-a与ā垂直， 则实数t= 变I式I巩1固 【变式6-1】(24-25高一下·天津月考)若ā，五是夹角为60°的两个单位向量，2ā+b与-3ā+2b垂直，则 1= 【变式6-2】(24-25高一下黑龙江双鸭山月考)已知平面向量ā，万的夹角为60°，且@=2，=1.若 (3a+b)1(2a+b),则1=— 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-3】(24-25高一下重庆月考)已知向量ā与6的夹角为60°，d=1,=2,当61（ā-6）时， 实数入= ◆题型07利用数量积求向量的模 皮方法 (1)解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解： (2)利用aa=a2a或a=V√a2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 典例精标 【例题7】(24-25高一下-江苏苏州月考)若向量ā，6满足d=2,=2,ā·6=2，则a-=() A.√2 B.2 C.25 D.4 变1式巩固 【变式7-1】(24-25高一下江西月考)已知向量ā，6满足=4，=2，a-=V5，则a+6的值为 【变式7-2】(24-25高一下-辽宁沈阳月考)已知l=1,(a+)6=2,则同的范围为() A.[1,+o) B.[0,2 C.{2,+o) D.[1,2] 【变式7-3】(24-25高一下·江西上饶月考)设点P是线段BC的中点，点A在线段BC外， B=8, AB+AC=AB-AC,则AP= ◆题型08利用数量积求向量的投影 点方法，料易精 1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 后代入公式计算即可； 2、设向量A,B,是向量a在向量b上的投影向量，则有 48a1cos<a,b>。alab=a-bb,则48，上la-b 1b1 lallbl bl b12 1b1 典例精析 【例题8】(24-25高一下福建莆田·月考)已知=√2，=1，向量ā与向量6的夹角为135，则向量ā在 向量6方向上的投影向量等于() A.2b B.b C.-b D.-√2b 变式I巩I固 【变式8-1】(2026湖南邵阳一模)已知非零向量a,无满足d=2,|2ā+=a-,则向量a在向量元上 的投影向量为() A.-2b B.2b C.-3b D.35 【变式8-2】(24-25高一下山东淄博期中)已知向量ā，6的夹角为120°，且=1，=2，则向量ā-6 在向量ā+b方向上的投影向量的模是 【变式8-3】(25-26高一上江苏无锡期末)己知△ABC是单位圆O的内接三角形，若2A0=AB+AC,且 |AC=1,则向量BA在向量BC上的投影向量为 10/10