6.2.4 向量的数量积 第1课时 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的 数量积 第1课时 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景（力对物体做功），理解向量夹角、数量积（内积）的含义及物理意义。 2.掌握向量投影的概念，能推导投影向量的表达式，明确数量积与投影的内在联系。 3.熟练掌握数量积的性质，能运用定义和性质进行数量积计算、向量夹角求解、投影向量求解及向量模的运算。 4.体验数学概念的抽象过程，感受数形结合、类比迁移的数学思想，提升抽象概括和推理论证能力。 目录 CATALOG 01.向量数量积的概念 03.题型强化训练 02.向量数量数量积的性质 04.小结及随堂练习 6.2.4 向量的数量积 第1课时 01 向量数量积的概念 导入新知1：“斜拉行李箱的隐藏数学密码” 同学们，周末出游时，大家都有过拉行李箱的经历吧？假设你用一个与水平地面成30°角的力，大小为15N，拉动行李箱在水平地面上走了8米。小时候我们学过功的计算公式是W=FS，但这里如果直接用15×8计算，得到的结果真的是你对行李箱做的功吗？ 再仔细想想：你施加的力是斜向上的，而行李箱是水平移动的，这个斜着的力里，到底“多少部分”真正推动了行李箱前进？如果把拉力和位移都看成向量，这两个向量之间的“角度”又会对做功多少产生什么影响？我们能不能用一种新的向量运算，精准算出实际做的功？ 导入新知2：“手机导航的路线夹角玄机” 大家出门用导航时，经常会遇到这样的情况：假设你从学校门口出发，先向东北方向走500米到地铁站（记为向量a），再从地铁站向东南方向走800米到商场（记为向量b）。导航能精准算出你从学校到商场的直线距离，也能显示两段路线之间的角度。 这两个向量（两段路线）的夹角是多少度？如果我们想知道“第一段路线在第二段路线方向上的投影长度”（比如判断两段路线的重合趋势），该怎么计算？更重要的是，两个向量之间是否存在一种运算，能把它们的长度、夹角和这种“投影”联系起来，甚至算出像直线距离这样的关键数据？ 学习新知 前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？ 在物理课中我们学过功的概念：一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 其中θ是力F与位移S的夹角. 学习新知 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积. 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 学习新知 1.向量的夹角 已知两个非零向量 是平面上的任意一点,作　　　　　　　　　　 则∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量 的夹角． 0≤θ≤π 显然，当θ=0时， 同向; 当θ=π时， 反向. 如果 的夹角是 ，我们说 垂直，记作 . 学习新知 2.平面向量数量积的定义 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量数量积的定义及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量数量积的定义及辨析 学习新知 与以往运算法则的区别及注意点： 学习新知 思考： 两个非零向量a与b的数量积符号和这两向量夹角θ的取值范围有什么关系？ 【练习】已知 ΔABC 为锐角三角形，那么 的值（ ） A. 小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 不确定 A 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求投影向量、向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量数量积的定义及辨析、平面向量共线定理证明线平行问题 学习新知 例9： 解： 学习新知 学习新知 学习新知 例10： 解： 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平行向量（共线向量）、用定义求向量的数量积 02 向量数量数量积的性质 6.2.4 向量的数量积 第1课时 学习新知 3.投影向量 我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M作直线ON的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量 设a，b是两个非零向量， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量． M O M1 N 学习新知 探究 如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，那么 与 ， ，θ 之间有怎样的关系？ M O M1 N 学习新知 图6.2-21 N M1 O M N M1 O M M O M1 N 学习新知 从上面的讨论可知， 学习新知 探究 从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，a在b上的投影具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ a与b方向相同 a与b方向相反 a·b=|a||b| a⊥b 如果a·b = 0，不能得出a=0或b=0. 若a，b 为非零向量，则 a⊥b a·b = 0 a·b=-|a||b| a·b = 0 如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求投影向量、平面向量数量积的定义及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 学习新知 4.数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则: a a常记为a 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量数量积的定义及辨析、平行向量（共线向量） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用定义求向量的数量积、数量积的运算律 03 题型强化训练 6.2.4 向量的数量积 第1课时 能力提升 题型一：两向量的数量积 能力提升 题型一：两向量的数量积 能力提升 题型二：两向量的夹角 能力提升 题型二：两向量的夹角 能力提升 题型三：投影向量 能力提升 题型三：投影向量 能力提升 题型四：向量的模 能力提升 题型四：向量的模 04 小结及随堂练习 6.2.4 向量的数量积 第1课时 课堂总结1 课堂总结1 课堂总结1 课堂总结2 作业 教科书习题6.2第1〜9, 14题. 6.2.4 向量的数量积 第1课时 练习(第20页) 练习(第20页) 练习(第20页) 课堂总结 1．知识清单： (1)三角函数在生活中的应用． (2)三角函数在几何中的应用． 2．方法归纳：数学建模、数形结合． 3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题． 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1.（多选题） 下列说法不正确的有（    ） A．若 ， ，则 B．若 ，则 与 的方向相同或相反 C．若 ，则 D．若 ， ，则 【详解】若，，则，故A正确； 对于B，当有一个为零向量时不成立，故B错误； 对于C，当与垂直时，可得，但推不出，故C错误； 对于D，当时不成立，故D错误， 故选：BCD. 2.（多选题）下列结论不正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．对于任意 ， ，必有 C．若 ，则一定存在实数 ，使 D．若 ，则 或 【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，A错误； 对于B，任意，根据向量加法的几何意义知，当且仅当、共线同向时取“=”，B正确； 对于C，若，不一定存在实数，使，如且时，命题不成立，C错误； 对于D，若，则或或，∴D错误. 故选：ACD 3.（多选题）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量 ， 满足 ， ，则正确的是（   ） A． B． 与 的夹角为 C． D． 在 上的投影向量为 【详解】因为，，所以，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，所以成立，故C正确； 因为，所以在上的投影向量为：，故D错误.故选：BC 4.（多选题） 设 都是非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若 的夹角为钝角，则 B．若 ，则 C．若 ，则 的夹角为锐角 D．若 ，则 与 同向 【详解】对的夹角为钝角，则，所以，正确； 对，当时，易知：以为邻边的平行四边形是矩形，所以正确； 对，当同向共线时，有，所以错误； 对，所以与反向，错误. 故选： 【答案】3； 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的定义代入计算即可得出结果； 【详解】由 可得 ； 即可得 . 【变式】已知平面向量 ，满足 ，且 与 的夹角为 . 求 的值； 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键； (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、相等向量 【分析】利用向量的夹角定义直接得解. 【详解】如图， 与 的夹角为 ， 故选：C 【变式】已知 中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为（     ） A．30° B．60° C．120° D．150° 1．求向量夹角的基本步骤 2．向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．　　　 5.（多选题）下列关于向量的命题，错误的是（   ） A． B．在边长为1的等边 中， C．若 ，则 D．若 ，则向量 的夹角是钝角 【详解】对A，，正确； 对B，，正确； 对C，若，则与共线，不一定，故错误； 对D，若，则向量的夹角是钝角或者为，故错误. 故选：CD 6.（多选题）在正 中， 为 的中点，则（    ） A． B． C． D． 在 上的投影向量为 【详解】正中，为的中点，如图所示，，A错误；，则，正确．，C正确． 在上的投影向量为，正确． 故选：BCD. 7.（多选题） 下列说法中正确的是（   ） A．非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为 B．向量 能作为平面内所有向量的一组基底 C．若 ，则 在 方向上的投影向量的模为 D．若 ，则 【详解】对于A，由，所以，即，所以， 所以，所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由，所以，则与共线，所以与不能作为平面向量的基底，故B错误；对于C，，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；对于D，因为，所以当时，，故正确，故选：ACD． 8.（多选题） 关于平面向量 ， ， ，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若 ，且 ，则 D． 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量， 而与无任何关系，D错误. 故选：CD 9.（多选题）下列与平面向量相关的结论正确的是（    ）． A．在四边形 中，若 ，则该四边形为平行四边形 B．对任意一个等边 ， 都成立 C．对于非零向量 ， ， 成立的充要条件是 ， 方向相同 D．对于非零向量 ， ， 成立的充要条件是 ， 方向相同 【详解】A.由向量相等可知，，且，所以四边形为平行四边形， 故A正确；B. 对任意一个等边，应是都成立，故B错误； C.因为，所以，若， 则，则或，即，方向相同或相反， 反过来，，方向相同，则，即，所以应是充分不必要条件，故C错误； D. 对于非零向量，，成立的充要条件是，方向相同，故D正确.故选：AD 10.（多选题） 面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数，所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量，所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. 【练习1】已知向量 , , 与 的夹角为 ,且 ,则 实数k的值为( ) A． B． C．2 D． 【解析】 向量 ， ， 与 的夹角为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 由 ，可得 ，解得 . 故选：D. 1.向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中 准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键． 根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多 项式的乘法运算．　　　　 2.求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心 圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 【练习2】已知 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】设 与 的夹角为 ，因为 为单位向量， ，即 ， 即 ，即 ， 所以 ，即 . 故选：C. 【反思感悟】 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合， 作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为 θ，λ1a与 λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为 θ0， 当 λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当 λ1λ2>0时，θ0＝θ. 【练习3】已知向量 和 满足 ， ， ，则向量 在 向量 上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量 和 满足 ， ， ，可得 ，解得 ， 所以向量 在向量 上的投影向量 .故选：A. 【反思感悟】求投影向量的两种方法 b在a方向上的投影向量为|b|cos θ· eq \f(a,|a|) ,θ为a，b的夹角,a在b方 向上的投影向量为|a|cos θ· eq \f(b,|b|) . b在a方向上的投影向量为 eq \f(a·b,|a|) · eq \f(a,|a|) ,a在b方向上的投影向量为 eq \f(a·b,|b|) · eq \f(b,|b|) ,　　 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a.b 的夹角,e为与b同向的单位向量)． 【练习4】已知向量 , 满足 ，则 （   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ，即 ，可得 ， 又 ，则 .故选：A. 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 (一)向量数量积的概念 1.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.关于数量积的结果 (1)非零向量数量积的运算结果是一个数量， 当0°≤θ<90°时，a·b>0； 当90°<θ≤180°时，a·b<0； 当θ＝90°时，a·b＝0. (2)特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0. (二)向量的投影 关于投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是 一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|). (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θeq \f(a,|a|). (三)向量数量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a). (4)|a·b|≤|a|·|b|. (5)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|). $