周测16数据的方差、四分位数及分组(24.2-24.4)2025-2026学年人教版八年级数学下册

周测16数据的方差、四分位数及分组(24.2-24.4) 详解详析 一、选择题 1.B　 【解析】方差可以衡量一组数据的稳定程度，方差越小，发挥越稳定，∵四位选手的平均成绩相同，由表格可知，四人中乙的方差最小，∴发挥最稳定的是乙． 2.B 3.A 【解析】∵  ，∴甲更稳定． 4.A　 【解析】本题考查平均数及方差的概念．因为5，2，x，6，4的平均数是4，即 ＝4，所以x＝3，则方差为：S2＝ [(5－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(6－4)2＋(4－4)2]＝2. 5.A 【解析】数据  中，每2个数相差1，数据  ，前2个数据也是相差1，若  或  时，两组数据离差平方和相等，而数据  的离差平方和比数据  的离差平方和大，则  的值大于4或者小于1． 6.C 【解析】A.由图可得二班成绩比一班成绩更集中，故A选择错误；B.由图可得一班成绩的下四分位数是80，故B选择错误；C.由图可得一班有异常值超过140分，故C选择正确；D.由图可得一班的平均分低于二班的平均分，故D选择错误． 7.D 【解析】A．该地区5月AQI指数最大值小于150，所以A选项不符合题意；B．该地区5月AQI指数最大值大于6月AQI指数最小值，所以B选项不符合题意；C．该地区5月空气质量指数最小值低于50，所以C选项不符合题意；D．从整体看，该地区去年5月的空气质量略好于6月，所以D选项符合题意． 8.B 【解析】第一组的平均数为 ×(78＋80)＝79，第二组的平均数为 ×(84＋85＋85＋86)＝85，第一组组内离差平方和为(78－79)2＋(80－79)2＝2，第二组组内离差平方和为(84－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(86－85)2＝2. 9.D 【解析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，∴众数是108，中位数为 ＝105，平均数为 ＝101，方差为 [（82﹣101）2+（96﹣101）2+（102﹣101）2+（108﹣101）2+（108﹣101）2+（110﹣101）2]≈94.3≠93． 10.B 【解析】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即 ，得  ，所以该名考生面试的平均得分为 . 二、填空题 11.4 【解析】数据  的方差是4，设数据  的平均数为  ，∴  ，∴  ，设一组新数据  ，  ， ...，  的平均数为  ，∴  ，∴  ． 12.3；14 【解析】观察箱线图可知，这组数据的最小值是3，最大值是14，结合已知数据没有3，14，故被污染的数据为3和14. 13.小明 【解析】由于小丽的成绩波动较大，根据方差的意义，知波动越大，成绩越不稳定，小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小，故小明的成绩较为稳定． 14.78.5 【解析】结合箱线图可知，a代表的是这组数据的上四分位数，结合数据可知a= 78.5． 15.6.1 【解析】由题意，a与各个测量数据的差的平方和y＝(a－5.9)2＋2×(a－6.0)2＋2×(a－6.3)2＝a2－11.8a＋34.81＋2a2－24a＋72＋2a2－25.2a＋79.38＝5a2－61a＋186.19，∴a＝－ ＝6.1时，y有最小值，∴青稞穗长的最佳近似值为6.1cm. 三、解答题 16.解：分为两组，第一组，{21，21，22}，第二组，{24，24，25，25，26}． 第一组平均数为  (21＋21＋22)＝21  ， 第二组平均数为  (24＋24＋25＋25＋26)＝24  ， 所以这种分组情况的组内离差平方和为  ， 此时组内离差平方和达到最小， 所以分组为第一组，{21，21，22}，第二组，{24，24，25，25，26}． 17.解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以m25＝70， ，m75＝96； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图如下： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 18.解：（1）85，87，七； 【解法提示】把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a  85.八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数b＝87.A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． （2）600  600  660（人）， 答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人； （3）我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，但八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级学生的测试成绩更稳定，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．（答案不唯一，言之有理即可） 19.解：(1)甲选手平均数＝ ×（48.1+48.5+48.3+48.7+50.1+48.1+49.3+49.1+48.6+48.5+49.1+48.2）≈48.72， 将甲选手12个轮次的得分从小到大排序为48.1，48.1，48.2，48.3，48.5，48.5，48.6，48.7，49.1，49.1，49.3，50.1， 所以甲选手中位数为 ， 乙选手平均分＝ ×（47.3+47.9+48.8+48.6+49.1+49.2+49.2+49.6+49.5+48.6+48.9+48.7）≈48.78， 将乙选手12个轮次的得分从小到大排序为47.3，47.9，48.6，48.6，48.7，48.8，48.9，49.1，49.2，49.2，49.5，49.6， 所以乙选手中位数为 ， （2）由题意得甲选手： 乙选手： 所绘制箱线图如下，由（1）得甲选手平均数＜乙选手平均数，甲选手中位数＜乙选手中位数，从箱线图可以看出乙选手成绩波动小，所以猜测乙选手更可能晋级. 20.解：(1)54°. 【解法提示】由条形统计图可知，甲校70分的有6人，由扇形统计图可知甲校70分的人占30%，∴甲校参赛的总人数为6÷30%＝20(人)，∴“80分”所在扇形的圆心角度数为360°× ＝54°. (2)甲校学生成绩为100分的人数为：20－6－3－6＝5(人)， 补全图②如解图： 解图 (3)乙校学生成绩为80分的人数为：20－7－1－8＝4(人)， x乙＝ ＝85(分)． (4)∵s ＝135，s ＝175，∴s ＜s ，∴甲校学生的成绩比乙校成绩稳定，波动小． 21.解：（1）补全频数分布直方图如答案图； 【解法提示】a=24-4-2-9-2=7. 答案图 （2）7.67，7.79;  【解法提示】甲基地水体的pH值数据中，7.67出现了4次，次数最多，∴b=7.67;乙基地水体的pH值数据中，按从小到大排列，位于第12，13位的数据分别为7.77，7.81，∴c=  =7.79. （3）甲更稳定，理由如下： ∵甲基地水体pH值的方差小于乙基地水体pH值的方差， ∴甲基地水体的pH值更稳定；  （4）甲基地水体的pH值的日变化量为8.26-7.27=0.99<1， 乙基地水体的pH值的日变化量为8.21-7.11=1.1＞1， ∴该日甲基地水体的pH值符合要求，乙基地水体的pH值不符合要求.  22.解：(1)∵(1)(2)两班人数相同， 由条形统计图可知(1)班总人数为5＋10＋19＋12＋4＝50(人)， ∵(2)班成绩为10分的人数占比为1－14%－24%－22%－28%＝12%， ∴(2)班成绩为10分的人数为50×12%＝6人； (2)a＝6×14%＋7×24%＋8×22%＋9×28%＋10×12%＝8， b＝9，c＝8； (3)∵(1)班成绩的方差1.16小于(2)班成绩的方差1.56， ∴(1)班的成绩更均匀． 23.解：（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 故m 90，a＝70，b＝96； （2）如答案图所示： 答案图 （3）根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一）． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测16数据的方差、四分位数及分组(24.2-24.4) 一、选择题（共10题，共30分） 1.甲、乙、丙、丁四人参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表：(　　) 选　手 甲 乙 丙 丁 方　差 0.023 0.018 0.020 0.021 则这10次跳绳测试中，这四个人发挥最稳定的是(　　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（          ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 3.甲，乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为90分，方差分别为  ，  ，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（          ） A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法确定 4.一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是(　  　) A.2 B. C.10 D. 5.数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的离差平方和比数据B的离差平方和大，则x的值可能是（         ）  A．5 B．4 C．3 D．1 6.在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图①，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数，异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图②所示，则下列说法正确的是（      ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 7.某地区去年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图如图所示．AQI值越小，空气质量越好，AQI值超过200，说明污染严重．下列说法正确的是（         ） A．该地区去年5月有严重污染 B．该地区去年6月的AQI值都高于5月的AQI值 C．该地区去年5月空气质量指数最小是50 D．从整体看，该地区去年5月的空气质量略好于6月 8.小明将一组数据分成了两组{78，80}和{84，85，85，86}，则这种分组情况的组内离差平方和分别为(      ) A.1，2 B.2，2 C.1，3 D.2，3 9.某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82.下列关于这组数据的描述不正确的是(          ) A. 众数是108 B. 中位数是105 C. 平均数是101 D. 方差是93 10.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（      ） A．79 B．80 C．81 D．82 二、填空题（共5题，共15分） 11.已知数据  的方差是4，则一组新数据  的方差是            ． 12.已知一组被墨水污染的数据：4，6，7，11，，，11，13，其箱线图如图所示，则被污染的数据为            和            ． 13.我省将球类运动纳入中考体育必测项目，学生可以从篮球，足球，排球三种球类技能中选择一项作为球类测试项目．小明和小丽选择排球作为中考体育测试项目之一，如图是他们进行了6次1分钟定时隔空垫球练习的数量统计．根据图中信息，估计小明和小丽两人中成绩比较稳定的是            ． 14.某学习小组记录了8架同款无人机充满电后运行的最长时间(单位：分钟)，数据如下：62，69，72，72，74，77，80，80，并将其绘制成如图所示的箱线图，则图中a代表的值为            ． 15.在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3(单位：cm)，则这株青稞穗长的最佳近似值为________cm. 三、解答题（共8题，共75分） 16.（8分）为考查某品种小麦的长势，测量了8株麦苗的高(单位：cm)，数据如下：21，26，22，24，25，24，25，21．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这8个数据分成两组． 17.（9分）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 18.（9分）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）． 19.（9分）下面数据为一次男子10米气步枪队内选拔赛中两位种子选手12个轮次的得分： 甲：48.1 48.5 48.3 48.7 50.1 48.1 49.3 49.1 48.6 48.5 49.1 48.2 乙：47.3 47.9 48.8 48.6 49.1 49.2 49.2 49.6 49.5 48.6 48.9 48.7 （1）请你求出甲、乙两位选手在该选拔赛中12个轮次的得分的平均数和中位数； （2）请绘制甲、乙两位选手12个轮次的得分的箱线图并结合(1)所得结果猜测两位选手谁会晋级. 20.（9分）某市团委举办以“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲，乙两所学校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分．并根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． (1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为           ； (2)请你将图②补充完整； (3)求乙校成绩的平均分； (4)经计算知s ＝135，s ＝175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价． 21.（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析. 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7/27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81， 7/81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26. 乙基地水体的pH值数据： 7/11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77， 7/81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21. 【整理数据】 　　分组 基地　　 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 　　统计量 基地　　 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：b=            ，c=            ； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求. 22.（10分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级(1)(2)两班学生进行了心理健康常识测试(分数为整数，满分为10分)，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． (1)求(2)班学生中测试成绩为10分的人数； (2)请确定下表中a，b，c的值(只要求写出求a的计算过程)； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 (1)班 8 8 c 1.16 (2)班 a b 8 1.56 (3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀． 23.（11分）【定义】把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T．用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占25%，小于或等于b的占75%．这样a，m，b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数． 【应用】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数a，m，b； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测16数据的方差、四分位数及分组(24.2-24.4) 一、选择题 1.甲、乙、丙、丁四人参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表：(　　) 选　手 甲 乙 丙 丁 方　差 0.023 0.018 0.020 0.021 则这10次跳绳测试中，这四个人发挥最稳定的是(　　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 1.B　 【解析】方差可以衡量一组数据的稳定程度，方差越小，发挥越稳定，∵四位选手的平均成绩相同，由表格可知，四人中乙的方差最小，∴发挥最稳定的是乙． 2.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（          ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 2.B 3.甲，乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为90分，方差分别为  ，  ，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（          ） A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法确定 3.A 【解析】∵  ，∴甲更稳定． 4.一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是(　  　) A.2 B. C.10 D. 4.A　 【解析】本题考查平均数及方差的概念．因为5，2，x，6，4的平均数是4，即 ＝4，所以x＝3，则方差为：S2＝ [(5－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(6－4)2＋(4－4)2]＝2. 5.数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的离差平方和比数据B的离差平方和大，则x的值可能是（         ）  A．5 B．4 C．3 D．1 5.A 【解析】数据  中，每2个数相差1，数据  ，前2个数据也是相差1，若  或  时，两组数据离差平方和相等，而数据  的离差平方和比数据  的离差平方和大，则  的值大于4或者小于1． 6.在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图①，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数，异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图②所示，则下列说法正确的是（      ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 6.C 【解析】A.由图可得二班成绩比一班成绩更集中，故A选择错误；B.由图可得一班成绩的下四分位数是80，故B选择错误；C.由图可得一班有异常值超过140分，故C选择正确；D.由图可得一班的平均分低于二班的平均分，故D选择错误． 7.某地区去年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图如图所示．AQI值越小，空气质量越好，AQI值超过200，说明污染严重．下列说法正确的是（         ） A．该地区去年5月有严重污染 B．该地区去年6月的AQI值都高于5月的AQI值 C．该地区去年5月空气质量指数最小是50 D．从整体看，该地区去年5月的空气质量略好于6月 7.D 【解析】A．该地区5月AQI指数最大值小于150，所以A选项不符合题意；B．该地区5月AQI指数最大值大于6月AQI指数最小值，所以B选项不符合题意；C．该地区5月空气质量指数最小值低于50，所以C选项不符合题意；D．从整体看，该地区去年5月的空气质量略好于6月，所以D选项符合题意． 8.小明将一组数据分成了两组{78，80}和{84，85，85，86}，则这种分组情况的组内离差平方和分别为(      ) A.1，2 B.2，2 C.1，3 D.2，3 8.B 【解析】第一组的平均数为 ×(78＋80)＝79，第二组的平均数为 ×(84＋85＋85＋86)＝85，第一组组内离差平方和为(78－79)2＋(80－79)2＝2，第二组组内离差平方和为(84－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(86－85)2＝2. 9.某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82.下列关于这组数据的描述不正确的是(          ) A. 众数是108 B. 中位数是105 C. 平均数是101 D. 方差是93 9.D 【解析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，∴众数是108，中位数为 ＝105，平均数为 ＝101，方差为 [（82﹣101）2+（96﹣101）2+（102﹣101）2+（108﹣101）2+（108﹣101）2+（110﹣101）2]≈94.3≠93． 10.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（      ） A．79 B．80 C．81 D．82 10.B 【解析】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即 ，得  ，所以该名考生面试的平均得分为 . 二、填空题 11.已知数据  的方差是4，则一组新数据  的方差是            ． 11.4 【解析】数据  的方差是4，设数据  的平均数为  ，∴  ，∴  ，设一组新数据  ，  ， ...，  的平均数为  ，∴  ，∴  ． 12.已知一组被墨水污染的数据：4，6，7，11，，，11，13，其箱线图如图所示，则被污染的数据为            和            ． 12.3；14 【解析】观察箱线图可知，这组数据的最小值是3，最大值是14，结合已知数据没有3，14，故被污染的数据为3和14. 13.我省将球类运动纳入中考体育必测项目，学生可以从篮球，足球，排球三种球类技能中选择一项作为球类测试项目．小明和小丽选择排球作为中考体育测试项目之一，如图是他们进行了6次1分钟定时隔空垫球练习的数量统计．根据图中信息，估计小明和小丽两人中成绩比较稳定的是            ． 13.小明 【解析】由于小丽的成绩波动较大，根据方差的意义，知波动越大，成绩越不稳定，小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小，故小明的成绩较为稳定． 14.某学习小组记录了8架同款无人机充满电后运行的最长时间(单位：分钟)，数据如下：62，69，72，72，74，77，80，80，并将其绘制成如图所示的箱线图，则图中a代表的值为            ． 14.78.5 【解析】结合箱线图可知，a代表的是这组数据的上四分位数，结合数据可知a= 78.5． 15.在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3(单位：cm)，则这株青稞穗长的最佳近似值为________cm. 15.6.1 【解析】由题意，a与各个测量数据的差的平方和y＝(a－5.9)2＋2×(a－6.0)2＋2×(a－6.3)2＝a2－11.8a＋34.81＋2a2－24a＋72＋2a2－25.2a＋79.38＝5a2－61a＋186.19，∴a＝－ ＝6.1时，y有最小值，∴青稞穗长的最佳近似值为6.1cm. 三、解答题 16.为考查某品种小麦的长势，测量了8株麦苗的高(单位：cm)，数据如下：21，26，22，24，25，24，25，21．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这8个数据分成两组． 16.解：分为两组，第一组，{21，21，22}，第二组，{24，24，25，25，26}． 第一组平均数为  (21＋21＋22)＝21  ， 第二组平均数为  (24＋24＋25＋25＋26)＝24  ， 所以这种分组情况的组内离差平方和为  ， 此时组内离差平方和达到最小， 所以分组为第一组，{21，21，22}，第二组，{24，24，25，25，26}． 17.甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 17.解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以m25＝70， ，m75＝96； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图如下： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 18.某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）． 18.解：（1）85，87，七； 【解法提示】把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a  85.八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数b＝87.A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． （2）600  600  660（人）， 答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人； （3）我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，但八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级学生的测试成绩更稳定，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．（答案不唯一，言之有理即可） 19.下面数据为一次男子10米气步枪队内选拔赛中两位种子选手12个轮次的得分： 甲：48.1 48.5 48.3 48.7 50.1 48.1 49.3 49.1 48.6 48.5 49.1 48.2 乙：47.3 47.9 48.8 48.6 49.1 49.2 49.2 49.6 49.5 48.6 48.9 48.7 （1）请你求出甲、乙两位选手在该选拔赛中12个轮次的得分的平均数和中位数； （2）请绘制甲、乙两位选手12个轮次的得分的箱线图并结合(1)所得结果猜测两位选手谁会晋级. 19.解：(1)甲选手平均数＝ ×（48.1+48.5+48.3+48.7+50.1+48.1+49.3+49.1+48.6+48.5+49.1+48.2）≈48.72， 将甲选手12个轮次的得分从小到大排序为48.1，48.1，48.2，48.3，48.5，48.5，48.6，48.7，49.1，49.1，49.3，50.1， 所以甲选手中位数为 ， 乙选手平均分＝ ×（47.3+47.9+48.8+48.6+49.1+49.2+49.2+49.6+49.5+48.6+48.9+48.7）≈48.78， 将乙选手12个轮次的得分从小到大排序为47.3，47.9，48.6，48.6，48.7，48.8，48.9，49.1，49.2，49.2，49.5，49.6， 所以乙选手中位数为 ， （2）由题意得甲选手： 乙选手： 所绘制箱线图如下，由（1）得甲选手平均数＜乙选手平均数，甲选手中位数＜乙选手中位数，从箱线图可以看出乙选手成绩波动小，所以猜测乙选手更可能晋级. 20.某市团委举办以“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲，乙两所学校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分．并根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． (1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为           ； (2)请你将图②补充完整； (3)求乙校成绩的平均分； (4)经计算知s ＝135，s ＝175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价． 20.解：(1)54°. 【解法提示】由条形统计图可知，甲校70分的有6人，由扇形统计图可知甲校70分的人占30%，∴甲校参赛的总人数为6÷30%＝20(人)，∴“80分”所在扇形的圆心角度数为360°× ＝54°. (2)甲校学生成绩为100分的人数为：20－6－3－6＝5(人)， 补全图②如解图： 解图 (3)乙校学生成绩为80分的人数为：20－7－1－8＝4(人)， x乙＝ ＝85(分)． (4)∵s ＝135，s ＝175，∴s ＜s ，∴甲校学生的成绩比乙校成绩稳定，波动小． 21.在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析. 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7/27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81， 7/81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26. 乙基地水体的pH值数据： 7/11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77， 7/81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21. 【整理数据】 　　分组 基地　　 7.00≤x＜7.30 7.30≤x＜7.60 7.60≤x＜7.90 7.90≤x＜8.20 8.20≤x≤8.50 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 　　统计量 基地　　 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：b=            ，c=            ； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求. 21.解：（1）补全频数分布直方图如答案图； 【解法提示】a=24-4-2-9-2=7. 答案图 （2）7.67，7.79;  【解法提示】甲基地水体的pH值数据中，7.67出现了4次，次数最多，∴b=7.67;乙基地水体的pH值数据中，按从小到大排列，位于第12，13位的数据分别为7.77，7.81，∴c=  =7.79. （3）甲更稳定，理由如下： ∵甲基地水体pH值的方差小于乙基地水体pH值的方差， ∴甲基地水体的pH值更稳定；  （4）甲基地水体的pH值的日变化量为8.26-7.27=0.99<1， 乙基地水体的pH值的日变化量为8.21-7.11=1.1＞1， ∴该日甲基地水体的pH值符合要求，乙基地水体的pH值不符合要求.  22.为了加强心理健康教育，某校组织七年级(1)(2)两班学生进行了心理健康常识测试(分数为整数，满分为10分)，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如图所示的统计图． (1)求(2)班学生中测试成绩为10分的人数； (2)请确定下表中a，b，c的值(只要求写出求a的计算过程)； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 (1)班 8 8 c 1.16 (2)班 a b 8 1.56 (3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀． 22.解：(1)∵(1)(2)两班人数相同， 由条形统计图可知(1)班总人数为5＋10＋19＋12＋4＝50(人)， ∵(2)班成绩为10分的人数占比为1－14%－24%－22%－28%＝12%， ∴(2)班成绩为10分的人数为50×12%＝6人； (2)a＝6×14%＋7×24%＋8×22%＋9×28%＋10×12%＝8， b＝9，c＝8； (3)∵(1)班成绩的方差1.16小于(2)班成绩的方差1.56， ∴(1)班的成绩更均匀． 23.【定义】把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T．用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占25%，小于或等于b的占75%．这样a，m，b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数． 【应用】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数a，m，b； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 23.解：（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 故m 90，a＝70，b＝96； （2）如答案图所示： 答案图 （3）根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一）． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $