专题5 类型1 “两点之间，线段最短”的应用-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备优质PPT课件

数学 1 2 专题五 直线型（三角形、四 边形）最值 类型1 “两点之间，线段最短”的应用 3 直线异侧两定点 直线上一动点 问题 点是直线上一动点，定点，分别在两侧，连接， ， 在图中画出最小时点 的位置 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 异侧两定点，连线定位置 4 1.[2024滨州改编]如图，四边形四个顶点坐标分别是 ， ，，，在直线上找一点，使 的值最小， 则点坐标为_ _______ ， 5 第1题解图 【解析】如解图，连接交于点， 两点之间线段最短， 的最小值就是线段的长，此时点位置即为 点坐标.设直线 的解析式为，直线的解析式为， 点在直线上，点，在直线上， ， 解得， 直线 的解析 式为，直线的解析式为 ，联立 解得 点的坐标为， . 6 利用轴对称转化——将军饮马问题 ◆同侧两定点<m></m>定直线上动点 问题 点是直线上一动点，定点，均在同侧，连接， ，在 图中画出最小时点 的位置 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 同侧两定点，对称化两边，连线定位置 7 2.[2024成都]如图，在平面直角坐标系中，已知， ，过点 作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则 的最小值 为___. 5 8 【解析】如解图，作点关于直线的对称点，连接，， 交直 线于点，，当点与点 重合时等号成立， 即取最小值，，，， ， ，在中，， 的最小 值为5. 第2题解图 9 ◆角内定点与角两边周长最值#2 问题 定点在内，点和点分别在， 上运动，在图中画出 周长最小时点， 的位置 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 分别两边作对称，连线与边交点定位置 10 3.[2024绥化]如图，已知 ，点为内部一点，点 为射 线、点为射线上的两个动点，当 的周长最小时，则 _____. 11 第3题解图 【解析】如解图，作点关于的对称点，连接， ， ，，，作点关于 的对称 点，连接，，，， ， ， 当，，， 四点共线 时， 周长最小，又 ， ， ，又 ，，在 中， ， ，， ，即 . 12 问题 定点，在内，点和点分别在， 上运动，在图中 画出四边形周长最小时点， 的位置 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 分别两边作对称，连线与边交点定位置 续表 13 4.如图，点在轴上，，两点在轴上，且，， 与 关于轴对称， ，，分别是， 上的动点，则 的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 √ 14 第4题解图 【解析】如解图，分别作，关于和对称的点，，连接 ， ，，记分别交，于点，，则此时 的值 最小，为的长，易得轴，与关于 轴对称， ，，，，关于 轴对称， ，为等边三角形， ， 轴，，关于 对称， ， 为等边三角形，过点作于点， 设交 轴于点，， ， ， 15 ，，， 的最小值为7. 第4题解图 利用平移转化——定长线段移动问题 ◆动线段（定长）与一定点线段和最值 问题 长度为的线段在直线上运动，点是 上方一定点，在图中 画出当最小时线段 的位置 图示 _____________________________________________________________________________________________ 总结 先找定点对称点化为异侧，再平移连线定位置 17 5.如图，为矩形对角线，的交点，，，是直线 上的动点，且，则 的最小值是______. 18 第5题解图 【解析】如解图，作点关于的对称点，连接，将沿着 的 方向平移长的距离，得到，连接，则四边形 是平行四边 形，，， ，当 ，，三点在同一直线上时，的最小值等于 的长，连接 ，交于点，由轴对称的性质，可得垂直平分，又 矩形 中，，是的中点，是 的中 位线，， ，又 ，， 在 中， ， 的最小值是 . 19 ◆动线段（定长）与异侧两定点线段和最值 问题 长度为的线段在直线上运动，点，是 两侧的定点，在图 中画出当最小时线段 的位置 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 平移—四点化三点，异侧连线定位置 20 6.如图，正方形的对角线上的两个动点，，满足 ， 点是的中点，连接，，若，则当 的值最小时， 线段 的长度为（ ） A. 4 B. C. 6 D. √ 21 第6题解图 【解析】如解图，过点作交于点，连接交于点 ， 是的中点，为的中点，， 在正方形 中，，，，， 四边形 是平行四边形，，易得此时 的值最小，且为 的长，在中， ， ，， ，即 ，解得， . 22 ◆动线段（定长）与同侧两定点线段和最值 问题 长度为的线段在直线上运动，点，是 同侧的定点，在图 中画出当最小时线段 的位置 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 先对称再平移，异侧连线定位置 23 7.如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，， 两点坐标 分别为，，线段在边上移动，保持 ，当四边形 的周长最小时，点 的坐标为_ _______. 24 第7题解图 【解析】如解图，在上截取，作点关于轴的对称点 ，连接 交于点，， 四边形为矩形， ， 四边形是平行四边形，，，点与点关于 轴对称，，点坐标为， 四边形 的周长为 ， 25 和 是定值， 当最小时，四边形的周长最小， 当点，，共线时，有最小值， ， ，设直线的解析式为 ，则 解得 直线 的解析式为 ，当时，， . 第7题解图 ◆平行线两侧两定点（造桥选址） 问题 已知，与间的距离，点， 是两个定点，在图中画出当取最小值时 的位置 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 平移定长得定点，连线交点定位置 27 8.［人教八上P86问题2改编］如图，在河的两岸有， 两个村庄，河宽为 4千米，，两村庄相距10千米，， 两村庄到河岸的距离分别为1千米、 3千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，为靠近 村庄的河岸上 一点，则 的最小值为______千米. 28 第8题解图 【解析】如解图，连接，作垂直于河岸，使 等于河宽，连接 ，与靠近的河岸交于点，作垂直于另一条河岸，则 且，则四边形为平行四边形，故.过点 作 交的延长线于点， ， 的最小值为的长.千米， （千米）， 在中， （千米），在 中， （千米）， （千米）， 的最小值为 千米. 29 构造全等三角形——逆等线段最值 问题 在中，， ，点，分别在， 上，，在图中找出取最小值时点 的位置 图示 ______________________________________________________________________________ 总结 结合等线构造全等，两动点化为一直线两侧两定点，连线确定最小 值 30 9.[2024兰州节选]如图，在中，， ，连接 ，，且，则 的最小值为_____. 31 第9题解图 【解析】如解图，过点作 ，使，连接， ， ，交于点，， ， ， ， ， ，又，， ， ， 当，，三点共线时， 的 值最小，最小值为的长， ， ，又 ， 四边形 是平行四边形， ，，， ， ， ，即 的最小值为 . 32 利用旋转转化——费马点字型 问题 点是锐角内一点，连接，， ，在图中画出当 取得最小值时的等价线段 图示 ______________________________________________________________________________________________________ 总结 旋转 ，三线共线取最小 33 10.[2025广东广州模拟]如图，等腰中，，点 为三角 形内一点，连接，，.若，则 的最小值为 __________ 34 第10题解图 【解析】如解图，将绕点逆时针旋转 得到，点 的对 应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点 ， 连接，由旋转的性质得，， ， ， 和 均为等边三角 形，， ， ，在 中， ，，于点 ， ， ，在 中， 由勾股定理得 ， 35 是等边三角形，， ， ，， 点，， 在同一条 直线上，，在 中，由勾股定理得 第10题解图 ， ，根据“两点之间线段最短” 得， ，即 ， 的最小值为 . 第1题图 1.[2025南充]如图，是的直径，于点 ， 交于点，于点，交于点， 为弧 的中点，为线段上一动点，若，则 的最小值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. √ 37 第1题解图 【解析】如解图，连接，作点关于的对称点，连接， ， 易证得，，又是 的中点， ， ， ，，， 三点共线. ，当点位于点 处时， 的值最小，最小值为的长， ， ， ，，， ，即 ， ，， ， ，的最小值 . 38 2.[2023南通]如图，四边形的两条对角线， 互相垂直，， ，则 的最小值是______. 第2题图 39 第2题解图 【解析】如解图，过点作，使，连接， ，则四边 形为平行四边形，，，与 互相垂 直，，在中， ， ，即 的最小 值是 . 40 3.如图，正方形的边长为3，，是对角线 上的两个动点，且 ，连接，，则 周长的最小值为__________. 第3题图 41 第3题解图 【解析】如解图，连接，，以，为邻边作平行四边形 ， 则，，，， ， ，，， ， ，， 当，， 三点在同一直线上时，的最小值等于 的长，在 中， ， ，又， 周长的最小值 为 . 42 4.[2024陕西西安模拟]如图，在矩形中，，点， 分别在 ，上，，.半径为10的在线段 上 移动，并与交于点在圆心的下方，圆心在上，为 上任 意一点，连接，,则 的最小值为_____. 第4题图 120 43 【解析】如解图，将点向上平移10个单位长度得到，连接 ，易得当 点，，，四点共线时，的值最小，为， 四边 形为矩形，,， ，又 ，, ， ，的最小值为 . 第4题解图 44 5.如图，菱形的边长为3， ，点，在对角线 上 （点在点的左侧），且，则 的最小值为_____. 第5题图 45 第5题解图 【解析】如解图，过点作，使得，连接交 于点，连接，，， 四边形 是平行四边 形，， ，根据两点之间线段最 短可知，此时的值最小， 四边形是菱形， ， ，，，， 是等边三 角形， ，.在 中， ， 的最小值为 . 46 6.[2024新疆]如图，抛物线与轴交于点，与 轴交于点 ，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且 .当 的值最小时，点 的坐标为______. 第6题图 47 第6题解图 【解析】如解图，作点关于对称轴的对称点， 向下平移3个单位得到 ，连接，交对称轴于点，此时的值最小，最小值为 的长，在中，令，则， 点 ，令 ，则，解得或， 点 在 抛物线对称轴左侧， 点， 抛物线的对称轴为直 线，，，设直线 的解 析式为，代入，的坐标得 解得 48 直线的解析式为，当时，， . 第6题解图 7.[2025内江]如图，在中， ， ， ，点 ，，分别是边，，上的动点，则 周长的最小值是_____. 第7题图 50 第7题解图 【解析】如解图，作点关于，的对称点，，连接， ， ，，，， 周长为 ，当，，， 四点共线时取 得最小值，，是点关于，的对称点， ， ， ，又 ，， 51 是等腰直角三角形，， 当时， 取得最小值， 即周长最小，又 ， ， ， 周长最小值为 第7题解图 . 8.[2024宜宾]如图，在中，，，，分别是边 ， 上的动点，且.当的值最小时，则 __. 第8题图 53 第8题解图 【解析】如解图，延长至点，使，连接， 四边形 是平行四边形，，， ， ，，又， ， ，，， 当，， 三点共线时，有最小值，， ， ，， . 54 变式 如图，在中，，， ，， 分别是 边，上的动点，且.连接，则 的最小值为___. 变式题图 1 55 【解析】如解图，过点作，且，连接，作射线 四边形是平行四边形，，， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ，要使最小，则需 最小，即当 时，最小，此时； 的最小值为1. 变式题解图 56 9.如图，在矩形中，，，，点是 的中点， ，分别是，边上的动点，则四边形 周长的最小值为________. 第9题图 57 第9题解图 观察图形可知，在四边形中，点， 为定点， 点， 为动点，本题符合两动点两定点四边形周长最 值这一类型，只需作点关于的对称点，点 关于 的对称点，求出的长即可得到四边形 周 长的最小值. 如解图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接 交于点，交于点，，， 四边形 的 58 周长为， 当 ，，，四点共线时，四边形的周长有最小值， ， ，，，，，点是 的中 点，，，，在 中， ， 在 中， ， 四边形 周长的最小值为 . 第9题解图 10.如图，在边长为8的菱形中，，为 上方一点，且 ，则 周长的最小值为_________. 第10题图 60 第10题解图 【解析】如解图，过点作于点，过点作于点， 四边形是边长为8的菱形， ， ， ， ，， 即点在到 的距离等于2且平行于 的直线上运动，作点关于的对称点， 连接， ，则 61 ， 周长的最小值为 . 第10题解图 ，， 的周长 ，在 中，由勾股定理，得 11.[2024泸州]如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边 ， 上的动点，且满足，与交于点，点是的中点， 是边上的点，，则 的最小值是（ ） 第11题图 备用图 A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 √ 63 第11题解图 【解析】 四边形是正方形， ， ，又， ， ， ， 点 是 的中点，，如解图，作点关于的对称点，连接 ， 则 ， ， 当， ， 三点共线时，有最小值，即此时 有最 64 小值，最小值为长的一半，，，，，在中，由勾股定理得 的最小值是5. 第11题解图 12.如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点 为 边上任意一点，则 的最小值为_________. 第12题图 66 第12题解图 遇“求三条 字型的线段和的最小值”时，想 “费马点”，利用旋转转化线段的位置，多为 旋转 .本题中将逆时针旋转 得到，连接 ，结合旋转和等边 三角形的性质将问题转化为求 的最小值，当这三条线段 在一条直线上且时， 的值最小. 67 如解图①，将绕点逆时针旋转 得到，连接, ， 由旋转的性质可知，，和 均为等边三角形， ，， 当点 ，，，四点共线且时， 取得最小值， 第12题解图① 如解图②，设此时交于点，为等边三角形， ，四边形为矩形，， ，， ， ， 的最小值为 . 第12题解图② 13.如图，为外一点，且满足 ， ， ， .若点，分别在线段，上，连接 ，当 时，连接，，则 的最小值为_____. 第13题图 70 第13题解图 【解析】如解图，作点关于的对称点，连接，过点 作 ，使，连接，，易得四边形 是平行四边 形，则， ， 即的最小值为的长.过点作于点 ， 设交于点， 点与关于对称， ， ， ， ，， 四边 形为平行四边形，， ， ， ， 71 ，， ， 第13题解图 ，在 中， ,即的最小值为 . 14.多解法 [2025连云港]如图，在菱形中，，， 为线 段上的动点，四边形为平行四边形，则 的最小值为_____. 第14题图 备用图 73 【解析】解法一：如解图①，过点作，作点关于直线 的对 称点，连接，由对称性得， ， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值，设与 交 于点，交于点，延长交延长线于点， 在菱形 中，，， ，， ， 第14题解图① 74 易证得四边形，四边形均为矩形， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，即的最小值为 . 第14题解图① 75 第14题解图② 解法二（思路）：如解图②，连接 ， 可证得四边形 是平行四边形，则 ，则将问题转化为求 的 最小值，作点关于直线的对称点 ， ， 当且仅当，， 三点共线时取等号， 即此时有最小值，最小值为 的长. 76 15.[2024甘南州节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于，两点，交轴于点 ， . 第15题图 77 解：令，则，， ， ，， ， 点，的坐标分别为， ， 设抛物线的表达式为 ， 第15题图 将点代入，得 ， 故抛物线的表达式为 ； （1）求抛物线的表达式； （2）已知抛物线的对称轴上存在一点，使得 的周长最小，请求 出点 的坐标. 第15题图 79 第15题解图 解：如解图，连接交抛物线的对称轴于点，此时 的周长 最小， 的最小周长为 . 由（1）得点, , 设直线的表达式为 , 代入得解得 直线的表达式为 ， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ， 当时， ， 点的坐标为 . 80 $