5.1.2 课时1 导数的概念课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2 课时1 导数的概念 第五章 一元函数的导数及其应用 物理问题： 情境1：高台跳水问题 平均速度 瞬时速度 割线斜率 切线斜率 ——平均变化率 ——平均变化率 ——瞬时变化率 ——瞬时变化率 几何问题： 情境2：抛物线的切线问题 这两类问题来自不同的学科领域，但是都属于变化率问题，解决问题时都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，下面我们用上述思想方法研究更一般的问题． 复习导入 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 → x0＋∆x，相应地，函数值 y 就从 f(x0) → f(x0＋∆x). 这时，x 的变化量为∆x，y 的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 叫做函数y＝f(x)从 x0 到 x0＋∆x的平均变化率，即 知识点：平均变化率 知识讲解 如果当 Δx→0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值， 即 有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， 并把这个确定的值叫做 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)， 记作 或 . 即 知识点：导数(瞬时变化率) 知识讲解 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 【注意】 1. 导数是一种极限，求导数就是求极限； 2. 函数在某点处不一定有导数. 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. 知识讲解 运动员在t＝1时的瞬时速度v(1)，就是函数h(t)在t＝1处的导数h′(1) 抛物线在(1，1)处的切线斜率k0，就是函数f (x)在x＝1处的导数f′(1) 根据导数的定义，如何用导数重述前面两个问题情境的结论？ “跳水运动员速度”问题： “抛物线切线”问题： 导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率，比如效率、国内生产总值的增长率等. 知识讲解 典例1. 设函数 f (x)＝x2－1. 求： (1) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率； (2) 函数在 x＝1 处的导数. 典例剖析 ►课本P66 小结 求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的一般步骤： 第一步，求平均变化率 第二步，取极限，得导数 知识讲解 解析: 由导数的定义，知f (x)函数在 x＝1 处的导数为 自主练 设函数 在 x＝1 处的导数. 因此函数 在 x＝1 处的导数为 . 知识运用 ＝ 典例剖析 典例2. 设 ，求 ►课本P65 解析： 自主练 设 f (x) ＝x，求 f ´(1) . 解析： f ´(1) = = =1 = 1 . 知识运用 ►课本P66 知识运用 典例剖析 ►课本P65 典例3. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h 时，原油的温度(单位：℃)为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 导数是瞬时变化率的数学表达. 这个实际问题与导数有何关系？ 解： 在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和 所以 因为 同理， 追问： 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 导数值的正负分别代表什么？ 导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. 导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势. 表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降. 表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升. ►课本P66 知识讲解 典例4. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内 ts时的速度(单位：m/s)为 y＝v(t)＝-t2＋6t＋17，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 瞬时加速度就是速度的瞬时变化率 解析： 所以 因为 同理， 典例剖析 ►课本P66 在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和 在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况. 导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势. 导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势. 表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s. 表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是-6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s. 知识讲解 自主练 一质点 A 沿直线运动，位移 y (单位：m)与时间 t (单位：s)之间的关系为 y(t)＝2t2＋1，求质点 A 在 t ＝2.7s 时的瞬时速度. ►课本P66 知识运用 因此质点 A 在t＝2.7s时的瞬时速度为10.8m/s. 解析： 因为 所以 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限 2. 求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤： 1. 导数的定义： 课堂总结 自主练 已知函数，则_____. 解析：因为， 所以 所以=， 于是 $