29.1 投影-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

第二十九章报慧与视图 投影与视图 第二+九章B7H888 目29.1投影 888 ©学习目标 1.通过丰富的实例，了解平行投影、中心投影、正投影的概念 2.能根据物体的影子判断投影类型，确定中心投影时点光源的位置. 秀实五分钟 雅度：☆ 1.下列现象属于投影的是 ( A.AB>CD B.AB<CD A.掉在地上的一片花瓣 C.AB≥CD D.AB≤CD B.午后公园长椅的影子 5.恒恒在8：00,9：30,10：00,12：00四次到室外 C.小颖画了一幅日出图 的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况，无意 D.踩在雪上留下的鞋印 之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各 2.下列各图中，有可能表示两棵小树在同一时刻 不相同，那么影子最长的时刻为 阳光下影子的图形是 ( A.8:00 B.9:30 C.10:00 D.12:00 第 6.我们知道，由平行光线形成的投影叫作平行投 B 影，当平行光线与投影面 时，产生的 投影叫作正投影， 九 7.有下列各种现象：①阳光下人的影子；②晚上 章 人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树的 D 影子；④阳光下旗杆的影子.其中属于中心投 3.如果恒恒的身高比荣荣的身高高，那么晚上在 影的是 (填序号) 同一路灯下 8.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,4)是一个点 A.恒恒的影子比荣荣的长 光源木杆BC两端的坐标分别为(-1,2)，（2， B.恒恒的影子比荣荣的短 2),则木杆BC在x轴上的投影的长为 C.恒恒跟荣荣的影子一样长 D.不能确定谁的影子长 4.线段CD是线段AB的正投影，则下列说法正 确的是 () 55 步练数学九年级下册则 素养稳提升 难度：在内 9.荣荣用一块矩形硬纸板在阳光下做投影试验， A.asin20°cm B.acos20°cm 通过观察，发现这块矩形硬纸板在平整的地面 C.atan20°cm 上不可能出现的投影是 ( tan 206 cm D. A.三角形 B.线段 C.矩形 D.正方形 10.如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直 角三角尺ABC形成影子△A,B,C.保持三角 尺与地面平行，移动三角尺向白炽灯靠近，在 这一过程中（不与光源接触），下列说法正确 C 的是 (第12题) (第13题) A.∠AB,C1越来越大 13.如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台 B.影子不是直角三角形 阶上的点G处，若测得CD=EF=HG=0.2m, C.影子越来越小 DE=FG=0.3m,此时台阶在地面上的影子 D.影子越来越大 QM=0.45m,树的底部到台阶的离BC= 1.8m,则树的高度AB为 ( A.3.2m B.3.4m C.3.6m D.3.8m 14.四个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影 第 (第10题) (第11题) 部分)效果如图所示，在艺术字母“N”“L” 11.如图，某小区内有一条笔直的小路.路的旁边 “K”“C”的投影中，属于平行投影的是 有一盏路灯，晚上小红由A处径直走到B处， (填“N”“L”“K”或“C”) 九 则表示她在灯光照射下的影长与行走的路 程、之间关系的大致图象是 以马& 15.如图，点光源0射出的光线沿直线传播，将胶 片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的 屏幕上，形成影像CD.已知AB=0.3dm,点 A 光源到胶片的距离OE长为6dm,CD长为 4.3dm,则胶片与屏幕的距离EF为 dm. D 胶片 屏慕 12.如图，A,B,是线段AB在投影面上的正投影， 已知AB=acm,∠ABB1=110°，则投影AB, 点光源 的长为 ( 56 第二十九章极移与视图 16.恒恒家的客厅有一张直径为1.2m,高为19.甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼AB高 0.8m的圆桌BC,在距地面2m的A处有 16m,且点B,D在同一条直线上 盏灯，圆桌的影子为DE,依据题意，建立如图 (1)当地时间12时，物高与影长的比是1： 所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为 √2.如图1，甲楼的影子刚好不落到乙楼 (2,0),则点E的坐标是 上，则两楼间距BD的长为 m. (2)当地时间14时，物高与影长的比是1： 2.如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼 B 2火 上，求落在乙楼上的影子DE的长， 17.在阳光下，甲、乙两名同学分别站立在点C,D 的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的 顶端重合（如图所示）.若甲的身高为1.8m, 乙的身高为1.5m,甲的影长为6m,则甲、乙 两名同学之间的距离为 m. 图1 图2 18.小军利用阳光下的影子来测量一建筑物的 高.如图，在某一时刻，他在阳光下测得该建 20.如图，一根柱子（用线段AB表示）的影子是 筑物的影长OC为20m,小军的影长FG为 BC,恒恒（用线段DE表示）的影子是EF,在 2.4m,其中0，C,F,G四点在同一条直线上， M处有一棵大树，它的影子是MN,且点N, 且OB⊥OC,EF⊥FG. M,B,C,E,F在同一条直线上 (1)①图中阳光下的影子属于 (1)图中的影子由 照射形成.（填 第 投影； “路灯”或“太阳光”) ②线段BC与线段EG之间的位置关系 (2)如果影子由路灯照射形成，请确定路灯 为 的位置（用点P表示）；如果影子由太阳 (2)已知小军的身高EF为1.8m,求建筑物 光照射形成，请画出太阳光线.（保留画 章 的高OB. 图痕迹，不写画法) (3)在图中画出表示大树高的线段MQ.(保 留画图痕迹，不写画法)》 E 0 N M 57 。问步训练数学九年级下册则 21.如图，要测量某小区居民楼下一棵大树AB的 段AE可看作一个一次函数的图象， 高度，已知居民楼CD的高度为30m,在居民 由题意可得各点的坐标为点E(0,1.6), 楼CD的顶端C处测得大树的顶端A的俯角 C(2,3),B(17,0),且所求的高度就是点A的 为22°，某一时刻在太阳光的照射下，大树AB 纵坐标。 顶端A的影子落在地面上的点E处，居民楼 设直线AE的函数解析式为y=x+b. CD顶端C的影子落在地面上的点F处，测 把E(0,1.6),C(2,3)代入y=+b,得 得DE=10m,DF=33m.已知大树和居民楼 k=0.7, 均垂直于地面，且点B,D,E,F在同一条直线 b=1.6,解得 2k+b=3, b=1.6, 上，求大树AB的高度.（结果精确到0.1m, .直线AE的函数解析式为y=0.7x+1.6. 参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， 当x=17时，y=0.7×17+1.6=13.5,即旗杆 tan22°≈0.40) AB的高为13.5m. 22-1 C 请应用上述方法解决下列问题： 如图3，河对岸有一路灯杆AB,在灯光下，荣 荣在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD 方向到达点F处，测得自己的影长FG=4m, 且点B,D,F,G在同一条直线上.若荣荣的身 高为1.6m,求路灯杆AB的高度 E 第 Bx 图1 图2 22.一数学学习兴趣小组在解决下列问题中，发 九 现该类问题不仅可以应用“三角形相似”知 识解决问题，还可以利用“建立平面直角坐标 系，应用一次函数”知识解决问题 图3 请先阅读下列利用“建立平面直角坐标系，应 用一次函数”知识解决问题的方法，然后再应 用此方法解决后续问题 问题：如图1，直立在，点D处的标杆CD长 3m,站立在点F处的观察者从点E处看到 标杆顶端C、旗杆顶端A在同一条直线上，且 点F,D,B在同一条直线上.已知BD=15m, FD=2m,EF=1.6m,求旗杆AB的高. 解：建立如图2所示的平面直角坐标系，则线 58 第二十九章报慧与视图 中考一点遇 难度：合内 23.某风车的示意图如图所示，其相同的四个叶24.学习投影后，小刚利用路灯下自己的影子长 片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心 度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的 O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照 变化规律.如图，身高为1.6m的小刚(AB) 射叶片OA,OB,此时各叶片影子在点M右侧 的影子BC的长是3m,在路灯灯泡的正下方 形成线段CD,且点M,C,D在同一条直线上， H点测得HB=6m,且点H,B,,B,C在同一条 测得MC=8.5m,CD=13m,设光线与地面的 直线上. 夹角为a,tana= 2 (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定 路灯灯泡所在的位置G (2)求路灯的垂直高度GH. (3)如果小刚沿BH方向向点H走去，当小刚 走到BH的中点B,处时，求其影子BC (1)求点0，M之间的距离； 的长；当小刚继续走剩下路程的？到B, (2)当风车转动时，求叶片外端离地面的最 处时，求其影子B2C,的长；…按此规律 大高度. 维线走下去，当小刚走利下路恐的中到 Bn处时，求其影子BnCn的长. A 6 二十九章 59解得k=0(舍去)或k=3 , 3 .直线BD的解析式为y= 2x~6 21.解：选择方案一，解答过程如下： ,CD⊥BD,AB⊥BD,CF⊥AB, .四边形CDBF是矩形， .'BF=CD=1.6 m,CF=BD=46 m. 在Rt△AFC中，∠ACF=11.14°， ∴.AF=CF.tanLACF=CF·tan11.14°≈ 46×0.197=9.062(m), ∴.AB=AF+BF=9.062+1.6=10.662≈ 10.7(m) 答：雕像的高度约为10.7m. 或选择方案二，解答过程如下： CD⊥BD,AB⊥BD, ∴.∠CDE=∠ABE=90° 又∠CED=∠AEB, .∴.△CDE∽△ABE, CD DE AB BE DE=6 m,CD=1.6 m,BD=46 m, 1.66 六AB46-6,解得AB≈10.7 答：雕像的高度约为10.7m. 第二十九章 投影与视图 29.1投影 夯实五分钟 1.B2.D 3.D由同一点（点光源）发出的光线形成 的投影叫作中心投影，当等高的物体垂直 地面放置时，在同一路灯下，离点光源近 参米答来及解种园 的物体它的影子短，离点光源远的物体它 的影子长.在同一路灯下人的位置不同， 影长也会不同，故不能确定谁的影子长 4.C根据正投影的定义可知，当AB平行于 投影面时，AB=CD;当AB倾斜于投影面 时，AB>CD.综上所述，AB≥CD 5.A在上午，时间越早，太阳光线与地平面 的夹角越小，则物体的影长越长，所以这 四个时刻中，在8：00向日葵的影子最长 6.垂直 7.②根据光源判断可得：①属于平行投 影，不符合题意；②属于中心投影，符合题 意；③属于平行投影，不符合题意：④属于 平行投影，不符合题意 8.6如图，标示点D,E,过点A作AN⊥x轴 于点N,交BC于点M. .木杆BC两端的坐标分别为(-1,2)， (2,2),点A的坐标为(1,4)， ∴.BC∥DE,BC=3,AN=4,AM=2, .△ABC∽△ADE, 能兴子 DE4’ 解得DE=6, .木杆BC在x轴上的投影的长为6. 素养稳提升 9.A矩形硬纸板在地面上的投影可以是矩 形、正方形、平行四边形或一条线段，故得 到的投影不可能是三角形， 10.D根据位似图形的性质可得，∠AB1C1= ∠ABC,角的大小始终保持不变，影子依 47 问步练数学九年级下册则 然是直角三角形，故A,B说法错误；在同 .BS=GR=0.2×2=0.4(m), 一灯光下，当等长的物体平行于地面放 PQ=0.2×3=0.6(m), 置时，离点光源越近，影子越大，离点光 RC=0.3×2=0.6(m), 源越远，影子越小，故C说法错误，D说 .SG=BR=BC+RC=1.8+0.6=2.4(m) 法正确。 由题意，得△ASG∽△PQM, 11.B当小红由A处径直走向路灯正下方 AS=SG,即AS=24 时，1随s的增大而减小；当小红在路灯 PQQM'0.60.45 正下方时，=0：当小红由路灯正下方径 .AS=3.2m, 直走向B处时，1随s的增大而增大， .AB=AS+BS=3.2+0.4=3.6(m) 14.C根据平行投影和中心投影的特点和 选项B符合题意 规律，“N”“L”与“K”属于中心投影，“C” 12.B如图，过点B作BC⊥AA于点C, 属于平行投影 15.80.AB∥CD,.△OAB△OCD. .OF⊥CD,.OF⊥AB, g=E即93=6 CD OF' 4.36+EF 则四边形AB,BC是矩形， ∴.EF=80dm. ∴.A,B1=BC,∠B,BC=90° 16.(4,0) 由题意可知，BC∥DE,∴.△ABC∽ .∠ABB,=110°， BC2-0.8 .∠ABC=∠ABB1-∠B1BC=110° △ADE,.易知 DE 2 BC= 90°=20°. 1.2m,.DE=2m.又点D的坐标为(2， BC 又cos∠ABC= 0),∴.点E的坐标为(4,0) AB' 17.1,DE∥BC,.△ADE△ACB, .A1B1=BC=AB·cOS∠ABC= DE AD acos20°cm. CB AC 13.C如图，过点G作GR⊥BM,GS⊥AB,分 设CD=xm. 别交BM,AB于点R,S,则四边形BRGS .CB=1.8m,DE=1.5m,AC=6m, 是矩形， 1.56-x 1.86 解得x=1, .甲、乙两名同学之间的距离为1m. 18.（1)①平行. ②BC∥EG (2)解：.OB⊥OC,EF⊥FG, .∠B0C=∠EFG=90°. 48 .BC∥EG, ∴.∠BCO=∠EGF, .△BOC∽△EFG, 0B-0,即0B=20 FEFG' 1.82.4 .0B=15m, ..建筑物的高OB为15m. 19.(1)16√2 ,4B-,即6- 提示：由题意得，BD万 即BD2 .BD=16√2m. (2)解：如图，过点E作EF⊥AB于点F, 则在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD= 16√2m. C 乙 .·物高与影长的比是1：2， AF 1 EF 2' 1 则AF=2EF=82m, .DE=FB=AB-AF=(16-82)m. 答：落在乙楼上的影子DE的长为(16- 82)m. 20.（1)路灯. (2)解：影子由路灯照射形成，路灯的位 置如图1中点P所示 、P BC E 图1 参米答荣及解种园 (3)解：表示大树高的线段MQ如图2 所示. 0 D B C E F 图2 21.解：如图，过点A作AH⊥CD于点H,则四 边形ABDH为矩形， -H .∴.AB=DH,AH=BD 设AB=xm,则DH=xm, 根据题意知AE∥CF, .∠AEB=∠CFD. .·∠ABE=∠CDF=90°， ∴.△ABE∽△CDF, 易知船5811 .BE=1.1AB=1.1xm, .AH=BD=BE+DE=(1.1x+10)m,CH= CD-DH=(30-x)m. ·在C处测得大树顶端A的俯角为22°， .∠CAH=22°， ·tan CAH=CH30-x ≈0.40， AH1.1x+10 解得x≈18.1， 经检验，x≈18.1是原分式方程的解. 答：大树AB的高度约为18.1m. 22.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 线段AG可看作一个一次函数的图象 49 。问步练数学九年级下川 D 由题意可得各点的坐标为点G(0,0), E(-4,1.6),C(-7,1.6),F(-4,0),且所 求的高度就是点A的纵坐标. 设直线AE的函数解析式为y=mx+n. 把G(0,0),E(-4,1.6)分别代入y=mx+ n=0, n,得 -4m+n=1.6, (m=-0.4, 解得 n=0, ∴.直线AE的函数解析式为y=-0.4x.① 同理，得直线AF的函数解析式为y= 832 1515,② y=-0.4x, x=-16, 联立①②，得 832解得 y=- 1515 y=6.4. 答：路灯杆AB的高度为6.4m. 中考一点通 23.解：(1)如图，过点0作AC的平行线，交 CD于点H. 由题意可知，AC⊥AB,BD⊥AB,O是AB 的中点， .OH∥ACBD, .OA HC OB HD =1, .H是CD的中点 .CD=13m, :.CH=HD=CD=6.5m, 2 50 .MH=MC+CH=8.5+6.5=15(m). 由题意可知LOHM=∠BDC=a, 0M2 .".tanLOHM=tan a=MH3' 即O42 153’ 解得OM=10m, ∴.点0，M之间的距离为10m. n77>>力 M C (2)如图，过点O作OJMD,交BD于点 J,过点B作B1LOJ,交OJ于点1，延长 M0到点K,使得OK=OB, .∠BI0=∠BIJ=90° :由题意，可知LOBJ=∠OBI+∠JBI=90°， ∠BJI+∠JBI=90°，∴.∠OBI=∠BJI, 2 .tan BJI=tan=3 .tanOBI= 012 B3, .∴.△BIO∽△JIB, BI OI 2 JB13' m=.01=g .·OJ∥CD,OH∥DJ, .四边形OHDJ是平行四边形， ∴.0J=HD=6.5m. 01=0+U=音+U=65m, .IJ=4.5m,BI=3m,01=2m. ,在Rt△OBI中，由勾股定理，得OB2= 0P+B2, ∴.0B=√OI+B=√2+32=√13(m), .0B=0K=√/13m, ∴.MK=0M+0K=(10+√13)m, ·.叶片外端离地面的最大高度为(10+ √/13)m. 24.解：(1)如图所示 、C H B. B (2).AB⊥HC,GH⊥HC, .AB∥GH, .△ABC∽△GHC, AB BC CH HC AB=1.6 m,BC=3 m,HB=6 m, ，1.63 GH6+3 ∴.GH=4.8m. (3)同(2)可得，△A1B1C1△GHC1, A BB C CH HC 设B,C的长为xm,则6 4.8x+3 3 得x三即BC血 腿品 解得B2C2=1m, … .易知BnCn n+l m. 参米答来及解种园 29.2三视图 夯实五分钟 1.C2.C3.B4.C 5.7由俯视图易得最底层有4个小正方 体，由左视图可得第二排最多有3个小正 方体，那么搭成这个几何体的小正方体最 多为4+3=7（个） 6.解：如图所示 主视图 左视图 俯视图 素养稳提升 7.A8.B 9.8,9,10或11由主视图最右边有三层， 俯视图最右边有两列，可知最右边可能有 4,5或6个小正方体，由主视图最左边只 有一层，俯视图最左边也只有一列，可知 最左边只有1个小正方体，由主视图中间 有两层，俯视图中间有两列，可知中间可 能有3或4个小正方体，.n的值可能为 1+4+3=8,1+5+3=9,1+6+3=10,1+4+ 4=9,1+5+4=10,1+6+4=11,.n的所有 可能取值为8,9,10或11. 10.216°结合所给的三视图可知，该几何 体为圆锥，且该圆锥的底面圆的直径为 6、半径为3，圆锥的高为4， 51