28.1 锐角三角函数-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

。问步川练数学九年级下册R则 锐角三角函数 第二+八章wwwW/IM 目28.1锐角三角函数 第1课时 简单锐角三角函数 g88 。学习目标 L.了解锐角三角函数的概念，能正确应用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中两边的比，知道 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值. 2.会使用计算器求锐角三角函数值， 第 夺实五分钟 难度☆ 十 1.sin30的值是 ( ) C缩小号 D.无变化 章 A.1 B.③ C.2 D.√3 3 5在△ABC中，若∠A+∠B=90,inA= 3,则 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，则∠A的正弦值 可以表示为 cosB的值为 () ( 1 3 B. 3 C. 2 D.1 6.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 锐角的度数： C.Bo AB ·BC AB D.Bo (1)tanA=0.6789(结果精确到0.01)； AC (2)cosA=0.6753(结果精确到1"). 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对 的边分别为a,b,c,下列等式不成立的是 A.tan B=b B.cos B=a 7.计算： e c (1)(-1)2o26+(W2-1)°-tan60°+13-11； C.sin A= c D.tanA= (2)am60-(4-m)+2cs30+(子1. 4.若把Rt△ABC的各边长都扩大4倍，则锐角A 的正弦值 ( ) A.扩大14倍 B.扩大4倍 38 第二十八章桃痛三雍西数可 素养稳提升 难度：查白 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,cosB= BD LAC,垂足为D,则下列结论不正确的是 M是AB的中点，求CM的长 2 ( BC A.tan A= AC B.sin A=BD B C.cosA= D.sin A=cos C AB D (第8题)》 (第9题) 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，给出下列式子：13.已知45°<∠A<90°，试确定∠A的正弦值、余 ①a=ctan A;②b=csin B;③b=ccos A;④a= 弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由. btan A;⑤c=btan B.其中成立的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 十八章 10.若（√3tanA-3)2+12cosB-√31=0，则△ABC 是 () A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有60°角的任意三角形 14.如图1,2,3，先根据图中所给数据填空，再按 D.顶角为钝角的等腰三角形 要求答题： 11.如图，⊙0为△ABC的外接圆，⊙0的半径为 sin2A+cos2A= 5,BC=8,求cosA的值. sin2A,+cos2A2= sin2A3+cos2A3= B B 3 C 图1 图2 图 图4 39 。问步训练数学九年级下册因 (1)观察所给等式，猜想：在Rt△ABC中，15.如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A, ∠C=90°，都有sin2A+cos2A= ； 1 (2)如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A, ∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若sinA=3, ∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用锐角 求cosA的值， 三角函数的定义和勾股定理，证明(1)中 的猜想； (3)若0°<∠A<90°，且sin AcosA=25求 sinA+cosA的值. 第二十八章 中考一通 难接：☆合 16.由边长均为1的小正方形组成的网格如图所18.在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A, 示，A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点 ∠B,∠C的对边. 上，线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB (1)求sin2A+sinB的值； 的正切值是 (2)当为锐角时，求sin2a+sin2(90°-a) 的值； (3)利用上述规律，求sin21+sin22°+sin23°+…+ sin288°+sin289的值， 2 B.1 C.3 D.2 17.已知a是锐角，cos(u-15°)= 2,则na 1cosa-tang1的值为 2 40 第二十八章桃痛三市西数可 第2课时 锐角三角函数的综合 888 ©学习目标 理解锐角三角函数与平面直角坐标系、四边形等的联系，能运用其求边长、角 度，解决几何综合问题 夯实五分钟 难度含 1.锐角三角函数sin31°，cos16°，cos43°之间的 △ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处， 大小关系是 ( EF为折痕.若AE=3,则sin∠BFD的值为 A.sin31°<cos16°<cos43 B.cos43°<sin31°<cos16° C.sin31°<cos43°<cos16° D.cos16°<sin31°<cos43° 第 2.规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标 为(a,b),那么线段OP在平面直角坐标系中 A. 3 4 十 的方向表示为OP=(a,b).若Oi与0B互相4.计算：tan1xtan2Xan3×tan4×tan5×.× 垂直，且0A=(x1,y1),0B=(x2,y2),则x12+ tan87°xtan88 oxtan89°= y2=0.现有0与0示互相垂直，且0= 5.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AC=5,CB= 7,AB=8,则⊙0的半径是 (cosa,sina-1),ON=(sin,sin a+1),则锐 角a的度数是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 0 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,将 素养稳提升 难度：查在 6.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6.折叠7.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且∠A,∠B 该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕 分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B 满足1血A-1+(号mB)户-0，试判断 重合时，EF的长为 ;当点M的位置 △ABC的形状，并说明理由. 变化时，DF的长的最大值为 FD 41 。。问步训练数学九年级下册则 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinB+cosB=10.阅读下列材料，并完成相应的任务. 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形 S求sin Beos B的值 中的边角关系： BC AC BC 如图1，sina=AB,cosa=AB,lana-AC 一般地，当a,B为任意角时，sin(a+B) 与sin(a-B)的值可以用下面的公式求得： sin(a+B)=sin acos B+cos asin B;sin(a-B)= sin acos B-cos asin B. 图1 例如，sin15°=sin(45°-30)=sin45°cos30° 二十 cos45°sin300=y6-2 4 【任务】 章 Q如图，直线7+与x轴交于点A,与直线 (1)计算：sin75°=—； (2)如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C= y=2x交于点B. (1)求点B的坐标； 45°，AC=23-2,求AB和BC的长 (2)求sin∠BAO的值. B 图2 42 第二十八章桃布三帝函纸可 11.如图，C是线段AB的中点，以点A为圆心， (2)若∠A=135°，求tan∠BDC的值， √2AC为半径作⊙A,D是⊙A上一点（不在直 线AB上)，连接AD,CD,BD (1)求证：△ACD∽△ADB; 中考一点通 难度：☆合的 12.我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究 (3)若角α是钝角，其终边上有一点P(x, 需要，我们再从另一个角度来规定一个角的 三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的 5).且6ma=求如a的位 顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.在角α 的终边上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐 二十八章 标是y,点P和原点的距离为r=√x2+y(r> 0),把角a的三角函数规定为sina=y sa=产，ana=士显然，这三个比值的大小 仅与角α的大小有关 P(x,y） (1)若270°<a<360°，则角的三角函数值： sin,cosa,tan,其中 >0; (2)若角a的终边在直线y=2x上，求sina+ cosa的值； 43。问步川练数学九年级下册则 ∴.DF2=FG·BF (2)am60°-(4-m)°+2c0s30+(4) (2)如图，连接AC交BD于点H,则AC⊥ BD,DH=BH, =月-1+2x -+4 .∴∠DHC=90°，BD=2DH =√/5-1+√3+4 BD·DF=2AD·DE,且AD=DC =25+3. ∴.2DH·DF=2DC·DE, 素养稳提升 DF DE DC DH' 8.A ,∠FDE=∠CDH, 9.B 因为mM=分，所以a=banA,所以① ∴.△FDE∽△CDH, 不成立，④成立； ∴.∠DEF=∠DHC=90°， 因为inB=b,所以b=csin B,所以② ..AE⊥DC 成立； 因为cosA=0,所以b=ccos A,所以③ 成立； 第二十八章锐角三角函数 因为tanB=b,所以b=atan B,所以⑤不 28.1锐角三角函数 成立 第1课时简单锐角三角函数 综上，②③④成立，成立的有3个 10.A.(3tanA-3)+l2cosB-√31=0， 夯实五分抑 ∴.√3tanA=3,2cosB=√3， 1.C2.C3.D4.D 5.B∠A+∠B=90°，∴.∠C=90°.sinA= tan A=3,cos B3 2 BC 2 AB3,.cos B= BC 2 .∠A=60°，∠B=30°， AB 3 ∴.∠A+∠B=60°+30°=90°，∴.∠C=90°， 6.解：(1).tanA=0.6789,∴.∠A≈34.17° ∴.△ABC是直角三角形. (2)c0sA=0.6753,.∠A≈4731'21" 11.解：如图，连接B0并延长，交⊙0于点 7.解：（1)(-1)226+(2-1)°-tan60°+ D,连接CD. 15-11 =1+1-√5+√3-1 =1. 30 参米答来及解种园 :⊙0的半径为5， 由勾股定理，得a2+b2=c2 .BD=10. :sin2A+eos2A=(巴)2+(2)2， BD为⊙O的直径， .∠BCD=90°， sin+cost 2.2-1 .CD=√WBD2-BC=√102-82=6. (3)解：：(sinA+cosA)2=sin2A+cos2A+ ∠A=∠D, 2sin Acos A, ∴.cosA=cosD= CD63 BD105 (sinA+csA)2=1+24_49 2525 12.解：在Rt△ABC中， 0<LA<90°， 2 BC .cos B=- BC=4, .'sin A>0,cos A>0, 3 AB' 1 .AB=6. 'sin A+cosA=5 M是AB的中点， 15.解：由14题(2)知，sin2A+cos2A=1, h=3 (3产4cs4=1 13.解：tanA>sinA>cosA.理由如下： .'cos2A= 45°<∠A<90°，.tanA>tan45°=1. 9 又sinA<1,cosA<1, 822 .∴.C0sA= ∴.tanA的值最大 √9=3（负值已舍去）. .∠A>90°-∠A,.sinA>sin(90°-∠A). 中考一点通 又cosA=sin(90°-∠A), 16.D如图，平移线段AB,使点A与点P重 ∴.sinA>cosA, 合，得到线段A'B′，连接B'Q, .'tan A>sin A>cos A. 可得∠QMB=∠P. 14.1;1;1. PB'=22,PQ=2√10，B'Q=42, 提示：m1ow-(分产+(=1， .PB2+B'Q2=PQ2, ∴.△QPB'是直角三角形， sin2A,+os2A,=()2+(2=1, ∴.tanL OMB=tanP= B'Q 42 =2. PB'22 inA,+osA,=(3)产4（号2=1 3 (1)1. (A')1 (2)证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A, LB,∠C的对边分别是a,b,c, 31 问步训练数学九年级下册则 17.1 是饶角，且cs(a-159)=2 第2课时锐角三角函数的综合 3 21 夯实五分钟 ∴.a-15°=45°， 1.C .a=60°， 2.B:0M与0互相垂直，且0M= 2 =30°， cos a,sin a-1),ON=(sin a,sin a+1), ∴.cosa·sina+(sina-l)(sin a+1)=0, 原式=sin60 1cos60°-tan301 cos a.sin a+sin2a-1=0, √3 cos a.sin a-cos'a=0(sin2a+cos'a=1, 3 =213 证明略) V323 .是锐角，.cosα≠0， =131 ∴.sina-cosa=0, 23+2 即tan=1,.锐角的度数是45°. 3.A:在△ABC中，∠ACB=90°，AC= 1 BC=4, ∴.∠A=∠B. 18.解：(1)在Rt△ABC中，sinA=a,sinB= 由折叠的性质，可得△AEF≌△DEF, b a2+b2=c, .∠EDF=∠A, .∠EDF=∠B. 'sin2A+sin2B=() 6)2=2+b2 .·∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+ ∠BDF+∠B=180°， c31 .∠CDE=∠BFD. 又AE=DE=3, (2).∠A+∠B=90°，∴.∠B=90°-∠A, ∴.CE=AC-AE=4-3=1. .sin2A+sin2B=sin2A+sin2(90°-∠A)= 1,即当a为锐角时，sin2a+sin2(90°- 在R△ECD中，sinL CDE=CE-' DE 3' a)=1. 1 即sinLBFD= (3)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+ sin289° 4.1原式=(tan1°×tan89)×(tan2°× =(sin21°+sin289)+(sin22°+sin288)+…+ tan88)×.…×(tan44×tan46)×tan45°=1. (sin244°+sin246o）+sin245° (tan aXtan(90°-a)=1,证明略) =1+1+…+1+ 576 如图，过点C作CE⊥AB,交AB于 2 3 44个1相加 89 点E,延长C0交⊙O于点D,连接AD,则 Γ2 AD⊥AC. 32 参米答来及解园 0 B MG 设AE=x,则BE=AB-AE=8-x. 当AF的长取得最小值时，DF的长取得最 CE2=AC2-AE2,CE2=CB2-BE2, 大值 .AC2-AE2=CB2-BE2, 由折叠的性质，可知EF垂直平分AM,则 即52-x2=72-(8-x)2, AF=FM, 25-x2=49-(64-16x+x2), .当FM⊥BC时，FM的长取得最小值，此 得月 时DF的长取得最大值. 过点D作DG⊥BC于点G,则四边形 cB=Ac-A=53-(月2-5 DGMF为矩形， ∴.FM=DG. C5=月（负值合去） 在Rt△CDG中，∠C=∠A=60°，CD=AB=6, .DG=sin60°×CD=33, 2 CE 53 .'sin B= .DF的长的最大值为6-33， CB714 7.解：△ABC是直角三角形.理由如下： ∠D=∠B, 5V3 Isin 4- 2+(3-tanB)2=0, .'sin D=sin B= 14 3 又sinD= AC.553 sinA3 =0,3-tanB=0, 2 CD…CD14’ 5 解得c0后， .'sin A=- 2 tan B= 3 ∠A,∠B均为锐角， ⊙0的半径= 73 2 CD=. 3 ∴∠A=60°，∠B=30° 素养稳提升 在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=90°， .△ABC是直角三角形 6.3√56-3√5当点M与点B重合时，由 折叠的性质，可知EF垂直平分AB, 8解：inB+cosB= 5 A5=2AB=3, 之(m8582=(好， ∴.EF=tan60xAE=3√5. 49 .sin2B+cos2B+2sin Bcos B= 当点M的位置变化时，连接AM,如图 25 所示. 又sin2B+cos2B=1(证明略)， 33 。问步训练数学九年级下册则 49 ∴.1+2 sin Bcos B= 25 12 B ∴，sin Bcos B= 25 ∠C=45°， 13 x=1, ∴.∠DAC=45°， 9.解：(1)解方程组 =2+2'得 ∴.AD=CD 0=2x, b=2, 则点B的坐标为(1,2). “sinG= ACAC-2-2, (2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C.当 即2、AD 13 y=0时，2+2=0，解得x=-3,则点A的 22√5-21 AD=√6-√2. 坐标为(-3,0)， .0A=3. ∠B=15°，sinB=40 AB' 又0C=1,BC=2,∴.AC=0A+0C=4, 即6-26-2 .AB=√AC+BC2=25, 4 AB .AB=4 .'sin BAC= BC.2-5 AB255 .BE=AE, ∴.∠B=∠EAB=15°， 即sin BA0=5 5 .∠AED=30°， 41 .AE=2AD=26-22, tanLAED=AD 即5=6-v2 '3ED, 1a06 ∴.ED=32-√6， .BC=BE+ED+CD=2√6-2√2+3√2-√6+ 提示：sim75°=sin(30°+45) √6-√2=26： =sin30°cos45°+cos30°sin45° 11.(1)证明：AB=2AC,AD=√2AC, 号 AD_V2AC_2AC_AC-√2 AB2AC2'AD AC 2 =②+v6 在△ACD与△ADB中， 4 ..AD_AC (2)解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, 而2，∠A=乙A, 在BC上找一点E,使BE=AE. .△ACD∽△ADB. 34 参米答来及解种 (2)解：如图，过点D作DE⊥AB,交BA ∴.x>0,y<0. 的延长线于点E.过点C作CF⊥BD,垂 r>0, 足为F .".sin a=0,cos a=*>0,tana=<0. r r P(x,y) .∠BAD=135°， ∴.∠DAE=45°， 图1 .△ADE是等腰直角三角形 (2)解：：直线y=2x经过原点和第一、 第三象限，且角α的终边在直线y= 根据勾股定理，可知AB=DB=扣 2x上， AD=√2AC, ∴.点P(x,y)在第一象限或第三象限，且 ∴AE=AC=BC=DE. 可以表示为P(x,2x),过点P作PQ⊥x 设AE=AC=BC=DE=k, 轴于点Q. 则BD=√BE2+DE=10k,inB=D 如图2，若点P在第一象限，则x>0,y>0, BD w8船3G √10 P(x.y) 在△BFC中，∠BFC=90°，BC=k, 六BF=BC·cosB=3i K, 10 图2 Cr=BC·nB=Dk, 10 .r=√2+y=Vx2+(2x)2=5x, DF=BD-BF=710 '.sin atcos a=5 10 rr5x55 .∠CFD=90°， 如图3，若点P在第三象限，则x<0,y<0, CF 1 .tanBDC= DF 0 a 中考一点通 12.(1)cosa. P(x,y) 提示：如图1. .270°<a<360°， 图3 .点P(x,y)在第四象限， .r=√2+y=√02+(2x)7=-5x, 35 。问步练数学九年级下册则 .∴.sina+cosa= y x 2x AC AC ∴.sinB= rr-√5x-√5x AB10' 35 .∴.AC=10sinB=10sin28°. 3.B由题意画出示意图，如图所示. 北 综上所述，sina+cosa的值为3的 B100m D 皮 西 东 200m (3)解：角a是钝角，且点P(x,√5)是 角α终边上一点， .点P在第二象限」 AD=AB·sin60°=50W3m, 如图4，过点P作PM⊥x轴于点M. BD=AB·cos60°=50m, .CD=BC-BD=150 m. P(x,5 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD2= √(503)2+1502=100w3(m). 4.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 图4 ∴.c0s= 4,且cosa= -√② 7=4x,解得r=22. D 在Rt△ABD中，inB= 在Rt△PMO中， AB' OM =√OP2-PMr =√P-y 即血60=03 6=2 √(22)2-(5)2=√3， 解得AD=3√3， 点P的坐标为(-√5，√5)， 则5度=宁C…AD=×8x33=12,3. y√5√15 .'tan a= 素养稳提升 x-√5 3 5.C如图，过点D作DG⊥AC于点G,过点 28.2解直角三角形及其应用 B作BH⊥AC于点H. 28.2.1解直角三角形 夯实五分抑 1.D 2.B在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10, ∠B=28°， 36