27.2.2 相似三角形的性质-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

AB是⊙O的直径，CD⊥AB, ∴.∠ACB=∠ADC=90 又∠CAD=∠BAC, .△CAD∽△BAC, ∴.∠ACD=∠ABC. AC=AC,.∠ABC=LAFC, .∠ACD=∠AFC,又∠CAG=∠FAC, .△ACG∽△AFC, AC AG AF AC .AC2=AG·AF (2)若E是线段AD(点A除外)上任意 一点，上述结论仍然成立.证明如下： ①当点E与点D重合时，点F与点G重 合，AG=AC,画出图形如图2所示， (E) F(G) 图2 CD⊥AB, ..AC=AF,AC=AF, .AC2=AG·AF; ②当点E与点D不重合（不含点A)时， 画出图形如图3所示 DO 图3 参米答来及解种园 证明类似(1). 综上，若E是线段AD(点A除外)上任意 一点，上述结论仍成立 27.2.2相似三角形的性质 伤实五分钟 1.C2.D3.64.1:9 素养稳提升 5.A6.B7.D8.A9.D 10.1011.3 12.解：(1)如图，记AD与PQ,EH的交点分 别为点K,R B 设EF=2xcm,则EH=5xcm,由矩形的 性质，得EH∥BC,易证△AEH∽△ABC, EH AR ,即5x-80-2x BCAD'12080, 解得x=15, .EH=5x=5×15=75(cm), ∴.矩形纸片EFGH的较长边EH的长为 75cm. (2)恒恒的剪法不正确.理由如下： 设正方形纸片PMWQ的边长为acm. 由(1)知AR=AD-RD=80-2×15= 50(cm), ∴.AK=(50-a)cm. 由题意，得△APQ∽△AEH, 留微号0 解得a=30. 19 。问步练数学九年级下册则 在△AEH中，与边EH平行的中位线的长 中考一点通 为x75=375omj. 14.D在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠ABC=60°，BC=2cm, 37.5≠30，.恒恒的剪法不正确。 .'AB=2BC=4 cm. 13.(1)证明：如图，连接BE. :BC=2cm,D为BC的中点，动点E以 1cm/s的速度从点A出发， ÷BD=28C=1em, BE=AB-AE=(4-t)cm. D 当△BDE与△ABC相似时，△BDE为直 .点E是△ABC的内心， 角三角形， .∴.∠ABE=∠EBC,∠BAD=∠CAD ①若LBED=90°， CD=CD, 当点E沿着A→B的方向运动时， .∠DBC=∠CAD, .∠ABC=60°， ∴.∠DBC=∠BAD. ∴.∠BDE=30°， .·∠DBE=∠DBC+∠EBC, ∠DEB=∠BAD+∠ABE, ∴BE=2BD=05cm, .∠DBE=∠DEB, .t=3.5. ∴.BD=DE 当点E沿着B→A的方向运动时，t=4+ (2)解：，'∠DBC=∠BAD,∠ADB=∠BDF, 0.5=4.5. AD BD △ABD△BFD,BDFD' ②若∠BDE=90°， 当点E沿着A→B的方向运动时， .AD·FD=BD2=36. '∠ABC=60°， ·.:∠CAD=∠BAD,∠ACF=∠ADB, ∴.∠BED=30°， .△ACF∽△ADB, .BE=2BD=2 cm, AC_A5,即5_4g 六ADAB,即AD9 ∴.t=4-2=2, .AD·AF=45, 当点E沿着B→A的方向运动时，t=4+ .AD2=AD·(AF+FD)=AD·AF+AD· 2=6(舍去)： FD=81, 综上，t的值为2,3.5或4.5. .AD=9(负值舍去)， 15.(1)(2,0);(0,4). ..AF=5,FD=4 提示：一次函数y=-2x+4的图象与坐标 又DE=BD=6, 轴分别交于点A(a,0),B(0,b), .·.EF=DE-FD=2. 当y=0时，-2x+4=0,解得x=2,.点A 20 的坐标为(2,0). 当x=0时，y=4,.点B的坐标为(0,4) (2)解：①由(1)知，点A(2,0),B(0,4), .0B=20A=4, .AB=√0A+0B2=√J22+42=2W5. 又△ABM是以AB为底的等腰直角三 角形， .BM=AM=/10 如图1，过点M分别向x轴、y轴作垂线 段MC,MD,垂足分别为C,D. 10A\C 图1 M为直线y=x在第一象限上的一点， 即∠B0M=∠C0M=45°， ∴.MD=MC,∠DMC=90°. ,∠BMA=90°， ∴.∠BMD+∠DMA=9O°，∠DMA+∠AMC=90°， .∠BMD=∠AMC. .·∠BDM=∠ACM=90°， .△BMD≌△AMC(ASA), .BD=AC. 不妨设点M的坐标为(n,n), 则有OD=OC=MD=MC=n. .BD=AC=0B-OD=0C-0A. .4-n=n-2, 解得n=3, .点M的坐标为(3,3). ②不存在.理由如下： 设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标 多米答来发解种园 MC-=m:m1,OC≠1. MC 为mx,0Cx .∠BMA=90°，∠DMC=90°， ∴.∠BMD+∠DMA=9O°，∠DMA+∠AMC=9O°， .∴.∠BMD=∠AMC. .∠BDM=∠ACM=90°， .∴.△BMD∽△AMC, BM MD OC 六AM MC-MGI, ∴.BM≠AM, ∴.不存在△ABM是以AB为底的等腰直 角三角形的情况 ③如图2，取AB的中点E,过点E作AB 的垂线，交x轴于点F,与直线y=mx(m> 0)交于点M,连接BM,AM,则△ABM为 等腰三角形， B O A 图2 易知点E的坐标为(1,2) AB=25,.AE=√5 ,·∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE=∠BAO, .∴.△FAE∽△BAO, 、45_g,即AF-5 AB AO' 252, ∴.AF=5, .∴.F0=AF-0A=5-2=3, ∴.点F的坐标为(-3,0)， 21 。问步练数学九年级下册则 设直线EF的解析式为y=x+e,则 AB_BC,即 .62.4 CE ED' .8ED' -3k+e=0, 解得ED=1.2. k+e=2, .·CE⊥EF,FH⊥EF, 、1 2 ∴.∠CED=∠HFD=90 解得 3 又∠CDE=∠HDF, e=1 2, .△CED∽△HFD, 1 .直线EF的解析式为y= ,3 2+2 CE ED ,即0.81.2 HE FD' 4FD' :当y=mx(m>0)与EF平行时，两直线 解得FD=6, 没有交点，m>2 ∴.EF=ED+FD=7.2m. 答：河的宽度EF约为7.2m. 由①可知，当m=1时，△ABM是以AB为 15.解：(1)连接P1D1,P2D2P1D1∥P2D2, 底的等腰直角三角形， ∴.△P1D10△P2D20, .当△ABM是以AB为底的等腰三角形， PD DO 且△ABM为锐角三角形时，m的取值范 P.Da D0' 面为m1 b2 12 27.2.3相似三角形应用举例 夯实五分钟 (2) 6=,且61=3.2cm,62=2cm 15 1.B2.A3. 4 4.9 =8 cm, .3.28 素养稳提升 5.A6.A7.C8.B9.D 解得12=5. 10.4311.9m12.12 答：②号“E”的测量距离l2应为5cm. 13.解：设其他两边的实际长度分别为xm, 中考一点通 y m. 16.解：设BC=xm.如图，标示点H. 由题意，得。=、y=25 0.040.040.05’ 解得x=y=20, 答：其他两边的实际长度都是20m. H 14.解：，BC∥EF,AB⊥BC,CE⊥EF, B CE G ∴.∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°， 根据题意可得，∠ACB=∠DCE,∠B= .△ABC∽△CED, ∠DEC=90°， 22有二十女草相刷 27.2.2相似三角形的性质 g08 学习日标 1.了解相似三角形的性质 2.会灵活运用相似三角形的性质解决相关问题， 秀实五分钟 难度：☆ 第 1.如图，已知△ABC∽△DEF.若∠A=30°，∠B= A',B',C'对应，AD,A'D'分别是△ABC和 70°，则∠F的度数是 △MBC的角平分线，把子B=9,则Ag- 章 D∠ 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上， A.30° B.70° DC与BE相交于点O.若DE∥BC,AD:DB= C.80° D.100° 1:2,则△DOE与△BOC的面积的比为 2.已知两个相似三角形的最短边长分别为5cm 和3cm,它们的周长之差为12cm,则大三角 形的周长为 ( A.14 cm B.16 cm C.18 cm D.30 cm 3.已知△ABC∽△A'B'C',顶点A,B,C分别与 素养稳提升 难度：☆女 5.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延 长线上，PD与⊙O相切于点D,过点B作PD 的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径 为4，BC=6,则PA的长为 ( A.1:√2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 7.已知△ABC△A1BC,且AB,=3若AABC 的面积为8，则△A,B,C,的面积是 () A.4 B.23 C.3 D.2.5 B.6 6.如图，在△ABC中，D是边AB上的点，∠B= C.9 D.18 ∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的8.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且 周长的比是 () 21 。问步川练数学九年级下册 △ABC△AED,若 12.有一块锐角三角形卡纸余料ABC,它的边BC= AE =3,SAAD=1,则SABC 120cm,高AD=80cm.为使卡纸余料得到充 的值为 分利用，现把它裁剪成一个邻边长之比为 2:5的矩形纸片EFGH和正方形纸片 PMNQ.裁剪时，矩形纸片EFGH的较长边在 BC上，正方形纸片PMNQ的一边在矩形纸片 EFGH的较长边EH上，顶点P,Q分别在AB, 第 A.9 B.6 AC上，具体裁剪方式如图所示. C.3 D.1 (1)求矩形纸片EFGH的较长边EH的长； 十 9.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC (2)裁剪正方形纸片时，恒恒同学是按以下 方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 章 上，DE∥BC,且 D了若△ADE的面积为4， AD 2 中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过 则四边形DBCE的面积为 该中位线两端点向边EH所作的垂线剪 两刀，请你通过计算，判断恒恒的剪法是 D 否正确 A.3 B.9 C.25 D.21 O.如图，在口ABCD中，E是AD上一点，FDi 2,BE的延长线与CD的延长线相交于点E 若AB=6,则CF的长为 11.如图，已知AB∥CD,AC,BD相交于点O,过点 D作DE∥BC交AB于点E,交AC于点F.若 B为AB的中点， FO 22 事二十女有相科 13.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与 (2)若AB=9,AC=5,BD=6,求EF的长 △ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点 F,连接BD 第 (1)求证：BD=DE; 中考一点通 难接：☆☆ 十七 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= ③当△ABM是以AB为底的等腰三角形， 60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以 且△ABM为锐角三角形时，试求出m的 1cm/s的速度从点A出发，沿着A→B→A的 取值范围. 方向运动，设点E的运动时间为ts(0≤t< 6),连接DE.当△BDE与△ABC相似时，t的 值为 0A 备用图 A.2 B.2.5或3.5 C.3.5或4.5 D.2,3.5或4.5 15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4 的图象与坐标轴分别交于点A(a,0),B(0,b). (1)点A的坐标为 ,点B的坐标 为 (2)若M为直线y=mx(m>0)在第一象限上 一点，连接MA,MB. ①当m=1时，△ABM是以AB为底的等 腰直角三角形，求点M的坐标 ②当m≠1时，是否仍然存在△ABM是以 AB为底的等腰直角三角形的情况？如果 存在，求此时点M的坐标；如果不存在， 说明理由. 23