第7章二元一次方程组 同步单元达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）七年级数学下册《第7章二元一次方程组》 同步单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于、的二元一次方程组的解为则的值为（    ） A． B． C． D． 3．解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 5．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：60匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若是二元一次方程的一个解，则的值为________． 10．以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是________． 11．已知，则________． 12．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 13．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 14．将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组______． 15．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是______． 16．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为______（用含a，b的式子表示）． 三、解答题（满分72分） 17．解下列方程组： (1)； (2)． 18．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解． 19．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 20．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 21．小美准备在妈妈生日这天买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2枝百合和1枝康乃馨共需要14元，买3枝康乃馨比买2枝百合多花费2元． (1)求买一枝百合和一枝康乃馨各需多少元？ (2)小美准备买康乃馨和百合共11枝，设买康乃馨枝，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与m之间的函数关系式； ②若小美购买这束鲜花共花费了46元，求这束鲜花中康乃馨和百合分别有几枝？ 22．如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点，点横坐标为，点纵坐标为． (1)求的表达式； (2)求点坐标； (3)若是垂直于轴的直线交于点，交于点，且的长度等于，求的值． 23．（）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙． ①这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ ②当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处求云梯底端在水平方向滑动的距离． （）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果，小明买了苹果和梨，共花了元；小丽买了同样品种的苹果和同样品种的梨，共花了元． ①求这种苹果和梨的价格各为多少？ ②小颖准备买同样品种的苹果和梨共，且苹果不多于，应该如何购买才能使总费用最少？并求最少费用． 参考答案 1．解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，将方程组的解代入原方程，通过解方程求出未知参数是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，先求出，再求即可判断． 【详解】∵ 方程组的解为 ， 代入 得： ， ∴ ， 代入 得：， ∴ ． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是将方程①中的代入方程②替换对应的未知数． 利用代入消元法，把方程①中的表达式代入方程②，替换方程②里的． 【详解】解：由方程①得， 将其代入方程②得：． 故选：D． 4．C 【分析】此题考查二元一次方程组的解法，求出是解答本题的关键． 通过解方程组得到x和y关于a的表达式，然后分别验证各选项是否正确． 【详解】解方程组：， 由方程②得：③， 将③代入①：， ， ， ， 将代入③，得 ， ∴方程组的解为： 验证选项： A：当时，，∴x与y互为相反数，A正确． B：，与a无关，∴B正确． C：当时，， ∵，∴，C错误． D：当时，， ∴满足，D正确． 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据总马数为60匹，可得；根据总瓦数为100片，大马拉片，小马拉片，可得． 【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹， ∵总马数为60匹， ∴， ∵1匹大马拉3片瓦，3匹小马拉1片瓦（即1匹小马拉片瓦），总瓦数为100片， ∴， 故可列方程组为． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了根据一次函数交点求二元一次方程组的解集． 根据函数图像作答即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解是， 即关于的方程组的解是． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 9． 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键. 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可. 【详解】解：把代入得：． 则． 故答案为：． 10．第四象限 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知直角坐标系中点的坐标特点．通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 【详解】解：解方程组， 将两方程相加得，解得； 代入得，解得， 故点的坐标为， 由于，，符合第四象限点的坐标特征， 故答案为：第四象限． 11． 【分析】本题考查了加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．通过将两个方程相减消去，得到关于x和y的方程，从而求解． 【详解】解： ①②，得， 即， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 13． 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 14． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解此题的关键是能准确地从图中找出角之间的数量关系，从而列出方程组． 【详解】解：由的度数比的度数大可得：， 再从图中可看出， 即， 由此可列二元一次方程组为：． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和换元法是解题的关键． 设，易得，再结合已知条件可得，即；再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：设， 则关于a、b的二元一次方程组可化为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴， ①②可得，解得：， 将代入得：， 解得：， 所以． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了几何问题(二元一次方程组的应用) ，解题关键是找准等量关系． 先根据题意，列出关于x，y的方程组，再将两个方程组相加后两边都除以5即可． 【详解】解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完， ∴， ∴两式相加，得， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握方程组的求解方法为解题关键． （1）利用代入消元法求解方程组的解即可； （2）利用加减消元法求解方程组的解即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解为； （2）解：， 得③， 得④， 得：， 解得：， 将代入①，得， 原方程组的解是． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题关键． （1）将代入方程组，解得、，将其代入方程组即可求解； （2）若方程的解与无关，可得，求出的值，从而得到这个固定解． 【详解】（1）解： 根据题意，得：， 将其代入方程组①中，解得：， ， 将，代入方程组②中，得：， 解得：． （2）解：方程的解与无关， ， ，解得：， ∴这个固定解为． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 解得： 把代入得：， ∴相同的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 20．（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 21．(1)买一枝百合需5元，买一枝康乃馨需4元 (2)①②康乃馨有9枝，百合有2枝 【分析】本题主要考查二元一次方程，一次函数的应用，正确列出二元一次方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设1枝康乃馨的价格为元，1枝百合的价格为元，根据数量关系列方程组，求解即可； （2）①根据两种花的数量，价格，及总费用等于两种花费用之和，列式即可； ②结合小美购买这束鲜花共花费了46元，得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：设1枝康乃馨的价格为元，1枝百合的价格为元， 依题意，得 解得，， ∴买一枝百合需5元，买一枝康乃馨需4元 （2）解：①由（1）得买一枝百合需5元，买一枝康乃馨需4元， ∵小美准备买康乃馨和百合共11枝，设买康乃馨枝，买这束鲜花所需总费用为w元． ∴， ∴w与之间的函数关系式为：； ②由①得， ∵小美购买这束鲜花共花费了46元， ∴， 解得， ∴， 即康乃馨有9枝，百合有2枝． 22．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，掌握的长度等于，纵坐标之差的绝对值是解决问题的关键． （1）由图象可知一次函数的图象经过，，由待定系数法可求得和的值； （2）解方程组可得点的坐标； （3）由于是垂直于轴的直线交于点，交点于点，故设，，的长度等于，纵坐标之差的绝对值，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：依题意，， 一次函数的图象经过，， 把，点的坐标代入得：， 解得， ∴ （2）解：联立， 解得： 点的坐标为； （3）解：是垂直于轴的直线交于点，交于点， ，， 的长度等于3， ， 即， 解得：或． 23．（）①；②；（）①苹果的价格为元，梨的价格为元；②购买苹果，购买梨，能使总费用最少，最少费用为元 【分析】（）①利用勾股定理解答即可求解； ②利用勾股定理解答即可求解； （）①设苹果的价格为元，梨的价格为元，利用二元一次方程组解答即可求解； ②设购买苹果，则购买梨，总费用为元，求出与之间的一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解． 本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）①如图，由勾股定理得，， ∴这架云梯的顶端到地面的距离是； ②由题意得，， 由勾股定理得，， ∴， 即云梯底端在水平方向滑动的距离为； （）①设苹果的价格为元，梨的价格为元， 由题意得，， 解得， 答：苹果的价格为元，梨的价格为元； ②设购买苹果，则购买梨，总费用为元， 由题意得，， ∵苹果不多于， ∴， 又∵， ∴当时，总费用最少，最少费用为元，此时， ∴购买苹果，购买梨，能使总费用最少，最少费用为元． 学科网（北京）股份有限公司 $