2.1 不等式及其基本性质（分层题型专练，4夯基题型+2进阶题型+拓展培优）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第二章 不等式与不等式组 2.1 不等式及其基本性质 （分层题型专练） 题型一 识别不等式 1.下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2.下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 3.下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 列不等式 1.为了保证学生能正常学习，学校的噪声一般不得超过50分贝。设学校的噪声为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 2.“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 3.根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____。 4.x的与5的和不大于7，用不等式表示为___________。 5.我县某一天的最高气温是11℃，最低气温是零下4℃，则当天我县气温t（℃）应满足的不等式是 __________。 题型三 不等式与交通应用 1.交通法规人人遵守，文明城市处处安全。在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 2.小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”。若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（   ） A． B． C． D． 3.如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4.假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为________． 5.如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为__________。 题型四 天平上的不等式 1.如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 2.根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 3.如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则____7．（填“”或“〈”） 4.“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示。每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为______。 5.若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 不等式的基本性质 1.若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 2.若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4.下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型一 不等式的解 1.已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 2.若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 3.不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 4.写一个解集为x＜-4的不等式为____________。 5.在，，，四个数中，______ 是不等式的解。 题型二 利用不等式的基本性质求参数的取值范围 1.由，得，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2.关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3.已知，且，则的取值范围是______。 4.若，则_________（选择用适当的不等号填空） 5.根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________。 6.如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________。 7．若，且，则的取值范围为_______。 1.若，则下列结论不一定正确的是（） A． B． C． D． 2.已知，且，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是____________（填序号）。 5.成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头。如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完。 6.求同时满足 ，，且 的a的最大整数值及最小整数值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 2.1 不等式及其基本性质 （分层题型专练） 题型一 识别不等式 1.下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键。 【详解】解：、是代数式，该选项不符合题意； .是等式，该选项不符合题意； .是不等式，该选项符合题意； .是代数式，该选项不符合题意； 故选：． 2.下列式子中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键。根据不等式的定义，含有不等号（如<、>、、、）的式子是不等式，否则不是。 【详解】解：∵不等式需用不等号连接，而D选项“”使用等号，是等式，∴D不是不等式。 故选：D． 3.下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查不等式的定义，根据不等式的定义“用不等号连接的式子”进行判断即可。 【分析】解：不等式是用不等号（如“〈”“”“”“”“”等）连接的式子， 选项A： 是代数式，不含等号或不等号，不是不等式； 选项B： 用“〈”连接，符合不等式的定义； 选项C： 是等式，用“”连接； 选项D： 是等式，同样用“”连接； 故选：B． 4．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，〈，，，）表示不等关系的式子叫作不等式，理解不等式的定义是解题的关键。 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可。 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式。 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式。 ∴共有个不等式。 故选：B． 题型二 列不等式 1.为了保证学生能正常学习，学校的噪声一般不得超过50分贝。设学校的噪声为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪声x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 2.“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列不等式，先根据题意找出数量关系，再用不等式表示出来，关键在于理解“非负数”的含义，即大于等于0，然后根据“x与3的差的2倍”这一描述列出不等式。 【详解】解：x与3的差可表示为：， x与3的差的2倍可表示为：， ∵式子是非负数， ∴, 故选：C． 3.根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____。 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式。 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 4.x的与5的和不大于7，用不等式表示为___________。 【答案】x+5≤7 【分析】不大于即为小于等于，据此列不等式即可。 【详解】解：由题意得x+5≤7， 故答案为：x+5≤7． 【点睛】此题考查了列不等式，正确理解不大于的含义是解题的关键。 5.我县某一天的最高气温是11℃，最低气温是零下4℃，则当天我县气温t（℃）应满足的不等式是 __________。 【答案】﹣4≤t≤11 【分析】根据题意写出不等式即可。 【详解】解：因为最低气温是零下4℃，所以﹣4≤t， 最高气温是11℃，t≤11， 则今天气温t（℃）的范围是﹣4≤t≤11． 故答案是：﹣4≤t≤11． 【点睛】本题考查的是不等式的定义，不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫作不等式。 题型三 不等式与交通应用 1.交通法规人人遵守，文明城市处处安全。在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案。 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 2.小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”。若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等号的理解，根据“限载”表示物体总质量不超过，即可作答。 【详解】解：“限载”表示物体总质量不超过， 若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则， 故选：B． 3.如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用不等式表示，根据图示可知车速不低于60，不超过120，再用不等号连接即可。 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 4.假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为________． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键。根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可。 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）。 5.如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为__________。 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫作不等式。根据题意可知汽车的速度不超过，即汽车的速度小于等于，然后用符号表示即可。 【详解】解：根据题意知速度不超过，即小于等于， 故用不等式表示为， 故答案为：． 题型四 天平上的不等式 1.如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意。 根据图形就可以得到药品A的质量的范围。 【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克。 故选：C． 2.根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论。 【详解】解：由图可知，， 故选：B． 3.如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则____7．（填“”或“〈”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时加上或者减去一个数，不等号的方向不变 ，据此即可作答。 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：〈。 4.“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示。每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为______。 【答案】 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键。 【详解】解：由左边图可知，2个的质量大于1个加1个的质量， ∴的质量大于的质量， 由右边图可知，3个的质量等于1个加1个的质量， ∴2个的质量等于1个的质量， 即的质量大于的质量， ∴“”“”“”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为， 故答案为：。 5.若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式两边加（或减）同一个整式，不等号方向不变的性质判断各选项即可。 【详解】解：选项，左右加减不同的数，不满足性质，举反例，可得，，，选项错误； 选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，选项错误； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项正确； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项错误。 题型五 不等式的基本性质 1.若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断选项即可。 【详解】解：∵， ∴，，，， 故A、B、D成立，不符合题意； C不成立，符合题意。 2.若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，依据不等式的基本性质逐一分析选项即可，掌握不等式的基本性质是解题的关键。 【详解】解：、∵， ∴当时，；当时，，故该选项不一定成立，不符合题意； .∵， ∴根据不等式两边同乘，不等号方向改变，则，故该选项不成立，不符合题意； .∵， ∴， ∴根据不等式两边同时加，不等号方向不变， ∴，故该选项不成立，不符合题意； .∵， ∴根据不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故该选项成立，符合题意； 故选：． 3.已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质变换是解题的关键。 根据不等式的基本性质，结合已知条件逐一分析选项，判断正误即可。 【详解】解：∵，， ∴根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变， 可得，，故A、B选项错误； ∵， ∴（负数的平方是正数）， 又∵， ∴根据不等式性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，故C选项正确； ∵，， ∴根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，故D选项错误； 故选C． 4.下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】等式性质1：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；不等式性质1：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； 【详解】解：A、若，两边同时减1，得，正确； B.若，两边同时乘6，得，正确； C.若，两边同时乘，不等号方向应改变，得，而非，错误； D.若，两边同时加1，得，正确。 题型一 不等式的解 1.已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键。 将代入各个不等式，即可得到答案。 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立。 故选：D． 2.若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可。 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B.中不包含，不符合题意； C.中包含，符合题意； D.中不包含，不符合题意； 故选：C． 3.不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解。 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意。 故选：A． 4.写一个解集为x＜-4的不等式为____________。 【答案】x+4＜0（答案不唯一）。 【分析】根据题意写出不等式即可。 【详解】解：∵x+4＜0的解集是x＜-4， 故答案为：x+4＜0（答案不唯一）。 【点睛】本题考查了不等式的解集，解题关键是熟练运用解不等式的知识，写出不等式。 5.在，，，四个数中，______ 是不等式的解。 【答案】6 【分析】移项，合并同类项得出不等式的解集即可得出答案。 【详解】解：， ， 在，，，四个数中，符合条件的只有， 即是不等式的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变。 题型二 利用不等式的基本性质求参数的取值范围 1.由，得，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以后，不等号方向由“〈” 变为“”，说明是负数，因此只需判断选项中哪个数是负数即可。 【详解】解：已知，两边同乘后得到，不等号方向改变，说明． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一性质，从而判断出的符号。 2.关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质。掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键。 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围。 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 3.已知，且，则的取值范围是______。 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可。 【详解】解：由，得． 因为，所以，因此，即． 故答案为：． 4.若，则_________（选择用适当的不等号填空） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质。根据不等式的基本性质，由，两边同乘负数时不等号方向改变，再同加一个数不等号方向不变，从而得到与的关系。 【详解】解：， 不等式两边同乘（负数），不等号方向改变，得， 在不等式两边同加，不等号方向不变，得． 故答案为：。 5.根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________。 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键。 根据不等式的性质即可求解。 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“〈”， ∴， 故答案为：． 6.如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________。 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变。由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数。 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 7．若，且，则的取值范围为_______。 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键。先根据不等式的性质可得，再解不等式即可得。 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 故答案为：． 1.若，则下列结论不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式性质。根据不等式性质，对已知条件变形或取反例判断各选项是否一定成立。 【详解】解：∵， 选项A：两边同乘，不等号方向改变，得，一定成立。 选项B：两边同乘，得，又∵，∴，一定成立。 选项C：由，得，又∵，∴，一定成立。 选项D：由，得，但不一定成立， 反例：取，则，此时，故不等式不成立，故不一定正确。 ∴不一定正确的是D． 故选：D． 2.已知，且，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，绝对值的性质 ，掌握作差法和特殊值求法是解答关键。 根据等式的性质来进行判定求解。 【详解】解：由条件可知，，，的正负不确定， A. 当， ，当时，所以不一定成立，故此项不符合题意； B. 因为，且，所以，所以，故此项符合题意； C. 因为，且，所以令，，，所以，所以此项错误，不符合题意； D. 因为，且，所以令，，，所以，故此项错误，不符合题意。 故选：B. 3．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质。 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可。 【详解】解：∵， ∴,,, ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是____________（填序号）。 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键。 根据不等式的性质逐项判断即可得出答案。 【详解】解：若，当时，，∴①说法错误； 若，根据不等式的性质1，得，则，∴②说法正确； 若，当时，根据不等式的性质3，得，∴③说法错误； 若，可知，故，根据不等式的性质2，得，∴④说法正确。 故答案为：②④。 5.成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头。如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完。 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解。 设到第n代时，总人数为等比数列前n项和，每人搬运吨，总搬运量需不小于万吨，即总人数不少于人，先求出，再求解。 【详解】解：设到第n代时，可搬完大山。从第1代到第n代，各代的人数依次为，，，，总人数为， 所以． 所以， 即， 总搬运量为吨， 需满足， 即， 所以． 已知，， 故，即到第13代时大山可以搬完。 故答案为：． 6.求同时满足 ，，且 的a的最大整数值及最小整数值。 【答案】的最大整数值是，最小整数值是3 【分析】本题考查了加减消元法解方程组，不等式的性质；通过消元法消去和，建立的取值范围，再结合不等式条件筛选出符合条件的整数值即可，特别需要注意代数运算的准确性及不等式链的处理。 【详解】解：依题意， ①②得： 即③ 将③代入①得：（ 即 所以④ 因为，即 所以，即 因为，即 所以，即 所以 所以 而 所以 即 所以的最大整数值是，最小整数值是． 答：同时满足 ，，且的的最大整数值是，最小整数值是3． 学科网（北京）股份有限公司 $