三角问题中有关参变量的求解策略 讲义-2026届高三二轮专题复习

三角问题中有关参变量的求解策略 三角内容在高中数学里扮演着独特的角色,在知识网络交汇点处起着桥梁和纽带作用,它与其它相关知识有着密切的内在联系,既是体现数学思想方法的重要内容,也是解决有关学科问题与实际问题的重要工具.在三角含参问题中,一般涉及函数、不等式、三角函数性质及三角恒等变形等相关知识和内容,它们之间有机地结合在一起,且具有问题综合性强、解题方法多样、解题技巧灵活等特点,这种三角函数中含参变量问题的求解是历年各类考试命题的热点,需引起足够重视. 一、恒成立问题中的函数最值法 当在自变量的允许取值范围内恒成立,其充要条件是:.利用这个结论求解三角不等式中含参变量的取值范围将显得十分简洁. 例1.已知函数,若对恒成立,求实数的取值范围. 解:因,由,可得对恒成立;令则;再令,则时,;由上述结论知:只需即可,故实数的取值范围为. 二、存在问题中的函数最值法 若存在自变量满足,其成立的充要条件是:.利用此结论能快捷求出某些三角不等式中含参变量的取值范围. 例2.已知,若存在，使得成立;求实数的取值范围. 解:因,则问题等价于:存在,使,令(其中),由上面结论知只需即可;因则,故;从而有,解得,即满足条件的实数的取值范围为. 三、定值问题中的分离主变量法 对于解析式恒为定值的三角求参变量问题,可通过分离主变量的技法,并将主变量的系数视为零,这样就能很轻松方便地求出参变量之值. 例3.已知(其中为常数,且满足);试问为何值时,的值总是一个定值,并求出这个定值. 解:因 ;由于的值不随变化的充要条件是 ①,即,将两式平方相加可得;由①式又得,两式平方相加得;又因,故得,即,此时定值. 四、单调性问题中的子集包含法 对于三角函数中涉及在给定区间上单调性问题的参变量求解,一般是先求出包含区间在内的具有相同单调性的最大区间,利用集合中的子集包含关系,即进行转化处理,能达到直观、简捷求解之目的. 例4.设函数(其中),若在区间上为增函数,求实数的最大值. 解:因 ,由,解得即在每一个闭区间上单调递增;而的单调增区间中含元素的最长增区间为,依题意有,则解得,即故. 五、相位参数确定的周期性质法 当要确定三角函数的相位中参变量的最值时,需要根据具体已知条件并利用三角函数的周期性质来建立一个等量关系式,然后由该等式通过新变量赋值的方法可轻而易举地得到所求的最值. 例5.将函数的图像向右平移个单位长度后,所得到的图像与原图像重合;求的最小值. 解:依题意将函数的图像向右平移个单位长度后得 的图像;因两函数图像重合,必有,即有成立,由三角函数的周期性质知(且),解出(且);又因,故当时,.(另解:由于三角函数是周期函数,依题意并根据周期函数的性质知是函数的一个周期,而的最小正周期为,则也是的周期;从而有,即(且);又因,故当时,.) 例6.若函数在区间上至少存在个最大值点,求的取值范围. 解:由于函数的最小正周期为,区间的长度为;而当自变量在上按从小到大的顺序取值时,在处函数第一次取得最大值为,并在此后的每一个周期上函数都只能取到一次最大值;依题意有,且,解出;故的取值范围为. 评注:本例6中,当把条件改为时,在其它条件和设问不变的情况下,解法如下:当时,函数与两者的图像是关于轴对称的,而的图像与例6中函数图像完全相同;由于的最小正周期为,而当自变量在上按从小到大的顺序取值时,在处函数第一次取得最大值为,并在此后的每一个周期上函数都只能取到一次最大值;依题意有,且,解出;故的取值范围为. 六、平移参数确定的诱导公式法 对于三角函数形如的图像向左或向右平移若干个单位长度后,得到的新函数是一个具有奇偶性的函数,若需要确定平移参变量的最小值时,可利用三角函数诱导公式能快速简洁地解决问题. 例7.将函数的图像向左平移个单位长度后,所得到的图像关于轴对称;求的最小值. 解:因函数,其图像向左平移个单位长度后得到函数的图像;依题意函数的图像关于轴对称,表明函数为偶函数,再根据三角函数诱导公式必有成立,则有即;又因,则当时,.(评注:本题若将平移后的函数为偶函数改为奇函数(图像关于坐标原点对称),则根据三角函数诱导公式必有成立,则有即;又因,则当时,.) 七、参变量与变量间的反客为主法 这种参变量与变量之间通过反串易位(即反客为主)的思维方法是解决含参变量问题的一种重要解题策略;当问题涉及两个或多个变量时,可视其中一个已确定范围的变量为主元,把其余量都看作参数,这样就将多元化为一元来解决,常常可以降低思维难度而使问题轻松获解. 例8.若不等式对恒成立,求实数的取值范围. 解:因,令,则问题等价于对恒成立;而为一次函数或常函数,只需,解得为实数的取值范围. 八、变量代换转化成二次型的函数最值法 对于式中既含有又含有或时,可使,或,再利用变量代换令,然后将式子化成关于为主元的二次函数形式,最后通过求函数的最值方法巧妙得到参变量的取值范围. 例9.已知存在,使得不等式成立,求实数的取值范围. 解:因,则原不等式化为,设,则条件等价于:存在,使得成立;令为一个二次函数,其对称轴,故在上单调递减;依题意只需解,即成立,上式等价于下列两个不等式组;分别解之得:或;故满足条件的实数的取值范围为.(另解：可令,因,依题意只需解即可;当时,,下同上解法.) 九、多个参数整体和的三角换元法或均值不等式法 当已知条件中出现形如等式或不等式,而结论需要求变量之和的取值范围时,我们不难想到可利用三角换元(如例10法1)或均值不等式(如例10法2)的方法来解题,且能将问题化难为易、化繁为简地巧妙获解. 例10.设实数满足;求的取值范围. 解法1:因,则;设,并设;再令(其中)., 易证在上单调递增,则;当且仅当,,即时,.同理;当且仅当,即,.于是得,故的取值范围为. 解法2:因,则;由均值不等式对总成立,即(当且仅当前者时取等号,后者时取等号).从而有:(1),易证在上单调递增,则,即当且仅当时取等号;(2) ,即当且仅当时取等号;故综合(1)(2)可得的取值范围为. 十、参变量分离法或划归二次函数型法 由于所求参变量可以从已知式子中独立分离出来放置在新式子的左边,然后用我们熟悉掌握的方法求出新式子右边函数解析式的最值或值域,就能使参变量进一步简单方便地获解(如例11法1和前面例2);有时也可以将主变元(或式子)通过转化后,利用变量代换化成我们非常熟悉的二次函数中含参数问题去解,根据大家熟练掌握的二次函数图像与性质等知识,能轻而易举、按部就班地将问题解决(如例11法2和前面例9). 例11.已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围. 解法1:原不等式化为 ①.(1)若时,则,不等式①显然恒成立,即此时.(2)若时,则,不等式①化为对恒成立;令 ,则只需.综合(1)(2)取它们的交集得实数的取值范围为. 解法2:设,则原不等式转化为对恒成立;令,则只需求满足时,成立的实数的取值范围即可,而二次函数的对称轴是.从而分情况讨论如下:①当时,则有,即,得;②当时,则有,此时;③当时,则有,得;综合①②③取并集. 学科网（北京）股份有限公司 $