正弦定理的4种高频考点专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

正弦定理的4种高频考点专项训练 正弦定理的4种高频考点专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 正弦定理求外接圆半径 正弦定理判断三角形解的个数 正弦定理边角互化的应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·贵州黔南·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 例3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则__________. 例4．（24-25高一下·广东清远·期末）在中，角的对边分别为，已知，则__________. 变式1．（24-25高一下·四川达州·月考）设中，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 变式3．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，则______． 变式4．（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 考点二 正弦定理求外接圆半径 例1．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·上海宝山·月考）在中，，则其外接圆的半径为___________． 变式1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 变式2．（24-25高一下·天津西青·月考）在中，，，，则边长________， 则的外接圆半径______. 考点三 正弦定理判断三角形解的个数 例1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·四川眉山·期末）在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 考点四 正弦定理边角互化的应用 例1．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 例2．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例3．（24-25高一下·辽宁大连·期末·多选）在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4．（24-25高一下·广东湛江·期末·多选）在锐角中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 例5．（25-26高一上·云南楚雄·月考）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则______________． 例6．（24-25高一下·江苏常州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________． 例7．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 例8．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 变式1．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 变式2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 变式3．（25-26高三上·湖北·期中·多选）中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 变式4．（24-25高一下·广东深圳·期中·多选）在中，角所对的边的长分别为．若，则下列命题中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，面积的最大值为1 D．是内部的动点，满足，若，则实数的最小值为 变式5．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 变式6．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则__________. 变式7．（24-25高一下·陕西汉中·期末）在中，角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 变式8．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. (1)求B； (2)若，，求a、c. 2 学科网（北京）股份有限公司 $正弦定理的4种高频考点专项训练 正弦定理的4种高频考点专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 正弦定理求外接圆半径 正弦定理判断三角形解的个数 正弦定理边角互化的应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以. 又因为中，，由正弦定理得， 所以. 例2．（25-26高三上·贵州黔南·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 例3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则__________. 【答案】 【详解】因为，且为三角形的内角，所以. 由正弦定理，得：. 故答案为： 例4．（24-25高一下·广东清远·期末）在中，角的对边分别为，已知，则__________. 【答案】 【详解】在中，由，得， 由正弦定理，得. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·四川达州·月考）设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 变式2．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 变式3．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，则______． 【答案】 【详解】根据正弦定理可知，， 所以，解得. 故答案为：. 变式4．（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以， 根据正弦定理得. 故答案为： 考点二 正弦定理求外接圆半径 例1．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积. 故选：A. 例2．（24-25高一下·上海宝山·月考）在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】/ 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·天津西青·月考）在中，，，，则边长________， 则的外接圆半径______. 【答案】 / 【详解】在中，，，， 所以，，则为钝角，且， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得，故. 故答案为：；. 考点三 正弦定理判断三角形解的个数 例1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 例2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 例3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 变式1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为， 在中，设，则，得， 于是，解得，，． 由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动， 故，可得， 故选：B． 变式2．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 变式3．（24-25高一下·四川眉山·期末）在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 考点四 正弦定理边角互化的应用 例1．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C 例2．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 例3．（24-25高一下·辽宁大连·期末·多选）在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】A：由，化简得，即， 又，则，则为等腰直角三角形，故，故A正确. B：由，可得，因，即， 当，时满足，但此时，故B错误； C：由，则可化简为，即， 即，故C错误； D：若，则，则，则 代入得，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：AD. 例4．（24-25高一下·广东湛江·期末·多选）在锐角中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．角B的范围是 C．若的平分线交BC于D，，，则 D．的取值范围是 【答案】ACD 【详解】A、B：由正弦边角关系有， 所以，又且，，所以，故A正确； 由上，可得，故B错误: C：如下图示，设，则，， 由，则，且，则， 所以， 而，且，则，所以，故C正确； D：由， 而，且在上单调递增，则值域为，故D正确. 故选：ACD. 例5．（25-26高一上·云南楚雄·月考）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则______________． 【答案】 【详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为，所以，所以． 故答案为：. 例6．（24-25高一下·江苏常州·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则__________． 【答案】 【详解】因为， 由正弦定理可得： 即 所以 又，所以， 又，， 解得或， 又，所以． 故答案为：． 例7．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以，所以，所以； （2）由，可得，即， 由（1），，所以， 所以. 例8．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以. 又，所以， 则，因为，所以， 即. 由，可得. （2）因为△ABC的面积为1，所以，得. 由余弦定理可知， 则， 所以，故△ABC的周长为. 变式1．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 变式2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·湖北·期中·多选）中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 变式4．（24-25高一下·广东深圳·期中·多选）在中，角所对的边的长分别为．若，则下列命题中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，面积的最大值为1 D．是内部的动点，满足，若，则实数的最小值为 【答案】ACD 【详解】由正弦定义以及，可得， 因为在中，， 所以，化简得：， 因为在中，，所以，由于，故，故A正确； 对于B，由，可得，由于，所以，由于，所以，，故B不正确； 对于C，已知，，则，， 当且仅当时取等号，所以面积的最大值为1，故C正确； 对于D，设，，，因为， 所以在中，， 同理可得：，， 因为，所以，所以, 化简得 ：， 又因为，即，所以，当且仅当时取等号； 所以，化简得：，解得或（舍去）， 所以实数的最小值为，故D正确； 故选：ACD 变式5．（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 【答案】/ 【详解】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 变式6．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则__________. 【答案】/ 【详解】因为， 由正弦定理，得，又， ， ，又，， ，即，又， ，即. 所以. 故答案为：. 变式7．（24-25高一下·陕西汉中·期末）在中，角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）由正弦定理得：， ， ， . （2）由，得. 由余弦定理，得. 即， 的周长为. 变式8．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. (1)求B； (2)若，，求a、c. 【答案】(1) (2)，或， 【详解】（1）因为， 即， 即， 由正弦定理可得， ，， ，，， ，. （2）由（1）可得. ，， ，又， 即， ，由，解得或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $