7.3 万有引力理论的成就 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦万有引力理论的应用，系统梳理“称量”地球质量（重力等于万有引力）、环绕法计算中心天体质量、天体密度（表面重力加速度或卫星运动）及运动参量（v、ω、T、a）与轨道半径关系，构建从原理到应用的学习支架。 资料特色在于结合中国航天案例（如神舟飞船、空间站）设计问题，通过模型建构（匀速圆周运动模型）和科学推理（公式推导）培养科学思维，考点演练覆盖多情境，课中辅助教学，课后助力学生巩固知识，提升解决实际问题能力。

第七章第三节万有引力理论的成就 知识点一计算天体的质量 1“称量”地球的质量 (1)合理假设：不考虑地球自转的影响. (2)称量原理：地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即 (3)结果：,其中g和R在卡文迪什测定引力常量之前就已经知道了，在卡文迪什准确测定了引力常量G后，就可以算出地球的质量，这意味着人们在实验室里“称量”了地球的质量. 2计算中心天体质量的方法 (1)环绕法(万有引力=向心力) 此法的思路是绕中心天体做匀速圆周运动的行星(或卫星)所受的万 有引力充当向心力，即. 由此可见，只要测出行星(或卫星)运动的轨道半径r和公转周期T就可计算中心天体的质量M. (2)测“g”法(重力=万有引力) 此法的思路是不考虑天体的自转，则天体表面物体所受重力等于天体对物体的万有引力，即. 由此可见，只要知道天体表面的重力加速度和天体的半径，就可计算此天体的质量M. 知识点二计算天体的密度 1利用天体表面的重力加速度求天体的密度 由和,得.其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径. 2利用天体的卫星求天体的密度 设卫星绕天体运动的轨道半径为r,周期为T,天体半径为R,则可列出方程 则 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r近似等于天体半径R,则天体密度为 3计算天体密度的基本思路 依据行星或卫星绕中心天体做圆周运动的一些物理量来求解中心天体的质量，同时，也可以依据中心天体表面的重力加速度来求解中心天体的质量.倘若再知道中心天体的半径，进而求出其体积，则密度即可求解.求解问题时，要根据题给条件进行分析，切勿盲目套用公式. 知识点三天体运动参量的决定因素 1问题探究 天体做圆周运动时，描述天体运动的主要参量有线速度v、角速度w、周期T、向心加速度a等，而且表示它们间关系的公式也有很多，如向心加速度,还有.那么这些天体运动参量究竟与什么有关呢? 2问题分析 设某环绕天体的质量为m,所绕中心天体的质量为M,环绕天体做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供.向心力F、向心加速度a、线速度v、角速度w和周期T与轨道半径r的关系如下表. 物理量 关系 F、r a、r v、r 、r T、r 3结论归纳 由此也可以看出，环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v、角速度w、周期T及加速度a等，皆与环绕天体的质量无关，只与中心天体质量M和轨道半径r有关. 一．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共20小题） 1．中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球质量为地球质量的p倍，月球半径为地球半径的q倍，不考虑星球自转，为使质量为m的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 2．在地球表面，一质量为1kg的物块静止在粗糙的水平桌面上，用一方向水平、大小为5N的力F作用在物块上，物块恰好做匀速直线运动，如图甲所示。若把该装置放到X星球表面，需要让力F与水平方向成37°角（大小不变）才能使物块做匀速直线运动，如图乙所示。已知X星球的质量是地球质量的2倍，地球表面的重力加速度大小g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则X星球的半径与地球的半径之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1 3．假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 4．2023年5月30日，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”，随后，两个航天员乘组拍下“全家福”如图。若中国空间站绕地球可视为匀速圆周运动，已知空间站轨道离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．空间站的运行速度为 C．空间站的运行周期为 D．航天员能处于漂浮状态是因其受到的合力为零 5．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a﹣x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（　　） A．M与N的密度相等 B．物块Q的质量是物块P的3倍 C．两个弹簧的最大压缩量相同 D．M与N的质量相等 6．月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A． B． C． D． 7．《流浪地球》系列电影深受好评，观众分析流浪地球的发动机推动地球的原理：行星发动机通过逐步改变地球绕太阳运行的行星轨道，然后达到极限以后通过引力弹弓效应弹出地球，整个流浪时间长达几十年。通过停止自转，然后加大地球的反推力来逐步改变地球绕太阳公转轨道。具体过程如图所示，轨道1为地球运行的近似圆轨道，轨道2、3为椭圆轨道，P、Q为椭圆轨道长轴端点。以下说法正确的是（　　） A．地球在1、2、3轨道的运行周期分别为T1、T2、T3，则T1＞T2＞T3 B．地球在1、2、3轨道运行时经过P点的速度分别为v1、v2、v3，则v1＞v2＞v3 C．地球在3轨道上运行经过P点的加速度大于在2轨道上运行经过P点的加速度 D．地球在1轨道P点加速后进入2轨道，在2轨道P点再加速后进入3轨道 8．人造地球卫星在离地面高度等于地球半径的轨道上做匀速圆周运动，舱内的弹簧秤下悬挂一个质量为m的物体，设g0为地面处的重力加速度，则弹簧秤示数为（　　） A．0 B． C． D．mg0 9．假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g1，则在纬度为45°的地球表面上重力加速度为（　　） A． B． C． D． 10．已知火星半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星均看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转及空气阻力，在地球上斜抛一个小沙包，其上升的最高点距离抛出点的高度差为2m，假设出手时的速度大小方向都不变，则在火星上，沙包上升的最高点距离抛出点的高度差约为（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 11．假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D．g0﹣g 12．2025年2月11日17时30分，由航天科技集团五院研制的卫星互联网低轨“02组”卫星，在中国文昌航天发射场发射成功，在离地高度不变的低空轨道上围绕地球做匀速圆周运动。下列关于“02组”卫星的说法正确的是（　　） A．地球对卫星引力为恒力 B．卫星的加速度为零 C．地球引力对卫星不做功 D．地球引力的功率不为零 13．如图所示，地球从外到内分为地壳、地幔、地核三部分，其中地核质量约为地球总质量的0.32倍，半径约为地球半径的0.55倍。地壳、地幔、地核视其质量均匀分布，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零，则地幔和地核交界处的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比为（　　） A．1.06 B．0.95 C．0.58 D．0.55 14．哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，哈雷彗星的公转周期为T。则哈雷慧星（　　） A．质量 B．公转周期年 C．在近日点与远日点的速度大小之比为 D．在近日点与远日点的加速度大小之比为 15．某螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r变化的关系图像如图所示。在r＞R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r＞R）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。已知暗物质在以此螺旋星系中心为球心的任意球面上质量均匀分布，球面外的暗物质对球面内恒星的引力为零。下列说法正确的是（　　） A．在r＜R范围内，星系中不同位置处恒星的加速度a与r2成反比 B．在r＜R范围内，星系中不同位置处恒星的加速度a与r成反比 C．在r≤3R范围内，暗物质的质量为3M D．在r≤3R范围内，暗物质的质量为2M （多选）16．随着中国航天科技的飞跃发展，中国宇航员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 17．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 18．我们的征途是星辰大海，近两年潜水艇与航天事业成就斐然。 （1）中国自主研发的万米载人潜水器“奋斗者”号，于2020年11月10日8时12分在马里亚纳海沟深度10909m处成功坐底，并停留6h进行了一系列的深海探测科考活动。下列关于潜水器说法正确的是　 　 。 A.采集海底矿物时，潜水器需要做一系列精细动作，故该情境中不能将潜水器视为质点 B.下潜时经过的路程一定为10909m C.下潜平均速度约为0.51m/s D.“8时12分”指的是时间间隔 （2）神舟十三号飞船和空间站组合体成功对接一同匀速在轨运行则　 　 。 A.选地球为参考系，空间站组合体是静止的 B.选地球为参考系，神舟十三号是静止的 C.选空间站组合体为参考系，神舟十三号是静止的 D.选神舟十三号为参考系，空间站组合体是运动的 （3）假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面24m高处由静止释放一重物，测得重物经过4s落到火星表面，则火星表面的重力加速度大小为　 　 m/s2，重物下落过程中，第2s内、第3s内、第4s内的位移大小之比为　 　 。 （4）大家知道，在环绕地球运动的航天器是处于完全失重的状态，不能利用天平称量物体的质量。当力一定时，物体的质量越大，加速度就越小，根据牛顿第二定律能得出物体的质量。如图所示，已知标准物A的质量为m1，连接在标准物A前后的力学传感器的质量均为m2，待测质量的物体B连接在后传感器上，在某一外力作用下整体在空间站内的粗糙桌面上运动，稳定后前后传感器的读数分别为F1、F2，由此可知待测物体B的质量为　 　 。 19．原野上的一星微火初不成气候，却能借势成窜动火舌，铺展成连绵火海。物理研究亦循此理，遇微小量难观测时，便将其巧妙放大，让细微变化从隐匿处显形，助人类捕捉不易察觉的规律。 受地势等因素的影响，火的蔓延可能会加速、减速或匀速。已知某火焰向四周蔓延形成火圈，火圈外延半径r随时间t的变化关系如图所示。0～2h内的图线为一条直线，2～4h内的图线为一条抛物线，对称轴为t＝4h，抛物线与直线相切。据此回答第（1）～（3）题。 （1）火圈外延在0～2h内的蔓延速度大小为　 　 m/s。 （2）火圈外延在2～4h内　 　 。 A.匀加速蔓延 B.匀减速蔓延 C.加速度增大的加速蔓延 D.加速度增大的减速蔓延 E.加速度减小的加速蔓延 F.加速度减小的减速蔓延 （3）（论述）对上述第（2）题中的选择做出解释。 微小火苗终成燎原大火，微小物理量也同样可以经过放大进行测量。据此回答第（4）～（5）题。 （4）如图，把一支激光笔A固定在支架上，激光束分别经平面镜B和C反射后射到天花板，形成光斑。 ①在桌面上放一重物M，光斑D会　 　 。 A.向左移 B.向右移 C.不移动 ②桌面上的重物M质量越大，光斑的移动幅度　 　 。 A.越大 B.越小 ③（多选）下列关于该实验的说法中，正确的有　 　 。 A.该实验放大了重物的重力使重物发生的微小形变 B.该实验放大了桌面对重物的弹力使重物发生的微小形变 C.该实验放大了桌面对重物的弹力使桌面发生的微小形变 D.该实验放大了重物对桌面的弹力使桌面发生的微小形变 E.该实验中重物对桌面有弹力是因为桌面发生了微小形变 F.该实验中桌面对重物有弹力是因为桌面发生了微小形变 （5）卡文迪什与库仑分别利用了扭秤装置结合“放大法”研究了万有引力与静电力。 ①这两个“扭秤实验”　 　 。 A.都利用了平面镜对光的反射放大了扭秤扭转的角度 B.前者测出了引力常量G，后者测出了静电力常量k C.前者验证了万有引力定律，后者探究得到了库仑定律 D.前者不需要将实验中的小球简化为质点，后者不需要将实验中的小球简化为点电荷 ②卡文迪什在扭秤实验后又测出了地球质量。请通过计算说明卡文迪什测量地球质量的方法。 20．激光导星，是通过发射激光来矫正地球大气扰动的影响，从而使地面望远镜获得稳定的高质量天体影像。真空中光速为c。 （1）研究某太阳系远处行星时，从地表实验室发射一束波长为λ的激光，到激光返回实验室的时间为t。忽略行星和地球的相对运动。 ①激光的频率为　 　 ； ②由此可估计，地球和行星间的距离为　 　 ； ③考虑到大气层对激光折射率的影响，该测量距离与实际距离相比　 　 。 A.偏小 B.偏大 C.相同 （2）导星的光线经过大质量恒星附近会发生弯曲，可用于解释该现象的理论主要是　 　 。 A.狭义相对论 B.广义相对论 C.量子力学 D.牛顿力学 （3）在天文学中，日地平均距离记作1AU，地球质量记作1Me。通过激光导星可测得地月平均距离约为0.00257AU。已知月球质量约为0.0123Me，太阳质量约为3.33×105Me。则地球绕日公转的动能与月球绕地公转的动能的比值约为　 　 。 A.7×104 B.7×105 C.7×106 D.7×107 二．用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归（共1小题） （多选）21．美国著名文学家马克•吐温曾满怀激情地说“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获”。假设在某星球赤道位置采得一矿石，称得其质量为m0，体积为V0，重力为G0。已知该星球可视为匀质球体，自转周期为T0。下列说法正确的是（　　） A．矿石受到星球的万有引力大小为G0 B．赤道处的向心加速度大小可能等于 C．若已知引力常量G，可推知星球的半径 D．若已知引力常量G，可推知星球的质量 三．计算天体的质量和密度（共20小题） 22．2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为T1，轨道半径为r1，月球绕地球运动的周期为T2，轨道半径为r2。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳，地球，月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为t 23．2025年4月25日，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。中国空间站绕地球做匀速圆周运动，其与地心的连线在单位时间内扫过的面积S与线速度的大小v满足S。已知地球的半径为R，引力常量为G，k为常量，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 24．2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853﹣0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T＝2.15毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67×10﹣11N•m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A．3×1010kg/m3 B．3×1013kg/m3 C．3×1016kg/m3 D．3×1019kg/m3 25．截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算地球的质量为 26．如图所示，飞行器P绕某未知星体做匀速圆周运动。测得星体相对飞行器的张角为θ。为计算该星球的密度，还需要测量的物理量是（　　） A．星体的质量 B．星体的半径 C．飞行器运行的周期 D．飞行器的轨道半径 27．卫星在不同轨道绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（　　） A． B． C． D． 28．2024年6月25日嫦娥六号返回器顺利着陆。返回器与主舱室分离后，主舱室通过调整后在圆轨道运行，返回器用“打水漂”的方式再入大气层，最终通过降落伞辅助成功着陆，其主要过程如图。已知主舱室维持在半径为r的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G，则有（　　） A．主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应大于7.9km/s B．打开降落伞后，返回器靠近地面过程中一直处于失重状态 C．由题给条件可求出地球密度为 D．根据题给条件可求出地球质量 29．为了探测某星球，某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做无动力匀速圆周运动，测得运行周期为T，然后登陆该星球，测得物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半，已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则由此可得该星球的质量为（　　） A． B． C． D． 30．2024年6月25日，嫦娥六号返回器携带月背样品重返地球，中国成为第一个从月球背面带回月壤的国家。图（a）为嫦娥六号奔月的示意图，图（b）为嫦娥六号在地球轨道和月球轨道上运行周期的平方（T2）与轨道半长轴的三次方（a3）的关系图，图线Ⅰ和图线Ⅱ的斜率分别为k1和k2。若地球质量为M，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 31．宇宙中有两颗恒星S1、S2，半径均为R0。如图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的关系图像，则（　　） A．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为2：1 B．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为4：1 C．恒星S1与恒星S2的密度之比为1：2 D．恒星S1与恒星S2的密度之比为2：1 32． 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功实现了与天和核心舱前向端口的对接，标志着我国航天事业又取得进一步突破。对接后的飞船与空间站形成一个新的组合体，将该组合体绕地球的运行视为匀速圆周运动。已知万有引力常量G，根据下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．组合体的质量和绕地半径 B．组合体的质量和绕地周期 C．组合体的绕地线速度和绕地半径 D．组合体的绕地角速度和绕地周期 33．太阳内部的热核反应使其质量在缓慢减小，在若干年后，若地球绕太阳的运动仍可视为匀速圆周运动，则描述地球绕太阳运动的物理量与现在相比（　　） A．半径不变 B．半径变小 C．周期不变 D．周期变大 34．如图甲所示，一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，动量的大小为p，与月面的距离为h，此卫星对月球的张角为 60°；如图乙所示，一颗绕火星做匀速圆周运动的探测器，动能为Ek此探测器对火星的张角也为60°，已知月球的第一宇宙速度为v0，火星的质量为m0，火星的半径为R0，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的半径为1.5h B．卫星的动能为 C．探测器的质量为 D．探测器受到的万有引力为 35．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双星总质量为（　　） A． B． C． D． 36．宇航员登陆某行星后，在该行星表面做了一个简单的圆周运动实验：从一个空笔杆中穿过一条结实的细绳，细绳两端分别连接小球A和B，小球A和B的质量之比为。手持空笔杆让小球A匀速转动起来，笔标保持竖直，适当控制转速，使得拉着A球的细绳几乎与拉着B球的细绳垂直，当B球处于静止状态时，小球A在t时间内转动了n圈。小球A做匀速圆周运动的半径为L。已知该行星的半径为R，引力常量为G，忽略行星自转，不考虑细绳质量和细绳与空笔杆之间的摩擦，行星表面的重力加速度g＝ 　 　 ；行星的平均密度ρ＝ 　 　 。 37．宇航员登陆某行星后，在该行星表面做了一个简单的圆周运动实验：从一个空笔杆中穿过一条结实的细绳，细绳两端分别连接小球A和B，小球A和B的质量之比为。手持空笔杆让小球A匀速转动起来，笔标保持竖直，适当控制转速，使得拉着A球的细绳几乎与拉着B球的细绳垂直，当B球处于静止状态时，小球A在t时间内转动了n圈。小球A做匀速圆周运动的半径为L。已知该行星的半径为R，引力常量为G，忽略行星自转，不考虑细绳质量和细绳与空笔杆之间的摩擦，行星表面的重力加速度g＝ 　 　 ；行星的平均密度ρ＝ 　 　 。 38．在某星球地面上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F；他又乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行时，测得其环绕周期为T，已知万有引力恒量G，根据这些数据，求： （1）星球的半径； （2）星球的平均密度。 39．假设未来的航天员登陆某半径为R的星球，为测量该星球的质量，航天员采用如下方法：如图所示，在星球表面的水平地面上，物块以大小为v的水平初速度开始运动，物块运动到距离出发点d处速度恰好减为0。已知物块与地面间的动摩擦因数为μ，引力常量为G，不计星球的自转。求： （1）物块从开始运动到速度恰好减为0所用的时间t； （2）该星球表面的重力加速度大小g； （3）该星球的质量M。 40．某摆长为L的单摆被带到月球上，摆动周期为T，已知月球半径为R、引力常量为G，忽略月球自转。求： （1）月球的第一宇宙速度v； （2）月球密度ρ。 41．（1）在学习了万有引力定律和宇宙速度后甲、乙、丙三位同学对近似“称”月球质量展开了充分讨论，已知月球直径D和引力常数G。甲同学提出可以将已知质量为m的钩码和测力计带至月球，通过测力计测出钩码的重力W，由万有引力定律得到月球质量m月＝　 　 。 （2）乙同学提出可以采用一把刻度尺和一块秒表来“称”出月球质量，假设质量为m的钩码自由下落的高度为h，下落的时间为t，则m月可以表示为 　 　 。（填选项，下同） A． B． C． D． （3）丙同学提出可以从地球向月球发射嫦娥卫星，待嫦娥卫星在绕月轨道稳定做匀速圆周运动后，测出卫星公转一圈的时间T和轨道半径r，根据计算。如果丙同学思路正确，则嫦娥卫星的发射速度应为 　 　 。 A.7.9km/s B.大于7.9km/s小于11.2km/s C.大于11.2km/s小于16.7km/s D.大于16.7km/s 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章第三节万有引力理论的成就 知识点一计算天体的质量 1“称量”地球的质量 (1)合理假设：不考虑地球自转的影响. (2)称量原理：地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即 (3)结果：,其中g和R在卡文迪什测定引力常量之前就已经知道了，在卡文迪什准确测定了引力常量G后，就可以算出地球的质量，这意味着人们在实验室里“称量”了地球的质量. 2计算中心天体质量的方法 (1)环绕法(万有引力=向心力) 此法的思路是绕中心天体做匀速圆周运动的行星(或卫星)所受的万 有引力充当向心力，即. 由此可见，只要测出行星(或卫星)运动的轨道半径r和公转周期T就可计算中心天体的质量M. (2)测“g”法(重力=万有引力) 此法的思路是不考虑天体的自转，则天体表面物体所受重力等于天体对物体的万有引力，即. 由此可见，只要知道天体表面的重力加速度和天体的半径，就可计算此天体的质量M. 知识点二计算天体的密度 1利用天体表面的重力加速度求天体的密度 由和,得.其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径. 2利用天体的卫星求天体的密度 设卫星绕天体运动的轨道半径为r,周期为T,天体半径为R,则可列出方程 则 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r近似等于天体半径R,则天体密度为 3计算天体密度的基本思路 依据行星或卫星绕中心天体做圆周运动的一些物理量来求解中心天体的质量，同时，也可以依据中心天体表面的重力加速度来求解中心天体的质量.倘若再知道中心天体的半径，进而求出其体积，则密度即可求解.求解问题时，要根据题给条件进行分析，切勿盲目套用公式. 知识点三天体运动参量的决定因素 1问题探究 天体做圆周运动时，描述天体运动的主要参量有线速度v、角速度w、周期T、向心加速度a等，而且表示它们间关系的公式也有很多，如向心加速度,还有.那么这些天体运动参量究竟与什么有关呢? 2问题分析 设某环绕天体的质量为m,所绕中心天体的质量为M,环绕天体做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供.向心力F、向心加速度a、线速度v、角速度w和周期T与轨道半径r的关系如下表. 物理量 关系 F、r a、r v、r 、r T、r 3结论归纳 由此也可以看出，环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v、角速度w、周期T及加速度a等，皆与环绕天体的质量无关，只与中心天体质量M和轨道半径r有关. 一．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共20小题） 1．中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球质量为地球质量的p倍，月球半径为地球半径的q倍，不考虑星球自转，为使质量为m的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据万有引力定律，月球表面重力加速度为，地球表面重力加速度为，结合已知条件可得。为使质量为m的人在地面感受到与月球表面相同的重力，需氦气球提供向上的拉力F，满足mg﹣F＝mg月，解得：，故B正确，ACD错误； 故选：B。 2．在地球表面，一质量为1kg的物块静止在粗糙的水平桌面上，用一方向水平、大小为5N的力F作用在物块上，物块恰好做匀速直线运动，如图甲所示。若把该装置放到X星球表面，需要让力F与水平方向成37°角（大小不变）才能使物块做匀速直线运动，如图乙所示。已知X星球的质量是地球质量的2倍，地球表面的重力加速度大小g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则X星球的半径与地球的半径之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1 【答案】B 【解答】解：在地球表面，物块做匀速直线运动，根据平衡条件则有F＝μmg＝5N 代入数据解得μ＝0.5 在X星球表面，物块做匀速直线运动，根据平衡条件则有Fcosθ＝μ（mgx+Fsinθ） 代入数据解得 则gx：g＝1：2 由黄金代换式GM＝gR2可知，两星球半径之比：Rx：R地＝2：1，故B正确，ACD错误。 故选：B。 3．假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意分析可得，质量为m小球的重力 由于球体积为 设地球的平均密度为ρ，地球的质量 联立解得 根据万有引力的公式有，小球在地球内部半径为的隧道运动时受到的万有引力为 此时小球受到的万有引力提供向心力，则有 解得，故A正确，BCD错误； 故选：A。 4．2023年5月30日，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”，随后，两个航天员乘组拍下“全家福”如图。若中国空间站绕地球可视为匀速圆周运动，已知空间站轨道离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．空间站的运行速度为 C．空间站的运行周期为 D．航天员能处于漂浮状态是因其受到的合力为零 【答案】B 【解答】解：A．处于地球表面的物体，根据万有引力等于重力，可得 解得 故A错误； BC．空间站运行速度为v，则 解得 由于 故 故B正确，C错误； D．航天员能处于漂浮状态是因处于完全失重状态，合力不为零（合力充当向心力），故D错误。 故选：B。 5．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a﹣x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（　　） A．M与N的密度相等 B．物块Q的质量是物块P的3倍 C．两个弹簧的最大压缩量相同 D．M与N的质量相等 【答案】A 【解答】解：AD.当x＝0时，物体只受重力作用，此时a为星球表面的重力加速度，由图像得，根据黄金代换式，得星球质量，则，由ρ，则，故A正确，D错误； B.当a＝0时，弹力与重力平衡，根据胡克定律和平衡条件，则有kx0＝mPgM，2kx0＝mQgN，所以有，故B错误； C.物体运动到最低点时弹簧压缩量最大。根据简谐运动的定义可判断物体在星球表面做简谐运动，由运动的对称性，可得P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，故C错误。 故选：A。 6．月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设月球的自转角速度为ω，月球自转角速度与公转角速度相同，月球绕地球公转时，有：由万有引力提供向心力有：mrω2 对于地球极地处的物体，根据万有引力和重力的关系可得：m′g 联立解得：ω2 对月球赤道上的物体，有：m0g极＝m0g赤+m0R0ω2 解得：g极﹣g赤，故A正确、BCD错误。 故选：A。 7．《流浪地球》系列电影深受好评，观众分析流浪地球的发动机推动地球的原理：行星发动机通过逐步改变地球绕太阳运行的行星轨道，然后达到极限以后通过引力弹弓效应弹出地球，整个流浪时间长达几十年。通过停止自转，然后加大地球的反推力来逐步改变地球绕太阳公转轨道。具体过程如图所示，轨道1为地球运行的近似圆轨道，轨道2、3为椭圆轨道，P、Q为椭圆轨道长轴端点。以下说法正确的是（　　） A．地球在1、2、3轨道的运行周期分别为T1、T2、T3，则T1＞T2＞T3 B．地球在1、2、3轨道运行时经过P点的速度分别为v1、v2、v3，则v1＞v2＞v3 C．地球在3轨道上运行经过P点的加速度大于在2轨道上运行经过P点的加速度 D．地球在1轨道P点加速后进入2轨道，在2轨道P点再加速后进入3轨道 【答案】D 【解答】解：A、地球在1、2、3运行轨道的半长轴依次增大，根据开普勒第三定律，半长轴越大，周期越大，可知地球在1、2、3轨道的运行周期关系为：T1＜T2＜T3，故A错误。 BD、地球从轨道1上的P点进入轨道2，做离心运动，需点火加速，可知v1＜v2；同理，地球从轨道2上的P点进入轨道3，做离心运动，也需点火加速，可知v2＜v3，则有v1＜v2＜v3，故B错误，D正确； C、地球在3轨道上运行经过P点和在2轨道上运行经过P点所受的万有引力相等，则加速度相等，故C错误。 故选：D。 8．人造地球卫星在离地面高度等于地球半径的轨道上做匀速圆周运动，舱内的弹簧秤下悬挂一个质量为m的物体，设g0为地面处的重力加速度，则弹簧秤示数为（　　） A．0 B． C． D．mg0 【答案】A 【解答】解：人造地球卫星在离地面高h＝R的轨道上做匀速圆周运动，悬挂物体的万有引力充当向心力，故物体处于完全失重状态，弹簧示数为0，故A正确，BCD错误。 故选：A。 9．假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g1，则在纬度为45°的地球表面上重力加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：物体在两极时，根据万有引力等于重力，结合万有引力定律可得 物体在赤道处，由万有引力的一个分力提供向心力，另一分力为重力，结合万有引力定律可得 式中T是地球自转周期。 在纬度为45°的地球表面上时，设向心力为F，由余弦定理得： 其中 解得 ，故B正确，ACD错误。 故选：B。 10．已知火星半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星均看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转及空气阻力，在地球上斜抛一个小沙包，其上升的最高点距离抛出点的高度差为2m，假设出手时的速度大小方向都不变，则在火星上，沙包上升的最高点距离抛出点的高度差约为（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 【答案】B 【解答】解：设斜抛小沙包的速度大小为v0，方向与水平方向的夹角为θ，由斜抛运动的最高点高度为，其中g为重力加速度。根据黄金代换式，可得星球表面的重力加速度，火星质量，半径有，代入解得，根据，可知，火星上的高度为地球的倍。地球上高度为2m，则火星上高度为2m×2.5＝5m，故B正确，ACD错误。 故选：B。 11．假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D．g0﹣g 【答案】A 【解答】解：根据重力和万有引力的关系，在两极有 在赤道有 则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度为 解得 ，故A正确，BCD正确。 故选：A。 12．2025年2月11日17时30分，由航天科技集团五院研制的卫星互联网低轨“02组”卫星，在中国文昌航天发射场发射成功，在离地高度不变的低空轨道上围绕地球做匀速圆周运动。下列关于“02组”卫星的说法正确的是（　　） A．地球对卫星引力为恒力 B．卫星的加速度为零 C．地球引力对卫星不做功 D．地球引力的功率不为零 【答案】C 【解答】解：A．卫星在离地高度不变的低空轨道上围绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的引力大小不变，但是引力方向是变化的，万有引力不是恒力，故A错误； B．卫星离地高度不变，轨道就是一个正圆，卫星线速度的大小不变，但方向时刻在变，所以存在向心加速度，故B错误； CD．引力方向始终与速度方向垂直，引力不做功，引力的功率为零，故C正确，D错误。 故选：C。 13．如图所示，地球从外到内分为地壳、地幔、地核三部分，其中地核质量约为地球总质量的0.32倍，半径约为地球半径的0.55倍。地壳、地幔、地核视其质量均匀分布，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零，则地幔和地核交界处的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比为（　　） A．1.06 B．0.95 C．0.58 D．0.55 【答案】A 【解答】解：设地球质量为M，半径为R，根据万有引力等于重力，在地球表面，在地幔和地核交界处，可得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 14．哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，哈雷彗星的公转周期为T。则哈雷慧星（　　） A．质量 B．公转周期年 C．在近日点与远日点的速度大小之比为 D．在近日点与远日点的加速度大小之比为 【答案】D 【解答】解：A．由万有引力定律可以计算中心天体的质量，依题意哈雷彗星是环绕天体，其质量无法由万有引力提供向心力模型计算。故A错误； B．由开普勒第三定律可得： 其中T地球＝1年，故解得哈雷慧星的公转周期为 故B错误； C．根据开普勒第二定律，取时间微元Δt，结合扇形面积公式 可得： 解得在近日点与远日点的速度大小之比为： 故C错误； D．在近日点时，由牛顿第二定律可得 在远日点时，由牛顿第二定律可得 联立，解得向心加速度大小之比为： 故D正确。 故选：D。 15．某螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r变化的关系图像如图所示。在r＞R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r＞R）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。已知暗物质在以此螺旋星系中心为球心的任意球面上质量均匀分布，球面外的暗物质对球面内恒星的引力为零。下列说法正确的是（　　） A．在r＜R范围内，星系中不同位置处恒星的加速度a与r2成反比 B．在r＜R范围内，星系中不同位置处恒星的加速度a与r成反比 C．在r≤3R范围内，暗物质的质量为3M D．在r≤3R范围内，暗物质的质量为2M 【答案】D 【解答】解：AB、设质量为m的星体速度为v，在r＜R范围内，由图可得v∝r，而 可得 a∝r AB错误； CD、在r＝R处万有引力等于向心力 设r≤3R范围内暗物质的质量为M'，r＝3R处万有引力等于向心力 解得 M'＝2M C错误，D正确。 故选D。 （多选）16．随着中国航天科技的飞跃发展，中国宇航员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 【答案】BD 【解答】解：A、根据自由落体运动的规律可得：v0＝gt，解得月球表面的重力加速度大小为：g，故A错误； B、探测器套月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v 已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，则有： 所以探测器的线速度大小为：v，故B正确； C、第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，则有：mg＝m，即：nv0 解得月球的半径为：R＝n2v0t，故C错误； D、根据万有引力和重力的关系可得：mg 根据密度计算公式可得：ρ，其中V 联立解得月球的密度为：，故D正确。 故选：BD。 17．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 【答案】（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 【解答】解：（1）物体在星球表面做斜上抛运动，水平方向上位移满足L＝v0cos37°t，可得，竖直方向上速度满足vBsin53°＝﹣v0sin37°+gt，其中，联立得； （2）根据牛顿第二定律，可得星球的第一宇宙速度。 答：（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 18．我们的征途是星辰大海，近两年潜水艇与航天事业成就斐然。 （1）中国自主研发的万米载人潜水器“奋斗者”号，于2020年11月10日8时12分在马里亚纳海沟深度10909m处成功坐底，并停留6h进行了一系列的深海探测科考活动。下列关于潜水器说法正确的是　A　 。 A.采集海底矿物时，潜水器需要做一系列精细动作，故该情境中不能将潜水器视为质点 B.下潜时经过的路程一定为10909m C.下潜平均速度约为0.51m/s D.“8时12分”指的是时间间隔 （2）神舟十三号飞船和空间站组合体成功对接一同匀速在轨运行则　C　 。 A.选地球为参考系，空间站组合体是静止的 B.选地球为参考系，神舟十三号是静止的 C.选空间站组合体为参考系，神舟十三号是静止的 D.选神舟十三号为参考系，空间站组合体是运动的 （3）假设未来的某一天，宇航员在火星上距地面24m高处由静止释放一重物，测得重物经过4s落到火星表面，则火星表面的重力加速度大小为　3　 m/s2，重物下落过程中，第2s内、第3s内、第4s内的位移大小之比为　3：5：7　 。 （4）大家知道，在环绕地球运动的航天器是处于完全失重的状态，不能利用天平称量物体的质量。当力一定时，物体的质量越大，加速度就越小，根据牛顿第二定律能得出物体的质量。如图所示，已知标准物A的质量为m1，连接在标准物A前后的力学传感器的质量均为m2，待测质量的物体B连接在后传感器上，在某一外力作用下整体在空间站内的粗糙桌面上运动，稳定后前后传感器的读数分别为F1、F2，由此可知待测物体B的质量为　　 。 【答案】（1）A。（2）C。（3）3，3：5：7。（4）。 【解答】解：（1）A.采集海底矿物时，潜水器需要做一系列精细动作，所以要分析各部分的形状以及大小，该情境中不能将潜水器视为质点，故A正确； B.潜水器下沉时不一定是竖直下沉，所以路程不一定等于深度10909m，故B错误； C.由于未知下潜所用的时间，所以无法根据平均速度的计算公式计算平均速度，故C错误； D.“8时12分”是具体时间点，属于时刻而非时间间隔，故D错误。 故选：A。 （2）AB.选地球为参考系，空间站组合体、神舟十三号均绕地球运动，是运动的，故AB错误； CD.“神舟十三号”飞船和空间站组合体成功对接后相对静止，选空间站组合体为参考系，“神舟十三号”是静止的，选“神舟十三号”为参考系，空间站组合体是静止的，故C正确，D错误。 故选：C。 （3）重物在火星上做初速度为0的匀加速直线运动，根据位移—时间关系公式 解得火星表明重力加速度 根据匀变速直线运动规律可知重物下落过程中，第2s内、第3s内、第4s内的位移大小之比为3：5：7。 （4）对AB和传感器组成的系统，根据牛顿第二定律有F1＝（m1+2m2+mB）a 再对B由牛顿第二定律有F2＝mBa 联立解得B的质量。 故答案为：（1）A。（2）C。（3）3，3：5：7。（4）。 19．原野上的一星微火初不成气候，却能借势成窜动火舌，铺展成连绵火海。物理研究亦循此理，遇微小量难观测时，便将其巧妙放大，让细微变化从隐匿处显形，助人类捕捉不易察觉的规律。 受地势等因素的影响，火的蔓延可能会加速、减速或匀速。已知某火焰向四周蔓延形成火圈，火圈外延半径r随时间t的变化关系如图所示。0～2h内的图线为一条直线，2～4h内的图线为一条抛物线，对称轴为t＝4h，抛物线与直线相切。据此回答第（1）～（3）题。 （1）火圈外延在0～2h内的蔓延速度大小为　1.5　 m/s。 （2）火圈外延在2～4h内　B　 。 A.匀加速蔓延 B.匀减速蔓延 C.加速度增大的加速蔓延 D.加速度增大的减速蔓延 E.加速度减小的加速蔓延 F.加速度减小的减速蔓延 （3）（论述）对上述第（2）题中的选择做出解释。 微小火苗终成燎原大火，微小物理量也同样可以经过放大进行测量。据此回答第（4）～（5）题。 （4）如图，把一支激光笔A固定在支架上，激光束分别经平面镜B和C反射后射到天花板，形成光斑。 ①在桌面上放一重物M，光斑D会　B　 。 A.向左移 B.向右移 C.不移动 ②桌面上的重物M质量越大，光斑的移动幅度　A　 。 A.越大 B.越小 ③（多选）下列关于该实验的说法中，正确的有　DF　 。 A.该实验放大了重物的重力使重物发生的微小形变 B.该实验放大了桌面对重物的弹力使重物发生的微小形变 C.该实验放大了桌面对重物的弹力使桌面发生的微小形变 D.该实验放大了重物对桌面的弹力使桌面发生的微小形变 E.该实验中重物对桌面有弹力是因为桌面发生了微小形变 F.该实验中桌面对重物有弹力是因为桌面发生了微小形变 （5）卡文迪什与库仑分别利用了扭秤装置结合“放大法”研究了万有引力与静电力。 ①这两个“扭秤实验”　B　 。 A.都利用了平面镜对光的反射放大了扭秤扭转的角度 B.前者测出了引力常量G，后者测出了静电力常量k C.前者验证了万有引力定律，后者探究得到了库仑定律 D.前者不需要将实验中的小球简化为质点，后者不需要将实验中的小球简化为点电荷 ②卡文迪什在扭秤实验后又测出了地球质量。请通过计算说明卡文迪什测量地球质量的方法。 【答案】（1）1.5m/s。（2）B。（3）见解析。（4）①B，②A，③DF。（5）①B，②见解析。 【解答】解：（1）火圈外延在0～2h内的蔓延速度大小为。 （2）位移—时间图像的斜率表示速度，由图像可知火圈速度在减小，又2～4h内的图线为一条抛物线，所以火圈做匀减速运动，故B正确，ACDEF错误。 故选：B。 （3）因为2～4h内的图线为一条抛物线，且对称轴为t＝4h，设抛物线的表达式为r＝a（t﹣4）2+b。 当t＝2h时，r＝10.8km；当t＝4h时，r＝16.2km。 将 t＝4h，r＝16.2km代入表达式可得16.2＝a（4﹣4）2+b，即b＝16.2。再将t＝2h，r＝10.8km，b＝16.2代入表达式可得10.8＝a（2﹣4）2+16.2，即10.8＝4a+16.2，解得a＝﹣1.35。所以抛物线表达式为r＝﹣1.35（t﹣4）2+16.2，展开可得r＝﹣1.35t2+10.8t2，对比匀变速直线运动的位移公式，可得初速度v0＝10.8km/h＝3m/s，加速度a＝﹣2.7km/h2（负号表示加速度方向与速度方向相反，因为半径在增大，速度方向是半径增大的方向，加速度为正，所以是减速，且加速度恒定，所以火圈外沿在2～4h内做匀减速蔓延。 （4）①在桌面上放重物M，桌面会向下凹，平面镜B会绕支点转动，使激光束的入射角增大。根据光的反射定律，反射角等于入射角，所以反射光线会向右偏，光斑D向右移，故AC错误，B正确。 故选：B。 ②桌面上的重物M质量越大，桌面的形变越大，平面镜B转动的角度越大，反射光线的偏折程度越大，光斑的移动幅度越大，故A正确，B错误。 故选：A。 ③ABCD.该实验是通过平面镜的反射，放大了重物对桌面的弹力使桌面发生的微小形变，故D正确，BCD错误； EF.桌面对重物有弹力是因为桌面发生了微小形变，故F正确，E错误。 故选：DF。 （5）根据地球表面附近物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力有，其中m为物体质量，g为重力加速度，M为地球质量，R为地球半径。卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量G，而地球半径R和重力加速度g可以通过其他测量手段得到。将变形可得，把测得的g、R和G代入该式，就可以计算出地球的质量。 故答案为：（1）1.5m/s。（2）B。（3）见解析。（4）①B，②A，③DF。（5）①B，②见解析。 20．激光导星，是通过发射激光来矫正地球大气扰动的影响，从而使地面望远镜获得稳定的高质量天体影像。真空中光速为c。 （1）研究某太阳系远处行星时，从地表实验室发射一束波长为λ的激光，到激光返回实验室的时间为t。忽略行星和地球的相对运动。 ①激光的频率为　　 ； ②由此可估计，地球和行星间的距离为　　 ； ③考虑到大气层对激光折射率的影响，该测量距离与实际距离相比　A　 。 A.偏小 B.偏大 C.相同 （2）导星的光线经过大质量恒星附近会发生弯曲，可用于解释该现象的理论主要是　B　 。 A.狭义相对论 B.广义相对论 C.量子力学 D.牛顿力学 （3）在天文学中，日地平均距离记作1AU，地球质量记作1Me。通过激光导星可测得地月平均距离约为0.00257AU。已知月球质量约为0.0123Me，太阳质量约为3.33×105Me。则地球绕日公转的动能与月球绕地公转的动能的比值约为　A　 。 A.7×104 B.7×105 C.7×106 D.7×107 【答案】（1）①，②，③A。（2）B。（3）A。 【解答】解：（1）①根据波速、波长和频率的关系c＝λf（c为光速，λ为波长，f为频率），可得激光的频率。 ②激光从地球到行星再返回地球，总路程为2s（s为地球和行星间的距离），根据s＝vt，有2s＝ct，所以。 ③由于大气层对激光有折射作用，会使激光传播的时间t测量值偏小，根据，则测量的距离与实际距离相比偏小，故A正确，BC错误。 故选：A。 （2）光线在经过大质量天体附近时发生弯曲，是广义相对论的预言之一。广义相对论认为，质量会弯曲时空，光线沿弯曲的时空传播，从而导致光线偏折。这一现象在1919年日全食观测中得到验证。故ACD错误，B正确。 故选：B。 （3）设地球绕日的动能为E地日，月球绕地的动能为E月地。 由万有引力提供向心力有，可得 代入动能公式，可得。 太阳质量，地球质量m地＝1M，轨道半径r地日＝1AU 所以地球绕日的动能； 地球质量M地＝1M，月球质量m月＝0.0123M，轨道半径r月地＝0.00257AU 所以月球绕地的动能。 可得动能比值。故A正确，BCD错误。 故选：A。 故答案为：（1）①，②，③A。（2）B。（3）A。 二．用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归（共1小题） （多选）21．美国著名文学家马克•吐温曾满怀激情地说“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获”。假设在某星球赤道位置采得一矿石，称得其质量为m0，体积为V0，重力为G0。已知该星球可视为匀质球体，自转周期为T0。下列说法正确的是（　　） A．矿石受到星球的万有引力大小为G0 B．赤道处的向心加速度大小可能等于 C．若已知引力常量G，可推知星球的半径 D．若已知引力常量G，可推知星球的质量 【答案】BCD 【解答】解：A．由于星球自转，万有引力提供向心力和重力；即赤道处矿石受到星球的万有引力大于G0，故A错误； B．赤道处的重力大小可能等于向心力的大小，即可能有G0＝ma 解得，故B正确； C．根据 其中， 可知 即可解得R，故C正确； D．由密度公式， 可得，将R代入可得M，故D正确。 故选：BCD。 三．计算天体的质量和密度（共20小题） 22．2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为T1，轨道半径为r1，月球绕地球运动的周期为T2，轨道半径为r2。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳，地球，月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为t 【答案】D 【解答】解：C、由于不知道太阳与地球的球体半径，故无法求出太阳与地球密度之比，故C错误； AB、设太阳质量M，地球质量m，月球质量m0，地球绕太阳 月球绕地球 联立得太阳与地球质量之比为，，故AB错误； D、太阳、地球、月球由图示位置到再次出现月全食，月球多转半圈，有 解得再次出现月全食所需时间为，故D正确。 故选：D。 23．2025年4月25日，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。中国空间站绕地球做匀速圆周运动，其与地心的连线在单位时间内扫过的面积S与线速度的大小v满足S。已知地球的半径为R，引力常量为G，k为常量，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：已知引力常量为G，卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动，设r为卫星做圆周运动轨道半径，根据万有引力提供向心力有 卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积，联立得，结合题意可得，可得地球的质量M， 地球的密度为，故A正确，BCD错误。 故选：A。 24．2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853﹣0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T＝2.15毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67×10﹣11N•m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A．3×1010kg/m3 B．3×1013kg/m3 C．3×1016kg/m3 D．3×1019kg/m3 【答案】C 【解答】解：当星体表面物质恰好不被离心力甩出时，万有引力充当向心力。 设星体质量M，半径R，密度ρ，表面物体质量m，由向心力公式得。 整理得。 根据球体质量公式。 联立两式得。 解得：。 已知引力常数G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，周期T＝2.15ms＝2.15×10﹣3s。 代入得。 故选：C。 25．截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算地球的质量为 【答案】D 【解答】解：A、开普勒第二定律（面积定律）主要适用于同一颗行星绕太阳（或同一卫星绕地球）的运动，即同一轨道上相等时间内扫过的面积相等。对于绕地球运转的不同卫星，轨道不同，单位时间内扫过的面积通常是不相等的，故A错误； B、卫星在运动过程中只受地球的万有引力作用，根据牛顿第二定律 ，解得加速度 。则卫星在近地点和远地点的加速度大小之比为 ，故B错误； C、由于题目中未给出地球的半径，无法求出地球的体积，也就无法估算地球的密度，故C错误； D、设地球质量为 M，卫星轨道的半长轴 。由开普勒第三定律 ，解得地球质量 ，故D正确。 故选：D。 26．如图所示，飞行器P绕某未知星体做匀速圆周运动。测得星体相对飞行器的张角为θ。为计算该星球的密度，还需要测量的物理量是（　　） A．星体的质量 B．星体的半径 C．飞行器运行的周期 D．飞行器的轨道半径 【答案】C 【解答】解：设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。由几何关系有，对于飞行器，根据万有引力提供向心力得，可得星球的质量，又星球的平均密度，，联立以上各式得，可知还需要测量飞行器的运行周期T，故C正确，ABD错误。 故选：C。 27．卫星在不同轨道绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设地球半径为R，卫星的轨道高度为h，由万有引力提供向心力有，又，联立得，所以，b，联立可得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 28．2024年6月25日嫦娥六号返回器顺利着陆。返回器与主舱室分离后，主舱室通过调整后在圆轨道运行，返回器用“打水漂”的方式再入大气层，最终通过降落伞辅助成功着陆，其主要过程如图。已知主舱室维持在半径为r的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G，则有（　　） A．主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应大于7.9km/s B．打开降落伞后，返回器靠近地面过程中一直处于失重状态 C．由题给条件可求出地球密度为 D．根据题给条件可求出地球质量 【答案】D 【解答】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v；第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，所以主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应小于7.9km/s，故A错误； B、打开降落伞后，返回器靠近地面过程中向下减速，处于超重状态，故B错误； CD、根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M，由于地球的半径不知道，无法求解地球的密度，故C错误、D正确。 故选：D。 29．为了探测某星球，某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做无动力匀速圆周运动，测得运行周期为T，然后登陆该星球，测得物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半，已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则由此可得该星球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在地球上做自由落体运动有： 在该星球上做自由落体运动有： 而 解得 g′＝4g 在星球表面根据万有引力提供向心力得： 解得： A、，与结论相符，故A正确； B、，与结论不相符，故B错误； C、，与结论不相符，故C错误； D、，与结论不相符，故D错误。 故选：A。 30．2024年6月25日，嫦娥六号返回器携带月背样品重返地球，中国成为第一个从月球背面带回月壤的国家。图（a）为嫦娥六号奔月的示意图，图（b）为嫦娥六号在地球轨道和月球轨道上运行周期的平方（T2）与轨道半长轴的三次方（a3）的关系图，图线Ⅰ和图线Ⅱ的斜率分别为k1和k2。若地球质量为M，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：嫦娥六号在地球轨道上运行时，根据开普勒第三定律有 嫦娥六号在月球轨道上运行时，根据开普勒第三定律有 设月球质量为m月，则：M：m月 解得m月M，故A正确，BCD错误。 故选：A。 31．宇宙中有两颗恒星S1、S2，半径均为R0。如图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的关系图像，则（　　） A．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为2：1 B．恒星 S1 与恒星S2的质量之比为4：1 C．恒星S1与恒星S2的密度之比为1：2 D．恒星S1与恒星S2的密度之比为2：1 【答案】C 【解答】解：AB．根据万有引力提供向心力有 解得 可知公转周期 T2与公转半径r3的关系图像斜率为 由图像可得 则 故AB错误； CD．星球的密度为 恒星S1与恒星S2的密度之比为 故C正确，D错误。 故选：C。 32． 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功实现了与天和核心舱前向端口的对接，标志着我国航天事业又取得进一步突破。对接后的飞船与空间站形成一个新的组合体，将该组合体绕地球的运行视为匀速圆周运动。已知万有引力常量G，根据下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．组合体的质量和绕地半径 B．组合体的质量和绕地周期 C．组合体的绕地线速度和绕地半径 D．组合体的绕地角速度和绕地周期 【答案】C 【解答】解：组合体绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：mmrω2＝mr 解得地球质量：M 所以要计算地球质量，组合体的线速度v、角速度ω（或周期T）、轨道半径r，以上物理量至少要知道两个，故C正确、ABD错误。 故选：C。 33．太阳内部的热核反应使其质量在缓慢减小，在若干年后，若地球绕太阳的运动仍可视为匀速圆周运动，则描述地球绕太阳运动的物理量与现在相比（　　） A．半径不变 B．半径变小 C．周期不变 D．周期变大 【答案】D 【解答】解：AB.若太阳的质量减小，则太阳对地球的引力减小，则引力不足以提供地球做圆周运动的向心力，则地球将做离心运动，轨道半径变大，故AB错误； CD.根据万有引力提供向心力有 可得 由于M减小，r变大，则周期T变大，故C错误，D正确。 故选：D。 34．如图甲所示，一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，动量的大小为p，与月面的距离为h，此卫星对月球的张角为 60°；如图乙所示，一颗绕火星做匀速圆周运动的探测器，动能为Ek此探测器对火星的张角也为60°，已知月球的第一宇宙速度为v0，火星的质量为m0，火星的半径为R0，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的半径为1.5h B．卫星的动能为 C．探测器的质量为 D．探测器受到的万有引力为 【答案】B 【解答】解：A.设月球的半径为R，卫星对月球的张角60°，卫星与月面的距离为h，由几何关系可得，解得R＝h，故A错误； B.卫星的轨道半径为r＝R+h＝2h，由万有引力充当向心力可得，，比较可得，则卫星的线速度为，卫星的动量为p＝mv，动能为，联立可得 ，故B正确； C.同理可得探测器的轨道半径为r0＝2R0，探测器的动能为，由万有引力充当向心力可得，联立解得，故C错误； D.探测器受到的万有引力为，解得，故D错误。 故选：B。 35．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双星总质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：双星A、B之间的万有引力提供向心力，对A星有：　对B星： 其中：角速度 距离与轨道半径的关系有：L＝RA+RB 联立解得：，故ABD错误，C正确。 故选：C。 36．宇航员登陆某行星后，在该行星表面做了一个简单的圆周运动实验：从一个空笔杆中穿过一条结实的细绳，细绳两端分别连接小球A和B，小球A和B的质量之比为。手持空笔杆让小球A匀速转动起来，笔标保持竖直，适当控制转速，使得拉着A球的细绳几乎与拉着B球的细绳垂直，当B球处于静止状态时，小球A在t时间内转动了n圈。小球A做匀速圆周运动的半径为L。已知该行星的半径为R，引力常量为G，忽略行星自转，不考虑细绳质量和细绳与空笔杆之间的摩擦，行星表面的重力加速度g＝ 　　 ；行星的平均密度ρ＝ 　　 。 【答案】，。 【解答】解：小球A做匀速圆周运动的周期 根据牛顿第二定律可知 解得 在行星表面，万有引力等于物体的重力 行星的体积 解得行星密度 故答案为：，。 37．宇航员登陆某行星后，在该行星表面做了一个简单的圆周运动实验：从一个空笔杆中穿过一条结实的细绳，细绳两端分别连接小球A和B，小球A和B的质量之比为。手持空笔杆让小球A匀速转动起来，笔标保持竖直，适当控制转速，使得拉着A球的细绳几乎与拉着B球的细绳垂直，当B球处于静止状态时，小球A在t时间内转动了n圈。小球A做匀速圆周运动的半径为L。已知该行星的半径为R，引力常量为G，忽略行星自转，不考虑细绳质量和细绳与空笔杆之间的摩擦，行星表面的重力加速度g＝ 　　 ；行星的平均密度ρ＝ 　　 。 【答案】，。 【解答】解：小球A做匀速圆周运动的周期 根据牛顿第二定律可知 解得 在行星表面，万有引力等于物体的重力 行星的体积 解得行星密度 故答案为：，。 38．在某星球地面上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F；他又乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行时，测得其环绕周期为T，已知万有引力恒量G，根据这些数据，求： （1）星球的半径； （2）星球的平均密度。 【答案】（1）星球的半径为； （2）星球的平均密度为。 【解答】解：（1）飞船绕星球做匀速圆周运动，测得其环绕周期为T，则飞船的角速度为 设星球的质量为M，星球的半径为R，飞船的质量为m0，飞船在靠近该星球表面绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 设星球表面重力加速度为g，则有 F＝mg， 联立解得 （2）飞船在靠近该星球表面绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 又 联立解得星球的平均密度为 答：（1）星球的半径为； （2）星球的平均密度为。 39．假设未来的航天员登陆某半径为R的星球，为测量该星球的质量，航天员采用如下方法：如图所示，在星球表面的水平地面上，物块以大小为v的水平初速度开始运动，物块运动到距离出发点d处速度恰好减为0。已知物块与地面间的动摩擦因数为μ，引力常量为G，不计星球的自转。求： （1）物块从开始运动到速度恰好减为0所用的时间t； （2）该星球表面的重力加速度大小g； （3）该星球的质量M。 【答案】（1）物块从开始运动到速度恰好减为0所用的时间t为； （2）该星球表面的重力加速度大小g为； （3）该星球的质量M为。 【解答】解：（1）物块做匀减速直线运动的平均速度大小 又有 解得 （2）设物块的质量为m、加速度大小为a，对物块受力分析有 μmg＝ma 又有 解得 （3）在星球表面物体所受万有引力等于重力 解得 。 答：（1）物块从开始运动到速度恰好减为0所用的时间t为； （2）该星球表面的重力加速度大小g为； （3）该星球的质量M为。 40．某摆长为L的单摆被带到月球上，摆动周期为T，已知月球半径为R、引力常量为G，忽略月球自转。求： （1）月球的第一宇宙速度v； （2）月球密度ρ。 【答案】（1）月球的第一宇宙速度v为； （2）月球密度ρ为。 【解答】解：（1）设月球表面重力加速度为g，由单摆周期公式可知，解得，又由万有引力提供向心力可知，解得第一宇宙速度； （2）设月球的质量为M，月球表面物体所受重力等于万有引力，有，月球密度，体积，联立解得月球密度。 答：（1）月球的第一宇宙速度v为； （2）月球密度ρ为。 41．（1）在学习了万有引力定律和宇宙速度后甲、乙、丙三位同学对近似“称”月球质量展开了充分讨论，已知月球直径D和引力常数G。甲同学提出可以将已知质量为m的钩码和测力计带至月球，通过测力计测出钩码的重力W，由万有引力定律得到月球质量m月＝　　 。 （2）乙同学提出可以采用一把刻度尺和一块秒表来“称”出月球质量，假设质量为m的钩码自由下落的高度为h，下落的时间为t，则m月可以表示为 　C　 。（填选项，下同） A． B． C． D． （3）丙同学提出可以从地球向月球发射嫦娥卫星，待嫦娥卫星在绕月轨道稳定做匀速圆周运动后，测出卫星公转一圈的时间T和轨道半径r，根据计算。如果丙同学思路正确，则嫦娥卫星的发射速度应为 　B　 。 A.7.9km/s B.大于7.9km/s小于11.2km/s C.大于11.2km/s小于16.7km/s D.大于16.7km/s 【答案】（1）；（2）C；（3）B 【解答】解：（1）根据万有引力与重力的关系 月球的重力加速度为 解得 （2）钩码自由下落，则 根据万有引力与重力的关系 解得 ，故C正确，ABD错误。 故选：C。 （3）7.9km/s是第一宇宙速度，是最小的发射速度，由于嫦娥卫星绕月飞行，月球绕地球飞行，嫦娥卫星还未脱离地球引力的束缚，故发射速度不超过11.2km/s，故B正确，ACD错误。 故选：B。 故答案为：（1）；（2）C；（3）B 学科网（北京）股份有限公司 $