7.2万有引力定律 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦万有引力定律核心知识点，系统梳理从伽利略、开普勒等科学家对行星运动原因的早期猜测，到牛顿结合运动定律推导太阳与行星间引力规律，通过月地检验验证引力普适性，最终得出万有引力定律的内容、公式及适用条件，并深入分析引力常量测定（卡文迪什扭秤实验）及重力与万有引力的区别联系（如黄金代换、不同位置重力加速度变化）的完整知识脉络。 该资料以科学史为线索构建知识体系，通过对比不同科学家观点培养科学思维，结合月地检验推导过程强化科学论证，卡文迪什实验设计体现科学探究中的微小量放大法。考点演练结合卫星运动、潮汐现象等实际情境，助力学生深化物理观念应用。课中辅助教师系统呈现知识逻辑，课后帮助学生通过分层练习查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

第七章第二节万有引力定律 知识点一太阳与行星间的引力 1科学家对行星运动原因的猜测 伽利略 行星的运动与地面物体的运动遵循不同的规律，行星的运动是依靠“惯性”自行维持的. 开普勒 行星的运动是受到了来自太阳的类似于磁力的作用，行星和太阳之间的这种磁力作用与行星和太阳之间的距离成反比. 笛卡儿 宇宙由不停旋转的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡，太阳和行星在各自的漩涡中心.行星漩涡带动卫星运动，太阳漩涡带动行星和卫星一起运动. 胡克 行星的运动是太阳吸引的缘故，并且如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小与行星到太阳距离的平方成反比，且重力是由地球的吸引产生的. 牛顿 在前人研究的基础上认为以任何方式改变速度(包括改变速度的方向)都需要力.因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力.牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了. 2太阳对行星的引力 (1)简化模型 ①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动. ②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力. (2)太阳对行星的引力规律的推导 太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离 的二次方成反比，即 3行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，行星也吸引太阳，行星对太阳引力的大小，也应与太阳的质量M成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即 4太阳与行星间的引力 (1)推导 由可得,写成等式为. (2)理解太阳与行星间的引力关系 ①G是比例系数，与太阳和行星均没有关系. ②太阳与行星间的引力规律，也适用于行星与其卫星间的引力. ③引力规律普遍适用于任何有质量的物体. ④物体之间的相互引力沿两个物体的连线方向，指向施力物体. 知识点二月一地检验 1牛顿的猜想 (1)太阳的引力使行星不能飞离太阳，物体与地球之间的引力也使物体不能离开地球. (2)日地间引力与月地间引力以及物体与地球间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律，其大小都可用公式计算. 2牛顿的检验方法 (1)检验目的：验证维持月球绕地球运动的力、使物体下落的力，与使地球绕太阳运动的力是同一种性质的力，遵循相同的规律. (2)理论分析：设地球半径为R,地球与月球间距离为r. 对月—地系统有 对物—地系统有g 已知r=60R，g=9.8m/s2 (3)天文观测： 月球绕地球运动的周期T=27.3天、地球与月球间距离r=3.8×108m→月球运动的向心加速度→与理论分析结果一致 (4)检验结果：理论分析与天文观测符合得很好.这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律. 知识点三万有引力定律 1内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m₁和m₂的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比. 2公式 式中G为比例系数，叫作引力常量,适用于任何两个物体. 3公式的适用条件 (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，也可用此公式近似计算两物体间的万有引力. (2)质量分布均匀且有一定间距的球体间的相互作用，也可用此公式计算.式中r是两个球体球心间的距离. 4万有引力的特点 特点 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力. 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们总是大小相等、方向相反，作用在两个物体上. 宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小，与其他力相比可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性的作用. 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们的质量和距离有关，而与它们所在空间的性质及周围是否存在其他物体无关. 知识点四引力常量G的测定 1引力常量G的说明 (1)测定引力常量的理论公式：,单位为N·m²/kg².(2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力的大小. (3)由于引力常量G很小，日常接触的物体的质量不是很大，所以很难觉察到它们之间的引力.例如，两个质量各为50kg的人相距1m时，他们相互间的引力相当于几粒尘埃的重力.但是，天体之间存在巨大的引力，太阳对地球的引力甚至可以将直径为几千米的钢柱拉断. 2引力常量的测定 卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生万有引力，如图7-2-1所示，万有引力使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度.利用石英丝的扭转角度，可以求出大球和小球间的万有引力.利用,即,比较准确地得出了G的数值.通常取G=6.67×10-11N·m²/kg². 3引力常量测定的意义 (1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性. (2)引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值. (3)卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代. 知识点五重力与万有引力的区别与联系 ①万有引力与重力 由于地球在不停地自转，地球上的物体随地球一起绕地轴做匀速圆周运动.地球表面上的物体所受的万有引力F引可以分解成物体随地球自转做匀速圆周运动的向心力F向(方向指向地轴的某一点)和所受的重力mg,其中，其中，其中,F引=,F向=mr,重力只是万有引力的一个分力.万有引力F引、重力mg和物体由于自转所需要的向心力F向，三个力的关系如图所示. (1)物体在一般位置(不在赤道和两极)时，F向=mr,F向、F引、mg不在一条直线上. (2)当物体在赤道上时，F向达到最大值F向max,且F向max=mR,此时重力有最小值，为F引-F向=. (3)当物体在两极时F向=0,mg=F引，重力达到最大值，为,可见只有在两极时，重力等于万有引力，在其他位置时重力均小于万有引力. 2黄金代换 由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力.因此不考虑(忽略)地球自转的影响时，在地球附近有mg=,化简得gR²=GM.gR²=GM通常叫作黄金代换，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的“重力加速度g”代换M. 3地球重力加速度g及变化 (1)地球表面的重力加速度 在地球表面处万有引力近似等于重力，则,所以为地球半径，M为地球质量). (2)某高度处的重力加速度 设离地球表面高h处的重力加速度为g′,则,所以g'=,可见重力加速度随高度的增加而减小. (3)某深度处的重力加速度 理论表明，一个均匀的球壳，对处在其中的物体的引力为零.假想有一深度为h的矿井，其底部的重力加速度设为g",，由可得在地球表面.在矿井底.故. 4物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态， 即=0,有 则 所以完全失重的临界条件为 上述结果恰好是近地面人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期. 5地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T=24h的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到 的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即 根据质量与密度的关系，有 所以，地球的密度应为 即最小密度为Pmin=18.9kg/m³.地球平均密度的公认值为 p0=5523kg/m3>>pmin,足以保证地球处于稳定状态. 考点一．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共12小题） 1．同一物理现象往往可以用不同方法来解释。例如：在赤道地表上方300m高空相对于地球表面静止释放一物体，不考虑重力加速度的变化，忽略空气阻力，物体将不会落在释放点的正下方，该现象可以用两种不同的方法进行解释。下列说法正确的是（　　） 方法一：地球是一个转动的非惯性系，运用牛顿定律分析物体的运动时，物体除了受到与惯性系相同的力外，还受到一个“假想的惯性力”，该力的方向与物体上下运动的方向有关，当物体向地心运动时，该力的方向指向东方，当竖直运动方向反向时惯性力的方向也反向 方法二：物体在下落过程中，受到的万有引力是有心力，根据物理学规律角动量守恒（角动量L＝mr2ω，其中m是物体的质量，r为物体到地心的距离，ω为物体相对于地球的角速度），物体的角速度会发生变化 A．由方法一可知，若将一物体在赤道竖直向上抛出，上升过程相对抛出点向西运动，下落过程相对抛出点向东运动，落回的地点在抛出点 B．由方法二可知，若将一物体在赤道竖直向上抛出，上升过程物体的角速度越来越大，下落过程物体的角速度越来越小，落回的地点在抛出点 C．若将一物体在北京竖直向上抛出，由两种方法均可知，物体相对于地面将向西偏转 D．若将一物体在北京竖直向上抛出，由两种方法均可知，物体相对于地面将向东偏转 【答案】C 【解答】解：A、由方法一可知，若将一物体在赤道竖直向上抛出，随着物体远离地心，受到的惯性力方向向西，角速度小于地球自转的角速度，所以相对抛出点向西运动，而当物体下落时，由于方向反向，惯性力的方向也变为向东，角速度小于地球自转的角速度，由于上升和下落过程对称，物体落回地面时角速度等于地球自转的角速度，落回的地点应在抛出点的西方，故A错误； B、由方法二可知，若将一物体在赤道竖直向上抛出，上升过程r增大，根据角动量守恒可知，ω越来越小，下落过程中r减小，根据角动量守恒可知，ω越来越大，落回地面时角速度等于地球自转的角速度，所以落回的地点在抛出点的西侧，故B错误； CD、根据题意可知，若将一物体在北京竖直向上抛出，由方法一可知，物体远离地心运动，受到的惯性力方向向西，物体向西偏转，由方法二可知，物体到地心的距离r增大，根据角动量守恒可知，角速度减小，由于地球自西向东转动，角速度不变，物体角速度减小，故物体向西偏转，故C正确，D错误。 故选：C。 2．下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力 C．根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式F＝G得G，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关 【答案】B 【解答】解：A.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误； B.根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B正确； C.万有引力表达式适用于两质点之间的万有引力，当r趋近于零时，两物体已经不能够看为质点，该表达式不适用，可知，当r趋近于零时，不能够认为万有引力趋近于无穷大，故C错误； D.根据表达式，可以得到，但万有引力是一个常量，该常量与F、r、m1、m2无关，故D错误。 故选：B。 3．在探索宇宙奥秘的历史长河中，下列描述中正确的是（　　） A．万有引力定律描述的是一种只在大质量天体之间存在的引力 B．天文学家第谷通过观测行星的运动，记录了大量数据并总结出行星运动的定律 C．牛顿通过实验验证了万有引力定律 D．“地心说”认为地球是静止不动的，太阳和其他行星都绕地球运动 【答案】D 【解答】解：A．万有引力定律适用于任意两个物体之间，而不仅仅存在于大质量天体之间，故A错误； B．天文学家第谷通过观测行星的运动，记录了大量数据，开普勒利用第谷的观测数据总结出行星运动的定律，故B错误； C．牛顿在前人对天体运动研究的基础上，结合自己提出的运动定律总结推导出了万有引力定律，卡文迪许通过实验验证了万有引力定律，故C错误； D．“地心说”认为地球是宇宙的中心，且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动，故D正确。 故选：D。 4．如图所示，哈雷彗星在近日点时，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点时，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设在极短时间Δt内，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，哈雷彗星在远日点与太阳中心的距离为r2，则根据开普勒第二定律有 在近日点，根据万有引力定律以及牛顿第二定律有 在远日点，根据万有引力定律以及牛顿第二定律有 联立可得 ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 5．《自然哲学的数学原理》中记载牛顿是这样研究匀速圆周运动的：如图所示，小球沿正多边形的各边（刚性材料）做速度大小不变的运动，若正多边形的边数趋近于无穷大，则上述运动可看作匀速圆周运动。牛顿提出设想后并没有做进一步的推导，若小明同学沿着牛顿的思路推导得出了匀速圆周运动的向心力表达式，他在研究过程中提出了一些假设，其中不合理的是（　　） A．小球在正多边形各个顶点处的碰撞是弹性碰撞 B．每次碰撞时小球所受作用力的方向指向圆心 C．因碰撞时间可以用周期和正多边形的边数表示，可以利用动量定理得出向心力表达式 D．因碰撞的作用力与边长可以计算功，所以可以利用动能定理得出向心力表达式 【答案】D 【解答】解：A、做匀速圆周运动，假设小球在正多边形的各个顶点处的碰撞是弹性碰撞，是合理的，故A正确； B、因为向心力指向圆心，所以可以假设小球每次碰撞时所受作用力的方向指向圆心，故B正确； C、因碰撞时间可以用周期和正多边形的边数表示，所以可以利用动量定理得出向心力表达式，故C正确； D、小球碰撞时，动能未变化，作用力不做功，所以不能用动能定理得出向心力表达式，故D错误。 故选：D。 6．苏轼的诗句“定知玉兔十分圆，已作霜风九月寒，寄语重门休上钥，夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景。如图所示，太阳、月亮和地球处于一条直线上，会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的2700万倍，日地距离是月地距离的390倍，以下说法正确的是（　　） A．海水在A处受到太阳的引力比受到月球的引力小 B．海水在B处受到太阳的引力比受到月球的引力小 C．同一质量的海水在A处受到月球的引力比在B处小 D．同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小 【答案】D 【解答】解：A.海水在A处时，设海水的质量为m，到月球的距离为r，月球的质量为M，地球半径为R，则海水受到月球的万有引力为 F月A 设太阳的质量为M'，日地之间的距离为r'，由题意可知r'＝390r，水在此位置受到太阳的引力为 把r'＝390r和M'＝2700×104M代入可得F太A 所以 F太A＞F月A，故A错误； B.海水在B处时，万有引力为 F月B F太B 所以 F太B＞F月B，故B错误； C.根据F月可知，海水在A点比B点距离月球距离小，则万有引力大，故C错误； D、海水在A处比在B处所受的太阳的引力近似不变，受到的月球的引力大，所以太阳和月球引力的合力较小，即同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小，故D正确。 故选：D。 7．关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍 D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则 【答案】D 【解答】解：A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，宇宙中各物体之间均存在万有引力，故A错误； B．万有引力公式只适用于两个可以看成质点的物体，r趋近于0时，不能看作质点，万有引力的公式不适用，故B错误； C．由万有引力公式 当质量均变为原来的2倍，则万有引力会增加为原来的4倍，故C错误； D．在地面上，有 h处有 联立解得 故D正确。 故选：D。 8．在月球上的宇航员，手头有一个质量为m的砝码，如果已知引力常量G和月球半径R，若要估测月球质量M，则只需要一个（　　） A．秒表 B．刻度尺 C．弹簧测力计 D．长1m轻质细线 【答案】C 【解答】解：在月球表面用弹簧秤称得质量m的砝码重为F，设月球表面的重力加速度为g，则有： F＝mg， 解得：g 设月球的质量为M，根据万有引力等于重力得： mg 解得：M． 由以上的分析可知，需要的器材是弹簧测力计。故ABD错误，C正确。 故选：C。 （多选）9．为了验证地球对月球的引力F1与地球对地球表面物体的引力F2遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为g，月球轨道半径为r，地球半径为R，忽略地球自转影响。关于“月—地检验”，下列说法中正确的是（　　） A．计算a需要测量引力常量G B．“月—地检验”需要测量F1、F2的大小 C．g可以通过自由落体实验测量得出 D．若计算得，则验证了F1、F2遵循相同的规律 【答案】CD 【解答】解：D．如果地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足 根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度（式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离） 进一步，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度 （式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间的距离） 由以上两式可得。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以，则验证了F1、F2遵循相同的规律，故D正确； C．g可以通过自由落体实验测量得出，故C正确； A．由上述分析可知，计算a不需要测量引力常量G，直接根据月球匀速圆周运动的半径以及周期结合向心加速度表达式求解，故A错误； B．由上述分析可知，“月—地检验”不需要测量F1、F2的大小，故B错误。 故选：CD。 （多选）10．科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，已知LOA＝b，LOB＝a，且地球绕太阳一周的时间为T，椭圆面积为S＝πab。下列说法正确的是（　　） A．地球在B点和D点的速度关系为 B．地球在绕太阳运动过程中在B、D两点由太阳对地球的引力提供向心力 C．根据题中条件可知，太阳的质量为 D．地球从A运动到B所用时间为 【答案】BC 【解答】解：A．根据开普勒第二定律，取B点和 D点的小段微元，满足“微元面积相等“，即vBr1ΔtvDr2Δt 其中，，解得，故A错误； B．地球绕太阳做椭圆运动时，仅在近地点（B）和远地点（D），太阳对地球的引力方向与速度方向垂直，此时引力完全提供向心力，故B正确； C．根据开普勒第三定律可得，根据万有引力定律有，对椭圆轨道取半长轴a等效为圆周运动的轨道半径，推导得，所以太阳的质量为，故C正确； D．如图所示，阴影部分的面积为，根据开普勒第二定律，地球从A到B的运动时间t与阴影面积S1成正比，即，椭圆面积S椭圆＝πab，解得地球从A运动到B所用时间为，故D错误。 故选：BC。 11．开普勒于1609年和1619年发表了行星运动三定律，其中k，k为开普勒常量；牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。 （1）通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式（选用用MS、MP、L、G和其它常数表示）； （2）实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为k′，请推导k的表达式（用MS、MP、L、G和其它常数表示），并说明k′＝k需满足的条件。 【答案】（1）开普勒第三定律中常量k的表达式为； （2）需要行星的质量远小于太阳的质量。 【解答】解：（1）行星绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得 GMpL 解得k （2）设行星做匀速圆周运动的轨道半径为r，太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，则 r+R＝L 对行星，根据万有引力提供向心力得 GMpr 对太阳，根据万有引力提供向心力得 GMsR 由以上两式可得 则k′ 故若要使k′≈k，即 必须满足Mp≪Ms 即行星的质量远小于太阳的质量。 答：（1）开普勒第三定律中常量k的表达式为； （2）需要行星的质量远小于太阳的质量。 12．万有引力定律与开普勒三大定律是研究天体运动的重要物理原理，请回答下列有关问题： （1）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中第二小的行星。已知火星的公转周期约为687天，把地球和太阳之间的平均距离计为1天文单位，结合天文常识可知，火星到太阳的平均距离约为 　A　 。 A．1.5天文单位 B．2天文单位 C．2.5天文单位 D．3天文单位 （2）根据万有引力定律F，万有引力常量G的国际单位为 　m3•kg﹣1•s﹣2 。 （3）对于万有引力定律F，吴老师提出了一个问题：如果R无限趋近于0，那是否物体间的引力会接近∞呢？请你回答这个问题并说明理由：　不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点　 。 （4）如图1为一个空球壳，其内部有A点，其质心为O点，吴老师告诉小朱同学，空球壳内任意一点受到空球壳的万有引力为0，小朱同学认为，O点受到上下引力可以平衡，A点距离上下两部分距离不同，故上下万有引力之间一定无法平衡，这是因为她没有认识到 　控制变量法　 这一物理方法，请写出其错误：　A点上下两部分球壳质量也不同　 。 （5）下列说法错误的是 　ABD　 。（多选题） A．开普勒三大定律是开普勒计算了第谷观测到的大量不同星系的数据总结而成的 B．离天体中心越近，物体受到的万有引力越大 C．行星公转的周期与行星的质量有关 D．万有引力常量G的值由卡文迪什通过扭秤实验测得 （6）如图2所示为地球和月球的相对位置图，则下列说法中正确的是 　A　 。 A．D点离月球较近，月球对地表水的万有引力较大，形成高潮 B．A点和C点既不是高潮又不是低潮 C．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较小，因而形成低潮 D．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较大，因而形成高潮 【答案】（1）A；（2）kg•m3•s﹣2；（3）不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点；（4）控制变量法，A点上下两部分球壳质量也不同；（5）ABC；（6）A。 【解答】解：（1）根据开普勒第三定律有，代入T火＝687天，T地＝365天，r地＝1天文单位，解得r火＝1.5天文单位，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （2）根据万有引力定律F，得G，即11m3•kg﹣1•s﹣2； （3）如果R无限趋近于0，那是否物体间的引力会接近∞呢？不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点； （4）A.开普勒在获得第谷的数据后，花费了多年时间对其进行深入分析和研究。他运用数学方法，不断尝试各种可能的模型和规律，最终找到能够准确描述行星运动的方式，故A错误； B.物体从较远处开始向天体靠近直到天体表面的过程中，则离天体中心越近，物体受到的万有引力越大，故B错误； C．行星公转的周期与行星的质量无关，与太阳的质量有关，故C错误； D．万有引力常量G的值由卡文迪什通过扭秤实验测得，故D正确。 本题选错误的，故选：ABC。 （5）根据月球对海水的吸引产生潮汐的原理可知，在D点的海水离月球最近，万有引力较大，形成高潮，A点和C到月球的距离基本相等，是低潮的状态，B点离月球较远，月球的引力较小，但仍然在此处形成高潮，故A正确，BCD错误。 故选：A。 故答案为：（1）A；（2）kg•m3•s﹣2；（3）不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点；（4）控制变量法，A点上下两部分球壳质量也不同；（5）ABC；（6）A。 考点二．引力常量及其测定（共8小题） 13．在物理学的发展过程中，科学家们运用了许多研究方法。以下关于物理研究方法的叙述错误的是（　　） A．“探究向心力大小的表达式”实验中用到了等效替代法 B．卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想 C．在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法 D．“探究曲线运动的速度方向”运用了极限的思想 【答案】A 【解答】解：A、“探究向心力大小的表达式”实验中，要探究一个量与多个量的关系，运用了控制变量法，故A错误； B、卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想，故B正确； C、在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法，故C正确； D、B点逐渐向A点靠近时，观察AB割线的变化，到曲线上的A点割线即为切线，所以“探究曲线运动的速度方向”运用了极限的思想，故D正确。 本题选错误的，故选：A。 14．1798年英国物理学家卡文迪什精确地测出了引力常量G的数值。若用国际单位中的基本单位表示引力常量G的单位，下列选项正确的是（　　） A．N•m/kg2 B．N•m2/kg C．m3/（kg•s2） D．m2/（kg•s2） 【答案】C 【解答】解：根据可求出，将表示G的表达式各物理量单位代入得m3/（kg•s2），故C正确，ABD错误。 故选：C。 15．下列说法正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定不变 B．开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的行星运动三定律，并在此基础上提出了万有引力定律 C．牛顿根据大量实验数据得出了万有引力定律中的比例系数G的大小 D．卡文迪什采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个称出地球的人” 【答案】D 【解答】解：A、做匀速圆周运动的物体，所受合力一定指向圆心，因此合力一定变化，故A错误； B、开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的行星运动三定律，牛顿提出了万有引力定律，故B错误； C、卡文迪什根据大量实验数据得出了万有引力定律中的比例系数G的大小，故C错误； D、卡文迪什采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个称出地球的人”，故D正确。 故选：D。 16．小明在考试之前对习题中的一些易错的概念进行了整理和归纳，下列说法中正确的是（　　） A．做圆周运动的物体所受合力一定指向圆心 B．匀速圆周运动一定是变速运动 C．牛顿提出万有引力定律时，便测出了万有引力常量 D．开普勒第三定律仅适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动 【答案】B 【解答】解：A、做圆周运动的物体，所受合力方向不一定指向圆心，如竖直平面内变速圆周运动，故A错误； B、由于物体做匀速圆周运动时速度的方向不断变化，故匀速圆周运动一定是变速运动，一定具有加速度，故B正确； C、牛顿发现了万有引力定律，但没有测出引力常量，卡文迪什利用扭秤装置比较准确地测出了万有引力常量，故牛顿提出万有引力定律，卡文迪什测出万有引力常量，故C错误； D、开普勒第三定律也适用于围绕地球运行的所有卫星，故D错误； 故选：B。 17．英国物理学家卡文迪许首次精确测量了万有引力常量G的数值，其单位是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据万有引力定律F＝G，知质量m的单位为kg，距离r的单位为m，引力F的单位为N，由公式推导得出G的单位是：，故A正确，BCD错误。 故选：A。 18．牛顿发现万有引力定律100多年之后，第一次使用扭秤在实验室里比较准确地测出了引力常量G的数值，称自己的这个实验为“称量地球的重量”实验的物理学家是（　　） A．卡文迪许 B．第谷 C．开普勒 D．伽利略 【答案】A 【解答】解：牛顿发现了万有引力定律，100多年之后的英国科学家卡文迪许利用扭秤装置，第一次测出了引力常量G，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （多选）19．在牛顿发现万有引力定律100多年以后的1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙运用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较精准的测出了引力常量G。坚固的T形支架倒挂在石英丝的下端，当石英丝发生扭转形变时的扭转力矩Mk＝kθ。T形支架两端各固定一个质量为m的小球，两个小球与对应大球的连线与杆垂直，且在水平面内。竖直部分固定一个小平面镜。实验时，两个质量为m′的大球分别置于两个小球附近，它们跟小球间的距离都为r，水平杆的长度为l。下列说法正确的是（　　） A．最终稳定时，石英丝旋转过的角度与r成反比 B．对于任意参考点来说，两个万有引力的合力矩的大小和方向都相同 C．此实验灵活的运用了放大微小量的思想 D．为了减小实验误差，T形支架的质量应该尽量大一些 【答案】BC 【解答】解：A．设最终稳定后，引力与水平杆之间的夹角为α，根据万有引力表达式有 由题意有 Mk＝kθ 又 联立解得： 可知最终稳定时石英丝旋转过的角度与r2成反比，故A错误； B．根据右手定则可知，两个万有引力的合力矩的方向均为垂直于T形支架向下，大小均为： 所以两个万有引力的合力矩的大小均相等，故B正确； C．球体之间的万有引力很小，利用力矩和平面镜进行了放大，利用放大微小量的物理思想，故C正确； D．为了减小实验误差，T形支架的质量应该尽量小一些，故D错误。 故选：BC。 20．（1）卡文迪什通过实验研究得出万有引力恒量的实验装置示意图是图 　a　 ；库仑通过实验研究得出电荷之间相互作用力规律的实验装置示意图是图 　b　 。 （2）卡文迪什利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是 　BC　 。 A．增大T形架横梁的长度 B．利用平面镜对光线的反射 C．增大刻度尺与平面镜的距离 【答案】（1）a、b；（2）BC。 【解答】解：（1）卡文迪什通过扭秤实验装置（图a）测得的常量； 库仑通过实验研究得出电荷之间相互作用力规律的实验装置（图b）。 （2）A、当增大T型架横梁的长度时，会导致石英丝更容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角仍没有作用，故A错误； BC、为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的。当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故BC正确。 故选：BC。 故答案为：（1）a、b；（2）BC。 考点三．万有引力的基本计算（共27小题） 21．假设未来通过某种技术，在不改变地球半径的情况下，将地球的质量缓慢增大为原来的2倍，且地球仍可视为均匀球体。若忽略地球自转的影响，同一宇航员在地球表面的重力（　　） A．减小为原来的 B．减小为原来的 C．增大为原来的2倍 D．增大为原来的4倍 【答案】C 【解答】解：忽略地球自转时，地球表面物体的重力等于万有引力，有；当地球半径R不变，质量M增大为原来的2倍时，代入公式可得新的重力为，可知当半径R不变，质量M增大为原来的2倍时，物体受到的重力增大为原来的2倍，故ABD错误，C正确。 故选：C。 22．某卫星绕地球做匀速圆周运动，其线速度为地球第一宇宙速度的，则卫星离地面的高度为地球半径的（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．9倍 【答案】C 【解答】解：地球第一宇宙速度等于近地轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，万有引力提供向心力有 某卫星绕地球做匀速圆周运动，其线速度为地球第一宇宙速度的，根据万有引力提供向心力有 联立可得h＝8R 故ABD错误，C正确。 故选：C。 23．嫦娥五号返回器携带月壤绕月飞行的轨迹如图所示，其轨迹形似弹簧。将嫦娥五号沿近月轨道绕月运行视为匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，嫦娥五号离月面的高度为h，且r≫R，地球质量为m地，月球质量为m月，嫦娥五号质量为m嫦，引力常量为G，则（　　） A．月球绕地球运行的线速度大小为 B．嫦娥五号受到月球的万有引力大小为 C．当月球绕地球运行一圈时，嫦娥五号绕月球运行圈 D．当嫦娥五号绕月球运行一圈时，月球沿轨道运行的长度为 【答案】C 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力，有 解得月球绕地球运行的线速度大小为，故A错误； B、根据万有引力公式可得嫦娥五号受到月球的万有引力大小为，故B错误； C、根据万有引力提供向心力，有 解得月球绕地球运动的周期为 根据万有引力提供向心力，有 解得月球绕地球运动的周期为 月球绕地球运行一圈时，嫦娥五号绕月球运行的圈数为圈，故C正确； D、当嫦娥五号绕月球运行一圈时，月球沿轨道运行的长度为，故D错误。 故选：C。 24．“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转轨道是一个椭圆将地球绕日一年转360度分为24份，每15度为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度小 B．太阳对地球的万有引力大于地球对太阳的万有引力 C．开普勒第三定律中的k值大小由太阳系中各行星质量决定 D．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积相等 【答案】A 【解答】解：A.根据开普勒第二定律可知，地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度小，故A正确； B.由牛顿第三定律，太阳对地球的万有引力等于地球对太阳的万有引力，故B错误； C.开普勒第三定律中的k值大小由太阳系中中心天体太阳的质量决定，故C错误； D.由于地球绕太阳运动的轨迹是椭圆，则地球每转过相同的角度，所需的时间不同，根据开普勒第二定律知地球与太阳的连线扫过的面积不相等，故D错误。 故选：A。 25．“祝融号”探测器在向火星表面减速着陆的过程中，探测器对火星的引力F与火星对探测器的引力F′的关系是（　　） A．F＞F′ B．F＜F′ C．方向相反 D．方向相同 【答案】C 【解答】解：探测器对火星的引力F与火星对探测器的引力F′是一对作用力和反作用力，总是等大反向关系。故ABD错误，C正确。 故选：C。 26．北京时间2023年5月30日18时22分，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”。已知入驻后“天宫”总质量为m，距离地面的平均高度为h，地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。则“天宫”受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据万有引力公式，故C正确，ABD错误。 故选：C。 27．当物体相对于地球表面运动时，会受到“地转偏向力”的影响。“地转偏向力”不是物体真实受到的力，是由于地球自转而产生的惯性效应。其原因是：除南北两极外，地球上各纬度的自转角速度相同，但自转线速度不同。在北半球，物体由北向南运动的过程中，由于惯性，物体随地球自转的线速度相对地表显得慢了，因此表现出向前进方向的右侧偏转的现象。“地转偏向力”对地球上所有移动的物体，包括气团、河流，运行的火车、火箭发射等都会产生影响。通过观察“地转偏向力”对单摆的运动产生的影响可以证明地球在自转。1851年，法国物理学家傅科在巴黎的教堂用摆长67m、直径约30cm、质量为28kg的铁球制成的单摆（傅科摆）间接证实了地球在自转，根据以上材料，结合所学，判断下列说法正确的是（　　） A．在北半球，物体由南向北运动过程中，它会向前进方向的左侧偏转 B．在南半球沿平直路面向南行驶的火车，在前进方向上对左侧轨道的压力小于对右侧轨道的压力 C．在南半球，傅科摆在振动过程中，振动平面沿逆时针方向（俯视）不断偏转 D．“地转偏向力”对运动的影响程度，与物体沿南北方向相对地表运动的速度大小无关 【答案】C 【解答】解：A、由题意，地球自西向东自转，在北半球，物体由南向北运动过程中，由高纬度的自转线速度比低纬度的小，所以物体随地球自转的线速度相对地表显得快了，会向前进方向的右侧偏转，故A错误； B、在南半球，火车向南运动，在“地转偏向力”的作用下会向前进方向的左侧偏转，为了保持直线运动，火车在前进方向上，左侧轨道对火车的作用力大于右侧轨道，由牛顿第三定律可知，火车对左侧轨道的压力大于对右侧轨道的压力，故B错误； C、在南半球，物体会向前进方向的左侧偏转，作出物体在南半球沿南北两个方向运动时偏转方向的示意图（俯视图）如图所示，由图可知，摆动平面沿逆时针方向（俯视）不断偏转， 故C正确； D、同一纬度，地球的自转线速度的大小固定不变，若物体沿南北方向从A点运动到B点，沿东西方向的速度改变相同，则当沿南北方向的速度较大所花时间少，东西方向的加速度大，即所需“地转偏向力”越大，故D错误。 故选：C。 28．万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为 C．在北极矿井底部称量时，弹簧测力计读数为 D．在轨道半径为R+h的空间站称量时，弹簧测力计读数为 【答案】C 【解答】解：A．物体在两极时，万有引力等于重力，则有 故A错误； B．在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有 故B错误； C．在北极矿井底部称量时，万有引力等于重力，在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则有 故C正确； D．在空间站称量时，物体处于完全失重，则有 故D错误。 故选：C。 29．地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，地球轨道为圆，彗星轨道为椭圆，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1＞S2。则下列说法正确的是（　　） A．地球的速度始终不变 B．彗星在a、b处受到的万有引力相同 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．相等时间内，地球与日心连线扫过的面积等于彗星与日心连线扫过的面积 【答案】C 【解答】解：A、地球的线速度方向时刻变化，故A错误； B、彗星在a、b处受到的万有引力方向不同，故B错误； C、根据开普勒第二定律可知哈雷彗星与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相同，根据S1＞S2可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，故C正确； D、开普勒第二定律的核心是“同一行星在相等时间内扫过相等面积”，该规律仅适用于同一个天体，而非“不同天体之间”，故D错误。 故选：C。 30．已知物体放在质量分布均匀的球壳内部时受到球壳的万有引力为零，假想沿地球的直径打一个小孔隧道。在不考虑地球自转的情况下，从一端释放一个看成质点的光滑小球，小球将沿直径运动到另一端，则小球运动的速度—时间图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图 当小球运动至A处，由题意可知，只有A处以内的地球部分对小球作用力产生加速度，满足，又有，联立解得，小球靠近地球球心过程，r减小，a减小，做加速度减小的加速运动，到球心另一侧时，由对称性可知，小球做加速度增大的减速运动，故A正确，BCD错误。 故选：A。 31．如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为（　　） A．F，2F B．F，0 C．F，2F D．F，F 【答案】B 【解答】解：将甲图圆环看成是三个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零 根据对称性可知 圆环对球的万有引力大小为F，所以圆环对球的万有引力大小为F 将乙图半圆环看成是两个圆环的组合，根据平行四边形定则，乙图半圆环对球的万有引力大小为F，方向向上 将丙图完整圆环看成是4个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零 因此丙图整个圆环对球的引力为0。 故ACD错误，B正确。 故选：B。 32．北斗导航系统由地面控制系统、空间卫星星座和地面用户设备三部分组成，其中空间卫星星座由地球静止轨道（GEO）卫星、倾斜地球圜步轨道（IGSO）卫星和中圆地球轨道（MEO）卫星组成，不同于其他全球卫星导航系统，北斗导航系统首创了三种不同轨道混合的星座设计，如图所示，已知地球的质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．轨道2为MEO卫星的轨道 B．IGSO卫星与MEO卫星的周期都是T C．MEO卫星与GEO卫星距地面的高度相同 D．GEO卫星距地面的高度为R 【答案】D 【解答】解：A、轨道2为IGSO卫星的轨道，故A错误； BC、IGSO卫星的轨道半径与GEO卫星的运行周期都等于地球的自转周期T，而MEO卫星的轨道半径小于同步卫星，根据开普勒第三定律可知MEO卫星的周期小于T，离地高度也小于同步卫星的高度，故BC错误； D、根据万有引力提供向心力可得：，解得GEO卫星的轨道半径r， 则其离地高度h＝r﹣RR，故D正确。 故选：D。 33．如图甲所示，假设天文学家通过先进的射电望远镜观察到遥远的一颗恒星周围有模糊的物质做圆周运动，通过测量发现，模糊物质的向心加速度an与圆周运动的半径r成正比，所做出的an﹣r关系图像如图乙所示，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．an﹣r关系图像的斜率表示模糊物质的线速度 B．模糊物质绕着此恒星公转 C．若知道恒星的半径可以求出此恒星的质量 D．模糊物质是该恒星的组成部分，且能求出此恒星的自转周期为 【答案】D 【解答】解：A．根据 可知an﹣r关系图像的斜率表示模糊物质角速度的平方，故A错误； B．模糊物质的角速度是定值，发生同轴转动，说明模糊物质随着恒星在做自转，是此恒星的组成部分，故B错误； C．若知道恒星的半径也无法求出此恒星的质量，故C错误； D．根据 由乙图可知 结合 可得恒星的自转角速度为 故D正确。 故选：D。 34．如图所示，“南大仙林星”绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上a、b、c、d四个位置中，该行星受太阳引力最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【解答】解：根据万有引力定律 可知相同条件下，两个物体间的距离越小，它们之间的万有引力就越大，由于“南大仙林星”在a点离太阳最近，故该行星受太阳引力最大的是a位置，故A正确，BCD错误。 故选：A。 35．土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2，且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则（　　） A． B． C．a1r1＝a2r2 D．a1a2 【答案】D 【解答】解：土星的卫星绕土星做匀速圆周运动，土星对卫星的万有引力提供向心力； 根据牛顿第二定律 向心加速度 因此加速度之比 即，故ABC错误，D正确。 故选：D。 36．两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，两个质点的质量都变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设原来两质点的距离为r，质量分别为M、m，则两个质点之间万有引力的大小为 如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，两个质点的质量都变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为 ，故ACD错误，B正确。 故选：B。 37．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭点火发射。11时，飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，两个航天员乘组完成中国航天史上第5次“太空会师”，如图所示，飞船关闭发动机在“奔向”空间站的过程中，用h表示飞船与地球表面的距离，a表示它的加速度.忽略空气阻力，下列图像中能够描述a随h变化关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设地球半径为R，根据牛顿第二定律有，解得，可知h越大，a越小，且a与h不是线性关系，故B正确，ACD错误。 故选：B。 38．2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，并顺利进入月球附近的椭圆形捕获轨道，沿顺时针方向运行。如图所示，捕获轨道的近月点为A，远月点为C，短轴的一个端点为B，设鹊桥二号由A第一次运动到B和由B第一次运动到C的时间分别为t1、t2对应的两个阶段鹊桥二号与月球连线扫过的面积分别为S1、S2，在A、B两点的速度大小为vA、vB，加速度大小为aA、aB，则（　　） A．t1＞t2 B．S1＜S2 C．vA＜vB D．aA＜aB 【答案】B 【解答】解：AB.由开普勒第二定律可知，鹊桥二号在近月点A速度最大，在远月点C速度最小，可知从A到C的过程中，速度逐渐减小，鹊桥二号由A第一次运动到B 的弧长等于由B第一次运动到C的弧长，因此可知鹊桥二号由A第一次运动到B的时间t1小于由B第一次运动到C的时间t2，即t1＜t2；由鹊桥二号与月球连线在相等的时间内扫过的面积相等可知，对应的两个阶段鹊桥二号与月球连线扫过的面积则有S1＜S2，故A错误，B正确； C.由开普勒第二定律可知，鹊桥二号与月球连线在相等的时间内扫过的面积相等，因此鹊桥二号在近月点A附近，在相等时间内通过的弧长较长，即运动的速度较大，在B点附近，在相等时间内通过的弧长较小，即运动速度较小，因此有在A点的速度大于在B点的速度，即vA＞vB，故C错误； D.设月球质量为M，鹊桥二号质量为m，由牛顿第二定律可得，得，而鹊桥二号与月球连线距离rA＜rB，则有aA＞aB，故D错误。 故选：B。 39．A点和B点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在A处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达B点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0）（　　） A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程 B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度 C．设x为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为Fmg，其中为其质量 D．两飞行器同时到达B点 【答案】D 【解答】解：A、在沿着隧道穿行的飞船中的人与飞船的加速度相同，对飞船没有压力，始终处于完全失重状态，故A错误； BC、根据和，可得地球密度为，设飞行器沿着隧道穿行，到距离地球球心的距离为x时所受的力F，解得F，因此该飞船做简谐运动，到达地心时速度最大，根据机械能守恒定律有，解得最大速度，故BC错误； D、利用简谐振动的周期公式T＝2 可知沿着隧道穿行的飞行器到达B点时恰好运动了半个周期，所用时间为t1，沿地球表面飞行的速度v，从A到B飞行的时间为 ，因此两飞行器同时到达B点，故D正确。 故选：D。 （多选）40．如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R＜h）的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F。引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．乘客在P点受到的万有引力大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点的线速度大小为 D．体重计的示数 【答案】BD 【解答】解：A、某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R＜h）的P点处，万有引力定律得乘客在P点受到的万有引力大小为，故A错误； B、根据圆周运动公式得地球同步轨道上的空间站的向心加速度大小，因为乘客与空间站具有相同的角速度，但乘客在P点的运动半径小于地球同步轨道半径，所以乘客在P点的向心加速度小于，故B正确； C、假设乘客所受万有引力提供向心力得，解得， 但乘客还受到体重计的支持力，所以乘客在P点的线速度不等于，故C错误； D、根据牛顿第二定律得可知， 解得，故D正确。 故选：BD。 （多选）41．地球上某处海水的周期性涨落称为潮汐。潮汐主要是月球对海水的引力造成的，太阳的引力也起一定的作用，但要弱得多。引起潮汐的力称为引潮力，引潮力沿垂直海水表面向上（背离地心）最大处，海水形成高峰；反之，引潮力沿垂直海水表面向下（指向地心）最大处，海水出现低谷。为简化研究，只在地—月系统分析问题，此时引潮力可称为月潮力。假设地球表面全部被海水覆盖，如图所示，月地距离为r，地球半径为R，月球质量为M月，地球质量为M地；A为近月点，B为远月点。取直角坐标系的x轴沿月地连线，x正半轴沿逆时针方向转动θ角与地表相交于P点，该处质量为Δm的海水所受的月潮力在x轴、y轴上的分力Fx、Fy分别是FxRcosθ；FyRsinθ。依据所学知识，结合上述公式，判断下列说法正确的是（　　） A．月潮力就是地球对海水的引力 B．月潮力就是月球对海水的引力 C．近月点A处的海水月潮力向下（指向地心）最大 D．远月点B处的海水月潮力向上（背离地心）最大 【答案】BD 【解答】解：AB、根据题意可知，月潮力就是月球对海水的引力，故A错误，B正确； CD、根据力的合成法则可知，根据FxRcosθ；FyRsinθ可知，远月点B处对应的θ＝0，此处的海水月潮力向上最大，在近月点A处对应的夹角θ＝180°，此处的海水月潮力向上最大，故D正确，C错误。 故选：BD。 （多选）42．如图所示，已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为O2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、切点及O3点共线，关于挖去后剩余部分对小球的引力说法正确的是（　　） A．可以直接利用万有引力定律进行计算大小 B．不可以直接利用万有引力定律进行计算大小 C．大小为 D．大小为 【答案】BC 【解答】解：AB、剩余部分为非均匀球体，不能直接用万有引力定律计算，故A错物，B正确； CD、根据体积公式 挖去的个半径为的小球的体积为原来球的体积的，则其质量为原球质量的，即为M，用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力 故C正确，D错误。 故选：BC。 （多选）43．这是摘自某篇新闻报道的一段话：“X﹣37B空天飞机被认为是承担了美军太空战职能的航天器。世界各地天文爱好者经过近一个月的通力合作，竟然捕捉到了一条绝密轨道。根据观测：X﹣37B是在一个倾角39.9度的近圆轨道上运行，它每90分钟绕地球转一圈，正好需要每4天才能飞临同一地点。”专业人士分析“它每90分钟绕地球转一圈”可以理解为它是在近地轨道上飞行，其中的“90分钟”应该只是一个大约数，并不是精确值。地球可视为半径为6.37×103km的均匀球体，地面处的重力加速度g＝9.80m/s2，则关于该航天器下列说法正确的是（　　） A．因为该航天器大约每90分钟绕地球转一圈，所以四天绕地球飞行64圈 B．该航天器的周期一定为91.4min C．该航天器距离地面高度的数值可能为2.10×105m D．若航天器的周期为92.9min，那么将观察到它正好每2天飞临同一地点 【答案】AD 【解答】解：AB．因为该航天器大约每90分钟统地球转一圈，所以四天绕地球飞行圈，若该航天器的周期为91.4min，则不可能每4天飞临同一地点，故A正确，B错误； C．根据万有引力提供向心力：， 在地球表面万有引力约等于重力： 可得航天器距离地面高度 其中T＝90min，代入数据解得h＝280km 故C错误； D．若航天器的周期为92.9min，每2天绕地球转过圈，即它正好每2天飞临同一地点，故D正确。 故选：AD。 （多选）44．与地球公转轨道相切于A点的小行星甲和相切于B点的小行星乙的公转轨道如图所示，A为小行星甲的近日点，B为小行星乙的远日点。假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，万有引力常量为G，则（　　） A．小行星甲在A点的速度大于乙在B点的速度 B．小行星乙在B点的加速度小于甲在A点的加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．若已知甲的公转周期为T1，则太阳质量 【答案】AC 【解答】解：B、设太阳的质量为M，根据牛顿第二定律有，解得a，加速度大小与小行星的质量无关，只与到太阳的距离有关，所以小行星甲在A点的加速度等于乙在B点的加速度，故B错误； A、当行星围绕太阳做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有，解得v，小行星甲在A点做离心运动，所以小行星甲在A点的速，小行星乙在B点做近心运动，所以小行星乙在B点的速度，则小行星甲在A点的速度大于乙在B点的速度，故A正确； C、甲的半长轴为，乙的半长轴为，根据开普勒第三定律有，解得，故C正确； D、根据万有引力提供向心力，对甲有，解得M，故D错误。 故选：AC。 45．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为m0的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为F0（未知），从球O中挖去一半径为的球体O′后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求： （1）质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小； （2）如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。 【答案】（1）它受到球壳A的万有引力大小等于； （2）它所受球壳A的万有引力大小等于。 【解答】解：（1）设球的密度为ρ，则挖去的小球质量为 质点Q受到球壳A的引力为 解得 （2）大球对P点的引力为 小球对P点的引力为 故P点受力为 由三角形法则可知 解得 答：（1）它受到球壳A的万有引力大小等于； （2）它所受球壳A的万有引力大小等于。 46．如图所示，质量为m的物体在地球赤道上随地球自转，将地球视为半径为R的球体，已知地球的质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。求： （1）物体随地球自转所需要的向心力大小Fn； （2）物体在赤道上受到的支持力大小F。 【答案】（1）物体随地球自转所需要的向心力大小等于； （2）物体在赤道上受到的支持力大小F等于。 【解答】解：（1）物体所需要的向心力为 （2）物体受到的万有引力为 则 F万﹣F＝Fn 解得 答：（1）物体随地球自转所需要的向心力大小等于； （2）物体在赤道上受到的支持力大小F等于。 47．牛顿猜想“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样规律，最终用月—地检验证实了猜想。 （1）若月地距离r，月球公转周期为T，求月球绕地运行的加速度大小a； （2）若月地距离约为地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g。请结合（1）问结果说明如何证实牛顿的猜想。 【答案】（1）月球绕地运行的加速度大小a为； （2）若（I）问中的a，则证实牛顿的猜想。 【解答】解：（1）月球绕地球运动的角速度为 月球的向心加速度大小为 a＝ω2r 联立解得：a （2）由万有引力定律和牛顿第二定律有 则月球绕地球运转的加速度为 a 苹果落地时的加速度为 g 若（I）问中的a，则证实牛顿的猜想。 答：（1）月球绕地运行的加速度大小a为； （2）若（I）问中的a，则证实牛顿的猜想。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章第二节万有引力定律 知识点一太阳与行星间的引力 1科学家对行星运动原因的猜测 伽利略 行星的运动与地面物体的运动遵循不同的规律，行星的运动是依靠“惯性”自行维持的. 开普勒 行星的运动是受到了来自太阳的类似于磁力的作用，行星和太阳之间的这种磁力作用与行星和太阳之间的距离成反比. 笛卡儿 宇宙由不停旋转的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡，太阳和行星在各自的漩涡中心.行星漩涡带动卫星运动，太阳漩涡带动行星和卫星一起运动. 胡克 行星的运动是太阳吸引的缘故，并且如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小与行星到太阳距离的平方成反比，且重力是由地球的吸引产生的. 牛顿 在前人研究的基础上认为以任何方式改变速度(包括改变速度的方向)都需要力.因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力.牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了. 2太阳对行星的引力 (1)简化模型 ①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动. ②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力. (2)太阳对行星的引力规律的推导 太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离 的二次方成反比，即 3行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，行星也吸引太阳，行星对太阳引力的大小，也应与太阳的质量M成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即 4太阳与行星间的引力 (1)推导 由可得,写成等式为. (2)理解太阳与行星间的引力关系 ①G是比例系数，与太阳和行星均没有关系. ②太阳与行星间的引力规律，也适用于行星与其卫星间的引力. ③引力规律普遍适用于任何有质量的物体. ④物体之间的相互引力沿两个物体的连线方向，指向施力物体. 知识点二月一地检验 1牛顿的猜想 (1)太阳的引力使行星不能飞离太阳，物体与地球之间的引力也使物体不能离开地球. (2)日地间引力与月地间引力以及物体与地球间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律，其大小都可用公式计算. 2牛顿的检验方法 (1)检验目的：验证维持月球绕地球运动的力、使物体下落的力，与使地球绕太阳运动的力是同一种性质的力，遵循相同的规律. (2)理论分析：设地球半径为R,地球与月球间距离为r. 对月—地系统有 对物—地系统有g 已知r=60R，g=9.8m/s2 (3)天文观测： 月球绕地球运动的周期T=27.3天、地球与月球间距离r=3.8×108m→月球运动的向心加速度→与理论分析结果一致 (4)检验结果：理论分析与天文观测符合得很好.这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律. 知识点三万有引力定律 1内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m₁和m₂的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比. 2公式 式中G为比例系数，叫作引力常量,适用于任何两个物体. 3公式的适用条件 (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，也可用此公式近似计算两物体间的万有引力. (2)质量分布均匀且有一定间距的球体间的相互作用，也可用此公式计算.式中r是两个球体球心间的距离. 4万有引力的特点 特点 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力. 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们总是大小相等、方向相反，作用在两个物体上. 宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小，与其他力相比可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性的作用. 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们的质量和距离有关，而与它们所在空间的性质及周围是否存在其他物体无关. 知识点四引力常量G的测定 1引力常量G的说明 (1)测定引力常量的理论公式：,单位为N·m²/kg².(2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力的大小. (3)由于引力常量G很小，日常接触的物体的质量不是很大，所以很难觉察到它们之间的引力.例如，两个质量各为50kg的人相距1m时，他们相互间的引力相当于几粒尘埃的重力.但是，天体之间存在巨大的引力，太阳对地球的引力甚至可以将直径为几千米的钢柱拉断. 2引力常量的测定 卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生万有引力，如图7-2-1所示，万有引力使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度.利用石英丝的扭转角度，可以求出大球和小球间的万有引力.利用,即,比较准确地得出了G的数值.通常取G=6.67×10-11N·m²/kg². 3引力常量测定的意义 (1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性. (2)引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值. (3)卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代. 知识点五重力与万有引力的区别与联系 ①万有引力与重力 由于地球在不停地自转，地球上的物体随地球一起绕地轴做匀速圆周运动.地球表面上的物体所受的万有引力F引可以分解成物体随地球自转做匀速圆周运动的向心力F向(方向指向地轴的某一点)和所受的重力mg,其中，其中，其中,F引=,F向=mr,重力只是万有引力的一个分力.万有引力F引、重力mg和物体由于自转所需要的向心力F向，三个力的关系如图所示. (1)物体在一般位置(不在赤道和两极)时，F向=mr,F向、F引、mg不在一条直线上. (2)当物体在赤道上时，F向达到最大值F向max,且F向max=mR,此时重力有最小值，为F引-F向=. (3)当物体在两极时F向=0,mg=F引，重力达到最大值，为,可见只有在两极时，重力等于万有引力，在其他位置时重力均小于万有引力. 2黄金代换 由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力.因此不考虑(忽略)地球自转的影响时，在地球附近有mg=,化简得gR²=GM.gR²=GM通常叫作黄金代换，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的“重力加速度g”代换M. 3地球重力加速度g及变化 (1)地球表面的重力加速度 在地球表面处万有引力近似等于重力，则,所以为地球半径，M为地球质量). (2)某高度处的重力加速度 设离地球表面高h处的重力加速度为g′,则,所以g'=,可见重力加速度随高度的增加而减小. (3)某深度处的重力加速度 理论表明，一个均匀的球壳，对处在其中的物体的引力为零.假想有一深度为h的矿井，其底部的重力加速度设为g",，由可得在地球表面.在矿井底.故. 4物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态， 即=0,有 则 所以完全失重的临界条件为 上述结果恰好是近地面人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期. 5地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T=24h的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到 的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即 根据质量与密度的关系，有 所以，地球的密度应为 即最小密度为Pmin=18.9kg/m³.地球平均密度的公认值为 p0=5523kg/m3>>pmin,足以保证地球处于稳定状态. 考点一．万有引力定律的内容、推导及适用范围（共12小题） 1．同一物理现象往往可以用不同方法来解释。例如：在赤道地表上方300m高空相对于地球表面静止释放一物体，不考虑重力加速度的变化，忽略空气阻力，物体将不会落在释放点的正下方，该现象可以用两种不同的方法进行解释。下列说法正确的是（　　） 方法一：地球是一个转动的非惯性系，运用牛顿定律分析物体的运动时，物体除了受到与惯性系相同的力外，还受到一个“假想的惯性力”，该力的方向与物体上下运动的方向有关，当物体向地心运动时，该力的方向指向东方，当竖直运动方向反向时惯性力的方向也反向 方法二：物体在下落过程中，受到的万有引力是有心力，根据物理学规律角动量守恒（角动量L＝mr2ω，其中m是物体的质量，r为物体到地心的距离，ω为物体相对于地球的角速度），物体的角速度会发生变化 A．由方法一可知，若将一物体在赤道竖直向上抛出，上升过程相对抛出点向西运动，下落过程相对抛出点向东运动，落回的地点在抛出点 B．由方法二可知，若将一物体在赤道竖直向上抛出，上升过程物体的角速度越来越大，下落过程物体的角速度越来越小，落回的地点在抛出点 C．若将一物体在北京竖直向上抛出，由两种方法均可知，物体相对于地面将向西偏转 D．若将一物体在北京竖直向上抛出，由两种方法均可知，物体相对于地面将向东偏转 2．下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力 C．根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式F＝G得G，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关 3．在探索宇宙奥秘的历史长河中，下列描述中正确的是（　　） A．万有引力定律描述的是一种只在大质量天体之间存在的引力 B．天文学家第谷通过观测行星的运动，记录了大量数据并总结出行星运动的定律 C．牛顿通过实验验证了万有引力定律 D．“地心说”认为地球是静止不动的，太阳和其他行星都绕地球运动 4．如图所示，哈雷彗星在近日点时，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点时，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则（　　） A． B． C． D． 5．《自然哲学的数学原理》中记载牛顿是这样研究匀速圆周运动的：如图所示，小球沿正多边形的各边（刚性材料）做速度大小不变的运动，若正多边形的边数趋近于无穷大，则上述运动可看作匀速圆周运动。牛顿提出设想后并没有做进一步的推导，若小明同学沿着牛顿的思路推导得出了匀速圆周运动的向心力表达式，他在研究过程中提出了一些假设，其中不合理的是（　　） A．小球在正多边形各个顶点处的碰撞是弹性碰撞 B．每次碰撞时小球所受作用力的方向指向圆心 C．因碰撞时间可以用周期和正多边形的边数表示，可以利用动量定理得出向心力表达式 D．因碰撞的作用力与边长可以计算功，所以可以利用动能定理得出向心力表达式 6．苏轼的诗句“定知玉兔十分圆，已作霜风九月寒，寄语重门休上钥，夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景。如图所示，太阳、月亮和地球处于一条直线上，会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的2700万倍，日地距离是月地距离的390倍，以下说法正确的是（　　） A．海水在A处受到太阳的引力比受到月球的引力小 B．海水在B处受到太阳的引力比受到月球的引力小 C．同一质量的海水在A处受到月球的引力比在B处小 D．同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小 7．关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（　　） A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间 B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大 C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍 D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则 8．在月球上的宇航员，手头有一个质量为m的砝码，如果已知引力常量G和月球半径R，若要估测月球质量M，则只需要一个（　　） A．秒表 B．刻度尺 C．弹簧测力计 D．长1m轻质细线 （多选）9．为了验证地球对月球的引力F1与地球对地球表面物体的引力F2遵循相同的规律，牛顿进行了著名的“月—地检验”。月球绕地球运动的向心加速度为a，地表重力加速度为g，月球轨道半径为r，地球半径为R，忽略地球自转影响。关于“月—地检验”，下列说法中正确的是（　　） A．计算a需要测量引力常量G B．“月—地检验”需要测量F1、F2的大小 C．g可以通过自由落体实验测量得出 D．若计算得，则验证了F1、F2遵循相同的规律 （多选）10．科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，已知LOA＝b，LOB＝a，且地球绕太阳一周的时间为T，椭圆面积为S＝πab。下列说法正确的是（　　） A．地球在B点和D点的速度关系为 B．地球在绕太阳运动过程中在B、D两点由太阳对地球的引力提供向心力 C．根据题中条件可知，太阳的质量为 D．地球从A运动到B所用时间为 11．开普勒于1609年和1619年发表了行星运动三定律，其中k，k为开普勒常量；牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。 （1）通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式（选用用MS、MP、L、G和其它常数表示）； （2）实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为k′，请推导k的表达式（用MS、MP、L、G和其它常数表示），并说明k′＝k需满足的条件。 12．万有引力定律与开普勒三大定律是研究天体运动的重要物理原理，请回答下列有关问题： （1）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中第二小的行星。已知火星的公转周期约为687天，把地球和太阳之间的平均距离计为1天文单位，结合天文常识可知，火星到太阳的平均距离约为 　 　 。 A．1.5天文单位 B．2天文单位 C．2.5天文单位 D．3天文单位 （2）根据万有引力定律F，万有引力常量G的国际单位为 　 　 。 （3）对于万有引力定律F，吴老师提出了一个问题：如果R无限趋近于0，那是否物体间的引力会接近∞呢？请你回答这个问题并说明理由：　 　 。 （4）如图1为一个空球壳，其内部有A点，其质心为O点，吴老师告诉小朱同学，空球壳内任意一点受到空球壳的万有引力为0，小朱同学认为，O点受到上下引力可以平衡，A点距离上下两部分距离不同，故上下万有引力之间一定无法平衡，这是因为她没有认识到 　 　 这一物理方法，请写出其错误：　 　 。 （5）下列说法错误的是 　 　 。（多选题） A．开普勒三大定律是开普勒计算了第谷观测到的大量不同星系的数据总结而成的 B．离天体中心越近，物体受到的万有引力越大 C．行星公转的周期与行星的质量有关 D．万有引力常量G的值由卡文迪什通过扭秤实验测得 （6）如图2所示为地球和月球的相对位置图，则下列说法中正确的是 　 　 。 A．D点离月球较近，月球对地表水的万有引力较大，形成高潮 B．A点和C点既不是高潮又不是低潮 C．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较小，因而形成低潮 D．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较大，因而形成高潮 考点二．引力常量及其测定（共8小题） 13．在物理学的发展过程中，科学家们运用了许多研究方法。以下关于物理研究方法的叙述错误的是（　　） A．“探究向心力大小的表达式”实验中用到了等效替代法 B．卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想 C．在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法 D．“探究曲线运动的速度方向”运用了极限的思想 14．1798年英国物理学家卡文迪什精确地测出了引力常量G的数值。若用国际单位中的基本单位表示引力常量G的单位，下列选项正确的是（　　） A．N•m/kg2 B．N•m2/kg C．m3/（kg•s2） D．m2/（kg•s2） 15．下列说法正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定不变 B．开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的行星运动三定律，并在此基础上提出了万有引力定律 C．牛顿根据大量实验数据得出了万有引力定律中的比例系数G的大小 D．卡文迪什采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个称出地球的人” 16．小明在考试之前对习题中的一些易错的概念进行了整理和归纳，下列说法中正确的是（　　） A．做圆周运动的物体所受合力一定指向圆心 B．匀速圆周运动一定是变速运动 C．牛顿提出万有引力定律时，便测出了万有引力常量 D．开普勒第三定律仅适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动 17．英国物理学家卡文迪许首次精确测量了万有引力常量G的数值，其单位是（　　） A． B． C． D． 18．牛顿发现万有引力定律100多年之后，第一次使用扭秤在实验室里比较准确地测出了引力常量G的数值，称自己的这个实验为“称量地球的重量”实验的物理学家是（　　） A．卡文迪许 B．第谷 C．开普勒 D．伽利略 （多选）19．在牛顿发现万有引力定律100多年以后的1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙运用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较精准的测出了引力常量G。坚固的T形支架倒挂在石英丝的下端，当石英丝发生扭转形变时的扭转力矩Mk＝kθ。T形支架两端各固定一个质量为m的小球，两个小球与对应大球的连线与杆垂直，且在水平面内。竖直部分固定一个小平面镜。实验时，两个质量为m′的大球分别置于两个小球附近，它们跟小球间的距离都为r，水平杆的长度为l。下列说法正确的是（　　） A．最终稳定时，石英丝旋转过的角度与r成反比 B．对于任意参考点来说，两个万有引力的合力矩的大小和方向都相同 C．此实验灵活的运用了放大微小量的思想 D．为了减小实验误差，T形支架的质量应该尽量大一些 20．（1）卡文迪什通过实验研究得出万有引力恒量的实验装置示意图是图 　 　 ；库仑通过实验研究得出电荷之间相互作用力规律的实验装置示意图是图 　 　 。 （2）卡文迪什利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是 　 　 。 A．增大T形架横梁的长度 B．利用平面镜对光线的反射 C．增大刻度尺与平面镜的距离 考点三．万有引力的基本计算（共27小题） 21．假设未来通过某种技术，在不改变地球半径的情况下，将地球的质量缓慢增大为原来的2倍，且地球仍可视为均匀球体。若忽略地球自转的影响，同一宇航员在地球表面的重力（　　） A．减小为原来的 B．减小为原来的 C．增大为原来的2倍 D．增大为原来的4倍 22．某卫星绕地球做匀速圆周运动，其线速度为地球第一宇宙速度的，则卫星离地面的高度为地球半径的（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．9倍 23．嫦娥五号返回器携带月壤绕月飞行的轨迹如图所示，其轨迹形似弹簧。将嫦娥五号沿近月轨道绕月运行视为匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，嫦娥五号离月面的高度为h，且r≫R，地球质量为m地，月球质量为m月，嫦娥五号质量为m嫦，引力常量为G，则（　　） A．月球绕地球运行的线速度大小为 B．嫦娥五号受到月球的万有引力大小为 C．当月球绕地球运行一圈时，嫦娥五号绕月球运行圈 D．当嫦娥五号绕月球运行一圈时，月球沿轨道运行的长度为 24．“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转轨道是一个椭圆将地球绕日一年转360度分为24份，每15度为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度小 B．太阳对地球的万有引力大于地球对太阳的万有引力 C．开普勒第三定律中的k值大小由太阳系中各行星质量决定 D．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积相等 25．“祝融号”探测器在向火星表面减速着陆的过程中，探测器对火星的引力F与火星对探测器的引力F′的关系是（　　） A．F＞F′ B．F＜F′ C．方向相反 D．方向相同 26．北京时间2023年5月30日18时22分，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”。已知入驻后“天宫”总质量为m，距离地面的平均高度为h，地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。则“天宫”受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 27．当物体相对于地球表面运动时，会受到“地转偏向力”的影响。“地转偏向力”不是物体真实受到的力，是由于地球自转而产生的惯性效应。其原因是：除南北两极外，地球上各纬度的自转角速度相同，但自转线速度不同。在北半球，物体由北向南运动的过程中，由于惯性，物体随地球自转的线速度相对地表显得慢了，因此表现出向前进方向的右侧偏转的现象。“地转偏向力”对地球上所有移动的物体，包括气团、河流，运行的火车、火箭发射等都会产生影响。通过观察“地转偏向力”对单摆的运动产生的影响可以证明地球在自转。1851年，法国物理学家傅科在巴黎的教堂用摆长67m、直径约30cm、质量为28kg的铁球制成的单摆（傅科摆）间接证实了地球在自转，根据以上材料，结合所学，判断下列说法正确的是（　　） A．在北半球，物体由南向北运动过程中，它会向前进方向的左侧偏转 B．在南半球沿平直路面向南行驶的火车，在前进方向上对左侧轨道的压力小于对右侧轨道的压力 C．在南半球，傅科摆在振动过程中，振动平面沿逆时针方向（俯视）不断偏转 D．“地转偏向力”对运动的影响程度，与物体沿南北方向相对地表运动的速度大小无关 28．万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为 C．在北极矿井底部称量时，弹簧测力计读数为 D．在轨道半径为R+h的空间站称量时，弹簧测力计读数为 29．地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，地球轨道为圆，彗星轨道为椭圆，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1＞S2。则下列说法正确的是（　　） A．地球的速度始终不变 B．彗星在a、b处受到的万有引力相同 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．相等时间内，地球与日心连线扫过的面积等于彗星与日心连线扫过的面积 30．已知物体放在质量分布均匀的球壳内部时受到球壳的万有引力为零，假想沿地球的直径打一个小孔隧道。在不考虑地球自转的情况下，从一端释放一个看成质点的光滑小球，小球将沿直径运动到另一端，则小球运动的速度—时间图像正确的是（　　） A． B． C． D． 31．如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为（　　） A．F，2F B．F，0 C．F，2F D．F，F 32．北斗导航系统由地面控制系统、空间卫星星座和地面用户设备三部分组成，其中空间卫星星座由地球静止轨道（GEO）卫星、倾斜地球圜步轨道（IGSO）卫星和中圆地球轨道（MEO）卫星组成，不同于其他全球卫星导航系统，北斗导航系统首创了三种不同轨道混合的星座设计，如图所示，已知地球的质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．轨道2为MEO卫星的轨道 B．IGSO卫星与MEO卫星的周期都是T C．MEO卫星与GEO卫星距地面的高度相同 D．GEO卫星距地面的高度为R 33．如图甲所示，假设天文学家通过先进的射电望远镜观察到遥远的一颗恒星周围有模糊的物质做圆周运动，通过测量发现，模糊物质的向心加速度an与圆周运动的半径r成正比，所做出的an﹣r关系图像如图乙所示，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．an﹣r关系图像的斜率表示模糊物质的线速度 B．模糊物质绕着此恒星公转 C．若知道恒星的半径可以求出此恒星的质量 D．模糊物质是该恒星的组成部分，且能求出此恒星的自转周期为 34．如图所示，“南大仙林星”绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上a、b、c、d四个位置中，该行星受太阳引力最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 35．土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2，且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则（　　） A． B． C．a1r1＝a2r2 D．a1a2 36．两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，两个质点的质量都变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为（　　） A． B． C． D． 37．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭点火发射。11时，飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，两个航天员乘组完成中国航天史上第5次“太空会师”，如图所示，飞船关闭发动机在“奔向”空间站的过程中，用h表示飞船与地球表面的距离，a表示它的加速度.忽略空气阻力，下列图像中能够描述a随h变化关系的是（　　） A． B． C． D． 38．2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，并顺利进入月球附近的椭圆形捕获轨道，沿顺时针方向运行。如图所示，捕获轨道的近月点为A，远月点为C，短轴的一个端点为B，设鹊桥二号由A第一次运动到B和由B第一次运动到C的时间分别为t1、t2对应的两个阶段鹊桥二号与月球连线扫过的面积分别为S1、S2，在A、B两点的速度大小为vA、vB，加速度大小为aA、aB，则（　　） A．t1＞t2 B．S1＜S2 C．vA＜vB D．aA＜aB 39．A点和B点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在A处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达B点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0）（　　） A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程 B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度 C．设x为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为Fmg，其中为其质量 D．两飞行器同时到达B点 （多选）40．如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R＜h）的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F。引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．乘客在P点受到的万有引力大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点的线速度大小为 D．体重计的示数 （多选）41．地球上某处海水的周期性涨落称为潮汐。潮汐主要是月球对海水的引力造成的，太阳的引力也起一定的作用，但要弱得多。引起潮汐的力称为引潮力，引潮力沿垂直海水表面向上（背离地心）最大处，海水形成高峰；反之，引潮力沿垂直海水表面向下（指向地心）最大处，海水出现低谷。为简化研究，只在地—月系统分析问题，此时引潮力可称为月潮力。假设地球表面全部被海水覆盖，如图所示，月地距离为r，地球半径为R，月球质量为M月，地球质量为M地；A为近月点，B为远月点。取直角坐标系的x轴沿月地连线，x正半轴沿逆时针方向转动θ角与地表相交于P点，该处质量为Δm的海水所受的月潮力在x轴、y轴上的分力Fx、Fy分别是FxRcosθ；FyRsinθ。依据所学知识，结合上述公式，判断下列说法正确的是（　　） A．月潮力就是地球对海水的引力 B．月潮力就是月球对海水的引力 C．近月点A处的海水月潮力向下（指向地心）最大 D．远月点B处的海水月潮力向上（背离地心）最大 （多选）42．如图所示，已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为O2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、切点及O3点共线，关于挖去后剩余部分对小球的引力说法正确的是（　　） A．可以直接利用万有引力定律进行计算大小 B．不可以直接利用万有引力定律进行计算大小 C．大小为 D．大小为 （多选）43．这是摘自某篇新闻报道的一段话：“X﹣37B空天飞机被认为是承担了美军太空战职能的航天器。世界各地天文爱好者经过近一个月的通力合作，竟然捕捉到了一条绝密轨道。根据观测：X﹣37B是在一个倾角39.9度的近圆轨道上运行，它每90分钟绕地球转一圈，正好需要每4天才能飞临同一地点。”专业人士分析“它每90分钟绕地球转一圈”可以理解为它是在近地轨道上飞行，其中的“90分钟”应该只是一个大约数，并不是精确值。地球可视为半径为6.37×103km的均匀球体，地面处的重力加速度g＝9.80m/s2，则关于该航天器下列说法正确的是（　　） A．因为该航天器大约每90分钟绕地球转一圈，所以四天绕地球飞行64圈 B．该航天器的周期一定为91.4min C．该航天器距离地面高度的数值可能为2.10×105m D．若航天器的周期为92.9min，那么将观察到它正好每2天飞临同一地点 （多选）44．与地球公转轨道相切于A点的小行星甲和相切于B点的小行星乙的公转轨道如图所示，A为小行星甲的近日点，B为小行星乙的远日点。假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，万有引力常量为G，则（　　） A．小行星甲在A点的速度大于乙在B点的速度 B．小行星乙在B点的加速度小于甲在A点的加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．若已知甲的公转周期为T1，则太阳质量 45．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为m0的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为F0（未知），从球O中挖去一半径为的球体O′后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求： （1）质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小； （2）如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。 46．如图所示，质量为m的物体在地球赤道上随地球自转，将地球视为半径为R的球体，已知地球的质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。求： （1）物体随地球自转所需要的向心力大小Fn； （2）物体在赤道上受到的支持力大小F。 47．牛顿猜想“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样规律，最终用月—地检验证实了猜想。 （1）若月地距离r，月球公转周期为T，求月球绕地运行的加速度大小a； （2）若月地距离约为地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g。请结合（1）问结果说明如何证实牛顿的猜想。 学科网（北京）股份有限公司 $