2026届高三二轮复习专题讲义：胡克定律综合应用

胡克定律综合应用-专题 一、讲义核心定位 本讲义针对高考胡克定律与牛顿运动定律、动量守恒、能量守恒、简谐运动、圆周运动等综合考查的高频压轴题型，归纳典型考法与解题关键。 二、通用解题框架 读题：定状态，辨弹簧——明确弹簧与物块的状态特征 标注弹簧状态：确定形变量，注意长度相同形变的情况导致的弹性势能变化不相同； 锁定临界状态：双体分离、物块离开地面、弹簧最大压缩/伸长、圆周运动恰过最高点等； 绘制受力示意图：对单体/整体受力分析，标注弹簧弹力F=kx、重力、摩擦力、电场力等所有外力。 分析思路：选规律，定方法——根据物理场景匹配核心规律 物理场景 核心应用规律 受力平衡/动态运动 胡克定律 + 牛顿第二定律（）+ a-x图像分析 多弹簧/多体连接体 整体法与隔离法结合 + 胡克定律分阶段列式 能量转化（无摩擦/有摩擦） 弹性势能公式 + 机械能守恒/动能定理/能量守恒（摩擦生热） 光滑水平面系统运动 动量守恒（合外力为0）+ 能量守恒（弹性势能+动能转化） 简谐运动（斜面/水平） 回复力F=-kx + 加速度/形变量对称性 弹簧+电场/磁场 胡克定律 + 电场力/洛伦兹力公式 + 动能定理 列方程，求未知——规范列式，联立求解 核心公式：胡克定律、弹性势能、牛顿第二定律、动量守恒式、能量守恒式； 临界条件： ①双体分离：相互作用力为0+加速度相等； ②物块离开地面：支持力； ③圆周恰过最高点：； ④轻杆移动：弹簧弹力=滑动摩擦力； 单位统一：所有物理量转换为国际单位（m、kg、s、N），避免计算错误； 联立求解：根据设问量，结合受力方程、守恒方程、临界条件，联立求解未知量。 注：如果到了考试最后关头，例如时间来不及、无法仔细读题，可以将上述方程列上去，对于支持力的判断、竖直面内圆周运动最高点、最低点的选择，一定要关注。 补充：极少题目中存在判断合理性问题，可以简单关注一下弹性限度、形变长度、能量变化，但是目前几乎没出现过。 三、模型归纳 模型1：单一弹簧+单体/双体的平衡与动态运动 （一）场景特征：光滑/粗糙斜面/水平面，单根轻弹簧与物块（单体/紧靠不粘连双体）结合，涉及弹簧压缩/伸长、a-x图像分析、双体分离、简谐运动对称性。 （二）核心考点：胡克定律F=kx、牛顿第二定律、双体分离临界条件、简谐运动回复力与加速度规律。 1．如图1所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面底端固定了一根轻质弹簧，弹簧与斜面平行，一质量为m 的小物块静止在弹簧上方（未拴接），现用力向下压小物块至某一位置，然后由静止释放，取该位置为小物块运动的起始位置，小物块上升过程的（加速度-位移）图像如图2所示。已知重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．小物块运动过程中的最大加速度大于g B．弹簧的劲度系数为 C．弹簧的最大弹性势能为 D．小物块的最大动能为 2．(25-26高一上·江苏扬州第一中学·月考)如图所示，木块A、B紧靠（但不粘连）静置于水平面上，一根劲度系数为k的轻弹簧一端固定在墙上，另一端与A连接，弹簧水平且处于原长。已知A、B质量均为m，A、B与水平面间的动摩擦因数分别为2μ和μ，重力加速度为g。现用水平力F向左缓慢压B，使B向左移动距离x后，突然撤去力F。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．若，则A、B一定可以由静止开始向右运动 B．若A、B可以分离，则分离时弹簧弹力大小为2μmg C．若弹簧能恢复原长，则A、B将在弹簧恢复原长时分离 D．若A、B可以分离，则分离时B的加速度大小为μg 3．如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为。对物体B施加一沿斜面向下大小为20N的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．弹簧恢复原长时B的速度达到最大 B．物块B运动过程中最大加速度为 C．物块A的质量为2kg D．物块A受挡板支持力的最大值为30N 模型2：双弹簧+多体的连接体临界问题 （一）场景特征：水平+竖直方向多根弹簧连接多个物块，涉及弹簧原长/压缩/伸长转化、物块离开地面的临界状态。 （二）核心考点：胡克定律多段形变量计算、整体法与隔离法、支持力为0的临界分析。 （三）关键设问：弹簧端点移动距离、形变量计算、多体共速分析。 4．三个质量均为1kg的相同木块a、b、c和两根劲度系数为500N/m的相同轻弹簧p、q间的连接如图所示，其中a放在足够大的光滑水平桌面上。开始时p卫弹簧处于原长，木块都静止。现用水平力F缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面，已知q弹簧始终沿竖直方向，重力加速度g取。下列说法正确的是（    ） A．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是4cm B．q弹簧上端向上移动的距离为4cm，p弹簧的左端向左移动的距离是4cm C．q弹簧上端向上移动的距离为4cm， p弹簧的左端向左移动的距离是8cm D．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是6cm 5．如图所示，质量的长木板A和质量也为m的长木板B连接，静止在光滑的水平地面上，两板上表面在同一水平面上，A板上表面光滑，B板上表面粗糙，A板上表面的轻质弹簧a与A板左端固定的轻质挡板连接，B板上表面的轻质弹簧b与B板右端固定的轻质挡板连接，A板左端被固定在水平地面上的挡板挡住，质量也为m的物块C放在A板上并用它压缩弹簧a，将物块C向左移到D点（图中未标出）时由静止释放物块C，物块C被弹簧a弹出后向右滑动冲向B板，经弹簧b反弹后滑到B板左端时刚好与B板相对静止，弹簧b被压缩后具有的最大弹性势能，最终A、B、C整体速度，物块C与B板上表面间的动摩擦因数，弹簧b的劲度系数很大，形变量很小可忽略，两弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小，物块C可看成质点。 (1)求物块C在B板上相对于B板向右滑行的最大距离； (2)求弹簧a开始具有的最大弹性势能； (3)若A、B板不连接，仍用物块C压缩弹簧a至D点，然后由静止释放物块C，求物块C和B板最终相对静止时离B板左端的距离。 模型3：弹簧+圆弧/斜面的机械能守恒综合 （一）场景特征：弹簧弹性势能与圆弧/斜面的重力势能、动能相互转化，涉及圆周运动临界（恰过最高点）、斜面简谐运动。 （二）核心考点：弹性势能公式、机械能守恒/动能定理、圆周运动向心力公式、斜面受力平衡。 （三）关键设问：轨道半径、物块某点速度/加速度、弹簧弹力的功率。 6．如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是光滑水平轨道，AB和BC两段轨道相切于B点，小车右端固定一个连接轻弹簧的挡板，开始时弹簧处于自由状态，自由端在C点，C点到挡板之间轨道光滑。一质量为，可视为质点的滑块从圆弧轨道的最高点由静止滑下，而后滑入水平轨道，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．滑块到达B点时的速度大小为 B．滑块到达B点时小车的速度大小为 C．弹簧获得的最大弹性势能为 D．滑块从A点运动到B点的过程中，小车运动的位移大小为 7．(24-25高一下·青海海南藏族高级中学·期末)如图所示，竖直面内的圆弧轨道ABC与水平面在A点平滑连接，AC是竖直半径，B是圆心O的等高点，劲度系数为k的轻质弹簧放置在水平面上，右端固定。控制质量为m的小球（视为质点）向右压缩弹簧，使弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，由静止释放小球，当弹簧恢复原长时，小球离开弹簧，然后经过A、B两点恰好能到达C点。已知弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力。求： (1)圆弧轨道的半径； (2)小球经过B点时的速度以及加速度的大小； (3)若控制小球向右压缩弹簧，直到弹簧的压缩量等于圆弧轨道的直径时，由静止释放小球，则当弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，弹簧对小球弹力的功率大小。 8．如图所示，倾角为的足够长光滑斜面固定在水平面上，一轻弹簧与小滑块A、B相连，A被锁定在斜面顶端，B在斜面上从弹簧原长位置由静止释放。已知A、B的质量均为m，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k，弹簧的形变在弹性限度内。 (1)求滑块B速度最大时弹簧的伸长量x； (2)求滑块B运动至最低点时弹簧的弹力大小F； (3)若两滑块与斜面间的动摩擦因数均为，解除滑块A的锁定，同时滑块B从弹簧原长位置以初速度沿斜面向下运动，经过时间滑块A、B速度第一次相同.求时刻滑块B的速度大小v以及时间内系统产生的内能Q。 模型4：弹簧+动量守恒的系统能量综合 （一）场景特征：光滑水平面内，弹簧与物块/小车组成系统，涉及碰撞、共速、相对滑动，弹性势能为系统能量转化中介。 （二）核心考点：系统动量守恒判断、机械能/能量守恒（弹性势能+动能+摩擦生热）、相对位移计算。 （三）关键设问：弹簧最大弹性势能、系统共速速度、物块相对滑动距离。 9．如图所示，足够长的光滑水平面上静置有 光滑圆弧槽 （质量为 ）和用轻弹簧连接的滑块 C 、 （弹簧处于原长， C 质量为 质量为 ）， 的底端和水平面平滑连接。一质量为 的小滑块 从 的顶端由静止释放，当 刚滑到水平面上时速度大小为 ，此时给 C 一水平向右、大小也为 的初速度。当 追上 C 时发生碰撞 （碰撞时间不计），碰后 、 C 粘在一起。滑块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为 ，弹簧始终在弹性限度内。 (1)求圆弧槽 的半径。 (2)若 C 、 间弹簧拉到最长时 与 C 碰撞，求碰后 A、C、D 一起运动过程中，弹簧的最大弹性势能。 10．如图所示，长度L=45cm，质量M=2kg的小车静止在光滑水平面上，其右端C点用挡板固定一劲度系数k=3600N/m的弹簧，弹簧原长l0=20cm，静止时左端在小车上的B点，质量为m1=1kg的物块放在B点，小车BC段光滑，AB段与物块间动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力及挡板厚度。现有m0=10g的子弹以v0=400m/s的初速度射向物块，并在极短时间内将其击穿。离开物块后的子弹不再与系统发生相互作用，物块在小车上运动将其视做质点（忽略物块经过B点时摩擦力的渐变过程）。 (1)若将小车固定，子弹射穿物块后，物块继续向右运动（此过程物块与小车间没有摩擦力），向右运动的最大距离为d=5cm，已知弹簧弹性势能Ep与形变量x的关系为：Ep=kx2，求子弹刚离开物块时物块获得的速度v1。 (2)将物块放到小车左端的A点，不固定小车，该子弹以同样的速度射向物块，求弹簧的最大弹性势能Ep。 (3)若物块的质量未知，但总能被子弹击穿并获得同样的动能，分析并讨论物块最终稳定在小车上的位置到A点的距离xA与物块质量m的关系式。 模型5：弹簧+临界极值的实际应用问题 （一）场景特征：缓冲装置、弹簧与电场/摩擦力结合，涉及轻杆移动临界、弹簧形变极值、电势能与弹性势能转化。 （二）核心考点：静/滑动摩擦力临界、胡克定律与电场力综合、动能定理与功能关系。 （三）关键设问：弹簧临界压缩量、小车最大撞击速度、电势能/弹性势能极值。 11．如图甲，倾角为的斜面底端固定一轻弹簧，顶端与一水平面相连，一绝缘轻绳将斜面上的物块A通过轻质定滑轮与水平面上的物块B相连。A、B的质量分别为和，A不带电，B带正电且电荷量为。先将B锁定，使细绳处于拉紧状态，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧细绳与水平面平行。解除锁定，A、B从静止开始运动，B始终处于水平向右的匀强电场中且不会与滑轮相碰，带电量保持不变。以物块A的初始位置为原点，沿斜面向下建立坐标系，A的加速度与其位置的关系如图乙所示。弹簧未超过弹性限度，重力加速度大小为，图乙中已知，忽略一切摩擦。 （1）求A刚接触弹簧时速度大小； （2）求匀强电场的场强大小； （3）取B物体的初始位置为零电势点，求B电势能的最大值。 12．某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f。轻杆向右移动不超过L时，装置可安全工作。轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。一质量为m的小车若以速度v撞击弹簧，将导致轻杆向右移动。 （1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x； （2）若以速度v0（已知）撞击，将导致轻杆右移，求小车与弹簧分离时速度（k未知）； （3）在(2)问情景下，求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm（k未知）。 模型6：弹簧+碰撞的连锁反应问题 1. 场景特征：弹簧弹性势能释放转化为物块动能，后续发生弹性/非弹性碰撞，结合圆周运动、粗糙水平面运动。 2. 核心考点：弹簧弹性势能释放、碰撞的动量/机械能守恒、圆周运动脱离条件、摩擦生热计算。 3. 关键设问：物块对轨道的压力、碰撞后速度范围、运动状态判断（获奖/脱离轨道）。 13．某商家为了吸引顾客而设计了一个趣味游戏，其简化模型如图所示，轨道由一个水平直轨道ABC和一半径为R的竖直半圆光滑轨道CDE组成，水平直轨道AB段光滑，BC段粗糙。在半圆轨道圆心O左侧同一水平线上且距离O点2R处固定一个小网兜P，将原长小于AB段长度的轻弹簧水平置于AB段上，左端固定在竖直挡板上，物块1静置于B处。游戏者将物块2向左压缩弹簧到某一位置释放，物块2与物块1发生弹性正碰（碰撞时间极短），物块1从半圆轨道最高点E飞出并落入网兜P内获一等奖，在DE之间的圆弧段脱离轨道获二等奖，能够进入半圆轨道CD间获三等奖，其他情况则不能获奖。已知物块1的质量，物块2的质量，，，两物块与粗糙水平面间的动摩擦因数均为，重力加速度g取。两物块均可视为质点。求：（运算结果可保留根号） (1)获得一等奖时，物块1在E点对轨道的压力大小； (2)获得二等奖时，物块1碰后的速度大小范围； (3)游戏者将物块2压缩弹簧至弹性势能为2J，则释放后他能获得几等奖？ 14．如图甲所示，固定轨道ABC由半径的四分之一光滑圆轨道和长的粗糙水平轨道组成，两者在B点平滑连接。BC右侧与静置于光滑水平地面的长木板相接触，且上表面平齐。将质量的滑块从圆弧轨道顶端A处由静止释放，与静止在B点、质量为的滑块发生碰撞，碰撞时间极短。滑块经过水平轨道滑到长木板，立即受到一个方向竖直向上、大小与滑块速度成正比的力F作用（即，其中）。从滑块滑上长木板开始计时，滑块与长木板运动的速度—时间图像如图乙所示。两滑块均可视为质点，两滑块与水平轨道及长木板之间的动摩擦因数，重力加速度g取。求： (1)运动到B时（碰前）对圆轨道的压力； (2)和碰撞过程损失的机械能； (3)相对长木板的最大位移。 学科网（北京）股份有限公司 $ 胡克定律综合应用 一、讲义核心定位 本讲义针对高考胡克定律与牛顿运动定律、动量守恒、能量守恒、简谐运动、圆周运动等综合考查的高频压轴题型，梳理6类核心物理模型、提炼通用四步解题框架、归纳典型考法与解题关键。 二、通用解题框架 第一步：定状态，辨弹簧——明确弹簧与物块的状态特征 1. 标注弹簧状态：原长/压缩/伸长，确定形变量（多弹簧需分别标注，注意相对形变量）； 2. 锁定临界状态：双体分离、物块离开地面、弹簧最大压缩/伸长、圆周运动恰过最高点等； 3. 绘制受力示意图：对单体/整体受力分析，标注弹簧弹力F=kx、重力、摩擦力、电场力等所有外力。 第二步：选规律，定方法——根据物理场景匹配核心规律 物理场景 核心应用规律 受力平衡/动态运动 胡克定律 + 牛顿第二定律（）+ a-x图像分析 多弹簧/多体连接体 整体法与隔离法结合 + 胡克定律分阶段列式 能量转化（无摩擦/有摩擦） 弹性势能公式 + 机械能守恒/动能定理/能量守恒（摩擦生热） 光滑水平面系统运动 动量守恒（合外力为0）+ 能量守恒（弹性势能+动能转化） 简谐运动（斜面/水平） 回复力F=-kx + 加速度/形变量对称性 弹簧+电场/磁场 胡克定律 + 电场力/洛伦兹力公式 + 动能定理 第三步：列方程，求未知——规范列式，联立求解 1. 必列核心公式：胡克定律、弹性势能、牛顿第二定律、动量守恒式、能量守恒式； 2. 必标临界条件：①双体分离：相互作用力为0+加速度相等；②物块离开地面：支持力；③圆周恰过最高点：；④轻杆移动：弹簧弹力=滑动摩擦力； 3. 单位统一：所有物理量转换为国际单位（m、kg、s、N），避免计算错误； 4. 联立求解：根据设问量，结合受力方程、守恒方程、临界条件，联立求解未知量。 第四步：验结果，判合理性——结合物理情景验证答案 1. 验证形变量/弹力：弹簧形变量需在弹性限度内，弹力方向与形变方向一致（压缩为斥力、伸长为拉力）； 2. 验证速度/加速度：速度方向与运动情景一致，加速度大小符合受力分析（合外力越大，加速度越大）； 3. 验证临界/极值：极值问题（最大/最小弹性势能、速度）需匹配临界条件，结果需符合实际物理意义。 三、模型归纳 模型1：单一弹簧+单体/双体的平衡与动态运动 （一）场景特征：光滑/粗糙斜面/水平面，单根轻弹簧与物块（单体/紧靠不粘连双体）结合，涉及弹簧压缩/伸长、a-x图像分析、双体分离、简谐运动对称性。 （二）核心考点：胡克定律F=kx、牛顿第二定律、双体分离临界条件、简谐运动回复力与加速度规律。 1．如图1所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面底端固定了一根轻质弹簧，弹簧与斜面平行，一质量为m 的小物块静止在弹簧上方（未拴接），现用力向下压小物块至某一位置，然后由静止释放，取该位置为小物块运动的起始位置，小物块上升过程的（加速度-位移）图像如图2所示。已知重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．小物块运动过程中的最大加速度大于g B．弹簧的劲度系数为 C．弹簧的最大弹性势能为 D．小物块的最大动能为 【答案】C 【来源】2026届河北省七校高三上学期一模物理试题 【详解】AB．由图2可知，当时，物块与弹簧刚要分离，此时弹簧处于原长；当时，弹簧的压缩量为，此时物块的加速度为0，则有 解得弹簧的劲度系数为 由图2可知，初始时刻物块的加速度最大，此时弹簧压缩量为，根据牛顿第二定律有 解得最大加速度为，故AB错误； C．由上述分析可知，弹簧的最大形变量为 根据弹簧弹性势能的表达式可得弹簧的最大弹性势能为，故C正确； D．由图2可知，当时，物块的加速度为零，此时速度达到最大值，动能最大，根据运动学公式 结合图像与横轴围成的面积可得 则小物块的最大动能为 联立可得，故D错误。 故选C。 2．(25-26高一上·江苏扬州第一中学·月考)如图所示，木块A、B紧靠（但不粘连）静置于水平面上，一根劲度系数为k的轻弹簧一端固定在墙上，另一端与A连接，弹簧水平且处于原长。已知A、B质量均为m，A、B与水平面间的动摩擦因数分别为2μ和μ，重力加速度为g。现用水平力F向左缓慢压B，使B向左移动距离x后，突然撤去力F。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．若，则A、B一定可以由静止开始向右运动 B．若A、B可以分离，则分离时弹簧弹力大小为2μmg C．若弹簧能恢复原长，则A、B将在弹簧恢复原长时分离 D．若A、B可以分离，则分离时B的加速度大小为μg 【答案】D 【来源】江苏省扬州市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考模拟物理练习 【详解】A．撤去力F时，对A、B整体进行受力分析可知，水平方向整体受弹簧的弹力和水平面的摩擦力的作用，由于整体与地面间的最大静摩擦力为 所以若要A、B可以由静止开始向右运动，弹簧的弹力应满足 解得 即当时，A、B可以由静止开始向右运动，故A错误； BCD．刚要分离时A、B间的相互作用力为零，由于此时B水平方向只受摩擦力的作用，则对B列牛顿第二定律方程有 解得B的加速度为 其方向水平向左。由于刚要分离时仍有 所以对A进行受力分析列牛顿第二定律方程有 解得此时弹簧的弹力为 3．如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为。对物体B施加一沿斜面向下大小为20N的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．弹簧恢复原长时B的速度达到最大 B．物块B运动过程中最大加速度为 C．物块A的质量为2kg D．物块A受挡板支持力的最大值为30N 【答案】C 【来源】2026届安徽省合肥市第八中学高三上学期模拟预测物理试题11 【详解】A．当弹簧弹力等于B重力沿斜面向下的分力时，B的速度达到最大，此时弹簧处于压缩状态，故A错误； B．撤去力F后，物块B做简谐振动，处于P点时振幅最大，加速度最大，最大加速度为 故B错误； C．物块B处于P点时回复力大小 根据做简谐振动的对称性，运动至最高点时回复力大小 又 代入数据联立得 故C正确； D．B处于P点时物块A受挡板支持力最大。对B受力分析 得此时弹簧弹力大小 对A受力分析，物块A受挡板支持力 故D错误。 故选C。 模型2：双弹簧+多体的连接体临界问题 （一）场景特征：水平+竖直方向多根弹簧连接多个物块，涉及弹簧原长/压缩/伸长转化、物块离开地面的临界状态。 （二）核心考点：胡克定律多段形变量计算、整体法与隔离法、支持力为0的临界分析。 （三）关键设问：弹簧端点移动距离、形变量计算、多体共速分析。 4．三个质量均为1kg的相同木块a、b、c和两根劲度系数为500N/m的相同轻弹簧p、q间的连接如图所示，其中a放在足够大的光滑水平桌面上。开始时p卫弹簧处于原长，木块都静止。现用水平力F缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面，已知q弹簧始终沿竖直方向，重力加速度g取。下列说法正确的是（    ） A．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是4cm B．q弹簧上端向上移动的距离为4cm，p弹簧的左端向左移动的距离是4cm C．q弹簧上端向上移动的距离为4cm， p弹簧的左端向左移动的距离是8cm D．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是6cm 【答案】C 【来源】第二章 静力学 专题五 轻弹簧模型 【详解】开始时p弹簧处于原长，可知q弹簧处于压缩状态，由胡克定律，得压缩量为 c木块刚好离开水平地面时，q弹簧伸长量为 p弹簧伸长量为 则q弹簧上端向上移动的距离为4cm；p弹簧的左端向左移动的距离是8cm。 故选C。 5．如图所示，质量的长木板A和质量也为m的长木板B连接，静止在光滑的水平地面上，两板上表面在同一水平面上，A板上表面光滑，B板上表面粗糙，A板上表面的轻质弹簧a与A板左端固定的轻质挡板连接，B板上表面的轻质弹簧b与B板右端固定的轻质挡板连接，A板左端被固定在水平地面上的挡板挡住，质量也为m的物块C放在A板上并用它压缩弹簧a，将物块C向左移到D点（图中未标出）时由静止释放物块C，物块C被弹簧a弹出后向右滑动冲向B板，经弹簧b反弹后滑到B板左端时刚好与B板相对静止，弹簧b被压缩后具有的最大弹性势能，最终A、B、C整体速度，物块C与B板上表面间的动摩擦因数，弹簧b的劲度系数很大，形变量很小可忽略，两弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小，物块C可看成质点。 (1)求物块C在B板上相对于B板向右滑行的最大距离； (2)求弹簧a开始具有的最大弹性势能； (3)若A、B板不连接，仍用物块C压缩弹簧a至D点，然后由静止释放物块C，求物块C和B板最终相对静止时离B板左端的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2026届广东省江门市高三上学期第二次模拟考试物理试题 【详解】（1）设物块C刚滑上A板时速度为，当物块C压缩弹簧至压缩量最大时，A、B、C有共同速度，根据动量守恒，有 根据能量守恒有 联立解得 解得。 （2）设弹簧a开始具有的最大弹性势能为，根据能量守恒有 解得。 （3）设物块C和板B最后的共同速度为v，根据动量守恒有 设C在B板上相对B板运动的路程为，根据能量守恒有 解得 最终物块C离板B左端距离。 模型3：弹簧+圆弧/斜面的机械能守恒综合 （一）场景特征：弹簧弹性势能与圆弧/斜面的重力势能、动能相互转化，涉及圆周运动临界（恰过最高点）、斜面简谐运动。 （二）核心考点：弹性势能公式、机械能守恒/动能定理、圆周运动向心力公式、斜面受力平衡。 （三）关键设问：轨道半径、物块某点速度/加速度、弹簧弹力的功率。 6．如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是光滑水平轨道，AB和BC两段轨道相切于B点，小车右端固定一个连接轻弹簧的挡板，开始时弹簧处于自由状态，自由端在C点，C点到挡板之间轨道光滑。一质量为，可视为质点的滑块从圆弧轨道的最高点由静止滑下，而后滑入水平轨道，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．滑块到达B点时的速度大小为 B．滑块到达B点时小车的速度大小为 C．弹簧获得的最大弹性势能为 D．滑块从A点运动到B点的过程中，小车运动的位移大小为 【答案】D 【来源】2026届四川省仁寿第一中学校（北校区）高三上学期一模物理试题 【详解】AB．从A滑到B的过程，滑块和小车组成的系统水平方向动量守恒，则由动量守恒定律有 根据能量守恒有 解得 ， AB错误； C．当弹簧压缩到最短时弹簧弹性势能最大，此时滑块与小车共速，由动量守恒定律可知，共同速度 根据能量守恒有 C错误； D．滑块从A到B过程，在水平方向上，根据动量守恒定律的位移表达式有 根据题意有 解得 D正确。 故选D。 7．(24-25高一下·青海海南藏族高级中学·期末)如图所示，竖直面内的圆弧轨道ABC与水平面在A点平滑连接，AC是竖直半径，B是圆心O的等高点，劲度系数为k的轻质弹簧放置在水平面上，右端固定。控制质量为m的小球（视为质点）向右压缩弹簧，使弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，由静止释放小球，当弹簧恢复原长时，小球离开弹簧，然后经过A、B两点恰好能到达C点。已知弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力。求： (1)圆弧轨道的半径； (2)小球经过B点时的速度以及加速度的大小； (3)若控制小球向右压缩弹簧，直到弹簧的压缩量等于圆弧轨道的直径时，由静止释放小球，则当弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径时，弹簧对小球弹力的功率大小。 【答案】(1) (2)， (3) 【来源】青海省海南藏族自治州高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试物理试卷 【详解】（1）设圆弧轨道的半径为R，小球刚好能到达C点，重力充当向心力 小球从A到C，由能量守恒定律可得 解得 （2）小球从B到C，由机械能守恒定律可得 在B点的向心加速度为 在B点的加速度大小为 综合解得， （3）若弹簧的压缩量由2R变成R，由能量守恒定律可得 弹簧的压缩量为R时，弹簧的弹力为 弹簧对小球弹力的功率为 综合可得 8．如图所示，倾角为的足够长光滑斜面固定在水平面上，一轻弹簧与小滑块A、B相连，A被锁定在斜面顶端，B在斜面上从弹簧原长位置由静止释放。已知A、B的质量均为m，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k，弹簧的形变在弹性限度内。 (1)求滑块B速度最大时弹簧的伸长量x； (2)求滑块B运动至最低点时弹簧的弹力大小F； (3)若两滑块与斜面间的动摩擦因数均为，解除滑块A的锁定，同时滑块B从弹簧原长位置以初速度沿斜面向下运动，经过时间滑块A、B速度第一次相同.求时刻滑块B的速度大小v以及时间内系统产生的内能Q。 【答案】(1) (2) (3)， 【来源】2025届江苏省南通市高三下学期第四模拟考试物理试卷（5月） 【详解】（1）当滑块B受到合力为零时速度最大 解得 （2）设释放物块B时， B的加速度为a，根据题意可知物块 B在斜面上做简谐运动，由对称性得B在最低点时的加速度大小与释放时的相等，由牛顿第二定律得B在释放时 B在最低点时 解得 （3）由题意可知，物块 A、B在时间内加速度始终大小相等、方向相反， B减小的速度与A增加的速度相等，时刻A、B速度相等，弹簧伸长量最大；根据对称性，在时间内B减小的速度与A增加的速度相等，时A的速度为，B的速度为0，弹簧为原长；以此类推，在时A、B的速度相等，因 对物块A、B、弹簧组成系统，由动量守恒定律得 解得 设时间内物块A、B的位移分别为、，任何时刻物块 A、B满足动量守恒 则有 即 由功能关系 解得 模型4：弹簧+动量守恒的系统能量综合 （一）场景特征：光滑水平面内，弹簧与物块/小车组成系统，涉及碰撞、共速、相对滑动，弹性势能为系统能量转化中介。 （二）核心考点：系统动量守恒判断、机械能/能量守恒（弹性势能+动能+摩擦生热）、相对位移计算。 （三）关键设问：弹簧最大弹性势能、系统共速速度、物块相对滑动距离。 9．如图所示，足够长的光滑水平面上静置有 光滑圆弧槽 （质量为 ）和用轻弹簧连接的滑块 C 、 （弹簧处于原长， C 质量为 质量为 ）， 的底端和水平面平滑连接。一质量为 的小滑块 从 的顶端由静止释放，当 刚滑到水平面上时速度大小为 ，此时给 C 一水平向右、大小也为 的初速度。当 追上 C 时发生碰撞 （碰撞时间不计），碰后 、 C 粘在一起。滑块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为 ，弹簧始终在弹性限度内。 (1)求圆弧槽 的半径。 (2)若 C 、 间弹簧拉到最长时 与 C 碰撞，求碰后 A、C、D 一起运动过程中，弹簧的最大弹性势能。 【答案】(1) (2) 【来源】2026届重庆市康德高三上学期模拟调研（一）模拟预测物理试题 【详解】（1）A刚滑到水平面上时，对A、B整体，由机械能守恒有 水平方向，由动量守恒有 联立解得B的半径 （2）设A与C碰撞前瞬间，C的速度为，此时C 、 间弹簧被拉到最长,C、D共速 碰撞前，对C、D有 解得： A与C碰撞过程中有 解得 A、C、D一起运动，当弹簧压缩到最短时，A、C、D共速，此时弹簧弹性势能最大 有 解得 由系统机械能守恒有 解得，弹簧的最大弹性势能 10．如图所示，长度L=45cm，质量M=2kg的小车静止在光滑水平面上，其右端C点用挡板固定一劲度系数k=3600N/m的弹簧，弹簧原长l0=20cm，静止时左端在小车上的B点，质量为m1=1kg的物块放在B点，小车BC段光滑，AB段与物块间动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力及挡板厚度。现有m0=10g的子弹以v0=400m/s的初速度射向物块，并在极短时间内将其击穿。离开物块后的子弹不再与系统发生相互作用，物块在小车上运动将其视做质点（忽略物块经过B点时摩擦力的渐变过程）。 (1)若将小车固定，子弹射穿物块后，物块继续向右运动（此过程物块与小车间没有摩擦力），向右运动的最大距离为d=5cm，已知弹簧弹性势能Ep与形变量x的关系为：Ep=kx2，求子弹刚离开物块时物块获得的速度v1。 (2)将物块放到小车左端的A点，不固定小车，该子弹以同样的速度射向物块，求弹簧的最大弹性势能Ep。 (3)若物块的质量未知，但总能被子弹击穿并获得同样的动能，分析并讨论物块最终稳定在小车上的位置到A点的距离xA与物块质量m的关系式。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2026届广东省佛山市禅城区高三上学期调研测试（一）物理试题 【详解】（1）子弹穿过物块后，整个过程只有弹力做功，根据功能关系可得 代入数据解得子弹刚离开物块时物块获得的速度 （2）设子弹穿过物块后，穿越时间极短，子弹刚离开物块时物块获得的速度物块的速度依然是 对物块和小车的系统满足动量守恒则有 解得 根据能量守恒可得，两者共速时弹簧的最大弹性势能为 （3）物块总能被穿过，且获得同样的动能，则物块获得的动能为 对物块和小车的系统稳定后，由动量守恒则有 物块只能静止在AB区间上，根据能量守恒可得 物块最终稳定在小车上的位置到A点的距离 综上所述，物块最终稳定在小车上的位置到A点的距离xA与物块质量m的关系式 模型5：弹簧+临界极值的实际应用问题 （一）场景特征：缓冲装置、弹簧与电场/摩擦力结合，涉及轻杆移动临界、弹簧形变极值、电势能与弹性势能转化。 （二）核心考点：静/滑动摩擦力临界、胡克定律与电场力综合、动能定理与功能关系。 （三）关键设问：弹簧临界压缩量、小车最大撞击速度、电势能/弹性势能极值。 11．如图甲，倾角为的斜面底端固定一轻弹簧，顶端与一水平面相连，一绝缘轻绳将斜面上的物块A通过轻质定滑轮与水平面上的物块B相连。A、B的质量分别为和，A不带电，B带正电且电荷量为。先将B锁定，使细绳处于拉紧状态，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧细绳与水平面平行。解除锁定，A、B从静止开始运动，B始终处于水平向右的匀强电场中且不会与滑轮相碰，带电量保持不变。以物块A的初始位置为原点，沿斜面向下建立坐标系，A的加速度与其位置的关系如图乙所示。弹簧未超过弹性限度，重力加速度大小为，图乙中已知，忽略一切摩擦。 （1）求A刚接触弹簧时速度大小； （2）求匀强电场的场强大小； （3）取B物体的初始位置为零电势点，求B电势能的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【来源】2026届福建省福州第三中学高三上学期第六次质量检测物理试题 【详解】（1）由图乙，在A运动过程中，A、B一起以加速度做匀加速运动，则有 联立解得 （2）在A运动过程中，若绳子的拉力为，对A受力分析，由牛顿第二定律可得 对B受力分析，由牛顿第二定律可得 解得 （3）由图可知，当A运动时，弹簧压缩量为，A的加速度是0，则B的加速度也是0，设弹簧的劲度系数为，对AB组成系统可得 设弹簧压缩量为时，A、B间的绳子恰好松弛，设此时A、B的加速度都为，对B有 对有 联立可得 可知当A运动时，则有 由图像的对称性可得A、B两者的速度相等，为 之后B在电场力作用下，以加速度做匀减速运动，有 取B物体的初始位置为电势能零势能点，B电势能的最大值 解得 12．某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f。轻杆向右移动不超过L时，装置可安全工作。轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。一质量为m的小车若以速度v撞击弹簧，将导致轻杆向右移动。 （1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x； （2）若以速度v0（已知）撞击，将导致轻杆右移，求小车与弹簧分离时速度（k未知）； （3）在(2)问情景下，求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm（k未知）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【来源】2026届河南省实验中学高三上学期一测模拟二物理试卷 【详解】（1）轻杆开始移动时，弹簧的弹力等于摩擦力，弹簧压缩量x 解得 （2）开始压缩到分离，系统能量关系 则 （3）轻杆开始移动后，弹簧压缩量x不再变化，弹性势能一定，速度v0时，系统能量关系 速度最大时vm时，系统能量关系 得 模型6：弹簧+碰撞的连锁反应问题 1. 场景特征：弹簧弹性势能释放转化为物块动能，后续发生弹性/非弹性碰撞，结合圆周运动、粗糙水平面运动。 2. 核心考点：弹簧弹性势能释放、碰撞的动量/机械能守恒、圆周运动脱离条件、摩擦生热计算。 3. 关键设问：物块对轨道的压力、碰撞后速度范围、运动状态判断（获奖/脱离轨道）。 13．某商家为了吸引顾客而设计了一个趣味游戏，其简化模型如图所示，轨道由一个水平直轨道ABC和一半径为R的竖直半圆光滑轨道CDE组成，水平直轨道AB段光滑，BC段粗糙。在半圆轨道圆心O左侧同一水平线上且距离O点2R处固定一个小网兜P，将原长小于AB段长度的轻弹簧水平置于AB段上，左端固定在竖直挡板上，物块1静置于B处。游戏者将物块2向左压缩弹簧到某一位置释放，物块2与物块1发生弹性正碰（碰撞时间极短），物块1从半圆轨道最高点E飞出并落入网兜P内获一等奖，在DE之间的圆弧段脱离轨道获二等奖，能够进入半圆轨道CD间获三等奖，其他情况则不能获奖。已知物块1的质量，物块2的质量，，，两物块与粗糙水平面间的动摩擦因数均为，重力加速度g取。两物块均可视为质点。求：（运算结果可保留根号） (1)获得一等奖时，物块1在E点对轨道的压力大小； (2)获得二等奖时，物块1碰后的速度大小范围； (3)游戏者将物块2压缩弹簧至弹性势能为2J，则释放后他能获得几等奖？ 【答案】(1)2N (2) (3)获三等奖 【来源】2026届广东省茂名市高州市高三上学期高考诊断性考试物理试卷 【详解】（1）获得一等奖时，物块1从E点飞出后做平抛运动，设飞出的速度为，则， 解得 在E点，根据牛顿第二定律可得 解得 由牛顿第三定律可得，物块1在E点对轨道的压力大小为2N。 （2）在DE圆弧段脱离轨道获二等奖，则物块刚好到达D点，对应的速度为0，根据动能定理可得 解得 物块在E点刚好脱离轨道，对应的速度设为，则有 解得 根据动能定理可得 解得 所以物块1碰后的速度范围为。 （3）弹簧的弹性势能转化为动能，即，解得 物块1与物块2碰撞过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得， 解得， 设物块1在圆轨道上升的高度为h，则 解得即物块1进入轨道CD间，获三等奖。 14．如图甲所示，固定轨道ABC由半径的四分之一光滑圆轨道和长的粗糙水平轨道组成，两者在B点平滑连接。BC右侧与静置于光滑水平地面的长木板相接触，且上表面平齐。将质量的滑块从圆弧轨道顶端A处由静止释放，与静止在B点、质量为的滑块发生碰撞，碰撞时间极短。滑块经过水平轨道滑到长木板以后，立即受到一个方向竖直向上、大小与滑块速度成正比的力F作用（即，其中）。从滑块滑上长木板开始计时，滑块与长木板运动的速度—时间图像如图乙所示。两滑块均可视为质点，两滑块与水平轨道及长木板之间的动摩擦因数，重力加速度g取。求： (1)运动到B时（碰前）对圆轨道的压力； (2)和碰撞过程损失的机械能； (3)相对长木板的最大位移。 【答案】(1)75N，方向竖直向下 (2)2.5J (3) 【来源】2026届安徽省淮北市高三上学期一模物理试题 【详解】（1）（1）设运动到B时的速度大小为，滑块在圆轨道下滑过程，由机械能守恒有    解得 在最低点，据牛顿第二定律有    解得 据牛顿第三定律，滑块对圆轨道最低点压力，方向竖直向下 （2）滑块在BC段运动过程，设和碰后，的速度为，的速度为，运动到C端时速度为 从乙图知，据动能定理有    解得 和碰撞过程，由动量守恒有    解得 所以碰撞过程损失的机械能    解得 （3）滑块在长木板上运动过程，两者组成系统的动量守恒，设长木板质量为M，则有    其中，   解得 滑块在长木板上运动过程，对于任意一个极短时间 均满足 设相对滑动过程，滑块对地位移为，长木板对地位移为，对全程累积，则有    其中 对长木板应用动量定理，有 对全程累积有 联立解得    所以滑块与长木板的最大相对位移 学科网（北京）股份有限公司 $