第二章 一元二次方程重难点检测卷 -2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（浙教版）

第二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山西晋城·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的项与系数的定义，需明确一元二次方程一般形式中一次项系数的概念进行求解． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），其中是一次项，为一次项系数， 又一元二次方程的一次项是， 该方程的一次项系数是． 故选：A． 2．（25-26八年级下·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要确定二次项系数，一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．一元二次方程的一般形式是∶（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先将方程化为一般形式 ，再确定系数． 【详解】解：， 原方程化为 ， 移项得 ， 二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为． 故选：C． 4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 5．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有实数根，则 B．若方程无实数根，则 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．当时，方程的根为 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，由一元二次方程的一般式可得，再根据判别式与根的关系逐一分析选项即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， 、若方程有实数根，则，即， 解得，故正确，符合题意； 、若方程无实数根，则，即， 解得，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程有两个相等的实数根，故错误，不符合题意； 、当时，， ∴方程无实数根，故错误，不符合题意； 故选：． 7．（2025·湖北随州·一模）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，， 方程的解是或， 解得，； 故选A． 8．（25-26八年级下·重庆渝北·期末）已知整式，．下列说法： ①．当时，满足条件的x的积为2； ②．当时，则存在这样的实数根、能使； ③．当时，则整式可取到最小值，最小值为0； ④．当方程与存在一组互为倒数的实数根时，符合条件的整数与一共有2组． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系根的判别式等．利用根与系数的关系可判断①；利用根与系数的关系，根的判别式判断实数根存在性可判断变形为，可求最小值，可判断③；设方程的一个根为a，则的一个根为，可得，，由，，可得到，即，再根据m，n均为整数，可判断④． 【详解】解：①当时，方程满足条件的x的积为，故①正确； ②当时，方程， 此时， ∵， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∴该方程无解， ∴当时，不存在这样的实数根、能使，故②错误． ③， ∵， ∴， ∴ ， ∴可取到最小值，最小值为0，故③正确； ④设方程的一个根为a，则的一个根为，则 ∴，， ∴， 由，，得：， ∴， 整理得：， ∴， ∵m，n均为整数， ∴或或或， 解得：（舍去）或（舍去）或或， 当时，的判别式，的判别式，满足实数根条件， 当时，的判别式，的判别式，满足实数根条件， ∴符合条件的整数与一共有2组，故④正确． 综上，正确说法为①③④，共3个． 故选：C 9．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级下·河南周口·月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．分类讨论的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：当，即时， 方程为：， 即， 解得：（舍去），； 此时， 当，即时， 方程为：， 解得：，（舍去）； ． 故答案为：5或． 3．（25-26八年级下·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】2024 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中“同族二次方程”的定义是解题关键．利用“同族二次方程”定义可得，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程求解，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，， 解得：，， 将，代入，得， ，且 代数式的最小值是2024， 故答案为：2024． 4．（25-26八年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】先根据方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解，最后取交集得到的最终取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根． ∴． 解得 ． 由根与系数的关系可得：，． 将其代入得： ． 解得 ． ∴的取值范围为． 5．（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知方程的解是；方程的解是，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、类比，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由条件发现关于的一元二次方程，解是，进而解题即可． 【详解】解：由题意，方程的解是， 方程的解是， 可以发现，上述两个方程满足： 关于的一元二次方程，解是，其中、是常数， ∴方程，即的解为 ． 故答案为 ：． 6．（25-26八年级下·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【答案】125 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 三轮传染后总感染人数为， 故答案为：125． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）2025年5月17日－22日，第34届“哈洽会”在哈尔滨成功举办，有若干家公司参加了其中一个分会场，且每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此“哈洽会”分会场的公司有_________家． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． 先设参加公司的数量为未知数，根据每两家公司签订一份合同的条件列出方程，求解方程后得出公司数量． 【详解】解：设参加此“哈洽会”分会场的公司有家， 依题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即参加此“哈洽会”分会场的公司有家． 故答案为：． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（25-26八年级下·甘肃临夏·月考）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后直接开平方求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 解得，； （3）解： 或 解得，； （4）解： 或 解得，． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据一元二次方程的解的定义得出，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵a是关于x的方程的根， ∴ ∴ ∴原式 4．（25-26八年级下·湖南郴州·月考）阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的“不动值”是 ． (2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由． (3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值． 【答案】(1)和2 (2)关于x的代数式没有“不动值”，见解析 (3) 【分析】（1）根据定义求出方程的实数根即可得到答案； （2）利用判别式判断方程是否有实数根即可得到结论； （3）根据题意可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于x的代数式的“不动值”是和2； （2）解：该代数式没有“不动值”，理由如下， 当时，则． ∵， ∴原方程无实数根， ∴该代数式没有“不动值”； （3）解：∵代数式只有一个“不动值”， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 6．（25-26八年级下·重庆·月考）某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【答案】(1)4； (2)2． 【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可； （2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍， ∴， 解之得：， ∴桥梁施工最多是4千米． （2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254亿元， ∴， 解之得：， 由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴， 即， 解之得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解． 7．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 8．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)从2023年到2025年的年平均增长率为 (2)鸡场的长和宽分别为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去） 答：从2023年到2025年的年平均增长率为； （2）解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 9．（25-26八年级下·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 10．（25-26八年级下·福建漳州·期中）某家具厂承接长方形实木桌面订单，设桌面的长为x分米，宽为y分米（，长和宽均为实数）．已知实数满足． (1)求证： (2)实际生产要求：桌面的长和宽均为正整数，且指定，同时满足，求这个桌面的长和宽． 【答案】(1)见解析 (2)长方形的长为5分米，宽为4分米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用与根与系数的关系的应用，解题关键是能找出对应的一元二次方程． （1）方法一：根据韦达定理，可看作一元二次方程的两个根，转化得到方程，利用根的判别式大于零即可求证；方法二：将转化为即可求证． （2）得出一元二次方程并求解即可 ． 【详解】（1）解：方法一：， 根据韦达定理，可看作一元二次方程的两个根， 将，代入，方程化为：， 两边同乘以a得：， 原方程有两个不相等的实数根 ， ， 方法二：， ， ． ∵，， ∴ ． （2）解：把代入，得 把，代入， 得：， 为一元二次方程的两个根， 解方程得： 答：长方形的长为5分米，宽为4分米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山西晋城·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有实数根，则 B．若方程无实数根，则 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．当时，方程的根为 7．（2025·湖北随州·一模）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26八年级下·重庆渝北·期末）已知整式，．下列说法： ①．当时，满足条件的x的积为2； ②．当时，则存在这样的实数根、能使； ③．当时，则整式可取到最小值，最小值为0； ④．当方程与存在一组互为倒数的实数根时，符合条件的整数与一共有2组． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 2．（25-26八年级下·河南周口·月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________． 3．（25-26八年级下·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 4．（25-26八年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 5．（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知方程的解是；方程的解是，则方程的解为______． 6．（25-26八年级下·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）2025年5月17日－22日，第34届“哈洽会”在哈尔滨成功举办，有若干家公司参加了其中一个分会场，且每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此“哈洽会”分会场的公司有_________家． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（25-26八年级下·甘肃临夏·月考）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 2． （25-26八年级下·上海浦东新·期中）解方程： 3． （24-25八年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根． 4．（25-26八年级下·湖南郴州·月考）阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的“不动值”是 ． (2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由． (3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 6．（25-26八年级下·重庆·月考）某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 7．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 8．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 9．（25-26八年级下·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 10．（25-26八年级下·福建漳州·期中）某家具厂承接长方形实木桌面订单，设桌面的长为x分米，宽为y分米（，长和宽均为实数）．已知实数满足． (1)求证： (2)实际生产要求：桌面的长和宽均为正整数，且指定，同时满足，求这个桌面的长和宽． 学科网（北京）股份有限公司 $