第三单元长方体和正方体应用题(专项训练)-2025-2026学年五年级下册数学人教版

第三单元长方体和正方体应用题 1．学校要粉刷新教室。已知教室的长是8米，宽是5米，高是3米，扣除门窗和黑板的面积是12平方米。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花多少钱？ 2．小雨先将一个长8分米、宽5分米、高2分米的长方体水缸装满水，然后把一根长3分米、宽2分米、高4分米的长方体铁棒立着（铁棒的底面与水缸的底面完全贴合）放到水缸中，水缸溢出的水的体积是多少立方分米？ 3．小明家有一个长2.5分米、宽1.5分米、高2分米的长方体鱼缸。小明给鱼缸装满水后就出门了，大概6小时后回到家发现鱼缸底部的密封环坏了，水几乎都漏完了。这个鱼缸平均每小时大约漏多少升水？ 4．已知一个长方体礼品盒长20厘米，宽20厘米，高15厘米。用丝带对礼品盒进行包扎，接头处长30厘米。至少需要丝带多少米？ 5．做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高5分米。 (1)做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ (2)鱼缸内装有3分米深的水，现在放入一个石头后（石头被完全浸没），水深3.5分米，这个石头的体积是多少立方分米？ 6．一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 7．如下图，玻璃容器从里面量长为8dm，宽为6dm，高为3dm，现在水深为2.2dm。在容器中放入一个棱长为0.4m的正方体石块，水是否会溢出？若会溢出，请你算出溢出水的体积；若不会溢出，请说明理由。 8．李师傅用玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高5分米。做这个鱼缸需要多少平方分米玻璃？ 9．一块长方形铁皮，长120cm、宽80cm。在它的四个角上分别剪去一个边长30cm的正方形，然后焊接成一个无盖的铁箱。制作这个铁箱需要多少平方厘米的铁皮？ 10．如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 11．小宇房间的长是4m，宽是3m，高是3m，要给这个房间的四壁贴上墙纸，门窗的面积共3m2。如果每平方米墙纸的价格是9.6元，那么贴完这个房间要花费多少钱？（不计损耗） 12．用三个一样大的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是56dm2。一个小正方体的表面积是多少平方分米？ 13．灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 14．一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 15．一个长方体容器，从里面量底面长10厘米，宽9厘米，里面装有8.5厘米深的水，放入一个西红柿后水面上升到10厘米，求西红柿的体积是多少立方厘米？ 16．一个房间长为6米，宽为5米，高为3米，门窗面积共8平方米。现在要在这个房间的四壁和顶面粉刷涂料，如果每平方米需用涂料0.6千克，一共要用涂料多少千克？ 17．一个棱长2分米的正方体玻璃容器中有5升水，把一块石头浸没在水中（水没有溢出），这时量得容器里的水深14厘米，石头的体积是多少立方分米？ 18．张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计） 19．有一个底面是正方形的长方体铁皮油桶。如果把它的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，做这样的一个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 20．王老师家的冲水马桶有一个长方体形状的水箱，水箱从里面量长3分米、宽2分米、高3分米。每次冲水，水箱中的水会全部用完，再自动上水。当水面上升到2.5分米高时，自动停止上水。冲水马桶每次冲水大约用水多少升？ 21．王师傅要用木板做一个长6分米，宽4分米，高4分米的长方体木箱（无盖），至少需要多少平方分米木板？（接头处忽略不计） 22．学校举办了一届魔方大赛，魔方是一个棱长为6厘米的正方体，这个魔方的表面积是多少？如果把魔方切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成多少个？ 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．424元 【分析】粉刷教室需要计算天花板＋四壁面积，地面不刷，再扣除门窗黑板面积得到实际粉刷面积，最后乘每平方米费用。 【详解】计算天花板面积：8×5＝40（平方米） 计算四壁面积： （8×3＋5×3）×2 ＝（24＋15）×2 ＝78（平方米） 实际粉刷面积： 40＋78－12 ＝118－12 ＝106（平方米） 总费用：106×4＝424（元） 答：粉刷这个教室需要花424元钱。 2．12立方分米 【分析】溢出的水的体积＝铁棒长×宽×水缸高。 【详解】3×2×2＝12（立方分米） 答：水缸溢出的水的体积是12立方分米。 3．1.25升 【分析】鱼缸装满水时的容积即为水的总量，根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，计算容积，并利用1立方分米＝1升进行单位换算。水在6小时内几乎漏完，因此平均每小时漏水量等于总水量除以时间。 【详解】2.5×1.5×2 ＝3.75×2 ＝7.5（立方分米） 7.5立方分米＝7.5升 7.5÷6＝1.25（升） 答：这个鱼缸平均每小时大约漏1.25升水。 4．1.7米 【分析】观察丝带的包扎方式，包扎礼盒所需的丝带长度为2条长、2条宽和4条高，再加上接头处的30厘米，接着分别求出这些棱的长度总和，最后将单位换算成米，即可求出至少需要的丝带长度。 【详解】20×2＋20×2＋15×4＋30 ＝40＋40＋60＋30 ＝170（厘米） 170厘米＝1.7米 答：至少需要丝带1.7米。 5．(1)152平方分米 (2)16立方分米 【分析】（1）鱼缸无盖，因此计算表面积时只需计算5个面的面积和，即底面面积加上四个侧面的面积。 （2）石头完全浸没后，水面上升的体积就是石头的体积。我们可以用鱼缸的底面积乘以上升的水的高度来计算。 【详解】（1）8×4＝32（平方分米） （8×5＋4×5）×2 ＝（40＋20）×2 ＝60×2 ＝120（平方分米） 32＋120＝152（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要152平方分米玻璃。 （2）3.5－3＝0.5（分米） 8×4×0.5 ＝32×0.5 ＝16（立方分米） 答：这个石头的体积是16立方分米。 6．1024立方厘米 【分析】分析题目，剪去的正方形的边长可以为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，做成的无盖的长方体的长为24－正方形的边长×2、宽为24－正方形的边长×2和高为正方形的边长；再利用长方体的体积＝长×宽×高，分别计算求出四种情况的纸盒的体积，比较即可。 【详解】①当小正方形的边长为1厘米时， （24－1×2）×（24－1×2）×1 ＝（24－2）×（24－2）×1 ＝22×22×1 ＝484（立方厘米） ②当小正方形边长为2厘米时， （24－2×2）×（24－2×2）×2 ＝（24－4）×（24－4）×2 ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） ③当小正方形的边长为3厘米时， （24－3×2）×（24－3×2）×3 ＝（24－6）×（24－6）×3 ＝18×18×3 ＝972（立方厘米） ④当小正方形的边长为4厘米时， （24－4×2）×（24－4×2）×4 ＝（24－8）×（24－8）×4 ＝16×16×4 ＝1024（立方厘米） ⑤当小正方形的边长为5厘米时， （24－5×2）×（24－5×2）×5 ＝（24－10）×（24－10）×5 ＝14×14×5 ＝980（立方厘米） 1024＞980＞972＞800 答：这个长方体盒子的体积最大是1024立方厘米。 7． 水会溢出，溢出水的体积为。 【分析】先计算容器剩余的体积，再将正方体石块的棱长单位换算成分米作单位，因为石块的棱长大于容器高度，所以可以先假设水会溢出，计算出正方体石头没入水的体积，与容器剩余容积比较大小，若没入水的石块体积大于剩余体积则水会溢出，用没入水的石块体积减去剩余体积得到溢出水的体积；据此解答。 【详解】容器剩余体积： （立方分米） 0.4米＝4分米 石块体积：（立方分米） （立方分米） 答：水会溢出，溢出水的体积为9.6立方分米。 【点睛】分别算出容器剩余体积和没入水的正方体石块体积，再比较大小来判断水是否溢出，是解题的关键，同时需注意换算单位计算。 8．188平方分米 【分析】解答这道题需熟知长方体表面积的公式：长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2或长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，题目中已知长方体长8分米，宽6分米，高5分米。还需明确：这是一个无盖的长方体鱼缸，也就是长宽面只有1个。所以表面积公式可以结合题意改写为：玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。据此解答。 【详解】根据分析： （平方分米） 答：做这个鱼缸需要188平方分米玻璃。 9．6000平方厘米 【分析】铁箱的表面积就是剩余铁皮的面积，即长方形的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形面积＝长×宽、正方形面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 答：制作这个铁箱需要6000平方厘米的铁皮。 10．96平方厘米 【分析】已知一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体，所以增加的表面积是4个相同长方形的面积之和，长方形的长为8厘米，宽为3厘米，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个长方形的面积，再乘4，即可算出变成正方体后表面积增加的部分，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：变成正方体后表面积增加了96平方厘米。 11． 374.4元 【分析】先计算房间四壁的总面积，减去门窗面积得到实际贴墙纸面积，再乘以每平方米墙纸价格得到总花费。房间的四壁包括前后两个面和左右两个面前面和后面的面积相同，每个面的面积为长×高；左面和右面的面积相同，每个面的面积为宽×高。用四壁的总面积减去门窗的面积，即可得到实际需要贴墙纸的面积。用实际需要贴墙纸的面积乘以每平方米墙纸的价格，得到总花费。 【详解】 （平方米） （元） 答：贴完这个房间要花费374.4元。 12． 24平方分米 【分析】一个正方体有6个相同的正方形面，三个小正方体的总面数为每个正方体的面数乘以正方体的个数即（个），三个同样大小的小正方体拼成一个长方体，只能排成一排，会有2个拼接处，每个拼接处 会使2个面重合，即减少2个面，所以减少的面数为拼接处数量乘以2即 （个），长方体的表面积对应的面数等于三个小正方体的总面数减去拼接后减少的面数即（个）；已知长方体的表面积是56dm，且该表面积对应14个正方形面，用长方体的表面积除以对应的面数，即可得到一个面的面积；一个小正方体有6个相同的面，用一个面的面积乘以6，即可得到一个小正方体的表面积；据此解答。 【详解】      （平方分米） 答：一个小正方体的表面积是24平方分米。 13． 30厘米 【分析】已知王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架，又用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，即是正方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，据此解答。 【详解】 （厘米） （厘米） 答：正方体灯笼框架的棱长最长是30厘米。 14．8分钟 【分析】要淹没小长方体铁块，需注入的水的体积＝（水池底面积－铁块底面积）×铁块的高度（即淹没所需的水深），再根据时间＝注水体积÷注水流量计算时间。 【详解】计算需注水的体积： （50×30－10×10）×24 ＝（1500－100）×24 ＝1400×24 ＝33600（立方厘米） 33600立方厘米＝33.6立方分米 计算注水时间： 33.6÷4.2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟能将小长方体淹没。 15．135立方厘米 【分析】根据在一个长方体容器中放入一个物体，水没有溢出，则放入物体的体积就是水面上升的体积。放入一个西红柿后水面上升到10厘米，则西红柿的体积就是水面上升的体积，水面上升的体积＝容器的长×容器的宽×水面上升的高度，把数据代入算式，据此解答。 【详解】水面上升的高度：10－8.5＝1.5（厘米） 10×9×1.5 ＝90×1.5 ＝135（立方厘米） 答：西红柿的体积是135立方厘米。 16．52.8千克 【分析】根据题意，要粉刷这个房间的四壁和顶面，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米需用涂料的质量乘粉刷的面积，求出一共需要涂料的总质量。 【详解】6×5＋6×3×2＋5×3×2−8 ＝30＋36＋30−8 ＝88（平方米） 0.6×88＝52.8（千克）   答：一共要用涂料52.8千克。 17． 0.6立方分米 【分析】将14厘米转换为1.4分米，计算放入石头后水和石头的总体积，再减去原有水的体积，得到石头的体积。 【详解】14厘米＝1.4分米，5升＝5立方分米 正方体容器的底面积：2×2＝4（平方分米） 放入石头后的总体积：4×1.4＝5.6（立方分米） 石头的体积：5.6－5＝0.6（立方分米） 答：石头的体积是0.6立方分米。 18．（1）118平方分米 （2）75立方分米 【分析】（1）求做这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求这个长方体无盖鱼缸的表面积，根据长方表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）求鱼缸里注入2.5分米深的水，求鱼缸里的水的体积，就是求长是6分米，宽是5分米，高是2.5分米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1）6×5＋（6×4＋5×4）×2 ＝30＋（24＋20）×2 ＝30＋44×2 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃118平方分米。 （2）6×5×2.5 ＝30×2.5 ＝75（立方分米） 答：鱼缸里的水是75立方分米。 19．72平方分米 【分析】底面是正方形的长方体铁皮油桶的侧面展开正好得到一个边长是80厘米的正方形，则长方体底面棱长（即长方体的长和宽）为80÷4＝20（厘米），长方体的高是80厘米，根据：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可。 【详解】80÷4＝20（厘米） （20×20＋20×80＋20×80）×2 ＝（400＋1600＋1600）×2 ＝（2000＋1600）×2 ＝3600×2 ＝7200（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 7200÷100＝72（平方分米） 答：做这样的一个油桶至少需要铁皮72平方分米。 20．15升 【分析】冲水马桶每次的冲水量，等于水箱上水停止时水的体积。由于水在长方体水箱中呈长方体形状，可通过长方体体积公式计算水量。水箱内部的长和宽，就是水形成的长方体的长和宽：长为3分米，宽为2分米。水面上升到2.5分米时停止上水，因此水形成的长方体的高为2.5分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算，再把单位转化为升即可。 【详解】3×2×2.5 ＝6×2.5 ＝15（立方分米） 15立方分米＝15升 答：冲水马桶每次冲水大约用水15升。 21．104平方分米 【分析】求无盖的长方体木箱至少需要木板的面积，就是求长方体的下面、前面、后面、左面和右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 【详解】6×4＋6×4×2＋4×4×2 ＝24＋48＋32 ＝104（平方分米） 答：至少需要104平方分米木板。 22．216平方厘米；27个 【分析】正方体的表面积公式S＝6a2，代入棱长计算表面积即可。用大正方体的体积除以小正方体的体积就能得到切成小正方体的个数，根据V＝a3计算解答。 【详解】62×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 63÷23 ＝6×6×6÷（2×2×2） ＝216÷8 ＝27（个） 答：这个魔方的表面积是216平方厘米。如果把魔方切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成27个。 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $