专题6.6 平面向量的应用 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题6.6 平面向量的应用 【知识梳理】 1 【考点1：用向量证明线段垂直】 2 【考点2： 用向量解决夹角问题】 3 【考点3：用向量解决线段的长度问题】 5 【考点4： 向量与几何最值】 6 【考点5：向量在几何中的其他应用】 6 【考点6： 解析法在向量中的应用】 7 【考点7： 力的合成】 8 【考点8：速度、位移的合成】 10 【考点9：功、动量的计算】 12 【知识梳理】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 2．物理学中的向量 （1）力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. （3）向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. ①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. ②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【考点1：用向量证明线段垂直】 1．（25-26高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 5．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【考点2： 用向量解决夹角问题】 1．（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 5．（24-25高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【考点3：用向量解决线段的长度问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 5．（24-25高一下·山东德州·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【考点4： 向量与几何最值】 1．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京海淀·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为______． 4．（2026高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为边上的动点（包括端点），为的中点，则的取值范围为________． 5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 【考点5：向量在几何中的其他应用】 1．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 2．（2026高三·全国·专题练习）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【考点6： 解析法在向量中的应用】 1．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为的中线，求证：． 【考点7： 力的合成】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三个力，，的合力，则的坐标为____________． 3．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    4．（25-26高一下·全国·课后作业）有两根柱子相距，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点．如果送电线在这点垂直向下的作用力是，则这条呈水平的绳子的中点下降，求此时绳子所受张力的大小． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 【考点8：速度、位移的合成】 1．（25-26高三下·安徽·开学考试）2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 2．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【考点9：功、动量的计算】 1．（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，分别对质点所做的功．（力的单位：牛顿，位移单位：米） 5．（2026高三·全国·专题练习）一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 平面向量的应用 【知识梳理】 1 【考点1：用向量证明线段垂直】 2 【考点2： 用向量解决夹角问题】 5 【考点3：用向量解决线段的长度问题】 9 【考点4： 向量与几何最值】 12 【考点5：向量在几何中的其他应用】 16 【考点6： 解析法在向量中的应用】 19 【考点7： 力的合成】 23 【考点8：速度、位移的合成】 27 【考点9：功、动量的计算】 30 【知识梳理】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 2．物理学中的向量 （1）力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. （3）向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. ①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. ②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【考点1：用向量证明线段垂直】 1．（25-26高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 2．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，利用求出，求证即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 设，则，. 因为是的中点，所以. 又，即，即， 解得，即， ，， ， ，即. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知四边形中，，，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见解析 【分析】先得出平分，进而得出，再计算即可. 【详解】证明：由题意知，所以平分， 因为，所以存在实数使得， 因为，所以，所以，所以四边形的两条对角线互相垂直． 5．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【考点2： 用向量解决夹角问题】 1．（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 2．（24-25高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 5．（24-25高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 【考点3：用向量解决线段的长度问题】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【答案】 【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可. 【详解】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 故答案为： 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 3．（2026高一·全国·专题练习）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是（） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 【答案】D 【分析】方法一：设，，利用平面向量的数乘运算与基本定理得到 ，然后计算得解； 方法二：设λ，得到λλ，利用三点共线性质计算即可 【详解】方法一　设， 则， ， 因为点A，P，M和点B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ，使，， 所以， 又， 所以解得 所以， 所以AP. 方法二　设λ，λ∈R， 因为M是BC的中点，AN＝2NC， 则， λλλ， 又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1， 解得λ，所以APAM＝4.4. 4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·山东德州·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，首先表示出，，，再根据向量数量积运算列式求出得解. 【详解】设，可得，，， 因为是的中点，所以米， 由，得， 由，得， 所以， ，解得， 所以该建筑的高度米. 故选：B. 【考点4： 向量与几何最值】 1．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，两边平方，结合向量数量积公式和，得到，求出答案. 【详解】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量中点公式，得到，把原式化简为，根据向量的数量积运算确定最小时点的位置，再利用均值不等式求出最小值. 【详解】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 3．（25-26高三上·北京海淀·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设，，表达出其他各边长度，利用计算出数量积为，从而求出最小值. 【详解】设，， 因为为边长为2的等边三角形，， 所以，，，，， 因为，所以为等边三角形，，⊥， 故 ， 故当时，取得最小值. 故答案为： 4．（2026高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为边上的动点（包括端点），为的中点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先设出动点位置的比例参数，用基底表示出两个向量，再根据已知几何条件求出基底的数量积，最后将数量积表示为参数的函数，利用参数范围求出值域. 【详解】设，， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，，所以，，， 所以， 因为，所以的取值范围为． 故答案为：. 5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 【分析】①先利用向量的数量积公式及向量线性运算，由题可知：，由，可得，代入相应数据即可求得的值；②由①可得，则设，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值. 【详解】①， 又，， 则：，且 原式， 解得 ； ② 设， 当时，有最小值，为 故答案为：①， ② . 【考点5：向量在几何中的其他应用】 1．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 2．（2026高三·全国·专题练习）设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，确定点位置，将面积问题转化成边长之比，进而可求解. 【详解】如图，，， 设，则，故点，，三点共线， ，．    故选：C 3．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 【答案】C 【分析】作的边上的中线，过点作于点，过点作于点，根据数量积的几何意义可得，结合重心性质可得点重合，从而得解. 【详解】作的边上的中线， 因为为的外心，所以． 因为为的重心，所以． 过点作于点，过点作于点． 由及，由于为在方向上的投影向量， 由数量积的几何意义，得．    由及，得．而， 所以点重合，故． 故选：C． 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A    5．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 【考点6： 解析法在向量中的应用】 1．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 2．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建合适的直角坐标系，根据已知得，，设并结合数量积的坐标表示列方程求向量坐标，进而求模长. 【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故． 以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故． 故选：B 3．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出，把表示为，利用辅助角公式、三角函数求最值. 【详解】 如图示，建立平面直角坐标系. 设，可得：. 由可得：， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为， 结合选项可知，A，B，C中的数值符合， 故选：ABC 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为的中线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先根据三角形建立平面直角坐标系，利用坐标表示模长，即可证明. 【详解】证明：以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图．设，，，则， ， 从而， 即． 【考点7： 力的合成】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用力的合成结合余弦定理即可求解. 【详解】由题可得两端绳子对滑轮的拉力大小为,这两个力的夹角为， 所以滑轮受到绳子的作用力; 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三个力，，的合力，则的坐标为____________． 【答案】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由，则， 因为，，所以，即． 故答案为： 3．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 4．（25-26高一下·全国·课后作业）有两根柱子相距，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点．如果送电线在这点垂直向下的作用力是，则这条呈水平的绳子的中点下降，求此时绳子所受张力的大小． 【答案】 【分析】如图所示，根据平面向量加法的平行四边形法则，得，则是向量的相反向量，且.解三角形可得，即此时绳子所受张力的大小． 【详解】如图，设，垂直向下的作用力对应向量，绳子所受张力对应向量分别为，， 则根据平面向量加法的平行四边形法则，得，其中是向量的相反向量，且. 因为两根柱子相距，绳子的中点下降， 所以等腰中，，， 可得. 因为为锐角，所以 由，解得. 因为送电线在这点垂直向下的作用力是， 所以绳子所受张力大小分别为． 则此时绳子所受的张力大小约为． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 【答案】合力的模为，与成角竖直向上 【分析】利用平面向量的平行四边形法则求合力. 【详解】如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力． 在中，，，， ．． 与的合力的模为，与成角竖直向上． 【考点8：速度、位移的合成】 1．（25-26高三下·安徽·开学考试）2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 2．（2026高一·全国·专题练习）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【答案】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 【答案】，方向与上游河岸的夹角为53°． 【分析】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，，根据三角函数得，再利用辅助角公式求解. 【详解】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，， ，，由物理学知识， 可知，所以． 令 即，即． 所以当时，，所以． 此时． 故划速最小为，方向与上游河岸的夹角为53°． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 【答案】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图所示：， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有， 所以有. 所以此时小货船航行速度为. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 【分析】（1）根据向量的加法公式可得顺流时实际速度最大，逆流时实际速度最小； （2）利用平面向量的平行四边形法则作出图形分析可得结论. 【详解】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的． （2）如图所示， 设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度． 设，由题意可得，，则， 因为，所以四边形为菱形． 所以，为等边三角形． 在中，，而，所以， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 【考点9：功、动量的计算】 1．（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 2．（25-26高三上·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义结合辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 3．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为_______． 【答案】6 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积的坐标公式进行计算. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，分别对质点所做的功．（力的单位：牛顿，位移单位：米） 【答案】焦，焦 【分析】先利用向量的坐标运算求得，然后利用数量积的坐标运算求解功即可. 【详解】设物体在力作用下的位移为，则所做的功为． 因为． 所以（焦）， （焦）． 5．（2026高三·全国·专题练习）一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 【答案】199.6焦耳 【分析】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系.通过计算可得三个力向量的坐标,从而可得合力的坐标,根据合力与位移向量的夹角为,利用向量的物理意义可得. 【详解】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． 计算可得， ， ， 所以合力， 因为合力与位移的夹角为， 所以合力做的功 ， 保留四位有效数字可得199.6焦耳．所以合力做的功约为199.6焦耳． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $