7.2.1复数的加、减运算及其几何意义导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.2.1复数的加、减运算及其几何意义【导学】【解析】 【导学目标】 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 【导学重点】理解复数加、减法的几何意义并掌握复数的代数形式的加、减法运算法则. 【导学难点】能够利用“数形结合”的思想解题. 【知识要点】 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 z1，z2，z3∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线 加 法 减 法 运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 几何意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 【典型例题】 题型一 复数代数形式的加、减法的运算 【例1-1】（衔接教材P76L1）计算(5－6i)＋(－2－i)－(3+4i). 【答案】-11i 【例1-2】（衔接教材P77T1）计算 (1)(2＋4i)＋(3－4i)； (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 【答案】（1）5；（2）-2+2i. 【例1-3】计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 023－2 024i)－(2 024－2 025i). 【答案】-1012+1012i 【例1-4】设复数z满足z＋3－i=－1＋i，则|z|= . 【答案】 【例1-5】已知复数为实数，若，则m的值为（ ） A. 4 B. －1 C. 6 D. 0 【答案】B 题型二 复数加、减法的几何意义 【例2-1】如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度. 【答案】(1)-3-2i，-3-2i;(2)5-2i;(3)1+6i，. 【例2-2】（衔接教材P77L2）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离. 【答案】略 【例2-3】（衔接教材P77T4）复平面内下列两个复数对应点的两点之间的距离. （1） （2） 【答案】(1);(2)5. 【例2-4】A、B分别是复数在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则三角形ABC一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【例2-5】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则||等于(　　) A.5 B. C. D. 【答案】B 【例2-6】已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i, 2＋i，求点D对应的复数. 【答案】3+5i 【例2-7】在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　) A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋2i 【答案】C 题型三 复数加、减法的综合应用 【例3-1】已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 【答案】 【例3-2】已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2及|z1－z2|. 【答案】； . 题型四 与复数有关的最值问题 【例4-1】已知复数z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|=|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为 . 【答案】3 【例4-2】已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最大值为 ；的最小值为 . 【答案】; 【例4-3】如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D. 【答案】A 【例4-4】设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】 ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.2.1复数的加、减运算及其几何意义【导学】 【导学目标】 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 【导学重点】理解复数加、减法的几何意义并掌握复数的代数形式的加、减法运算法则. 【导学难点】能够利用“数形结合”的思想解题. 【知识要点】 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 z1，z2，z3∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线 加 法 减 法 运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 几何意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 【典型例题】 题型一 复数代数形式的加、减法的运算 【例1-1】（衔接教材P76L1）计算(5－6i)＋(－2－i)－(3+4i). 【例1-2】（衔接教材P77T1）计算 (1)(2＋4i)＋(3－4i)； (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 【例1-3】计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 023－2 024i)－(2 024－2 025i). 【例1-4】设复数z满足z＋3－i=－1＋i，则|z|= . 【例1-5】已知复数为实数，若，则m的值为（ ） A. 4 B. －1 C. 6 D. 0 题型二 复数加、减法的几何意义 【例2-1】如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度. 【例2-2】（衔接教材P77L2）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离. 【例2-3】（衔接教材P77T4）复平面内下列两个复数对应点的两点之间的距离. （1） （2） 【例2-4】A、B分别是复数在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则三角形ABC一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【例2-5】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则||等于(　　) A.5 B. C. D. 【例2-6】已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i, 2＋i，求点D对应的复数. 【例2-7】在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　) A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋2i 题型三 复数加、减法的综合应用 【例3-1】已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 【例3-2】已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2及|z1－z2|. 题型四 与复数有关的最值问题 【例4-1】已知复数z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|=|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为 . 【例4-2】已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最大值为 ；的最小值为 . 【例4-3】如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D. 【例4-4】设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　) A．0 B．1 C． D． ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $