精品解析：2026年陕西省初中学业水平考试全真模拟卷二数学试卷

2026年陕西省初中学业水平考试全真模拟试题数学学科（二） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 圆锥 3. 小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 将直线沿轴向下平移个单位长度，若点关于原点的对称点在平移后的直线上，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，点均在上，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（是常数，且），点是该抛物线上的两点，给出下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④当时，有最大值是；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个大于且小于的无理数_______． 10. 数学实践课上，小晨用棋子按规律摆“大”字．如图1用了7颗棋子，图2用了11颗棋子，图3用了15颗棋子，…，按照此规律继续摆下去，图5需要用__________颗棋子． 11. 定义一种新运算：，若，则x的值为______． 12. 如图，在中，高与高相交于点F，则图中与（不含）相等的角有__________个． 13. 在平面直角坐标系中，已知点分别在三个不同的象限．若一个反比例函数的图象经过其中两点，则的值为__________． 14. 如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 化简：． 18. 如图，在中，请用尺规作图法在边上求作点，使点到两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，与相交于点，．求证：． 20. 中国空间站已搭载多种生物进行空间生命科学研究．生物活动课上，小晨所在小组的成员将5种上过太空的生物依次写在五张完全相同的卡片正面，随机选择一张进行讨论学习．现将卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（是动物，是植物） （1）若小晨随机抽取一张卡片，抽中动物的概率是______； （2）若小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求他们两人都抽中植物的概率． 21. 小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下： 项目 测量建筑物的高度 工具 卷尺，测角仪等 测量示意图 测量数据 ， 说明 水平地面上方有一水平的平台，，所有点均在同一竖直平面内 问题 求出建筑物的高度．（结果保留两位小数；参考数据：） 22. 2026年春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，在文化滋养与科技赋能下，呈现活力满满、蒸蒸日上的新时代奋进气象．某商家推出一款“2026势骋”卡片，深受大家喜爱，经市场调查发现，该卡片每天销售量（张）是其销售单价（元）的一次函数．已知销售单价为13元时，每天销售量为115张；当销售单价为16元时，每天销售量为100张．销售单价满足． （1）求与之间的函数表达式； （2）当每天销售量为80张时，销售单价是多少？ 23. 为提升信息素养，实验中学组织九年级开展“小达人·校园智创赛”．李老师整理了九（1）班和九（2）班前10名学生的成绩（成绩均为整数，满分100分），得到如下信息及折线统计图． 九（2）班前10名学生的成绩为：90，90，85，80，80，80，80，75，70，70． 根据以上信息，解答下列问题： （1）九（1）班前10名学生的平均成绩是______分； （2）九（2）班前10名学生成绩的中位数是______分；请在图中作出九（2）班前10名学生成绩的折线统计图； （3）若该校九年级共有500人参赛，且85分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”，估计九年级参赛学生中被评为“校园智创之星”的有多少人？ 24. 如图，在中，为直径，以为腰作等腰三角形，交于点，，且．过点作的切线，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某主拱桥截面示意图如图所示，其截面可视为抛物线型，若该主拱桥的跨度为，其最高点（顶点）到桥面的距离为．以（与重合）为原点，桥面为轴，垂直于桥面且经过点的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在主拱与桥面之间共设置15根等距的吊杆（垂直于桥面），如图所示，求从左到右第4根吊杆的长度． 26. 问题提出 （1）如图1，在等边三角形中，，是边上的一点，且，连接，求的面积； 问题解决 （2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地用来种植花卉，并在其中修一条观赏小路（小路的宽度不计），点在边上．若要求：，．请问是否存在满足上述条件的面积最大的？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平考试全真模拟试题数学学科（二） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，解题的关键是掌握该定义． 依据相反数的定义即可求解，即只有符号不同的两个数，叫做互为相反数． 【详解】解： 的相反数是， 故选：B． 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 3. 小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，再对求差即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算乘方，再计算乘法，即可得到结果． 【详解】解： 5. 将直线沿轴向下平移个单位长度，若点关于原点的对称点在平移后的直线上，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再求出点A关于原点的对称点坐标，将对称点坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵将直线沿轴向下平移个单位长度，根据一次函数平移规律，可得平移后的直线解析式为． ∵点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴点A关于原点的对称点坐标为． ∵该对称点落在平移后的直线上， ∴将代入，得， 解得． 6. 如图，点均在上，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求得所对的圆心角度数，即可利用弧长公式求解． 【详解】解：， 所对的圆心角为， ， 的长为． 7. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定及性质求解即可. 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 8. 已知抛物线（是常数，且），点是该抛物线上的两点，给出下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④当时，有最大值是；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数开口方向，与坐标轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线（是常数，且）， 当时，， ∴抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； ∵抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ∵， ∴ 开口向上， 当时，随的增加而减小， 故时，两点位于对称轴的左侧， ∴ 故结论③正确，此结论符合题意； 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 故结论④正确，此结论符合题意； 当时，， ∵， ∴， 故结论⑤错误，此结论不符合题意； 综上所述，正确的结论为①③④，选B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个大于且小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，写出一个大于且小于的开方开不尽的数即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 数学实践课上，小晨用棋子按规律摆“大”字．如图1用了7颗棋子，图2用了11颗棋子，图3用了15颗棋子，…，按照此规律继续摆下去，图5需要用__________颗棋子． 【答案】23 【解析】 【分析】根据题意得到，后一个图形比前一个图形多4颗棋子，据此计算即可． 【详解】解：由图形可知， 第1个“大”字中有颗围棋子， 第2个“大”字中有颗围棋子， 第3个“大”字中有颗围棋子， …… 根据此规律，则第n个“大”字中围棋子的数量为颗， 第5个“大”字中围棋子的数量为：（颗）． 11. 定义一种新运算：，若，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得． 12. 如图，在中，高与高相交于点F，则图中与（不含）相等的角有__________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握直角三角形两个锐角互余是关键．根据三角形高的定义可求得，，所以，再根据对顶角相等，即得答案． 【详解】解：是的高， ， ， 是的高， ， ， ， 和是对顶角， ， 图中与（不含）相等的角有2个． 故答案为：2． 13. 在平面直角坐标系中，已知点分别在三个不同的象限．若一个反比例函数的图象经过其中两点，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据坐标特征判断已知点所在象限，结合三点在不同象限确定点B的象限，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，分情况讨论反比例函数经过的两点，计算后舍去不符合题意的解，得到最终结果． 【详解】解：根据平面直角坐标系中象限的坐标特征可知，点在第三象限，点在第四象限， ∵三点分别在三个不同的象限， ∴点在第一象限，即， 对于反比例函数，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，即， 若反比例函数同时经过和，可得：，，则， 因此反比例函数不可能同时经过和， 分两种情况讨论： ① 若反比例函数经过和，则，将代入得， 解得，此时点在第一象限，三点分别在三个不同象限，符合题意； ② 若反比例函数经过和，则，将代入得， 解得，此时点在第四象限，与点同象限，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 14. 如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在的上方作，且使得，连接．证明，得到．易证．当三点共线时，取最小值，即为的长．即可求解． 【详解】如图，在的上方作，且使得，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当三点共线时，取最小值，即为的长． ∵的长为， ∴，即的长为． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，化简绝对值，乘法，先运算乘法，化简绝对值以及零次幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 16. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示，如图： 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 解集在数轴上表示略． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，请用尺规作图法在边上求作点，使点到两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点M即为所求． 【解析】 【分析】作的角平分线，交于点M，点M即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，与相交于点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】略 20. 中国空间站已搭载多种生物进行空间生命科学研究．生物活动课上，小晨所在小组的成员将5种上过太空的生物依次写在五张完全相同的卡片正面，随机选择一张进行讨论学习．现将卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（是动物，是植物） （1）若小晨随机抽取一张卡片，抽中动物的概率是______； （2）若小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求他们两人都抽中植物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定总卡片数和动物卡片数，再根据概率公式计算抽中动物的概率． （2）用树状图列出不放回抽样的所有等可能结果，再找出两人都抽中植物的结果数，最后代入概率公式计算． 【小问1详解】 解：总卡片数，动物卡片数， ∴（抽中动物）； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有20种等可能的结果，其中两人都抽中植物的有2种结果， 故所求概率． 21. 小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下： 项目 测量建筑物的高度 工具 卷尺，测角仪等 测量示意图 测量数据 ， 说明 水平地面上方有一水平的平台，，所有点均在同一竖直平面内 问题 求出建筑物的高度．（结果保留两位小数；参考数据：） 【答案】建筑物的高度约是 【解析】 【分析】延长交于点，设，则．再解，得；解，得．根据，得，求出x值，然后由求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意得：，，设，则． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴，解得：， ∴， 故建筑物的高度约是． 22. 2026年春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，在文化滋养与科技赋能下，呈现活力满满、蒸蒸日上的新时代奋进气象．某商家推出一款“2026势骋”卡片，深受大家喜爱，经市场调查发现，该卡片每天销售量（张）是其销售单价（元）的一次函数．已知销售单价为13元时，每天销售量为115张；当销售单价为16元时，每天销售量为100张．销售单价满足． （1）求与之间的函数表达式； （2）当每天销售量为80张时，销售单价是多少？ 【答案】（1） （2）当每天销售量为80张时，销售单价是20元 【解析】 【分析】（1）根据题目给出销售量是销售单价的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出，从而得到函数关系式； （2）在已知销售量的情况下，代入函数式，解出对应的值，即销售单价． 【小问1详解】 解：由题意设，根据题意，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，解得， ∴当每天销售量为80张时，销售单价是20元． 23. 为提升信息素养，实验中学组织九年级开展“小达人·校园智创赛”．李老师整理了九（1）班和九（2）班前10名学生的成绩（成绩均为整数，满分100分），得到如下信息及折线统计图． 九（2）班前10名学生的成绩为：90，90，85，80，80，80，80，75，70，70． 根据以上信息，解答下列问题： （1）九（1）班前10名学生的平均成绩是______分； （2）九（2）班前10名学生成绩的中位数是______分；请在图中作出九（2）班前10名学生成绩的折线统计图； （3）若该校九年级共有500人参赛，且85分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”，估计九年级参赛学生中被评为“校园智创之星”的有多少人？ 【答案】（1）80 （2）80， 九（2）班前10名学生成绩的折线统计图如图所示： （3）有150人 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）根据中位数的定义进行计算求解，再画出折线统计图即可； （3）先求出85分及以上的学生的百分比，再乘以该校九年级总人数，即可解答． 【小问1详解】 解：（分）； 【小问2详解】 解：九（2）班第5名与第6名学生的成绩都为80，则中位数是（分）； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计九年级参赛学生中被评为“校园智创之星”的有150人． 24. 如图，在中，为直径，以为腰作等腰三角形，交于点，，且．过点作的切线，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴． ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． 又∵在等腰三角形中，，， ∴， ∴，即； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据为的直径，推出，即，再通过与相切，推出，即，等量代换得，然后根据等腰三角形三线合一的性质推出，最后等量代换即可证明； （2）先连接，则，根据勾股定理得出的长，再根据等腰三角形三线合一的性质结合为的中点，推出，然后证明，最后根据相似的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，则， ∵，， ∴，． ∵，， ∴为的中点． ∵为的中点， ∴， ∴． ∵在和中， ∴， ∴，即， ∴． 25. 某主拱桥截面示意图如图所示，其截面可视为抛物线型，若该主拱桥的跨度为，其最高点（顶点）到桥面的距离为．以（与重合）为原点，桥面为轴，垂直于桥面且经过点的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在主拱与桥面之间共设置15根等距的吊杆（垂直于桥面），如图所示，求从左到右第4根吊杆的长度． 【答案】（1） （2）从左到右第4根吊杆的长度是 【解析】 【分析】（1）由题意可得，点，顶点坐标是，设抛物线解析式为，再进一步求解即可； （2）先算出从左到右第4根吊杆对应的值，再代入函数值计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，点，顶点坐标是， 故可设抛物线的函数表达式为． 将点的坐标代入表达式，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵共设置15根吊杆，被分成16等份， ∴每一份的距离为， ∴从左到右第4根吊杆对应的值为， 把代入表达式，得， 故从左到右第4根吊杆的长度是． 26. 问题提出 （1）如图1，在等边三角形中，，是边上的一点，且，连接，求的面积； 问题解决 （2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地用来种植花卉，并在其中修一条观赏小路（小路的宽度不计），点在边上．若要求：，．请问是否存在满足上述条件的面积最大的？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在，最大面积为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形的性质求出，连接，可求出，判断点在的外接圆的优弧（不含）上运动，则当，即时，最大，此时为等边三角形，根据三角形面积公式求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）存在． ∵在中，， ∴，且， ∴． 如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴点在的外接圆的优弧（不含）上运动，如图所示， ∴当，即时，最大，此时为等边三角形， ∴的最大值 ∴面积的最大值为：， 综上可知，存在满足条件的面积最大的平行四边形，其最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $