专题6 综合与实践-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质PPT课件

数学 1 2 专题六 综合与实践 3 类型1 操作探究类 1.[2024泰安]综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行 了数学折纸探究活动. 4 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图①，把矩形纸片 翻折， 使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为 ，将纸片展 平，连接与相交于点 .同学们发现图形中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由. 5 解：同学们的发现正确，理由如下： 如解图，过点作于点 ， 第1题解图 由折叠的性质得 ， ， . 6 ， ， ， 又 ，， . 四边形是矩形， ， 又， 四边形 是矩形， ， ； 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图②， 是 平行四边形纸片 的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折， 使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是 和 .将纸片展平，连接，，.同学们探究后发现，若 ，那 么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”， 即 .请你判断同学们的发现是 否正确，并说明理由. 8 解：同学们的发现正确，理由如下： ， ，， ， 由折叠知， . ， ， 由平行四边形及折叠知， ， ， ，即点为 的一个“黄金分割点”. 9 2.[2024河北]情境 图①是由正方形纸片去掉一个以中心 为顶点的等腰直 角三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图②所示的钻石型五边形， 数据如图所示. （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 10 操作 嘉嘉将图①所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形. 如图③，嘉嘉沿虚线， 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按 照图④所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： 第2题图 11 （1）直接写出线段 的长； 第2题图 解：EF的长为1. 12 【解法提示】如解图①，过作于 ，结合题意可得四边形 为矩形，，由拼接可得 ，由正方形的 性质可得 ，，， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，设 ， ，， ， 正方形的边长为2， 对角线的 长为， ， ，解得 ， . 图① 13 （2）直接写出图③中所有与线段相等的线段，并计算 的长. 第2题图 解： . 为等腰直角三角形， ， ， . 14 【解法提示】如解图①， ， ， . 图① 15 探究 淇淇说：将图①所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石 型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图⑤所示纸片的边上找一点 （可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线线段 的位置，并直接写出 的长. 解：画出位置如解图②所示， 长为或 . 图② 16 图② 【解法提示】如解图②，以为圆心，长为半径画弧交于，交 于，则直线为分割线，此时， ，符合 要求，或以为圆心，长为半径画弧，交于，交于 ，则直线 为分割线，此时 ， ，， 综上所述， 的长为或 . 17 （1）操作与发现 平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意 图如图①、图②.在图②中，四边形为梯形，，，是 ， 边上的点.经过剪拼，四边形为矩形.则 _______. 3.[2024巴中]综合与实践#1 【解法提示】， ，由题意得 为 中点，， 又， . 18 （2）探究与证明 探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接 示意图如图③、图④、图⑤.在图⑤中，，，，是四边形 边上 的点. 是拼接之后形成的四边形. 19 ①通过操作得出：与 的比值为___. 1 【解法提示】如解图①，由操作知，点为中点，将四边形 绕点 旋转 得到四边形，， . 第3题解图① 20 ②证明：四边形 为平行四边形. 第3题解图① 证明：如解图①，由题意得，，，，是，，， 的 中点，操作为将四边形绕点旋转 得到四边形 ，将四边 形绕点旋转 得到四边形，将四边形 放在左上方， 使与点重合，则，， ， ， ， ， ， ， 21 ， ， ，， 三点共线， 同理，，三点共线，由操作得， ， ， ， 第3题解图① ， ， ， ， 四边形 为平行四边形； （3）实践与应用 任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将 四边形 剪成4块，按图⑤的方式补全图⑥，并简单说明剪开和拼接过 程.若不能，请说明理由. 23 第3题解图② 解：任意一个四边形能剪开拼成一个矩形，剪开和拼接过程如下：如解图 ②，取，，，的中点，，，，连接，过点，点 分 别作，，垂足为，，将四边形绕点 旋转 至四边形，将四边形绕点旋转 至四边形 ，将四边形放置左上方，使得点与点重合，与 重 合，与重合，点的对应点为点 ，则四边形 即为所求矩形. 24 类型2 设计制作类 4.[2025广东模拟]综合与实践 【主题】用竹棒搭建鲁班桥. 【背景】鲁班桥是一种自承式结构桥梁，依靠桥梁自身的结构间的力来维 持稳固，是我国古代劳动人民智慧的结晶. 【素材】宽为的长方体竹棒、底面圆直径为 的圆柱竹棒各若干、 尺子、小刀等. 25 【实践操作】 步骤1：如图①：长方体竹棒上下共刻出3个半径为 的半圆凹槽，圆心 分别为，，，其中是竹棒中点，， 到竹棒两端的距离均为 ；#1.4.1 第4题图 步骤2：用两个长方体竹棒夹住一个圆柱竹棒，其侧面示意图如图②，以 此类推重复拼搭即可搭建出如图③的鲁班桥.#1.4.2 26 【实践探索】 （1）步骤2图②中，3个长方体竹棒搭建，， 为竹棒与地面的交点，若 竹棒长，跨度为，则凹槽圆心到 的距离为多少？ 第4题图 27 解：如解图①，过点作于点 ， 图① 由题意得，， ， ，， ， . 答：凹槽圆心到的距离为 ； 28 （2）将鲁班桥首尾相连绕成环，图④为其侧面示意图，内圈形状为两个 完全相同的正方形，则需要准备长方体竹棒的长为多少 ？ 解：如解图②，过点作于点 ， 图② 由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ， ，长方体竹棒的宽为 ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 29 长方体竹棒的宽度相等， 每条边上的高相等， 的面积一定， 每条边相等， 是菱形， ， 又 是竹棒中点， 长方体竹棒的长为 ， 答：需要准备长方体竹棒的长为 . 图② 5.[2024福建]在手工制作课上，老师提供了如图①所示的矩形卡纸 ， 要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图②的方式裁剪 其中 ，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品 盒，如图③所示. 31 第5题图 型号Ⅲ 32 （1）直接写出 的值； 解：2 【解法提示】如解图①， 第5题解图① 33 上述图形折叠后变成解图②， 第5题解图② 由折叠和题意可知，，， 四边形 是正方 形，，即， ，即 ，， . 34 （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”， 如图④所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ） A. B. C. D. 【解法提示】根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在相对面上，“祥”和 “意”在相对面上，而且相对面上的字中间相隔一个几何图形，且字体方向 相反. √ 35 （3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格单位： 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图②）为基本样式，适当调整， 的比 例，制作棱长为 的正方体礼品盒.如果要制作27个这样的礼品盒，请 你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡 纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸 上的分布情况），给出所用卡纸的总费用. 36 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 所需卡纸的数量（单位：张） ___ ___ ___ 所用卡纸总费用（单位：元） ____ 1 3 2 58 解：理由如下：根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为 ，制作的 一个棱长为 的正方体的展开图如解图③所示. 第5题解图③ 37 型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如解图④， 38 型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如解图⑤， 型号Ⅱ 第5题解图⑤ 39 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如解图⑥， 可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则 （个）， 所用卡纸总费用为 （元）. 40 6.[2025山东省卷]【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇 章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使 用 打印完成，如图①. 图① 图② 41 【问题提出】 部件主视图如图②所示，由于①的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以 得到的长度的方案，以检测该部件中 的长度是否符合要求. 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法. 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）. 图① 图② 42 操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件 紧密贴合.示意图如图④，分别与，相切于点， .用游标卡尺 测量出的长度 . 第6题图 43 【问题解决】 已知 ，的长度要求是 . （1）求 的度数； 解：分别与，相切于点， ， ， ； 44 （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得 .根据以上信息， 通过计算说明该部件的长度是否符合要求.参考数据： 解： 钢柱的底面圆半径为， ， ， ， ， ，同理 ， ， ， 该部件 的长度符合要求； 45 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能 将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由. 解：能，将圆柱换成正方体. 46 类型3 数学建模类 7.[2025山西]综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青 蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与 实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合. 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路 线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为 . 47 数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 ，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为 ，落地点为 .以为原点，所在直线为轴，过点与 所在水平地面垂直的直线 为 轴，建立平面直角坐标系.#1.3 第7题图 （1）请直接写出顶点 的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线 的形状不变. 解：顶点的坐标为 ， 设该抛物线的函数表达式为 ， 将点代入，解得 ， 该抛物线的函数表达式为 ； 49 （2）如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为 ， 点的坐标为，点在轴的正半轴上.求起跳点与落地点 的水平距 离 的长； 解： 抛物线的形状不变，故第二次的函数图象可以 看作由（1）所得的抛物线向上平移75个单位长度得到， 新的抛物线的解析式为 ，当时， ， 解得， （不符题意，舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为 ； 50 （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个 点在竖直方向上的距离不少于 ，才能安全通过.如图②，水平地面上 有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中 ， ，，.仿青蛙机器人从距离 左侧 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放 置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物. 51 请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青 蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）. 解：该平台高度为 【解法提示】设该平台的高度为 ，由题意，设新的函数解析式为 ，， ， ，仿青蛙机器人从距离左侧 处的地面起跳，且机器 人刚好安全通过障碍物， 仿青蛙机器人经过正上方 处，即抛物 线经过点，即， 把 代入 ，解得，故该平台的高度为 . 52 8.[2025广东省卷]综合与实践 【阅读材料】 如图①，在锐角中，，，的对边长分别为，， ，则有 .这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题. 第8题图 53 【问题提出】 万绿湖（如图②）是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践 小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中， 两岛间的 实际距离.由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进 行了探究. 第8题图 54 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）. 55 测量过程： 步骤1：如图③，在空旷地找一点 ； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得 ， ； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得， . 第8题图 56 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算， 两岛间的距离； 参考数据：，， 解： ， ， ， 由结论，得，又 ， ， 答：，两岛间的距离约为 ； 57 【评价反思】 （2）设计其他方案计算， 两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的 工具，写出你的方案和所用的数学知识. 解：测量方案：步骤1：如解图，在空旷地找一点，使得 是 锐角三角形；步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得 的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得， . 第8题解图 58 计算过程： 如解图，过点作，则 ， 在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， 答：，两岛间的距离为 . 第8题解图 59 类型4 学科融合类 9.[2024贵州]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射 规律进行了如下综合性学习. 第9题图 60 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 处投 射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为 ； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点 处时，停止注水. （直线为法线，为入射光线， 为折射光线） 第9题图 61 第9题图 【测量数据】 如图，点，，，，，，，， 在同一平面内，测得 ， ，折射角 . 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求 的长； 解：在中， ， ， ； 62 （2）求，之间的距离结果精确到 . 参考数据：，， 第9题图 解：由题可知 ， 在中， ， ， 又 在中， ， ， . 63 10.[2023甘肃省卷]如图①，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需 检测其到皮肤的距离（图①）.为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术， 检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测 量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下：#2 64 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意 图 _________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________ 第10题图① 第10题图② 65 课题 检测新生物到皮肤的距离 说明 如图②，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为 ；再在皮肤上 选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角 为 测量 数据 ， ， 续表 66 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离. 结果精确到 参考数据：，， ， ，， #2.1.2 67 解：如解图，过点作，垂足为 ， 第10题解图 设， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ，解得 ， ， 新生物处到皮肤的距离约为 . 68 11.[2025吉林]【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不 同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹 簧测力计，的下方，从离桌面 的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两 种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化. （溢水杯的杯底厚度忽略不计）#1.1.1 69 第11题图 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、 跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就 越大. （1）当小铝块下降时，直接写出弹簧测力计和弹簧测力计 的示数； 解：当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为，弹簧测力计 的示数为 ； 【解决问题】#1.3 总结公式：当小铝块位于液面上方时， ；当小铝块浸入液面 后， . 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计， 各 自的示数与小铝块各自下降的高度 之间的关系如图②所示. 71 （2）当时，求弹簧测力计的示数关于 的函数解析式； 解：设弹簧测力计的示数关于 的函数解析式为 ，为常数，且， ， 将点和分别代入 ， 得解得 当时，弹簧测力计的示数关于 的函数解析式为 ； 72 （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降 时，甲液体中的小铝块受到的 浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为 ，则乙液体中 小铝块浸入的深度为，直接写出， 的值. 解：， 【解法提示】根据图象，圆柱体小铝块所受重力为，当 时，弹簧 测力计的示数为 ，， ，当时，设弹簧测力计 的示数关于的函数解 析式为，为常数，且 ，将点和 73 分别代入，得 解得 当时，弹簧测力计的示数关于 的函数解析式为 ，令， 解得， ， . 74 类型5 阅读理解类 12. 综合与实践 数学综合与实践课上，老师组织同学们以“寻找勾股三角形”为主题开展项 目学习. 概念理解：在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直 角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国古代数学书《周髀算经》记载，约在公 元前1100年，人们就已经知道，如果勾是3，股是4，那么弦是5.后来人们 进一步发现并证明了勾股定理.我们定义：三边之比是 的直角三角形 叫作勾股三角形. 75 成果展示：（活动结束后，同学们展示了很多方法，节选以下方法） 方法1，作图法：如图①， 步骤如下：①画出一个正方形；②分别画出，边的中点， ； ③连接，，，与相交于点，则 是勾股三角形. 第12题图 76 方法2，折纸法： 步骤如下：①如图②，拿出一个正方形纸片 ； ②将正方形纸片对折使与重合，展开后得到边的中点 ； ③如图③，将沿折叠，使落在 处； ④如图④，延长交于点，则 是勾股三角形. 第12题图 77 问题解决： （1）在图①中，若，则 _ ___； 第12题图 78 （2）根据方法2的折叠过程，证明： 是勾股三角形； 证明：如解图①，连接 ， 第12题解图① 四边形 是正方形， ， ， 由折叠可知，， ， 79 ， 在和 中， . ， 设正方形的边长为， . 在中， ， ，解得 ， ， ， ， 为勾股三角形； 拓广探索： （3）尺规作图：如图⑤，已知等腰中， ，为 边上 的中线，请按以下步骤作图，并在作出的图形中直接找出一个勾股三角形. ①作的垂直平分线，交于点，交于点，连接， ； ②过点作于点 .（保留作图痕迹，不写作法） 第12题图⑤ 81 解：如解图②所示， 是勾股三角形. 第12题解图② （答案不唯一， 也是勾股三角形.） 82 13.[2025福建]阅读材料，回答问题.#1 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出 问题 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时， 他根据算式“；； ； ”，猜想：位的正整数与 位的正整数的乘 积是一个 位的正整数. 分析 探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则， 请举出反例. 83 推广 延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究 推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位 数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法 表示为，则称这个数的位数是，数字是 . 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以 下命题. 续表 84 推广 延伸 命题：若正数，，的位数分别为，， ，数字分别为 ，，，且，则必有且，或且 . 并且，当且时，；当且 时， . 证明：依题意知，，， 用科学记数法可分别表示为 ，，，其中，， 均为正数. 续表 85 推广 延伸 由，得 ，即 当且时，，所以 ，又 ，所以.由（*）知， ，所以 ； 续表 86 推广 延伸 当且时，所以 所以 ，与（*）矛盾，不合题意； 当且 时，①_______； 当且 时，②_______. 综上所述，命题成立. 续表 87 拓展 迁移 问题2 若正数，的位数分别为，，那么 的位数是多少？证 明你的结论. 续表 （1）解决问题1； 解：小明的猜想不正确， 反例： ； 88 （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； 解：①所以所以 ，与（*）矛盾，不 合题意； ②，所以，又，所以 ， 由（*）知，所以 ； 89 （3）解决问题2. 解：当的数字大于或等于的数字时，的位数是，当 的 数字小于的数字时，的位数是 . 证明如下：由已知，，的位数分别为， ， 设，，，的数字分别为，，，的位数为，则 ， 由小华的命题知，当时，必有 ，此时，，所以 ，当时，必有，此时，，所以 ，综上所述，当的数字大于或等于的数字时，的位数是， 当 的数字小于的数字时，的位数是 . 90 类型6 调查统计类 14.[2024海南]根据以下调查报告解决问题.#1 调查主 题 学校八年级学生视力健康情况 背景介 绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注.某学习小组为了解本校八 年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据. 91 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 _________________________________________________ 右眼视力 频数 3 24 18 12 第14题图 续表 92 9 _________________________________________________ 9 15 合计 90 建议：…… 第14题图 （说明：以上仅展示部分报告内容）.#1.1.1 续表 93 （1）本次调查活动采用的调查方式是__________（填写“普查”或“抽样调 查”）； （2）视力在“ ”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为： ，，，，，，，， ，这组数据的中位数是____； 抽样调查 4.8 【解法提示】将数据从小到大排列为：，，，， ， ，，， ，所以这组数据的中位数是4.8. 94 （3）视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年 级右眼视力不良的学生为_____人； 500 【解法提示】估计该校八年级右眼视力不良的学生为 （人）. 95 （4）视力在“ ”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两 位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是__； 第14题解图 【解法提示】画树状图如解图，由树状图可知，共有6种等可能的结果， 其中恰好抽到两位男生的有2种，所以从中随机抽取两位学生采访，恰好 抽到两位男生的概率是 . 96 （5） 请为做好近视防控提一条合理的建议. 解：建议学校加强学生对手机、平板等电子产品的使用管理或者规范眼保 健操、教室改换护眼灯等措施（答案不唯一）. 97 $